POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

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1 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio ( ) : ( + 5) 4 Los polinomios 4 y + 5 son dos divisores de Al multiplicar por, obtenemos Por tanto, podemos decir que el polinomio es múltiplo de Procediendo análogamente, di otros dos múltiplos de 5 + 4, uno de tercer grado y otro de cuarto grado. De tercer grado: Por ejemplo ( 5 + 4) ( ) De cuarto grado: Por ejemplo ( 5 + 4) Página 67 Descomposición en factores. Comprueba, efectuando las divisiones, la validez de las siguientes descomposiciones: a) 5 ( + )( ) b) 5 + ( + ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

2 Por tanto: 5 ( + ) ( ) ( + )( ) Por tanto: 5 + ( + ) ( + ) Fracciones algebraicas 4. Simplifica las siguientes epresiones: a) a bc b) 5yz c) ab c 0 z d) 4 9 e) 6 f ) a) a bc ab c b) 5yz 0 z 4ac b yz 4 4 c) d) 4 9 ( + )( ) ( ) e) 6 ( ) ( )( + ) ( + ) f ) ( + 9) 8 ( + 9) ( 9) Página ( 9) + 9. Calcula: a) ( + + ) ( + ) b) ( 5 + ) ( ) c) ( + ) ( + ) d) ( ) ( + ) a) + + b) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

3 c) + d) Calcula: a) ( + + ) b) ( + 5) c) ( ) d) ( + ) e) ( + )( ) f) ( + )( ) a) + + b) c) ( ) + d) ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) e) ( + )( ) ( + )( ) f) ( + )( ) 4 9 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

4 . Un polinomio A() es de tercer grado y un polinomio B() es de segundo grado. Cuál es el grado del polinomio A() B()? A() B() es de quinto grado. 4. Completa estas multiplicaciones: a) b) a) 5 + b) Página 70. Efectúa la división: entre P() Q() Cociente: + 9 Resto: Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 4

5 . Calcula el cociente y el resto: ( ) : ( ) Completa: Página En una división de polinomios, el dividendo es de grado cinco y el divisor de grado dos. Cuál es el grado del cociente? Qué puedes decir del grado del resto El cociente es de grado tres. El resto es de grado inferior a dos a) Cuánto han de valer a y b para que la siguiente división sea eacta? ( a + b) : ( 5 + ) b) Cuánto han de valer a y b para que el resto de la división sea 7? Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 5

6 a) a + b a + b +0 (0 + a) + (b ) Para que la división sea eacta, debe cumplirse: 0 + a 0 b 0 a 0 b b) Para que el resto sea 7, debe cumplirse: 0 + a b 7 a 7 b 5 D r 6. Epresa el resultado de las siguientes divisiones en la forma c + : d d a) b) c) d) e) 4 f ) + g) h) + 4 a) b) c) d) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 6

7 e) f) g) h) Página Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios: a) ( + + 4) : ( + ) b) ( ) : ( + ) c) ( 5 8) : ( ) d) ( ) : ( + ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 7

8 a) 4 Cociente: Resto: 4 6 b) Cociente: Resto: 5 c) Cociente: Resto: 6 d) 0 0 Cociente: + Resto:. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini: a) ( ) : ( ) b) ( 5 ) : ( ) c) ( ) : ( + ) d) (,5 +,5,5 4,5) : ( ) a) 0 5 Cociente: Resto: b) Cociente: Resto: c) Cociente: Resto: d),5,5,5 4,5 Cociente:, ,5,5 4 0,5 Resto: 4,5 4 0,5 4 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 8

9 Página 74. Para el mismo polinomio P() + 5 7, calcula P(6), P( 4), P(5,8969) y describe el proceso seguido con la calculadora. P(6) 47 P( 4) P(5,8969) 8,75. Vuelve a calcular P(a) para a 6, a 4 y a 5,8969 empezando por introducir a en la memoria. Comprobarás que es mucho más cómodo. Introducimos el número a en la memoria: a (para a 6, después para a 4; y, po último, para a 5,8969) y procedemos así: Así, obtenemos: P(6) 47; P( 4) 5 685; P(5,8969) 8,75. Si Q() , calcula Q(), Q( ) y Q(,8). Describe el proceso seguido con la calculadora. Q() 465 Para calcular Q( ), introducimos en la memoria; y el resto igual que en el caso anterior. Así, obtenemos: Q( ) 85 Si introducimos,8 en la memoria; podemos calcular Q(,8) como en los casos anteriores: Q(,8) 86, Utiliza tu calculadora para averiguar los valores de con los que se anula cada uno de los siguientes polinomios: a) b) a) Llamamos P() Como P( 4) 0; 4 anula P(). Los otros dos valores no son eactos: 4,79; 0,. b) Llamamos Q() Solo hay dos valores de que anulen Q(): 4, Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 9

10 Página 75. Descompón en factores este polinomio: ( ) ( + ). Factoriza el siguiente polinomio: ( )( + )( 5)( + 5) Página 76. Observa y descompón en factores el polinomio : ( )( + )( )( 5) 4. Razona por qué, +, + 5, 5 son, en principio, posibles divisores del polinomio a) Razona por qué no puede serlo. b) Descompón en factores dicho polinomio. Los disvisores del término independiente (5) son:, 5, 5, 5, 5 Por tanto, los polinomios ( ), ( + ), ( 5), ( + 5) son posibles divisores del polinomio dado. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 0

11 a) no es divisor de 5. b) ( )( 5)( + 5) 5. Factoriza estos polinomios: a) + 60 b) c) d) e) f) a) ( 6)( + )( + 5) b) ( + )( + ) c) ( + )( )( )( + ) d) ( + )( )( 4) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

12 e) Utilizamos el resultado obtenido en el apartado anterior: ( ) ( + )( )( 4) f) El polinomio + 9 no tiene raíces reales. Por tanto, ( + 9) ( ) ( + ) 6. Calcula las raíces en cada caso: a) b) + c) d) 4 a) ± b) + 0 ( + ) 0 c) 0 ( ) d) 4 ( 4) ( + ) ( ) Las raíces de este polinomio son 0, y. 7. Cuánto debe valer k en cada caso para que la división sea eacta? a) ( k) : ( ) b) ( + k + ) : ( ) Para que la división sea eacta, el resto ha de ser igual a cero. a) 5 0 k k + Resto k + 0 k b) k k + k + k + Resto k + 0 k Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

13 Página 78. Razona si eiste alguna relación de divisibilidad entre los siguientes pares de polinomios: a) b) c) a) ( ) ( ) Por tanto, es múltiplo de (también podemos decir que es un divisor de 6 + 8). b) Dividimos entre + : La división no es eacta, luego no eiste ninguna relación de divisibilidad entre estos dos polinomios. c) Dividimos entre + : El polinomio es múltiplo de +. (También podemos decir que + es un divisor de ).. Busca un polinomio que sea divisible por, por y por +. Por ejemplo: ( )( )( + ) ( )( 9) Encuentra los divisores de estos polinomios: a) 8 b) c) + d) a) 8 ( 9) ( )( + ) Divisores: ; + ; 9 b) ( )( 5) Divisores: ; 5; Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

14 c) + ( + ) ( ) Divisores: ; ; ( ) ; + d) ( )( )( 4) Divisores: ; ; 4; ( )( ) 5 + 6; ( )( 4) 6 + 8; ( + )( 4) 7 + ; Cuáles de estos polinomios son irreducibles? a) b) 9 c) 5 d) + e) + 5 f ) g) h) 4 + a) ( )( + ) No es irreducible. b) 9 ( )( + ) No es irreducible. c) ± 5 5 ( 5)( + 5) No es irreducible. d) + 0 ± No tiene solución. Sí es irreducible. e) ± 5 No tiene solución. Sí es irreducible. f) ( + ) No es irreducible. g) ( ) No es irreducible. h) 4 + ( )( ) No es irreducible. 5. Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de cada pareja de polinomios: a) 4 b) c) a) 4 ( )( + ) ( ) M.C.D. m.c.m. ( ) ( + ) b) ( 7 + ) ( )( 4) ( 4) ( + )( 4) M.C.D. ( 4) m.c.m. ( + )( )( 4) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 4

15 c) + ( ) ) ( ) 4 M.C.D. ( ) m.c.m. ( ) 4 Página 80. Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas siguientes y súmalas: ( + ) + + m.c.m. ( + ) Reducimos a común denominador: + 7 ( + 7)( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) Los sumamos: ( + ) ( + ) ( + ) Efectúa: ( )( + ) + ( ) ( + ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) + ( ) ( + ) + ( )( + ) + Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 5

16 Página 8. Efectúa estas operaciones: a) + + b) + : a) + + ( + )( + ) + 5 ( )( + 5) b) + + : ( + )( + 5) ( )( + ) + 4. Calcula: : ( + ) Página ( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + )( + ) ( ) ( ) : ( ) : EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Opera y simplifica: a) ( )( + ) ( + )( ) b) ( ) + + ( ) c) ( + ) ( + ) a) ( )( + ) ( + )( ) + ( + 6 ) b) ( ) + ( ) c) ( + ) ( + ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 6

17 Calcula el cociente y el resto en cada una de las siguientes divisiones: a) ( ) : ( + ) b) ( ) : ( ) c) ( 4 ) : ( 4) a) Cociente Resto b) Cociente Resto c) Cociente Resto Halla el cociente y el resto en cada caso: a) ( ) : ( ) b) ( 4 + 0) :( +) c) ( 4 8) : ( + ) a) 0 5 Cociente: Resto: Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 7

18 b) Cociente: Resto: c) Cociente: Resto: Aplica la regla de Ruffini para calcular P( ) y P(5), siendo P() P( ) P(5) Descompón en factores los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces: a) b) c) d) 4 8 a) ( )( + 9) Raíces: b) ( )( + )( + 5) Raíces: ; c) ± Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 8

19 + 5 5 ( + )( 5)( + 5) Raíces: ; 5 5 d) ( )( + )( + 9) Raíces: ; 6 Saca factor común y utiliza los productos notables para factorizar los polinomios siguientes: a) b) c) + + d) e) 5 45 f) 8 +8 a) ( ) ( )( + ) b) ( 4) 4 ( )( + ) c) + + ( + + ) ( + ) d) ( ) ( + 5) e) ( 9) 5( )( + ) f) ( 4 + 4) ( ) 7 Efectúa las siguientes operaciones reduciendo al mínimo común denominador: + a) + b) + c) d) ( ) ( + ) a) b) ( ) ( ) ( + )( ) c) + ( ) ( ) ( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 9

20 d) ( + ) ( + ) 4 6( + ) 6( + ) 6( + ) Descompón en factores y simplifica las siguientes fracciones: a) + b) c) + d) a) + + b) 4 ( )( + ) ( )( + ) ( + ) + c) + ( + ) ( + )( ) d) ( + ) + 9 Cada una de las fracciones A, B, C es equivalente a una de las fracciones I, II, III. Asocia cada una con su equivalente: A ( )( ) ( 4)( + ) I B II C + III A ( )( ) ( )( + )( ) II ( 4)( + ) ( )( + )( + ) + ( ) B III C + ( ) I ( )( + ) + 0 Opera y simplifica: + a) : b) c) ( ) ( ) d) : ( ) a) : ( ) + 5( + ) b) 5 ( )( + ) 5 ( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 0

21 c) ( ) ( ) d) : ( ) ( ) Reduce al mínimo común denominador y opera: + a) + b) c) a) + ( + ) ( ) + ( ) b) ( )( ) + ( + ) ( + 5 0) ( + )( ) ( + )( ) + 6 c) + ( ) ( )( + ) + ( + ) ( ) + + ( + ) ( ) ( )( + + ) + ( + + )( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + + ( + ) ( ) D r Epresa las siguientes fracciones en la forma c + : d d a) b) c) d) 5 + a) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

22 b) c) d) Página 86 PARA RESOLVER Calcula, en cada caso, el valor de m para que las siguientes divisiones sean eactas: a) ( m) :( 4) b) ( m ) : ( +) c) (4 + m + ) : ( +) a) 9 m m 8 0 m 8 m 8 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

23 b) 0 m 0 0 m 0 0 m m m 0 m c) P() 4 + m + P( ) 4 + m + + m 0 m 4 El resto de la división ( + + k +7):( + ) es igual a 7. Cuánto vale k? Si llamamos P() + + k + 7, entonces: P( ) 8 + k k 7 k 7 5 Calcula el valor numérico del polinomio para,4., , , Si P() , entonces P(,4) 59, 6 Halla el valor que ha de tener m para que el resto de la división ( + m + 4) : ( ) sea igual a 5. Si llamamos P() + m + 4, entonces 75 P() 8 + 9m m 5 m Descompón en factores los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces: a) b) c) 5 6 a) ( 7 + 6) ( )( )( + ) Raíces: 0; 6 0 ; Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

24 b) ± + 48 ± 49 ± ( )(6 + ) ( ) 6( )( + ) ( )( )( + ) Raíces: ; ; c) 5 6 ( 4 6) ( )( + )( + 4) Raíces: 0; ; 8 Opera y simplifica: a) ( ) : b) [( ) : ( + )] : ( ) c) ( ) ( : ) d) [( ) ( )] + : ( ) a) ( ) : + ( ) : : + ( )( + ) + ( + ) : + + ( + ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 4

25 b) [( ) : ( + )] : ( ) [ : ] : ( ) : ( ) + : ( ) + ( + )( ) ( + )( )( + ) c) ( ) : ( + ) : d) [( ) + ( )] : [ ( ) + : ] : ( ) ( ) + ( ) ( + )( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 9 Completa las siguientes igualdades de modo que obtengas fracciones equivalentes:? a) b) ? c)? d) a) 5 ( 5) ? + + ( + ) + + ( ) ( + ) ( )( + ) b) ( + ) c) + d) Simplifica: a) 4 b) a) 4 ( 4)( + ) + ( + ) 4 b) 4 ( 7)( + 6) ( 7)( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 5

26 Justifica, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes: a) y b) y ( ) c) y d) y 4 + a) ( ) ( + ) + ( ) No son equivalentes. b) ( )( + ) + 6 ( + ) + No son equivalentes. c) ( 4) 6 ( )( 6) + 6 Sí son equivalentes. d) ( )( + ) ( ) 4 Sí son equivalentes. Opera y simplifica: a + a) : (a +) a a b) + ( ) ( ) c) + a + a) : (a +) (a +)(a ) (a +) (a ) a a (a )(a + ) (a )(a + ) 4 b) + + ( ) ( + )( )( ) ( ) ( ) ( + )( ) ( )( + ) + c) ( ) ( ) + ( )( ) + ( )( ) 0 Indica cuáles son las raíces de los siguientes polinomios: a) ( + 4) b) ( ) ( 7) c) ( ) d) ( 4) ( 4 + ) a) 0 c) 0; ; 7 b) ; d) ; Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 6

27 4 Calcula el máimo común divisor y el mínimo común múltiplo en cada caso: a) 4 4 ; b) ; 9; c) ; ; a) 4 4 ( 4) ( )( + ) ( 4 + 4) ( ) M.C.D. ( ) m.c.m. ( ) ( + ) b) ( ) 9 ( )( + ) ( ) M.C.D. m.c.m. ( ) ( + ) c) ( + ) ( + ) M.C.D. m.c.m. 8 4 ( + ) 5 En una división de polinomios el divisor es, el cociente y el resto +. Halla el dividendo. ( )( ) + ( + ) Si en una división de polinomios el dividendo es 4, el cociente y el resto 8, cuál es el divisor? Dividendo divisor cociente + resto Dividendo resto Cociente 4 ( 8) divisor divisor 4 0 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 7

28 7 Opera y simplifica: a) ( + ) ( + : b) + ) ( ) : ( + ) : : + ( + ) + ( + ) + ( + ) a) ( ) : ( ) : + ( + )( + ) + + ( + ) : ( + ) ( + )( + ) : ( + ) + ( + )( + ) + + ( + ) + b) ( ) : ( + ) : CUESTIONES TEÓRICAS 8 Un polinomio A() es de grado 4 y otro B() es de grado. a) Cuál será el grado de A() B()? b) Y el de A() : B()? c) Cuál puede ser el grado del resto de la división A() :B()? a) Grado b) Grado 4 c) Grado menor que Página Si la división P() : ( ) es eacta, qué puedes afirmar del valor de P()? Por el teorema del resto, sabemos que P() 0. 0 Si P( 5), cuál será el resto de la división P() : ( + 5)? Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división es. Escribe tres polinomios de tercer grado, P(), Q() y R(), tales que: a) P() tenga por raíces,,. b) Q() tenga por raíces y. c) R() solo tenga como raíz. Por ejemplo: a) P() ( )( )( + ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 8

29 b) Q() ( ) ( ) c) R() ( + ) Escribe un polinomio de segundo grado P() tal que: P() 0 y P(5) 6 P() ( )( a) P() 0; P(5) (5 a) 6 a Por ejemplo: P() ( )( ) Sabemos que el polinomio P() solo es divisible por ( ) y ( + ). Puede ser el grado de P() mayor que? Pon ejemplos. Si solo es divisible por ( ) y ( + ), el polinomio será P() ( ) ( + ) + 6 (o bien, una constante multiplicada por P()); es decir, P() es de grado dos. Si buscáramos que tuviera solamente como raíces y, sí que podría ser P() de grado mayor que ; por ejemplo: P() ( ) ( + ) 4 Si en el numerador y denominador de una fracción algebraica eliminamos sumandos iguales, se obtiene una fracción equivalente a la primera? No. Por ejemplo, + + no es equivalente a 5 Escribe un polinomio de grado 4 que no tenga raíces. Por ejemplo: 4 + no tiene raíces. PARA PROFUNDIZAR 6 Calcula el cociente de cada una de estas divisiones eactas: a) ( ) : [( + 4)( 4)] b) ( ) :[( )( +)] a) Cociente b) Cociente Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 9

30 7 Haz las operaciones indicadas y simplifica. Comprueba que en cada caso obtienes como resultado un número. a b a + b a) ( ) ( ) b) ( + ) a + a c) ( ) ( ) a 4 a a + a a b a + b (a b) (a + b) (4a b ) (a + b)(a b) 4ab 4a 4ab + b (4a + 4ab + b ) 4a b 4a b 4ab 8 8ab (4a b ) (4a b ) 4ab 4 a) ( ) ( ) a b + a a + b ab ab b a b a ab ab b a b) ( + ) a + a b a + b a b a + b a b a b ab a a + ab b a (a + ) (a ) (a 4) (a )(a + ) a a + 4a + 4 (a 4a + 4) a 4 a 4 a 8a a 4 a 4 a 8 c) ( ) ( a ) 8 Determina a y b en el polinomio a + b + 4 sabiendo que es divisible por ( + ) y que los restos que se obtienen al dividirlo por ( ) y ( ) son iguales. Llamamos P() a + b + 4. Sabemos que: a b a b 4 a b 4a b 4a a b a b ab ab b a P( ) 0 a b a b 4 P() P() 4a + b + 4 a + b + 4 a + b 0 (b 4) + b 0 b + b 0 4b b a Por tanto, P() Demuestra las siguientes igualdades: + a) ( + ) ( ) b) : c) ( ) : ( ) 5 a a a + a + a + a a Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas 0

31 + + a) ( + ) ( ) b) a : a + a + (a )(a + ) (a + ) : a a + a a (a )(a ) (a + )(a ) a + a + : a a ( ) ( ) ( )( ) : ( )( ) ( )( ) 5 : 5 ( )( ) ( )( ) ( + ) ( )( + ) ( ) ( )( ) c) ( ) : ( ) : 40 Saca factor común y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) y + y b) y y y y 0 5y c) + y d) y 6y y y 6 y ( ) a) y + y y( + y) y y y( y) + y y b) y y y( y) 0 5y 5( y) y 5 c) + y ( + y) y ( y)( + y) y d) y 6y y ( y) y 6 y y ( y) y PARA PENSAR UN POCO MÁS 4 a) Si n es un número entero no nulo, prueba que: n(n + ) n n + b) Calcula, utilizando la igualdad anterior: c) Prueba que: n n(n + ) n + n + n a) n n + n(n + ) n(n + ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

32 b) Utilizando la igualdad anterior, tenemos que: c) n(n + ) n n + n + n n + n + n + Demostración por inducción: Para n, queda:, que es cierto. Supongamos que la igualdad es cierta para n ; es decir, que: n Lo probamos para n: (n ) n n n (n ) n n(n + ) n n(n + ) (n )(n + ) + n n + n n(n + ) n(n + ) n(n + ) n + 4 Con las siete piezas del trangram chino se puede formar un cuadrado. Si es la mitad del lado de ese cuadrado, epresa en función de el área de cada una de las siete piezas y prueba que su suma coincide con el área del cuadrado. Área de cada una de las piezas: b h A A b h b h / D d A 4 A 4 4 b h / b h 5 A 5 6 A A 7 A 6 Suma de las áreas A + A + A + A 4 + A 5 + A 6 + A Área del cuadrado () () 4 Por tanto: Suma de las áreas Área del cuadrado. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas