2.4 Pruebas estadísticas para los números pseudoaleatorios

Transcripción

1 Capítulo Números pseudoaleatoros.4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros 34 E la seccó. se presetaro dversos algortmos para costrur u cojuto r, pero ése es sólo el prmer paso, ya que el cojuto resultate debe ser sometdo a ua sere de pruebas para valdar s los úmeros que lo tegra so aptos para usarse e u estudo de smulacó.

2 .4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros A cotuacó se aalzará las pruebas estadístcas báscas que se emplea geeralmete para determar s u cojuto de úmeros pseudoaleatoros etre cero y uo cumple co las propedades báscas de depedeca y uformdad. El objetvo, e otras palabras, es valdar que el cojuto r realmete está coformado por úmeros aleatoros. Es mportate mecoar que las pruebas que se dscutrá o so úcas; s desea coocer otras, cosulte Baks, Carso, Nelso y Ncol. [].4. Prueba de medas Ua de las propedades que debe cumplr los úmeros del cojuto r, es que el valor esperado sea gual a.5. La prueba que busca determar lo ateror es la llamada prueba de medas, e la cual se platea las sguetes hpótess: H :m r.5 H : m r.5 La prueba de medas cosste e determar el promedo de los úmeros que cotee el cojuto r, medate la ecuacó sguete: r r Después se calcula los límtes de aceptacó feror y superor co las ecuacoes sguetes: LI r z a/ LS r + z a/ S el valor de r se ecuetra etre los límtes de aceptacó, coclumos que o se puede rechazar que el cojuto r tee u valor esperado de.5 co u vel de aceptacó de a. E caso cotraro se rechaza que el cojuto r tee u valor esperado de.5. Para el cálculo de los límtes de aceptacó se utlza el estadístco z a/, el cual se determa por medo de la tabla de la dstrbucó ormal estádar (ver apédce). Ejemplo. Cosdere los 4 úmeros del cojuto r que se preseta a cotuacó, y determe s tee u valor esperado de ½ co u vel de aceptacó de 95 por ceto. 35

3 Capítulo Números pseudoaleatoros El cojuto r cotee 4 úmeros, por lo tato, 4. U vel de aceptacó de 95% mplca que a 5%. Eseguda procedemos a calcular el promedo de los úmeros y los límtes de aceptacó: r r 4 r 4 r r. 435 LI z a r / z 5. / ( 4) LI r (. 96) ( 4) LS + z a + z r / 5. / ( 4) LS r + (. 96) (4) Como el valor del promedo: r. 435 se ecuetra etre los límtes de aceptacó, se cocluye que o se puede rechazar que el cojuto de 4 úmeros r tee u valor esperado de.5, co u vel de aceptacó de 95 por ceto..4. Prueba de varaza Otra de las propedades que debe satsfacer el cojuto r, es que sus úmeros tega ua varaza de /. La prueba que busca determar lo ateror es la prueba de varaza, que establece las sguetes hpótess: H : s / r H : sr / 36

4 .4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros La prueba de varaza cosste e determar la varaza de los úmeros que cotee el cojuto r, medate la ecuacó sguete: ( r r) Vr () Después se calcula los límtes de aceptacó feror y superor co las ecuacoes sguetes: LS LI V( r) V( r) x a /, ( ) x ( a)/, ( ) S el valor de V(r) se ecuetra etre los límtes de aceptacó, decmos que o se puede rechazar que el cojuto r tee ua varaza de /, co u vel de aceptacó de a; de lo cotraro, se rechaza que el cojuto r tee ua varaza de /. Para obteer valores de los factores Ch-cuadrada vea los aexos del lbro. Ejemplo. Realzar la prueba de varaza a los 4 úmeros r del ejemplo.. Cosderado que 4 y a 5%, procedemos a calcular la varaza de los úmeros, y los límtes de aceptacó correspodetes: 4 ( r r) r (. 435) Vr () Vr () [(.. ) + ( ) ( ) + ( )] Vr () x α /, x 539. /, LS V( r) ( ) 39 ( ) 468 LI V( r) x ( ) ( α )/, x 5. / 3, 9 ( 39) Dado que el valor de la varaza: V(r) está etre los límtes de aceptacó, podemos decr que o se puede rechazar que el cojuto de 4 úmeros r tee ua varaza de /

5 Capítulo Números pseudoaleatoros.4.3 Pruebas de uformdad Ua de las propedades más mportates que debe cumplr u cojuto de úmeros r es la uformdad. Para comprobar su acatameto se ha desarrollado pruebas estadístcas tales como las pruebas Ch-cuadrada y de Kolmogorov-Smrov. E cualquera de ambos casos, para probar la uformdad de los úmeros de u cojuto r es ecesaro formular las sguetes hpótess: H : r U(,) H : r o so uformes Veamos a cotuacó cómo fucoa cada ua de estas pruebas Prueba Ch-cuadrada La prueba Ch-cuadrada busca determar s los úmeros del cojuto r se dstrbuye de maera uforme e el tervalo (,). Para llevar a cabo esta prueba es ecesaro dvdr el tervalo (,) e m sub-tervalos, e dode es recomedable m. Luego se clasfca cada úmero pseudoaleatoro del cojuto r e los m tervalos. A la catdad de úmeros r que se clasfca e cada tervalo se le deoma frecueca observada (O ), y a la catdad de úmeros r que se espera ecotrar e cada tervalo se le llama frecueca esperada (E ); teórcamete, la E es gual /m. A partr de los valores de O y E se determa el estadístco x medate la ecuacó m ( E O ) x E S el valor del estadístco x es meor al valor de tablas de x a,m, etoces o se puede rechazar que el cojuto de úmeros r sgue ua dstrbucó uforme. E caso cotraro, se rechaza que r sgue ua dstrbucó uforme. Ejemplo.3 Realzar la prueba Ch-cuadrada a los sguetes úmeros de u cojuto r, co u vel de cofaza de 95 %

6 .4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros Ates de proceder, es recomedable crear ua tabla smlar a la tabla., e dode se resume los pasos que debe llevarse a cabo e la prueba Ch-cuadrada. Tabla. Cálculos para la prueba Ch-cuadrada. Itervalo O E m ( E O) E [.-.) 7.9 [.-.) 9. [.-.3) 8.4 [.3-.4) 9. [.4-.5) 4.6 [.5-.6) 7.9 [.6-.7). [.7-.8) 4.6 [.8-.9) 9. [.9-.).4 El estadístco ( E ) O x 6. es meor al estadístco correspodete de la E 6. 9., Ch-cuadrada x. E cosecueca, o se puede rechazar que los úmeros r 59 sgue ua dstrbucó uforme Prueba Kolmogorov-Smrov Propuesta por Kolmogorov y Smrov, ésta es ua prueba estadístca que també os srve para determar s u cojuto r cumple la propedad de uformdad. Es recomedable aplcarla e cojutos r pequeños, por ejemplo, <. El procedmeto es el sguete:. Ordear de meor a mayor los úmeros del cojuto r r r r 3... r. Determar los valores de: D +, D y D co las sguetes ecuacoes: D D + máx r máx r D D D máx ( +, ) 39

7 Capítulo Números pseudoaleatoros 3. Determar el valor crítco D a, de acuerdo co la tabla de valores crítcos de Kolmogorov-Smrov para u grado de cofaza a, y segú el tamaño de la muestra. 4. S el valor D es mayor que el valor crítco D a,, se cocluye que los úmeros del cojuto r o sgue ua dstrbucó uforme; de lo cotraro se dce que o se ha detectado dfereca sgfcatva etre la dstrbucó de los úmeros del cojuto r y la dstrbucó uforme. Ejemplo.4 Realzar la prueba Kolgomorov-Smrov, co u vel de cofaza de 9%, al sguete cojuto r de úmeros: r {.97,.,.65,.6,.98,.3,.3,.89,.,.69} El vel de cofaza de 9% mplca a %. S se ordea los úmeros r de meor a mayor, la secueca es: Para determar los valores de D +, D y D es recomedable realzar ua tabla como la sguete. Tabla. Cálculos de la prueba Kolmogorov-Smrov r r r D +.4 D -.9 D.4 4

8 .4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros De acuerdo co la tabla de valores para la prueba Kolmogorov-Smrov, el valor crítco D., correspodete a es D.,.368, que resulta mayor al valor D.4; por lo tato, se cocluye que los úmeros del cojuto r se dstrbuye uformemete..4.4 Pruebas de depedeca Recuerde que las dos propedades más mportates que debe satsfacer los úmeros de u cojuto r so uformdad e depedeca. E la seccó ateror cometamos las pruebas que busca determar s los úmeros del cojuto r so uformes. A cotuacó hablaremos de las pruebas estadístcas que trata de corroborar s los úmeros e el tervalo (,) so depedetes o, e otras palabras, s parece pseudoaleatoros. Para probar la depedeca de los úmeros de u cojuto r prmero es precso formular las sguetes hpótess: H : los úmeros del cojuto r so depedetes H : los úmeros del cojuto r o so depedetes.4.4. Prueba de corrdas arrba y abajo El procedmeto de esta prueba cosste e determar ua secueca de úmeros (S) que sólo cotee uos y ceros, de acuerdo co ua comparacó etre r y r. Después se determa el úmero de corrdas observadas, C O (ua corrda se detfca como la catdad de uos o ceros cosecutvos). Luego se calcula el valor esperado, la varaza del úmero de corrdas y el estadístco Z, medate las ecuacoes: m s CO CO Z C O m s CO CO S el estadístco Z es mayor que el valor crítco de Z a/, se cocluye que los úmeros del cojuto r o so depedetes. De lo cotraro o se puede rechazar que el cojuto de r sea depedete. Cosdere el sguete cojuto r de úmeros: r {.89,.6,.,.98,.3,.,.69,.,.5,.65,.,.4,.3,.,.7,.97,.7,.,.95,.,.6} La secueca de uos y ceros se costruye de esta maera: se coloca u cero s el úmero r es meor que o gual al úmero r ateror; e caso de ser mayor que el úmero r 4

9 Capítulo Números pseudoaleatoros ateror, se poe u uo. S se cosdera la secueca de los úmeros del cojuto r que se do ates, la secueca de uos y ceros es: S {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,} Observe que la secueca S cotee úmeros, e este caso. Esto se debe a que el prmer úmero r.89 o tee úmero ateror co el cual compararlo. Recuerde que ua corrda se forma co uos cosecutvos o ceros cosecutvos. Por ejemplo los prmeros dos ceros de la secueca forma la prmer corrda, que se dce que tee ua logtud de dos; el tercer úmero de la secueca, uo, forma la seguda corrda co logtud de uo; después sgue dos ceros, los cuales forma la tercera corrda co logtud de dos; después sgue u uo, que forma la cuarta corrda co logtud de uo, etcétera. Medate el proceso ateror se determa r que el úmero de corrdas de la secueca es C O 4. Ejemplo.5 Realzar la prueba de corrdas arrba y abajo co u vel de aceptacó de 95% al sguete cojuto de 4 úmeros r : Realzaremos la asgacó de uos y ceros por regló (o fla). Por lo tato, la secueca S es: S {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,} obteédose u valor de C O 4 y a 5%. A cotuacó se preseta los cálculos correspodetes al valor esperado y a la varaza del úmero de corrdas: 4 4 ( C O ) m ( 4) 9 sc O 9 9 CO m Z s CO CO Como el estadístco Z es meor que el valor de tabla de la ormal estádar para Z a/ Z 5%/.96, se cocluye que o se puede rechazar que los úmeros del cojuto r so depedetes. Es decr, de acuerdo co esta prueba, los úmeros so aptos para usarse e smulacó.

10 .4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros.4.4. Prueba de corrdas arrba y abajo de la meda El procedmeto de esta prueba cosste e determar ua secueca de uos y ceros, de acuerdo co ua comparacó etre los úmeros del cojuto r y.5. Después se determa el úmero de corrdas observadas, C O, y los valores de y. C O es el úmero de corrdas e la secueca, el cual está determado de la msma maera que e la prueba de corrdas arrba y abajo; es gual a la catdad de ceros e la secueca, y es gual a la catdad de uos e la secueca, y se cumple que +. (Recuerde que ua corrda se detfca como la catdad de uos o ceros cosecutvos). Luego se calcula el valor esperado, la varaza del úmero de corrdas, y el estadístco Z co las sguetes ecuacoes: O mc + O ( ) sc O ( ) C m Z O CO sc O S el estadístco Z está fuera del tervalo: Z Z Z o, se cocluye que los úmeros a a del cojuto r o so depedetes. De lo cotraro o se puede rechazar que el cojuto de r es depedete. Cosdere la sguete secueca de úmeros de u cojuto r : r {.67,.6,.5,.49,.59,.4,.5,.,.74,.67} La secueca de uos y ceros se costruye de la sguete maera: se asga u uo s el úmero r es mayor que o gual a.5. E caso cotraro se asgará u cero. Al segur esta regla, la secueca de uos y ceros es: S {,,,,,,,,,} El úmero de corrdas se determa de la msma maera que e la prueba de corrdas arrba y abajo. E este caso se tee que el úmero de corrdas de la secueca S es C O 5. Por otra parte, la secueca tee 5 ceros y 5 uos, así que 5 y 5. Ejemplo.6 Realzar la prueba de corrdas arrba y abajo, co u vel de aceptacó de 95%, al sguete cojuto de 5 úmeros r :

11 Capítulo Números pseudoaleatoros Costruremos la secueca de uos y ceros por regló quedado de la sguete maera: S {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,} A partr de la secueca ateror se determa que hay corrdas, 3 ceros y 7 uos. Por lo tato, C O, 3 y 7. A cotuacó se preseta los cálculos del valor esperado y de la varaza del úmero de corrdas: m s CO + ( )( ) ( ) ( ) CO ( )( )[ ( )( ) ] ( ) ( ) Z C m O C s CO O Como el valor de Z cae detro del tervalo.96 Z , se dce que o se puede rechazar que los úmeros del cojuto r so depedetes co u vel de cofaza de 95 %. De acuerdo co esta prueba, el cojuto de úmeros r se puede usar e u estudo de smulacó Prueba póker Esta prueba cosste e vsualzar el úmero r co cco decmales (como s fuera ua mao del juego de póker, co 5 cartas), y clasfcarlo como: todos dferetes (TD), exactamete u par (P), dos pares (P), ua terca (T), ua terca y u par (TP), póker (P) y qutlla (Q). Por ejemplo, s r.6965 se le clasfca como par, porque hay dos úmeros 6. Ahora be, cosderemos el caso de r.33, el cual debe clasfcarse como dos pares (dos úmeros y dos úmeros 3). Falmete, r debe clasfcarse como ua terca y u par, porque hay tres úmeros 8 y dos úmeros 9. La prueba póker se puede realzar a úmeros r co tres, cuatro y cco decmales. Para r co tres decmales sólo hay tres categorías de clasfcacó: todos dferetes (TD), u par (P) y ua terca (T). Cuado se cosdera r co cuatro decmales se cueta co cco opcoes para clasfcar los úmeros: todos dferetes (TD), exactamete u par (P), dos pares (P), ua terca (T) y póker (P). Las tablas.3 a.5 preseta la probabldad esperada para cada ua de las categorías de clasfcacó de esta prueba para cojutos r que cotee úmeros co 3, 4 y 5 decmales. 44

12 .4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros Tabla.3 Prueba póker para úmeros co 3 decmales. Categoría Probabldad E Todos dferetes (TD).7.7 Exactamete u par (P).7.7 Terca (T).. Tabla.4 Prueba póker para úmeros co 4 decmales. Categoría Probabldad E Todos dferetes (TD) Exactamete par (P) pares (P).7.7 Terca (T) Póker (P).. Tabla.5 Prueba póker para úmeros co 5 decmales. Categoría Probabldad E Todos dferetes (TD) Exactamete par (P) pares (P).8.8 terca y par (TP).9.9 Terca (T).7.7 Póker (P) Qutlla (Q).. La prueba póker requere el estadístco de la dstrbucó Ch-cuadrada x a,6 para úmeros co 5 decmales, x a,4 para úmeros co 4 decmales, y x a, para úmeros co 3 decmales. x a,6 tee 6 grados de lbertad, debdo a que los úmeros se clasfca e 7 categorías o clases: todos dferetes, exactamete u par, dos pares, ua terca y u par, ua terca, póker y qutlla. El procedmeto de la prueba cosste e: a) Determar la categoría de cada úmero del cojuto r. b) Cotablzar los úmeros r de la msma categoría o clase para obteer la frecueca observada (O ). 45

13 Capítulo Números pseudoaleatoros c) Calcular el estadístco de la prueba x co la ecuacó m x ( ) E E O, dode E es la frecueca esperada de úmeros r e cada categoría, y m represeta la catdad de categorías o clases e las que se clasfcaro los úmeros r, sedo m 7, m 5, y m 3 los úmeros de categorías para la prueba póker co 5, 4 y 3 decmales, respectvamete. Por últmo: d) comparar el estadístco de x co x a,m. S x es meor que x a,m, se dce que o se puede rechazar la depedeca de los úmeros del cojuto r. E caso cotraro la depedeca de los úmeros del cojuto r se rechaza. Ejemplo.7 Realce la prueba póker, co u vel de aceptacó de 95%, a los sguetes 3 úmeros etre cero y uo, co 5 decmales Prmero hay que clasfcar cada úmero del cojuto r, asgádole las claves que se mecoaro ates. El resultado es el que se muestra e la tabla.6: Tabla.6 Clasfcacó de los úmeros de u cojuto r, de acuerdo co la prueba póker..64 P.7484 P.947 TD T.44 TP P.879 TD T.859 TD.66 TP.3 P P.5953 P.55 P.3444 T.7688 P.5357 P.3555 T.47 TD P.83 TD P P P.783 TD.68 P.8578 P.8593 TD.5483 TD.999 TP Para segur co la prueba se recomeda hacer ua tabla como la sguete: 46

14 .4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros Tabla.7 Cálculos de la prueba póker. ( E O) Categorías O E E Todos dferetes (TD) 8 (.34)(3) Exactamete par (P) (.54)(3) pares (P) 3 (.8)(3) terca y Par (TP) 3 (.9)(3) Terca (T) 4 (.7)(3) Póker (P) (.45)(3) Qutlla (Q) (.)(3) El estadístco ( E ) O x es mayor que el estadístco correspodete E de la Ch-cuadrada: x.59. E cosecueca, se rechaza que los úmeros del cojuto r.5, 6 so depedetes Prueba de seres Esta prueba cosste e comparar los úmeros co el propósto de corroborar la depedeca etre úmeros cosecutvos. Las hpótess báscas so: H o : r Idepedetes H : r Depedetes La prueba fucoa de esta maera: se ca al crear ua gráfca de dspersó etre los úmeros cosecutvos (r, r + ); luego se dvde la gráfca e m casllas, como se muestra e la fgura.3, co m como el valor etero más cercao a que permta formar de prefereca, auque o ecesaramete, ua matrz cuadrada Fgura.3. Gráfca de dspersó: prmer paso de la prueba de seres. 47

15 Capítulo Números pseudoaleatoros Eseguda se determa la frecueca observada O, al cotablzar el úmero de putos e cada caslla y su correspodete frecueca esperada E, de acuerdo co E ( )/m, dode es el úmero total de pares ordeados o putos e la gráfca. Se procede m etoces a calcular el error o estadístco de prueba ( E O ) x ; falmete, s el E valor del error es meor que o gual al estadístco de tablas x a,m, o podemos rechazar la hpótess de depedeca etre úmeros cosecutvos. Ejemplo.8 Realce la prueba de seres a los sguetes 3 úmeros, co u vel de cofaza de 95 % Para empezar, geeramos la gráfca de dspersó (vea la fgura.4) co la secueca de los 9 pares ordeados (x, y) (r, r + ) sguetes: (r, r ) (.87,.9) (r, r 3 ) (.9,.57) (r 3, r 4 ) (.57,.68) (r 4, r 5 ) (.68,.9) (r 5, r 6 ) (.9,.93) (r 6, r 7 ) (.93,.95) (r 8, r 9 ) (.3,.868) (r 9, r 3 ) (.868,.879).999 y r( + ) Fgura.4 Gráfca de dspersó del ejemplo.8. 48

16 .4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros E la tabla.8 se preseta el resto del procedmeto: se cotablza el úmero de putos e cada caslla O, y se calcula la frecueca esperada E de acuerdo co E 9/9; e la últma columa se preseta el cálculo del estadístco de prueba x E m 9 ( E O) ( 3. ) O 3. Tabla.8 Cálculos de la prueba de seres. 9 E Itervalo O m 9 X m ( E O) E Total El valor de tablas x58., es mayor que el error total de 7.935, por lo cual o podemos rechazar la hpótess de depedeca Prueba de huecos Esta prueba cosste e comparar los úmeros co el propósto de verfcar el tamaño del hueco que exste etre ocurrecas sucesvas de u úmero. Las hpótess fudametales so: H : r Idepedetes H : r Depedetes La prueba se ca al defr u tervalo de prueba (a, b), dode (a, b) (, ), posterormete se costruye ua secueca de uos y ceros de esta maera: se asga u uo s el r perteece al tervalo (a, b), y u s o perteece a dcho tervalo. Por ejemplo, s se defe u tervalo (a, b) (.6,.7) y se tee la muestra de úmeros r {.67,.6,.5,.49,.59,.4,.64,.6,.74,.67}, 49

17 Capítulo Números pseudoaleatoros se asgará u uo s el r está etre.6 y.7; e caso cotraro se asgará u cero. S se sgue la regla ateror, la secueca bara es: S {,,,,,,,,, } El tamaño de hueco se defe como el úmero de ceros exstetes etre uos cosecutvos. E el caso de la secueca de uestro ejemplo teemos h 3 huecos, el prmero de tamaño, el segudo de tamaño 4, y el tercero de tamaño de acuerdo co: S,,,,,,,,, 4 A partr del cojuto ateror se determa la frecueca observada O, al cotablzar el úmero de ocurrecas de cada tamaño de hueco y su correspodete frecueca esperada E, de acuerdo co E (h)(b a)( (b a)), dode h es el úmero total de huecos e la muestra. La frecueca del últmo tervalo se puede calcular medate la dfereca etre el total y la suma de las frecuecas esperadas de los tervalos aterores. E la tabla.9 se muestra u resume de estos cálculos. Tabla.9 Frecuecas observadas y esperadas e la prueba de huecos. Tamaño del hueco E (h)(b A)( (B A)) O E (3)(.7.6)( (.7.6) E (3)(.)(.9).3 (3)(.)(.9).7 (3)(.)(.9).43 3 (3)(.)(.9) (3)(.)(.9) (3)(.)(.9) Total h 3 h 3 h 3 m Se procede etoces a calcular el error o estadístco de prueba x ( E O ) ; por E últmo, s este valor es meor que o gual al estadístco de tablas a,m, o podemos rechazar la hpótess de la depedeca etre los úmeros. x 5

18 .4 Pruebas estadístcas para los úmeros pseudoaleatoros Ejemplo.9 Realzar la prueba de huecos a los sguetes 3 úmeros, co u vel de cofaza de 95% para el tervalo (a b) (.8,.) Tomado los úmeros por regló (o fla) y teedo e cueta el tervalo (.8,.), la secueca de uos y ceros es: { } S,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, S calculamos los huecos de la muestra, teemos: S,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 El úmero de ocurrecas de cada tamaño de hueco O, su correspodete frecueca esperada E y el cálculo del estadístco de prueba se muestra e la tabla.. 3 Tabla. Ejemplo de la prueba de huecos. Tamaño del hueco E (h)(b A)( (B A)) ( E O) O E (7)(.)(.8) E (.8) Total h 7 h Ya que el estadístco de prueba ( E ) O x es meor que el estadístco E de tablas x a, m x55.,. 7, o podemos rechazar la hpótess de depedeca etre los úmeros. 5

19 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad

20 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Probabldades acumuladas para la dstrbucó Normal Estádar a Z a Z a Z a Fuete: Valores calculados co Excel. 33

21 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Probabldades acumuladas para la dstrbucó Normal Estádar a Z a Z α Z α S S S o SO S Fuete: Valores calculados co Excel. 333

22 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Valores crítcos para la dstrbucó t-studet? a t? t a? y grados de lbertad t. t.5 t.5 t. t.5 t Fuete: Valores calculados co Excel. t a 334

23 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Valores crítcos para la dstrbucó X a x a x a y grados de lbertad x. x.5 x.5 x. x.5 x Para y > usar χ 5 Z + y, a. a y Fuete: Valores calculados co Excel. 335

24 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Valores crítcos para la dstrbucó X (cotuacó) a x a x a y grados de lbertad x.9 x.95 x.975 x.99 x.995 x Para y > usar χ 5 Z + Fuete: Valores calculados co Excel. y, a. a y 336

25 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Valores crítcos de la dstrbucó F co A.5 Grados de lbertad para el umerador Grados de lbertad para el deomador x Fuete: Valores calculados co Excel. Valores crítcos de la dstrbucó F co A. Grados de lbertad para el umerador Grados de lbertad para el deomador x Fuete: Valores calculados co Excel. 337

26 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Valores crítcos de la prueba de Kolmogorov-Smrov y grados de lbertad D a. D a.5 D a Para valores mayores a Fuete: Massey, F. J. (95). The Kolmogorov-Smrov Test for Goodess of Ft, The Joural of the Amerca Statstcal Assocato (úmero 46), pp

27 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Estadístcos de prueba y valores crítcos para la prueba de Aderso-Darlg. Valores crítcos a Dstrbucó Estadístco de prueba ajustado Parámetros coocdos 5 A Normal A Expoecal Webull Log-logístca A A A Fuete: Law, A.M. y Kelto, W.D. (), Smulato Modelg ad Aalyss, (3th. ed). pp. 368, McGraw Hll. 339

28 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Valores de la fucó Gamma x Γ(x) x Γ(x) x Γ(x) x Γ(x) Valores calculados a partr de la ecuacó de aproxmacó de Laczos Para valores de x o tabulados, usar la relacó Γ(x + ) x Γ(x) Para valores aturales de x, usar Γ(x) (x )! Fuete: A Precso Aproxmato of the Gamma Fucto; J SIAM Numer. Aal. Ser. B., Vol.; pp 68-96; (964). 34

29 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Probabldades acumuladas de la dstrbucó Posso Meda x Meda x Meda x Fuete: Valores calculados co Excel. 34

30 Aexo 4 Dstrbucoes de probabldad Probabldades acumuladas de la dstrbucó Posso (cotuacó) Meda x Fuete: Valores calculados co Excel. 34