1. Lección 9 - Extensiones de la Integral

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1 Apuntes: Mtemátics Empresriles I. Lección 9 - Extensiones de l Integrl.. Integrles impropis En l deinición de integrl deinid que hemos propuesto en l lección nterior, nos reerímos unciones cotds en intervlos cerrdos. Si uno o los dos supuestos no se dn, se producen ls integrles impropis, que son un generlizción del concepto de integrl visto en l lección nterior. Ls integrles impropis de primer especie generlizn el concepto de integrl respecto l intervlo de integrción que dej de ser un intervlo cerrdo. Ls integrles impropis de segund especie generlizn el concepto de integrl respecto l unción integrr, que dej de ser un unción cotd.... Integrles impropis de primer especie Deinición Se : [, + ) R un unción integrble en culquier intervlo cerrdo [, u] con u. Denominmos integrl generlizd o impropi de en el intervlo [, + ) l ite, si existe: y se present por Si existe el ite, diremos que l integrl impropi es convergente y que l es el vlor de l mism, con = l. Si no existe, se dice que l integrl impropi es divergente. Análogmente se deine l integrl impropi del tipo

2 . Integrles impropis Criterios de convergenci El criterio más sencillo ocurre cundo l unción posee primitiv, por ejemplo F. En ese cso l integrl se reduce = (F (u) F ()) y por lo tnto, l convergenci de se drá cundo se inito el ite: Cundo no exist, será divergente. Ejemplo F (u) Se l unción (x) = e x. Si queremos clculr l e x dx, en primer lugr clculmos un primitiv. Es clro que F (x) = e x es un primitiv de l unción (x) = e x (sólo hy que clculr l derivd) y por lo tnto: y que e x = ] u ( ex = e u + e ) = vlor es. e u = e = u = Se puede segurr que l integrl impropi e x dx es convergente y su..2. Integrles impropis de segund especie Deinición Se : [, b) R un unción integrble en culquier intervlo cerrdo [, u] con u [, b). Denominmos integrl generlizd o impropi de en el intervlo 2

3 Apuntes: Mtemátics Empresriles I [, b) l ite, si existe: u b b Si existe el ite, diremos que l integrl impropi es convergente y que l es el vlor de l mism, con b = l. Si no existe, se dice que l integrl impropi es divergente. Análogmente se deine l integrl impropi del tipo b + Criterios de convergenci El criterio más sencillo ocurre cundo l unción posee primitiv, por ejemplo F. En ese cso l integrl se reduce b = (F (u) F ()) u b y por lo tnto, l convergenci de b se drá cundo se inito el ite: Cundo no exist, será divergente. Ejemplo F (u) u b Se l unción (x) = 2 x. Estudie si l integrl int4 (x) es convergente y clcule el vlor en su cso. Como l unción no est cotd en x = 2 entonces debemos ver si son convergentes ls integrles impropis 2 En primer lugr clculmos: y 4. 2 x x 3

4 .2 Integrles Eurelins ] u dx = Ln(2 x) = Ln(2 u) + Ln2 2 x Pr ver si es convergente debemos clculr el ite cundo u tiend 2 u 2 2 x dx = ( Ln(2 u) + Ln2) = Ln()+Ln2 = ( )+Ln2 = u b Por lo tnto l integrl impropi es divergente..2. Integrles Eurelins En este prtdo estudiremos dos integrles prámetrics e impropis, ls unciones eurelins. Dichs unciones son importntes y que de ells se derivn dos unciones de probbilidd que serán estudids en cursos de estdístic. Ls dos unciones (o integrles) que estudiremos son l unción gmm (Γ) y l unción bet (β)..2.. l unción Gmm Ddo un número p >, llmremos Γ(p) (y se dirá gmm de p) l vlor de l siguiente integrl: Γ(p) = e x x p dx Siendo un unción, y que devuelve un vlor pr cd punto del dominio (vlores de p) y el vlor que devuelve es el resultdo de l integrl. El dominio de l unción v de, por lo tnto Γ(p) : (, ) R L integrl gmm es impropi y por lo tnto, pr que esté bien deinid l unción gmm, dich integrl debe ser convergente. 4

5 Apuntes: Mtemátics Empresriles I Proposición Pr todo p > l integrl e x x p dx es convergente. Propieddes de l unción Gmm. (ley de recurrenci de l gmm) Pr todo p > se cumple Γ(p) = (p )Γ(p ) 2. Pr p = se cumple Γ() = 3. Pr cd n entero no negtivo se cumple Γ(n) = (n )! 4. Pr p = 2 se cumple Γ( 2 ) = π.2.2. l unción Bet Ddo un número p > y otro q >, llmremos β(p, q) (y se dirá bet de p,q) l vlor de l siguiente integrl: β(p, q) = Proposición x p ( x) q dx Pr todo p > y q > l integrl β(p, q) está perectmente deinid. Propieddes de l unción Bet. Es simétric respecto l bisectriz, es decir, β(p, q) = β(q, p) p, q > 2. β(p, ) = p > y β(, q) = q >. p q.2.3. Relción entre ls unciones Gmm y Bet Ls unciones de Euler están relcionds de l siguiente orm: 5

6 .2 Integrles Eurelins β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) Ejemplos Clculr los vlores de Γ(3), β( 2, ) y de β(2, 4). En primer lugr, pr clculr Γ(3) utilizmos l tercer propiedd de l unción Gmm que dice Γ(p) = (p )! y por lo tnto Γ(3) = (3 )! = 2! = 2 = 2. En segundo lugr, pr clculr β( 2, ) utilizmos l segund propiedd de l unción bet que dice β(p, ) = p y por lo tnto β( 2, ) = 2. Por último, pr clculr β(2, 4) utilizmos l relción que hy entre l unción bet y l Gmm según l expresión β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) y por lo tnto β(2, 4) = Γ(2)Γ(4) Γ(2 + 4) y hor, utilizndo ls propieddes de l unción Gmm se obtiene que β(2, 4) =! 3! 5! = = 5 4 = 2 6

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