UNA APROXIMACION AL ESTUDIO DE LA NOOSFERA: LA CONSTRUCCIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS EN EL NIVEL PRIMARIO Y SECUNDARIO

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1 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR UNA APROXIMACION AL ESTUDIO DE LA NOOSFERA: LA CONSTRUCCIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS EN EL NIVEL PRIMARIO Y SECUNDARIO Lidia Ibarra, Blanca Formeliano, Ivone Patagua, Silvia Baspiñeiro, Mirta Velásques, Graciela Méndez, Florencia Alurralde. Universidad Nacional de Salta (Argentina) ibarra@unsa.edu.ar, blafor@hotmail.com, ivonepatagua@gmail.com, smbaspi@hotmail.com, mirtvela@unsa.edu.ar, nildagramendez@yahoo.com.ar, florencialurralde@hotmail.com Palabras clave: noosfera, antropológico, praxeología, transposición, geometría Keywords: noosphere, anthropological, praxeology, transposition, geometry RESUMEN La enseñanza de la geometría ha sido postergada durante años en nuestro sistema educativo, a partir de esta realidad,elgrupodeinvestigaciónharealizadodiversostrabajosdentrodelaconstruccióndetriángulosconreglay compás, teniendo como marco teórico la Teoría Antropológico de lo Didáctico (TAD). Como continuación de lo trabajado,noscentramosenlaconstruccióndeparalelogramosconreglaycompás. El objetivo de esta presentación es mostrar los resultados del estudio de la noosfera, a partir del análisis de los documentos curriculares correspondientes y los libros de textos escolares, elementos propios del Modelo EpistemológicodeReferencia(MER). ABSTRACT Thegeometryteachinghasbeenpostponedforyearsinoureducationsystem,fromthisreality;theresearchgroup has carried out several works into construction of Triangles with ruler and compass, having as theoretical the AnthropologicalTheoryoftheDidactic(ATD). Asacontinuationoftheworked,wefocusonparallelogramsconstructionwithrulerandcompass. Thepresentation sobjectiveisshowingtheresultsofnoosphere sstudiesfromtheanalysisofrelevantcurriculum documentsandschooltextbooks,elementsofepistemologicalreferencemodel(erm). 198

2 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Introducción Laenseñanzadelageometríahasidopostergadaenelsistemaeducativoargentino,especialmentelas construcciones de objetos geométricos con regla y compás. El grupo de investigación realizó diversos Proyectos convalidados por la Universidad Nacional de Salta (Argentina) sobre Construcción de Triángulos,basadosenlaTeoríaAntropológicadeloDidáctico(TAD).Seanalizóyelaborótrescategorías teóricas:organizaciónmatemáticadereferencia(omr),organizaciónmatemáticaaenseñar(omae)y OrganizaciónMatemáticaEnseñada(OME),puestasenprácticaen7ºañodeunaescuelaprimaria. Sepresentaenestetrabajo,elestudiodelaconstruccióndelosparalelogramos,en6 y7 año(nivel Primario) y 1 año (Nivel Secundario), con el objetivo de interpretar la problemática referida a la Construccióndeparalelogramosconreglaycompás desdetresdimensiones:didácticas,curriculare institucional. Se partió de la siguiente hipótesis la ausencia de tareas de construcción de paralelogramos en el contexto áulico origina la pérdida de sentido del trabajo geométrico. Fue necesario analizar algunos componentes de la noosfera, como documentos curriculares, libros de textos y carpetas, que permitieronobtenerconclusionessobrelahipótesisinicial. Marcoteórico SepartedelascuestionesanalizadasenlaTAD(Chevallard,1999)dondesedestacanlasnocionesde saber(sabio, saber(a(enseñar y saber(enseñado.lastransformacionesdeestossaberesdependen delasinstitucionesydeldocente,enefecto, un contenido del saber sabio que haya sido designado como saber a enseñar sufre un conjunto de transformacionesadaptativasquevanahacerloaptoparatomarlugarentrelosobjetosdeenseñanza.el trabajo quesehacedeunobjetodesaberaenseñaraltransformarloenunobjetodeenseñanzasellama transposicióndidáctica.(chevallard,1991,p.45). SegúnChevallard,elsistemadidácticoestáconstituidoporelsaber,eldocenteyelalumno,inmersoen un ambiente (sistema de enseñanza) y en la sociedad misma (padres, mundo político, medios de comunicación, sabios entreotros).esporestoqueelsistemadidácticoseenfrentaconregularidadal debatesocialparalaarticulaciónconlasociedadysusexigencias(chevallard,1991),constituyendola denominada noosfera.( El tránsito entre la institución productora del saber y el saber enseñado se realizamedianteprocesostranspositivos,nounidireccionales,quehansidosimplificadosporbarquero, Bosch y Gascón (2010) como: Praxeología sabia Praxeología a enseñar Praxeología enseñada Praxeología aprendida.elaspectoesencialdelaactividadmatemáticaeslaactividaddemodelización queconsisteenconstruirunmodelo(matemático)delarealidadquequeremosestudiar,eltrabajarcon dicho modelo e interpretar los resultados obtenidos permite contestar las cuestiones planteadas (Chevallard,BoschyGascón,1997). ProcesodeelaboracióndelModeloEpistemológicodeReferencia i. Fundamentacióndelasorganizacionesdidácticas. Noscentramosenla Construccióndeparalelogramosconreglaycompás comoherramientaparael análisisdidácticomatemático,llamadomodeloepistemológicodereferencia(mer),cuyaconstrucción 199

3 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR orienta la aproximación del saber matemático antes de que se transforme en saber enseñado. En investigaciones anteriores (Ibarra, Formeliano, Alurralde, Méndez, Velásques, 2011) se construyó un MERde Construccióndetriángulosconreglaycompás,quesirviódebaseparaestapropuesta. SepartequetantolasOrganizacionesMatemáticas(OM)comolasOrganizacionesDidácticas(OD)tienen cuatro componentes: tareas (T), técnicas (τ), tecnologías (θ) y teorías (Θ). Los dos primeros (tareas y técnicas) conforman lo que se denomina el bloque prácticobtécnico, mientras que los dos últimos (tecnologíasyteorías)conformanelbloquetecnológicobteórico(chevallard,1999).estasnocionesson relativasalafunciónquedesempeñanenlaactividadmatemáticayvaríandeunainstituciónaotra. Lasconstruccionesconreglaycompástienenporobjetivomostraratravésdelosprocedimientos,que sonunencadenamientológicodeproposiciones.loquerequieretenerencuentaproblemáticascomola continuidad,loslugaresgeométricosylastransformacionesenelplanoentreotrosconceptos. Porejemplo:elproblemadelareconstruccióndeuntriánguloequiláteroenunciadocomoproposición porlevi(2003),admiteelusodelcompásensuprocedimientoderesoluciónmedianteeltrazadodedos círculosyluegoeldeloslados.elloesposibleapesardequeeuclidesomitierajustificarlarazónporla que dos circunferencias deben cortarse, noción topológica hoy admisible gracias al concepto de continuidadenunciadopordedekind. ii. ElaboracióndelMERespecíficoparalaconstruccióndelosparalelogramosconreglaycompás. La TAD postula que toda actividad matemática institucional puede analizarse en términos de OM de complejidad creciente. Todo MER debe tener en cuenta la evolución histórica de las OM sabias, adaptadas a los procesos transpositivos. La elaboración del MER constituye una herramienta de distanciamiento de dicha institución sabia, al permitir a la investigación didáctica explicitar su propio punto de vista sobre el contenido matemático en juego dentro de los procesos didácticos que se diseñan,implementan,analizanyevalúan. UnaOrganizaciónMatemáticaPuntual(OMP)enunainstituciónesgeneradaporunúnicotipodetareas. Porejemplo,latareaT i : Construir(un(cuadrado(dado(un(lado. UnaOrganizaciónMatemáticaLocal(OML)enunainstitucióneselresultadodelaintegracióndevarias OMPentornoaundiscursotecnológicocomún.Esatecnología(Θ),justifica,explicayrelacionaentresía lasompquelaintegran.amododeejemploenelmerdiseñadoparaestetrabajosedescribencómose realizaríanalgunastareast i,lastécnicas(τ i )ylastecnologíasθ i correspondientesparadiferentesompy cómoemergeunaomlapartirdelasomp. OrganizacionesMatemáticasPuntuales Paralaconstruccióndelosparalelogramoslastécnicas,lastecnologíasyteoríasasociadasseexplicitan enelsiguientecuadro.laenumeracióndiscontinuadelasmismas,obedeceaunaseleccióndelasque fueronelaboradasenelmerdelaconstruccióndetriángulo. 200

4 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Tabla1.Técnicas,tecnologíasyteoríasasociadasalaConstruccióndeParalelogramos τ 4 :Transportarsegmentos (diagonalab). τ 5 :Trazarsegmentos(determinado porlainterseccióndelamediatrizy lacircunferenciaylosextremosde ladiagonal) τ 7 :Trazarcircunferencias.(De centrointerseccióndelamediatriz yladiagonalyradioigualsegmento quequedadeterminadoentre centroyunodelosextremosdela diagonal). τ 9 :Trazarrectasperpendiculares porelpuntomediodeunsegmento dado. τ 11 :Interceptarunasemirrecta (mediatriz)conlacircunferencia. τ 12 :Interseccióndedos circunferencias τ 13 :Trazarlamediatrizdeun segmentoab(paraubicarelpunto medio). θ 3 :Interseccióndedos circunferencias. θ 4 :Elconjuntodepuntosdel planoaigualdistanciadde dospuntosaybesla mediatrizdelsegmentoab; rectaperpendicularaabque pasaporab. θ 5 :Elconjuntodepuntosdel planoaigualdistanciadde unpuntoaesla circunferenciadecentroay radiod. θ 12 :Doscircunferenciasde radioscongruentesson congruentes. θ 14 :lasdiagonalesdel rombosebisecanenángulo recto. Θ 2: Dospuntosdeterminanunarectayun segmento Θ 4 :Dadounsegmento,sepuede construirotrosegmentodeigualmedida. Θ 5 :DadounpuntoAyunadistanciadse puedeconstruirelcírculodecentroay radiod. Θ 6 :PorunpuntoPexterioraunarectar sepuedeconstruirlaperpendicularala rectarquepasaporelpuntop. Θ 9 :Silosparesdeladosopuestosdeun cuadriláterosoniguales,elcuadrilátero esunparalelogramo. Θ 11 :Doscircunferenciasderadios congruentessoncongruentes. Θ 13 :Lasdiagonalesdelrombosecortan perpendicularmente(formancuatro ángulosiguales). Θ 14 :Elpuntodeinterseccióndelas diagonalesdivideaambasenlamisma proporción. Θ 15 :Elpuntodeinterseccióndivideauna delasdiagonalesendospartesiguales. Seenuncianacontinuaciónalgunosposiblesprocedimientosparalarealizarlastareas: T 1 :(construir(un(cuadrado(dada(la(diagonalac. T 2 :(construir(un(rectángulo(dada(la(diagonalac. T 3 :construir(un(rombo(dadas(dos(diagonalesacybd. a) ProcedimientoutilizandoreglaycompáspararealizarT 1 SeaABladiagonaldelcuadradoaconstruir:TransportoelsegmentoACconcompás(τ 4 ).Concentroen AtrazolacircunferenciaC 1 quepaseporc(τ 7 )yconcentroenctrazolacircunferenciac 2 quepasepor A(τ 7 ),determinandoelpuntomediom,interseccióndelamediatrizsconelsegmentoac(τ 9 yτ 13 ).Con centro en M trazo la circunferencia C 3 de radio MC que pasa por C y por A (τ 7 ). Llamo B y D a la interseccióndec 3 ys(τ 11 ). LospuntosA,B,CyDsonlosvérticesdeuncuadradodediagonalAC. Ensíntesiselprocedimientodescritoes:τ 4 τ 7 τ 7 τ 13 τ 9 τ 7 τ 11 Lastecnologíasθ 3, θ 4,θ 5 y θ 12 justificanlastécnicasusadasent 1 ylasteoríasasociadassonθ 4,Θ 5,Θ 6, Θ 9,Θ 13, Θ 14 yθ 15. Enestaconstrucciónseobtienesoluciónúnica. 201

5 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR b) ProcedimientoutilizandoreglaycompásparaT 2 : SeaACladiagonaldadacomodato.TransportoelsegmentoACconcompás(τ 4 ).ConcentroenAtrazo lacircunferenciac 1 quepaseporc(τ 7 )yconcentroenctrazolacircunferenciac 2 quepasepora(τ 7 ), lospuntosdeinterseccióndelascircunferenciasdeterminansmediatrizdeacyelpuntomediomdeac (τ 9 yτ 13 ).ConcentroenM trazolacircunferenciac 3 deradiomc quepasaporc (τ 7 ).Transportolos segmentosquesonlosdiámetrosdelacircunferenciac 3 ycoincideconlamedidadeladiagonalac(τ 4 ). Los puntos de corte determinan la diagonal BD (τ 11 ). Los puntos A, B, C y D son los vértices del rectángulo dada la diagonal AC. En síntesis el procedimiento en este caso es: τ 4 τ 7 τ 7 τ 9 τ 13 τ 7 τ 4 τ 11. Las tecnologías θ 3, θ 4, θ 5 y θ 12 justifican las técnicas usadas en T 2 y las teoríasasociadasenestaconstrucciónseobtieneninfinitassoluciones,comomuestralafigura. Fig.1 T 2 :construirunrectángulodadaladiagonalac. c) ProcedimientoutilizandoreglaycompásparaT 3 : SeanACyBDlasdiagonalesdadascomodato.TransportoelsegmentoACconcompás(τ 4 ).Repitiendo lastécnicasutilizadasent 1 yt 2 seencuentranlamediatrizsyelpuntomediomdeac(τ 9 yτ 13 ).Porel puntomsetrazaunacircunferenciaderadioigualalamitaddeladiagonalbd(τ 7 )previaconstrucción desumediatriz.lospuntosdeinterseccióndelamediatrizylacircunferenciadeterminanlospuntosby D(τ 11 ).LospuntosA,B,CyDsonlosvérticesdelrombodadaslasdiagonalesACyBD. Ensíntesiselprocedimientoutilizadoes:τ 4 τ 7 τ 7 τ 9 τ 13 τ 7 τ 4 τ 11 Lastecnologíasquejustificanelprocedimientosonθ 3, θ 4,θ 5y θ 12 yloselementosdeteoríasasociadas sonθ 4,Θ 5,Θ 6,Θ 9,Θ 13, Θ 14 y Θ 15. Enestaconstrucciónseobtienesoluciónúnica. Los tres ejemplos de OMP propuestos para la construcción con regla y compás de un cuadrado, un rectángulodadaunadiagonalyunrombodadadosdiagonales,muestrantécnicascomunesyalgunas 202

6 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR variaciones,aligualquelastecnologíasylasteorías.todasellasgeneranunaomlsobrelaconstrucción de los paralelogramos con regla y compás. La inclusión de las tareas analizadas en el currículo de la escuela, lleva a estudiar las diferentes obras matemáticas focalizando en las actividades geométricas presentesenlibrosdetextosycarpetasdelosestudiantes. Actividadesgeométricasenlasdiferentesobrasmatemáticas Losaspectosinstitucionalesqueincidieronenlapropuestaáulicafueron,entreotros,DiseñoCurricular para la Educación Secundaria (Gobierno de la Provincia de Salta, 2012), Diseño Curricular para la EducaciónPrimaria(GobiernodelaProvinciadeSalta,2012),librosdetextosescolares(Itzcovich,Rudy, 1998, Canteros, Felissia, Fregona, 1997, Guelman, Itzcovich, Pavesi, Rudy 1998), trabajos prácticos y apuntes teóricos producidos por los docentes o por el departamento de matemática, los que se analizaronsiguiendoachevallard,boschygascón(1997). ElSistemadeEnseñanzaenSalta(Argentina)estáenunperíododetransiciónporlanuevaLeyNacional deeducación.enlosdiseñoscurricularesconsultados,las Construcciones aparecenenformagenérica, lo que lleva a que los proyectos áulicos sean amplios en su interpretación y secuenciación de los contenidosparaenseñareltema. Trabajarlaactividadmatemáticacomoactividaddemodelizaciónpermitedemostrarqueatravésdeuna tarea T i, aparecen nuevas condiciones no explícitas, generando otras tareas, nuevos elementos tecnológicosyteóricos,dondelafuncióndeldibujocomplementalatareademodelización. Conclusión ElestudiodelaOMPydelaOMLremitealaintegracióndeldiscursotecnológicocomún,entornoalas justificacionesyteoríasquedescribenlaconstruccióndelosparalelogramos.enestesentidoseanalizó lastareasdeconstrucción(de(cuadrado,(rectángulo(y(rombomostrandolosvínculosexistentesentrelas técnicasdondevaríanenelordenqueselasutilizan;entodasellaslastecnologíasylasteoríasasociadas soncomunes.loquepermitiólamodelizacióndeconstruccionesgeométricasconreglaycompás,conel finderealizarsureconstrucciónespecificandotareas,procedimientosqueseponenenjuegoymodos enqueseargumentan,dependiendodelaformaenquesepresentanlastécnicasutilizadas.lasolución de estas cuestiones permitió visualizar las tareas en los distintos años de escolaridad, por ejemplo la tareat 1 :(construir(un(cuadrado(dado(unladoen6toañodeescolaridadyt 2 :(construir(un(cuadrado(dado( una(diagonal(en7moaño. LapropuestadeintegracióndelosanálisisconcretadosendistintoscontextossocioBeducativosenbasea laconstrucciónprovisoriademer,sesintetizaenelsiguientecuadro: 203

7 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Tabla2.PropuestadeintegraciónendistintoscontextossocioMeducativos Paralelogramos Datos NiveldeenseñanzaenlaArgentina Cuadrado Unlado 4ºdelaEscuelaPrimaria Diagonal 7ºdelaEscuelaPrimaria Unladoyunadiagonal 7ºdelaEscuelaPrimaria Unladoyunángulo 6ºdelaEscuelaPrimaria Rombo Dosdiagonales 1ºESO Unadiagonalyunángulo Dosladosconsecutivos Dosladosconsecutivosyelángulo 6ºdelaEscuelaPrimaria comprendido Paralelogramo propiamentedicho Unlado,unadiagonalyunángulo adyacentesoloallado Unlado,unadiagonalyunángulo 1ºESO adyacentealladoyaladiagonal Unladoydosdiagonales En el MER propuesto se observa que el desarrollo progresivo de una determinada técnica genera nuevastécnicasynuevastareasdandolugarasíaunaomlqueenglobacasitodaslasompanalizadas. Enlosdiseñoscurricularesestudiados,launificacióndelosejesGeometríayMedida,llevaacentrarlas actividades en el concepto de Medida y desplazar las actividades geométricas; esto se refleja en los libros de texto y en carpetas de los alumnos, siendo un indicador válido para la confirmación de la hipótesisplanteada.delmismomodo,lastareaspropuestasparalaconstruccióndeparalelogramosen los libros de texto no tienen en cuenta la función de las variables didácticas que posibiliten la construccióndenuevosprocedimientos.variandolosdatosdelados,ángulos,diagonalesentreotros,se generaríannuevosprocedimientosquefacilitaríanlaprofundizaciónycomplejizacióndelasprácticasa realizar.porelcontrario,elanálisisdelosproyectosinstitucionalesyáulicosefectuados,yelseguimiento detrabajosdelosestudiantes,permitióconstatarquelosdocenteslimitanlaconsultadelosestudiantes al texto disponible en la institución, imposibilitando el enriquecimiento de la potencialidad procedimental, agravado por la constatación que, en algunos casos, las actividades geométricas son reemplazadasporactividadesalgebraicas. Delestudiodeloslibrosdetextosedesprendeque,ensumayoría,ofrecenuntratamientoostensivo distantedelmerplanteado,loqueconfirma,enparte,lahipótesisenunciada. Laausenciadetareasdeconstruccióngeométricas,pareceoriginarlaaritmetizaciónyalgebrizaciónen suenseñanza,loquemuestralaimportanciadeltrabajodelasconstruccionesconreglaycompás,para lamejoradelaenseñanzadelageometría. Eltránsitodelaescuelaprimariaalasecundariaesunmomentoimportanteparatodolaarticulacióndel currículumdematemáticaenelsistemadeenseñanza.deallílaimportanciadelestudiodelasompy OML en forma integral, lo que permite comparar la técnica inicial y sus variaciones al abordar las 204

8 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR distintas tareas. La comparación permitirá cuestionar las diferentes técnicas y teorías surgidas en la modelización del análisis a( priori con el análisis a( posteriori de la producción de los alumnos en otra etapadelainvestigación.asimismopermitirádiscerniracercadecualesseanlastécnicasmásfiablesy económicasylafuncionalidaddeldiscursotecnológico. Quedaabiertalatareadeinvestigaciónsobreelproblemadearticulacióndelcurrículumdematemática, enlaenseñanzadelageometríaatravésdelasconstrucciones. Referenciasbibliográficas Barquero, B., Bosch, M. y Gascón, J. (2010). Ecología de la modelización matemática. Restricciones transpositivasenlasinstitucionesuniversitarias.ena.bronner,m.larguier,m.artaud,m.bosch, Y. Chevallard, G. Cirade & C. Ladage (Eds), Diffuser( les( mathématiques( (et( les( autres( savoirs)( comme(outils(de(connaissance(et(d action(pp.527b549),francia,montpellier:iufm. Canteros,L.,Felissia,A.yFregona,D.(1997).El(libro(de(la(Matemática(7.BuenosAires:Estrada. Chevallard, Y. (1991). La( transposición( didáctica.( Del( saber( sabio( al( saber( enseñar. Capital Federal, Argentina:Aique. Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar( matemáticas.( El( eslabón( perdido( entre( la( enseñanza(y(el(aprendizaje.barcelona:horsori. Chevallard,Y.(1999).L analysedespratiquesenseignantesenthéorieanthropologiquedudidactique. Recherches(en(Didactique(des(Mathématiques19(2), GobiernodelaProvinciadeSalta.(2012).Diseño(Curricular(para(la(Educación(Secundaria.(1a.ed.).Salta, Argentina:GobiernodelaProvinciadeSalta. GobiernodelaProvinciadeSalta.(2012).Diseño(Curricular(para(la(Educación(Primaria.(1a.ed.).Salta, Argentina:GobiernodelaProvinciadeSalta. Guelman, N., Itzcovich, H., Pavesi, L. y Rudy, M. (1998). El( libro( de( la( Matemática( 8. Buenos Aires: Estrada. Ibarra,L.,Formeliano,B.,Alurralde,F.,Méndez,G.yVelásques,M.(2011).Unestudiosobrelanoosfera paraentenderlaenseñanzadelageometríaatravésdelaconstruccióndeltriángulo.enm.bosch, J.Gascón,A.RuizOlarría,M.Artaud,A.Bronner,Y.Chevallard,G.Cirade,C.LadageyM.Larguier (Eds.),Un(panorama(de(la(TAD(pp.367B381),Barcelona:CentredeRecercaMatemática. Itzcovich,H.yRudy,M.(1998).El(libro(de(la(Matemática(9.BuenosAires:Estrada. Levi,B.(2003).Leyendo(a(Euclides.BuenosAires:LibrosdelZorzal. 205