Matemáticas II. Segundo Curso, Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática Grado en Ingeniería Eléctrica. 17 de febrero de
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- Luis Hernández Fuentes
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1 Matemátcas II Segundo Curso, Grado en Ingenería Electrónca Industral y Automátca Grado en Ingenería Eléctrca 7 de febrero de 0. Conteste las sguentes cuestones: Ã! 0 (a) (0.5 ptos.) Escrba en forma bnómca +. Solucón: Haremos la operacón en forma exponencal. Para ello calculamos el módulo y argumento del complejo + v u t Ã! + r arctan arctan + (Está en el segundo cuadrante) Y ahora realzamos la operacón de potencacón Ã! S descontamos vueltas completas: 0 (67 +) Se han dado 67 vueltas completas a la crcunferenca y queda un ángulo de 4 radanes, por tanto 0 4 cos 4 + sen 4 (b) (0.75 ptos.) Calcule en forma bnómca todas las solucones de la ecuacón 4 +0 Solucón: Los complejos que cumplen la ecuacón son las raíces cuartas de, por tanto 4 que calculamos en forma exponencal. Para ello expresamos el radcando en forma exponencal y las 4 raíces cuartas son sendo 4p + ; 0 4
2 En este caso y, deestemodo sendo + ; 0 4 y las raíces en forma bnómca son (c) (0.5 ptos.) Demuestre que todos los números de la forma cos ()+ sen (); ( R) pertenecen a la crcunferenca () ; [0 ] Solucón: Utlzando la fórmula de Euler cos ()+ sen () (cos ()+ sen ()) yestáclaroque luego todos esos puntos están en la curva () Tambén es posble comprobarlo utlzando la defncón de módulo de forma drecta, sn necesdad de la fórmula de Euler q cos ()+ sen () ( cos ) +(sen ) p (cos +sen ) (d) (0.5 ptos.) Tenendo en cuenta que C R, represente en el plano el conjunto { C; Im () Re ()} Solucón: S expresamos el complejo en la forma bnómca +, elconjuntopuedeexpresarse como {( ) R ; } cuya representacón gráfca es una banda horzontal de anchura con centro en el eje real, es decr
3 (e) ( pto.) uelva en la ecuacón sguente: cos()+ 0 Solucón: Utlzamos la defncón de cos en térmnos de la funcón exponencal para reescrbr la ecuacón Hacemos el cambo ycomo6 0 De esta forma se obtene una ecuacón en la varable y multplcando por obtenemos una ecuacón de segundo grado ( +) que podemos resolver fáclmente medante la correspondente fórmula q ± 4 () () ± 6 ± 4 obtenendo dos solucones + ±
4 Con estos valores para y y tenendo en cuenta el cambo que se hzo al prncpo del ejercco obtendremos, medante la defncón de logartmo complejo log, tenemos en cuenta además que y son dos números magnaroas puros con parte magnara postva y negatva respectvamente log + ln + + ln + + log + ln ln (.75 ptos.) Se consdera la funcón raconal () ( 4)(.Calcule,justfcando la valdez 4 ) de la regón de convergenca, el desarrollo de Laurent de convergente en el anllo A(0; 6) { C; 6} Solucón: En prmer lugar buscamos las raíces del denomnador para descomponer la funcón en fraccones smples. Está claro que una de las raíces es 4, para las otras resolvemos la correspondente ecuacón ( 4 ) 4 ± p 6 4 ( ) 4 ± 64 4 ± por tanto () ( 4)( 4 ) ( 4) ( 6) ( +) Como estamos buscando potencas de, la descomposcón en factores smples es la sguente: () ( 4) ( 6) ( +) Para la expresón entre paréntess tenemos Por tanto ydandoa los valores de las raíces y la descomposcón es ( 6) ( +)+ ( 4) ( +)+ ( 4) ( 6) ( 4) ( 6) ( +) ( 6) ( +)+ ( 4) ( +)+ ( 4) ( 6) 4 (4 6) (4+) (6 4) (6 + ) ( 4) ( 6) ( 4) ( 6) ( +) 07 ( 4) + 8 ( 6) + 9( +) El desarrollo de Laurent en el conjunto ndcado 6 de cada fraccón es muy sencllo. Como 4 4 y entonces con 4
5 De nuevo como y el desarrollo para esta fraccón es: + + ( ) 0 0 ( ) + con Fnalmente como X con 6 0 La funcón tendrá el sguente desarrollo6 Ã () 07 ( 4) + 8 ( 6) + 8 9( +) agrupamos las potencas negatvas y postvas de forma: osmplfcando () () ( ) 4 + ( ) y cambando el contador en la prmera suma + Ã! () ( ) 9. Calcule las sguentes ntegrales: ! ( ) + (a) (.5 ptos.) Z sen ( ) ; () exp() [0 ] Solucón: Es la ntegral de un cocente de funcones dervables a lo largo de una curva cerrada, por tanto utlzaremos el teorema de los resduos tenendo en cuenta solamente las sngulardades que caen dentro de la curva. Las sngulardades de la funcón son los números complejos que anulan el denomnador de la funcón, por tanto ( ) 0 que tene por solucones 0 Aunque 0es un cero doble del denomnador, tambén es un cero smple del numerador, por tanto será un polo smple de la funcón. La otra sngulardad,, es de tpo evtable puesto que aunque es un cero smple del denomnador, tambén es un cero smple del numerador y por tanto será sngulardad evtable de la funcón. No obstante solamente está dentro de la curva ( es el centro de la crcunferenca!), ya que la dstanca de al centro de la crcunferenca es ( 0) 0 5
6 es mayor que el rado y no nflurá en el cálculo de la ntegral. El resduo para se puede calcular medante límtes sen ( ) 0 sen lím 0 ( ) lím sen 0 ( ) lím sen 0 ( ) ylantegralserá Z sen sen ( ) ( ) 0 (b) (.75 ptos.) Calcule razonadamente, aplcando la teoría de varable compleja, la ntegral real Z 0 +sen Solucón: Es una ntegral trgonométrca de una funcón raconal en (sen cos ), por tanto haremos el cambo usual sen en este caso la funcón del ntegrando es +sen y la ntegral trgonométrca se transofrma en Z Z 0 +sen +4 sendo () [0 ] Utlzando el teorema de los resduos podremos resolver dcha ntegral. En prmer lugar buscaremos los ceros del denomnador de la funcón +4 4 ± ± 4 ± Sólo está en la crcunferenca den centro (0 0) yrado, puesto que + mentras que estará fuera puesto que + + Para la ntegral sólo tendremos en cuenta a Z +sen
7 4. ( pto.) Obtenga una sucesón { } 0 cuya transformada Z sea () ( ) ( ) Solucón: Para obtener el valor de tendremos que calcular la transformada Z nversa de () ( ) ( ) Para calcular esta transformada Z nversa, hay que encontrar las raíces del denomnador y hacer la descomposcón de la funcón raconal en fraccones smples. Las raíces del denomnador son La descomposcón de () es () ( ) ( ) + Para la expresón entre paréntess tenemos ( ) + ( ) ( ) ( ) Por tanto ( ) + ( ) ydandoa los valores de las raíces ( ) y la descomposcón es ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) A contnuacón desarrollamos cada fraccón en seres de Laurent dentro de conjuntos de la forma (0 ), es decr en el exteror de bolas de centro 0 yrado, en todas hay que hacer la msma operacón, transformar la fraccón para poder emplear la suma de una sere geométrca + X y susttuyendo en la expresón para () ( ) ( ) X + X ( ) Los coefcentes de las potencas de son los elementos de la sucesón que buscamos ( ) mentras que 0 0 7
8 5. ( ptos.) Calcule razonadamente, medante la transformada de Laplace, una funcón (), queverfque la sguente ecuacón dferencal con condcones ncales: 00 ()+5 0 ()+6() (); (0 + ) (0) 0 0 (0) donde ; 0 6 () 0; 6 Solucón: Para resolver la ecuacón dferencal 00 ()+5 0 ()+6 () () junto con las condcones ncales (0) 0 0 (0), aplcaremos la transformada de laplace y sus propedades de lnealdad y desplazamento. Aplcamos la transforada de Laplace a ambos membros de la ecuacón utlzamos la lnealdad L [ 00 ()+5 0 ()+6 ()] () L [ ()] () L [ 00 ()] ()+5L [ 0 ()] ()+6L [ ()] () L [ ()] () y a contnuacón la propedad de desplazamento junto con las condcones ncales L [ ()] () () L [ 0 ()] () L [ ()] () (0) () L [ 00 ()] () L [ ()] () (0) 0 (0) () Con estos cambos la ecuacón queda () +5(L [ ()] ()) + 6 ( ()) L [ ()] () () L [ ()] ()+ y despejando L [ ()] ()+ () ( +5 +6) El valor de L [ ()] () lo obtenemos medante la aplcacón drecta de la defncón de transformada de Laplace, tenendo en cuenta que () en térmnos de la funcón de Heavsde se puede expresar como luego () ( 0 () 6 ()) L [ ()] () L [ ( 0 () 6 ())] () 6 o como alternatva tambén puede hacerse medante la defncón de L [ ()] () L [ ()] () Z 0 () Z
9 Susttuendo en la expresón de () () L [ ()] ()+ ( +5 +6) ( +5 +6) ( +5 +6) ( +)( +) Medante la transformada nversa obtendremos el valor de () + () L 6 () ( +)( +) Utlzando la lnealdad L h + 6 (+)(+) () L h (+)(+) y utlzando la propedad de desplazamento h h L + 6 (+)(+) () L (+)(+) ()+L h (+)(+) ()+L h h h h L (+)(+) ()+L (+)(+) () L ()+L h (+)(+) 6 (+)(+) 6 (+)(+) () () h () L (+)(+) ( 6) 6 () sendo 6 () la funcón de Heavsde en el ntervalo correspondente [6 ] Calculamos cada nversa medante los resduos en las sngulardades de las funcones correspondentes, que por ser funcones raconales son los ceros del denomnador: L h (+)(+) () este cálculo es drecto 0 (+)(+) (+)(+) (+)(+) 0 (+)(+) + (+)(+) + (+)(+) lím 0 lím ( +) lím ( +) (+)(+) lím 0 (+)(+) 6 (+)(+) lím (+)(+) lím (+) (+) por tanto h L (+)(+) () 6 + Para el segundo térmno tambén utlzamos resduos h L (+)(+) () X (+)(+) (+)(+) + (+)(+) sendo yportanto (+)(+) (+)(+) lím ( +) lím ( +) (+)(+) lím (+)(+) lím h L (+)(+) () (+) (+) Para el últmo térmno usamos la propedad de traslacón h h L 6 (+)(+) () L (+)(+) ( 6) 6 () 6 + ( 6) ( 6) 6 () 9
10 y la funcón () se obtene sumando todos los térmnos: () ( 6) 6 + ( 6) ( 6) 6 () Podemos comprobar que se cumplen las condcones ncales, tanto en (0) (0) como en 0 (0), prmero dervando y evaluando en el punto 0 ( 6) 6 () (0 6) (0 6) 6 (0) () () 0 (0) (0) 0 Se comprueba que () cumple la ecuacón dferencal. Para ello tenemos que obtener la segunda dervada de () 00 () () Y susttuyendo en la ecuacón dferencal 00 ()+5 0 ()+6() () () () ( 0 () 6 ()) () 6 + ( 6) ( 6) 6 () 0
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