Estadística Contenidos NM 4

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1 Cetro Educacoal Sa Carlos de Aragó. Sector: Matemátca. Prof.: mea Gallegos H. 1 Estadístca Cotedos NM 4 Udad: Estadístca y Probabldades. Apredzajes Esperados: * Recoocer dferetes formas de orgazar formacó: tablas y gráfcos estadístcos. * Calcular e terpretar estadígrafos. Alguas Observacoes sobre estadístca. Dremos que la Estadístca es el cojuto de teoremas, herrametas, métodos y téccas que puede usarse e: a. Recoleccó, seleccó y clasfcacó de datos. b. Iterpretacó y aálss de datos. c. Deduccó y evaluacó de coclusoes y de su cofabldad co base e datos muestrales. Coceptos Báscos. Poblacó: Es u cojuto de persoas, evetos o cosas de las cuales se desea hacer u estudo. La poblacó puede ser fta o fta. Ejemplo: total de alumos que rde PSU este año. Muestra: Es u subcojuto de la poblacó, que debe ser represetatva y aleatora. Ej. Número de alumos del colego sa Carlos, que rde PSU este año. Dato: Iformacó obteda e la observacó de los objetos e estudo. Ej. Putaje obtedo e PSU. El dato estadístco es cualquer característca que de algú modo es medble ( peso, edad, ota, etc.) Etre los datos estadístcos se dstgue: a) Varable Cualtatva: observacoes que se refere a u atrbuto, so NO umércas ej. Color de ojos, sexo, etc. b) Varable Cuattatva: observacoes de ídole umérca: otas, peso etc. Las varables cuattatvas se dvde e Varable cotua: es aquella que puede tomar todos los valores de u tervalo. (Ej. Altura de ua persoa, edad, peso, etc.) y Varable dscreta: Es aquella que sólo toma los valores eteros de u tervalo. (Ej. Número de hjos, etc.) Clasfcacó de datos Dstrbucó de frecuecas La dstrbucó de frecuecas o tabla de frecuecas es ua ordeacó e forma de tabla de los datos estadístcos, asgado a cada dato su frecueca correspodete. Elemetos de ua dstrbucó de frecuecas agrupadas. La dstrbucó de frecuecas agrupadas o tabla co datos agrupados se emplea s las varables toma u úmero grade de valores o la varable es cotua. Se agrupa los valores e tervalos que tega la msma ampltud deomados clases. A cada clase se le asga su frecueca correspodete. Frecueca (f) : Es el úmero de veces que se repte el valor de u dato, o el úmero de dvduos que perteece a la msma clase.

2 Frecueca relatva ( f r ) : Correspode a la razó etre la frecueca absoluta y el total de datos, la cual se puede expresar medate el uso de porcetajes. Frecueca porcetual (f %) : Es la frecueca relatva expresada e porcetaje. Frecueca Acumulada (F ) : Para cada valor (o clase)es la suma de su frecueca y las de las aterores. Se puede determar e forma ascedete y descedete; també e forma porcetual. Rago: Es el cojuto de todos los valores que puede tomar ua varable. (També se deoma: recorrdo o campo de varacó). Ampltud de clase: Es la dfereca etre el límte superor e feror de la clase. Marca de clase: Es el puto medo de cada tervalo y es el valor que represeta a todo el tervalo para el cálculo de alguos parámetros o estadígrafos. Límtes de la clase: Cada clase está delmtada por el límte feror de la clase y el límte superor de la clase. Los sguetes datos represeta el putaje obtedo por u grupo de 0 alumos. Tabular e 6 tervalos Clase I Mc f f f f r f r f r f% f% f% Grados Itervalo Mc Frecueca Frec. Acum. Frec. Relat. Frec. % Grados 0-5,5 0,1 10% 36º , % 0º , ,35 35% 16º , , 0% 7º 0-5, ,5 5% 90º ,5 0 0,1 10% 36º % 360º Respode de acuerdo a la tabla. a) Cuátos alumos obtuvero: 15 ó más putos Meos de 5 putos E promedo 1,5 Etre 5 y 19 putos putos b) Qué porcetaje de alumos obtuvo: 0 ó más putos Meos de 10 putos Etre 10 y 4 putos E promedo,5 putos 35 % 10 % 80 % 5 %

3 Defcó de parámetro estadístco 3 U parámetro estadístco es u úmero que se obtee a partr de los datos de ua dstrbucó estadístca. Los parámetros estadístcos srve para stetzar la formacó dada por ua tabla o por ua gráfca. Tpos de parámetros estadístcos Hay tres tpos parámetros estadístcos: De cetralzacó, De poscó y De dspersó. Meddas de cetralzacó Las meddas de tedeca cetral os da ua dea acerca del comportameto de los datos a los que se refere. Se puede decr que expresa el grado de cetralzacó de los datos que represeta. La meddas de cetralzacó so: Meda artmétca La meda es el valor promedo de la dstrbucó. Medaa La medaa es la putacó de la escala que separa la mtad superor de la dstrbucó y la feror, es decr dvde la sere de datos e dos partes guales. Moda La moda es el valor que más se repte e ua dstrbucó. Defcó de meda artmétca La meda artmétca es el valor obtedo al sumar todos los datos y dvdr el resultado etre el úmero total de datos. Datos o agrupados x = x 1 + x x = k=1 x k Datos agrupados Mc f + Mc f Mc f x = = 1 1 k= 1 Mc k f k Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. I Mc f fac = = = 45,6 Iterpretacó. La edad promedo del grupo es 45,6 años

4 4 Observacoes sobre la meda: 1. La meda se puede hallar sólo para varables cuattatvas.. La meda es muy sesble a las putuacoes extremas, e cuyo caso puede ser ua medda de cetralzacó poco represetatva de la dstrbucó. 3. La meda es depedete de las ampltudes de los tervalos, pero o se puede determar s hay u tervalo co ampltud determada 4. S a todos los valores de la varable se les suma u msmo úmero, la meda artmétca queda aumetada e dcho úmero. 5. S todos los valores de la varable se multplca por u msmo úmero la meda artmétca queda multplcada por dcho úmero. Meda Poderada: = f p =1 p =1 Ejemplo: U alumo que postula a la Uversdad tee los sguetes putajes e la PSU y e su NEM. Uv. - 1 Uv. - Uv. - 3 Putaje Pod. (%) - 1 Pod(%) - Pod(%) - 3 NEM Rak Leg Mat Cecas E cuál de las 3 uversdades tee ua mejor Meda Poderada? 1 = = = 688,4 putos. També se puede determar así: 1 = 680 0, , , , , = 688,4 putos. =? 3 =? Defcó de moda: La moda es el valor que tee mayor frecueca absoluta. Se represeta por M o. Se puede hallar la moda para varables cualtatvas y cuattatvas. Puede ocurrr que al dstrbucó sea: *Amodal: Ngú dato tee mayor frecueca que otro. *Umodal: U solo dato es el que más se repte. * Bmodal: Dos datos tee la msma frecueca. * Polmodal: Más de dos datos tee la msma frecueca.

5 Datos Agrupados: M o = Lím If + f ( f 1 ) ( f f 1 ) + ( f f +1 ) Δ 5 Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. M o I Mc f fac ( ) ( ) + ( ) = + 10 = + 10 = +,58 = 5, Observacoes respecto de la Moda. 1. S e u grupo hay dos o varas putuacoes co la msma frecueca y esa frecueca es la máxma, la dstrbucó es bmodal o multmodal, es decr, tee varas modas.. Cuado todas las putuacoes de u grupo tee la msma frecueca, o hay moda. 3. S dos putuacoes adyacetes tee la frecueca máxma, la moda es el promedo de las dos putuacoes adyacetes. ( Ej. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8; Mo = 4) Medaa: M e La medaa de u cojuto de datos umércos ordeados e forma crecete o decrecete, es el dato que se ecuetra al cetro de dcha ordeacó, o la meda artmétca de los datos cetrales (e caso que la muestra tega u úmero de datos pares) Datos NO Agrupados: Número mpar de datos x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 M e = x 3 Número par de datos x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 M e = x 3 + x 4 Datos Agrupados: M e = Lím If + Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. M e I Mc f fac ( 5 1) = = ,7 = 48,7 15 F 1 Δ ; f F : frec. acum 1. at -. Iterpretacó: La persoa ubcada e el lugar 5, tee aprox. 48,7 años La medaa es depedete de las ampltudes de los tervalos.

6 Dagrama de barras Gráfcos Estadístcos. 6 U dagrama de barras se utlza para de presetar datos cualtatvos o datos cuattatvos de tpo dscreto. Se represeta sobre los ejes de coordeadas, e el eje de abscsas se coloca los valores de la varable, y sobre el eje de las ordeadas las frecuecas absolutas o relatvas o acumuladas. Los datos se represeta medate barras de ua altura proporcoal a la frecueca. Polígoos de frecueca U polígoo de frecuecas se forma uedo los extremos de las barras medate segmetos. També se puede realzar trazado los putos que represeta las frecuecas y uédolos medate segmetos.

7 Gráfco Crcular. 7 U dagrama de sectores se puede utlzar para todo tpo de varables, pero se usa frecuetemete para las varables cualtatvas. Los datos se represeta e u círculo, de modo que el águlo de cada sector es proporcoal a la frecueca absoluta correspodete. α = 360º N El dagrama crcular se costruye co la ayuda de u trasportador de águlos. f Hstograma. U hstograma es ua represetacó gráfca de ua varable e forma de barras. Se utlza para varables cotuas o para varables dscretas, co u gra úmero de datos, y que se ha agrupado e clases. E el eje abscsas se costruye uos rectágulos que tee por base la ampltud del tervalo, y por altura, la frecueca absoluta de cada tervalo. La superfce de cada barra es proporcoal a la frecueca de los valores represetados.

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9 Meddas de poscó 9 Las meddas de poscó dvde u cojuto de datos e grupos co el msmo úmero de dvduos. Para calcular las meddas de poscó es ecesaro que los datos esté ordeados de meor a mayor. Las meddas de poscó so: Cuartles: Los cuartles dvde la sere de datos e cuatro partes guales. Qutles: Los qutles dvde la sere de datos e cco partes guales. Decles: Los decles dvde la sere de datos e dez partes guales. Percetles: Los percetles dvde la sere de datos e ce partes guales. Cuartles. (Q) Los cuartles so los tres valores de la varable que dvde a u cojuto de datos ordeados e cuatro partes guales. Q 1, Q y Q 3 determa los valores correspodetes al 5%, al % y al 75% de los datos. Q cocde co la medaa. Cálculo de los cuartles 1 Ordeamos los datos de meor a mayor. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartl medate la expresó Cálculo de los cuartles para datos agrupados k 4, k = 1,, 3 E prmer lugar buscamos la clase dode se ecuetra k 4, k = 1,, 3, e la tabla de las frecuecas acumuladas. Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. I Mc f fac Q 1 1 ( 1,5 1) Q k = Lím If + 1 = = 1,5 Q = = ,3 = 40, k 4 F 1 Δ ; k = 1,, 3 f Iterpretacó: Sgfca que u 5% de la muestra tee meos de 40,3 años, metras que el otro 75% supera los 40,3 años.

10 Decles. (D) 10 Los decles so los ueve valores que dvde la sere de datos e dez partes guales. Los decles da los valores correspodetes al 10%, al 0%... y al 90% de los datos. D 5 cocde co la medaa. Cálculo de los decles E prmer lugar buscamos la clase dode se ecuetra k 10, k = 1,,..., 9, e la tabla de las frecuecas acumuladas. Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. D I Mc f fac ( 35 7) D k = Lím If + 7 = = 35 D = + 10 = + 3,5 = 53, k 10 F 1 Δ ; k = 1,,...,9 f Iterpretacó: Sgfca que u 70% de la muestra tee meos de 53,5 años, metras que el otro 30% supera los 53,5. Percetles. (P) Los percetles so los 99 valores que dvde la sere de datos e 100 partes guales. Los percetles da los valores correspodetes al 1%, al %... y al 99% de los datos. P cocde co la medaa. Cálculo de los percetles E prmer lugar buscamos la clase dode se ecuetra k 100, k = 1,,..., 99, e la tabla de las frecuecas acumuladas. Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. P I Mc f fac ( 10 8) 0 = = 10 P = = = k 100 F 1 P k = Lím If + Δ ; k = 1,,...,99 f Iterpretacó: Sgfca que u 0% de la muestra tee meos de 35 años, metras que el otro 80% supera esta edad. Observacó. 10: Q = D5 = P y cocde co la medaa.

11 Meddas de dspersó Las meddas de dspersó os forma cuá cercaos o lejaos está los datos respecto de u valor cetral (meda artmétca). 11 Las meddas de dspersó so: Rago o recorrdorf El rago es la dfereca etre el mayor y el meor de los datos de ua dstrbucó estadístca. Desvacó meda La desvacó meda es la meda artmétca de los valores absolutos de las desvacoes respecto a la meda. Varaza La varaza es la meda artmétca del cuadrado de las desvacoes respecto a la meda. Desvacó típca o estádar La desvacó típca es la raíz cuadrada de la varaza. Desvacó respecto a la meda : D La desvacó meda es la meda artmétca de los valores absolutos de las desvacoes respecto a la meda. D = x ; dode x represeta el dato o la marca de clase. Ejemplo: Se otorgará ua beca uverstara, al alumo cuyo bue redmeto se haya matedo por mayor tempo, durate el últmo año. Para ello se decde cosderar sólo 4 asgaturas. Leg. Mat. Hst. Cecas Hugo 6, 6,8 5,8 6,4 Paco 6,5 5,8 6,1 6,8 Lus 6, ,3 S sólo uo puede obteer la beca, qué es el elegdo?

12 1ª Observacó: a pesar de todos teer el msmo promedo (6,3), las otas de Hugo so las que se ecuetra + cercaas a la meda, e tato las de Lus so más dspersas. 1 Rago: H:6,8 5,8= 1 ; P:6,8 5,8 = 1 ; L:7,0 5,0 = Obs. : Auque el rago o es ua medda sgfcatva, s os dca cuá dspersos se ecuetra los datos etre los valores extremos. Por lo ateror, se podría decr que H y P sería los + aptos, por ser sus calfcacoes meos dspersas. Desvacó Meda: La desvacó represeta el mayor o meor alejameto de u dato co respecto a la meda. Obs. 3: La suma de las desvacoes de todos los datos co respecto a su meda artmétca es cero. Obs. 4: Para determar qué preseta u valor de desvacó que dque cuá cercao o lejao está de la meda, es ecesaro determar el valor absoluto de la desvacó. 4 H x = 0,1+ 0,5 + 0,5 + 0,1 = 1, está 1, putos alejado de la meda = 1 4 P x = 0, + 0,5 + 0, + 0,5 = 1,4 = 1 4 = 1 L x = 0,6 + 1,3 + 0,7 + 0 =,6 Obs.5: Como el valor de la desvacó absoluta de L es mayor, etoces las otas de H represeta mejor u bue redmeto durate el período dcado. Por lo tato se defe Desvacó Meda como la meda artmétca de las desvacoes absolutas respecto a la meda.

13 13 a) Datos No agrupados: Ejemplo 1: D x1 + x x = = Leg. Mat. Hst. Cecas Hugo 6, 6,8 5,8 6,4 Paco 6,5 5,8 6,1 6,8 Luís 6, ,3 = 1 x 6, 6,3 + 6,8 6,3 + 5,8 6,3 + 6,4 6,3 0,1+ 0,5 + 0,5 + 0,1 1, H DM = = = = 0, , + 0,5 + 0, + 0,5 1,4 P DM = = = 0, ,6 + 1,3 + 0,7 + 0,6 L DM = = = 0, Ejemplo D x1 + x x = = = 1 x Calcular la desvacó meda de la dstrbucó: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Desvacó meda para datos agrupados S los datos vee agrupados e ua tabla de frecuecas, la expresó de la desvacó meda es: D x1 f1+ x f x f = = = 1 x f Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. I Mc f = 45,6

14 14 D x1 f1+ x f x f = = = 1 x f D D , , , ,6 = 8 0, , ,6+ 3 9,4 43,4 = = 8,6 O També. I x f F x f x ,6 164, ,6 4, , ,4 16, 41, 43,4 D f x = 1 43,4 = = = 8,648 f Varaza. σ La varaza es la meda artmétca del cuadrado de las desvacoes respecto a la meda de ua dstrbucó estadístca. La varaza se represeta por. a) Datos No agrupados: σ σ ( ) ( ) ( ) ( ) x1 + x x x = = = 1 Para smplfcar este cálculo, se suele utlzar ua expresó equvalete, determada por: σ x + x x x = σ = 1 = 1 Ejemplo 1: Leg. Mat. Hst. Cecas Hugo 6, 6,8 5,8 6,4 Paco 6,5 5,8 6,1 6,8 Luís 6, ,3

15 H P L 15 = 1 σ = ( x ) N 0,5 0,13 4 = 0,58 0,145 4 =,54 0,635 4 = Ejemplo : Calcular la varaza de la dstrbucó: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Varaza para datos agrupados σ ( ) ( ) ( ) ( ) x1 f1+ x f x f = 1 = = N x f Para smplfcar este cálculo, se suele utlzar ua expresó equvalete, determada por: x f + x f x f x f σ = σ = N = 1 N 1 1 N Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. I Mc f x1 f1+ x f x f σ = ,6 σ = =.079, =.079,36 = 117,64

16 16 O també. I x f F x ( x ) f ( x ) ,6 44, , ,6 11,36 449, ,6 0,36 5, ,4 88,36.03,8 65, = 45,6 σ = = 1 ( ) x f 5.88 ; σ = 117,64 Propedades de la Varaza. 1. La varaza es u ídce muy sesble a las putuacoes extremas.. La varaza será sempre u valor postvo o cero, e el caso de que las putuacoes sea guales. 3. S a todos los valores de la varable, se les suma u úmero, la varaza o varía. 4. S todos los valores de la varable se multplca por u úmero, la varaza queda multplcada por el cuadrado de dcho úmero. 5. S se tee varas dstrbucoes co la msma meda y se cooce sus respectvas varazas, se puede calcular la varaza total, medate la sguete fórmula: σ1 + σ σ S todas las muestras tee el msmo tamaño: σ = S todas las muestras tee dstto tamaño: σ kσ + k σ k σ = k + k k Obs.8: E los casos e que o se pueda determar la meda, tampoco será posble determar la varaza. Obs.9: La varaza o vee expresada e las msmas udades que los datos, ya que las desvacoes está al cuadrado. Obs. 10: Se puede coclur que la desvacó típca es la raíz cuadrada de la varaza y se puede represetar como: σ, es decr: Datos No agrupados: = 1 σ = ( x ) Datos Agrupados: = 1 σ = ( ) f x

17 Desvacó Estádar o Típca. 17 Esta medda de dspersó expresa el grado de dspersó de los datos respecto a la meda. Se desga co la letra s o també co el símbolo σ y queda determada por ( ) ( ) ( ) ( ) x1 + x x x = 1 Datos No agrupados: σ = = Es decr, La desvacó típca es la raíz cuadrada de la varaza. Para smplfcar el cálculo vamos o utlzar las sguetes expresoes que so equvaletes a las aterores. x + x x x σ = = Ejemplo 1: 1 = 1 Calcular la desvacó típca de la dstrbucó: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 x 1 x... x σ = = = = 15 = 3,87 8 Ejemplo : Leg. Mat. Hst. Cecas Hugo 6, 6,8 5,8 6,4 Paco 6,5 5,8 6,1 6,8 Luís 6, ,3 H 4 ( ) x Nota (x) 6, 6,8 5,8 6,4 ( x ) = 1 0,01 0,5 0,5 0,01 0,5 P 4 ( ) x Nota (x) 6,5 5,8 6,1 6,8 ( x ) = 1 0,04 0,5 0,04 0,5 0,58 L 4 ( ) x Nota (x) 6,9 5,0 7,0 6,3 ( x ) = 1 0,36 1,69 0,49 0,54

18 Falmete: = 1 σ = 4 ( x ) 4 H P L 0,5 0,13 0,36 4 = 0,58 0,145 0,38 4 =,54 0,635 0,79 4 = 18 Obs.6: Se puede observar que la desvacó estádar de H es meor a las otras, lo q permte coclur q sus otas está más cercaas a la meda y por lo tato so meos dspersas. Obs.7: Metras meor sea el valor de la desvacó estádar, el grupo de observacoes es más homogéeo, es decr, a meor dspersó mayor homogeedad y a mayor dspersó meor homogeedad. Desvacó típca para datos agrupados ( ) ( ) ( ) ( ) x1 f1+ x f x f σ = = = 1 x f Para smplfcar el cálculo vamos o utlzar las sguetes expresoes que so equvaletes a las aterores. x f + x f x f x f σ = = 1 1 = 1 Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. s = s = I Mc f fac ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,6 8 44, , , , s = = 117,64 10,8 O també σ = 45, σ =.079,36 σ = 117,64 10,8 Observacoes sobre la desvacó típca: La s es u ídce muy sesble a las putuacoes extremas. E los casos e que o se puede determar la meda, o es posble hallar s. Cuá + pequeña sea la desvacó típca, mayor será la cocetracó de datos alrededor de la meda.

19 19 Propedades de la desvacó típca 1 La desvacó típca será sempre u valor postvo o cero, e el caso de que las putuacoes sea guales. S a todos los valores de la varable se les suma u úmero la desvacó típca o varía. 3 S todos los valores de la varable se multplca por u úmero la desvacó típca queda multplcada por dcho úmero. 4 S teemos varas dstrbucoes co la msma meda y coocemos sus respectvas desvacoes típcas se puede calcular la desvacó típca total. S todas las muestras tee el msmo tamaño: S las muestras tee dstto tamaño: