DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA APELLIDOS:

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1 DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matemático I EXAMEN FINAL APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. CUESTIONARIO DE RESPUESTA MÚLTIPLE (5%) (Cada respuesta incorrecta resta, puntos) La función f ( ) sin() cumple: a) Tiene una asíntota oblicua. b) Corta infinitas veces al eje OX. c) Nunca es decreciente. a 6, si < La función f ( ), si donde a R, es continua en cuando: a) a. b) a o a. c) Es discontinua siempre, para cualquier valor de a. La recta y es una asíntota oblicua de la función f ( ) si: k a) k >. b) k. a 8 El valor de d : a) Si a. b) Si a c) Para ambos valores de a; esto es, si a ± p cos e El valor de lim : a) Si p. b) Si p c) Para cualquier valor de p. p p La función f ( ) cumple: a) Corta veces al eje OX si p <. b) Tiene un máimo y un mínimo para cualquier valor de p. Dada la función f ( ) y las rectas r : y y r : y 7, entonces: a) La primera de ellas, r : y, es tangente a la curva y f () en algún punto. b) La segunda de ellas, r : y 7, es tangente a la curva y f () en el punto (, 5). La función f ( ) p : a) Corta al eje OX una, dos o tres veces, dependiendo del valor de p. b) Solamente corta una vez al eje OX, sea cual sea el valor de p. El valor de que verifica el teorema del valor medio para f ( ), en el intervalo (, 8), es: a) 6 b) La integral impropia d : a) Converge a b) Converge a c) Es divergente

2 PROBLEMAS:. Se considera la función f ( ). a) Estudia el dominio de definición y calcula sus asíntotas. (,6 puntos) b) Determina los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad. (,6 puntos) c) Halla los máimos, mínimos y puntos de infleión. (, puntos) d) Esboza la gráfica de la función. (, puntos). ( punto) Para la función f ( ) ln( ), halla el polinomio de Taylor de grado en el punto. Demuestra que si se calcula f (, ) mediante ese polinomio, el error de estimación será menor que,.. Calcula las siguientes integrales: d a) (,7 puntos) b) e d (,7 puntos) 5 c) d (, puntos) d) d sin cos (, puntos)

3 EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I (enero ). La función f ( ) sin() cumple: a) Tiene una asíntota oblicua. b) Corta infinitas veces al eje OX. c) Nunca es decreciente. SOLUCIONES Para determinar si tiene asíntota oblicua (la recta y m n ), se calcula: f ( ) sin sin m lím lím lím y n lím ( f ( ) m) lím ( sin ) lím sin, que no eiste. Luego, no tiene asíntota oblicua. Derivando se tiene: f ( ) sin() f ( ) cos(), para todo. En consecuencia, la función nunca es decreciente. En particular, puede estudiarse lo que sucede en el intervalo [, π], ya que cos() es periódica de período π. π cos( ) cos( ) π π Si < <, f () > f () es creciente. π Si < < π, f () > f () es creciente. Por tanto, la función no tiene máimos ni mínimos. Siempre es creciente. a 6, si <. La función f ( ), donde a R, es continua en si cuando: a) a. b) a o a. c) Es discontinua siempre, para cualquier valor de a. La función está definida a trozos mediante otras dos funciones. La primera es continua en todos los puntos de su dominio, que es <, aunque cuando presenta serias dificultades. La segunda es continua siempre. Para asegurar la continuidad en el punto hay que eigir que los límites laterales eistan y que sean iguales. Esto es: lím f ( ) lím f ( )

4 Como ( ) 8 lím f ( ) lím lím f ( ) lím, debe cumplirse que a 6 8 En consecuencia, el límite anterior debe ser, inicialmente, indeterminado en. Esto es: a 6 a 6 9a lím La única indeterminación posible es la del tipo ; y, para ello, 9a a. Falta por ver que en este caso el límite vale 8. En efecto, para a : 6 ( )( ) lím f ( ) lím lím lím ( ( ) ) 8 Nota: También se puede hacer aplicando L Hôpital: a 6 a lím (L H) lím a Como el límite debe valer 8, se deduce que: a 8 a. La recta y es una asíntota oblicua de la función a) k >. b) k. f ( ) k si: La recta y m n es asíntota oblicua de la curva f () cuando se cumple que: f ( ) lím m, m y n lím f ( ) m, n ( ) En este caso: m y n. Por tanto debe cumplirse que: f ( ) lím lím ( k) Basta ver que lím lím ( k ) k Este límite vale para cualquier valor de k.

5 Para que este límite k k valga, el valor de k debe ser. En efecto, por L Hôpital, k k lím lím k. k Por tanto, la respuesta es b). k lím ( f ( ) m) lím lím a 8. El valor de d : a) Si a. b) Si a c) Para ambos valores de a; esto es, si a ± Una primitiva del integrando es inmediata. Basta con escribir: 8 d 8 d 8 Por tanto; a a 8 d a. a a Otra solución puede ser a, aunque hay que descartarla, ya que la función 8 f ( ) no es continua en el intervalo [, ]. (Resultaría una integral impropia.) p cos e 5. El valor de lim : a) Si p. b) Si p c) Para cualquier valor de p. p p cos e lim p cos e lim p p. Se aplica la regla de L Hôpital. p sin pe lim p cos p e lim p p ±. Luego, vale la respuesta b). p 6. La función f ( ) cumple: a) Corta veces al eje OX si p <. b) Tiene un máimo y un mínimo para cualquier valor de p.

6 Si p <, la función es negativa cuando >, y positiva cuando <. Por tanto, sólo corta una vez al eje: cuando. p( ) p p p Derivando: f ( ) ( ) ( ) p( ) ( ) Los puntos singulares se dan en las soluciones de f ( ), que son y, independientemente del valor de p. Si p >, en hay un mínimo, pues f ( ) < y f ( ) >. De manera análoga, por f ( ) > y f ( ) <, en hay un máimo. Si p <, en hay un máimo y en un mínimo. (El razonamiento es el mismo.) También puede hacerse la derivada segunda: p( ) ( p p )( ) p( ) f ( ) ( ) ( ) p p Como f ( ) y f ( ), si p >, se tiene mínimo y máimo, respectivamente. Y si p <, sucede al revés. 7. Dada la función f ( ) y las rectas r : y y r : y 7, entonces: a) La primera de ellas, r : y, es tangente a la curva y f () en algún punto. b) La segunda de ellas, r : y 7, es tangente a la curva y f () en el punto (, 5). a) La pendiente de la recta tangente a una curva, y f (), en el punto (a, f(a)) viene dada por el valor de f (a). Por tanto, su ecuación será: y f ( a) f ( a)( a). En este caso, la pendiente de las rectas dadas vale y 7, respectivamente. Luego, esas rectas serán tangente a f ( ) si la derivada, f ( ) 6, toma alguno de esos valores. El valor no puede tomarlo: 6 no tiene solución. La tangente a la curva dada en el punto de abscisa es: y f ( ) f ()( ) Como f ( ) 5 y f ( ) 7, la ecuación queda: y 5 7( ) r : y 7 8. La función f ( ) p : a) Corta al eje OX una, dos o tres veces, dependiendo del valor de p. b) Solamente corta una vez al eje OX, sea cual sea el valor de p.

7 La función corta al menos una vez al eje OX. Para valores suficientemente grandes y negativos, f ( ) < ; y para valores grandes y positivos, f ( ) >. Por tanto, por el teorema de Bolzano, corta al menos una vez al eje OX. Como f ( ) > para todo, la función es creciente siempre. Luego, sólo corta una vez, independientemente del valor que tome p. 9. El valor de que verifica el teorema del valor medio para (, 8), es: a) 6 b) f ( ), en el intervalo El teorema dice: Si f () es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces eiste un punto c (a, b) tal que f ( b) f ( a) f ( c) b a La función es continua y derivable en el intervalo dado, luego se cumple que: f (8) f () 8 f ( c) 8. La integral impropia d : a) Converge a b) Converge a c) Es divergente d lim c c d lim c ( ) lim ( c ) c c

8 Problemas. Se considera la función f ( ). a) Estudia el dominio de definición y calcula sus asíntotas. (,6 puntos) b) Determina los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad. (,6 puntos) c) Halla los máimos, mínimos y puntos de infleión. (, puntos) d) Esboza la gráfica de la función. (, puntos) a) El dominio de la función es R {}. La recta es una asíntota vertical ya que lím Igualmente, la recta y es una asíntota horizontal pues lím Se ve fácilmente que lím y que lím ( ) b) Como f ( ), que vale en, se tendrá: Si <, f () < f () decrece. Si < <, f () > f () crece. Si >, f () < f () decrece. En consecuencia, en hay un máimo. ( ) 6 La derivada segunda es: f ( ), que se anula en. 6 Luego: para <, f () < f () es convea ( ). para < <, f () < f () es convea ( ). para >, f () > f () es cóncava ( ). En consecuencia, la función tiene un punto de infleión en. c) Se tiene un máimo en ; punto (, /). Se tiene un punto de infleión en ; punto (, /9). c) Conociendo la posición de la curva respecto a las asíntotas, su máimo y punto de infleión, y algunos otros puntos, por ejemplo: (, /); (, ); (, ), puede trazarse la siguiente curva.

9 . ( punto) Para la función f ( ) ln( ), halla el polinomio de Taylor de grado en el punto. Demuestra que si se calcula f (, ) mediante ese polinomio, el error de estimación será menor que,. Sol. f ( ) ln( ) 6 ( 96 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( 96 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 f ( ) ( ) Luego, ( ) ( ) 6 P ( ) ( ) (hasta aquí,,6 puntos)!! 8 (Desarrollando se obtiene: P ( ) ) 6 96 (!!! Por tanto: f ) ln( ) ( ) ( ) ( ) donde ( ) ( ) 96 Para (,) ln, ( ) es el resto (el error), con (, ). f, el resto es (, ) ( ) 96 96! (, ) <,, ( ), con (,,) ( ),

10 . Calcula las siguientes integrales: d a) (,7 puntos) b) e d (,7 puntos) 5 c) d (, puntos) d) d sin cos (, puntos) a) Hay que descomponer la función dada en fracciones simples. A B A( ) B( ) Luego: A ( ) B( ) ( A B) A B Identificando coeficientes: A B A ; B A B Con esto: d / / d d ln( ) ln( ) c b) La integral e d puede hacerse por partes. Tomando: Se tiene: u du d dv e d v e e d e e d La segunda integral, e d, también se hace por partes. Tomando: u du d dv e d v e Se tiene: e d e e d e e 9 Por tanto: e d e e d e e e c 9 e e e c c) d d ( ) c 5 ln 6 d) sin cos d sin d cos d cos sin c