Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas Área Económico Administrativa

Transcripción

1 Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas Área Económico Administrativa Materia: Estadística I Maestro: Dr. Francisco Javier Tapia Moreno Semestre: Hermosillo, Sonora, a 19 de septiembre de 2016.

2 Introducción. Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Las medidas de tendencia central más usuales son la media, la mediana, la moda, los cuartiles, los quintiles, los deciles y los percentiles las cuales son explicadas a continuación usando un ejemplo práctico ya expuesto en la clase anterior.

3 Media aritmética o promedio. La idea de media o promedio (también llamada media aritmética) formaliza el concepto intuitivo de punto de equilibrio de las observaciones. Es decir, es el centro de gravedad del recorrido de la variable, según la cantidad de valores obtenidos.

4 Tabla 1: unidades de productos vendidos Bebidas Helados Postres Total por día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Total semana

5 Media aritmética (I) La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los datos y el número de estos. Ejemplo: La media aritmética de la venta semanal de bebidas de acuerdo a la tabla anterior es: 11, 8, 23, 21, 5, 20, 18 La venta media semanal de las bebidas es: Hay 7 datos que suman 106 X

6 Cálculo de la media aritmética cuando los datos están agrupados. 1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman. 2º. El resultado se divide entre el total de datos. Ejemplo. Las ventas registradas durante 8 semanas están resumidas en la tabla siguiente: marca de clase Frecuencia absoluta Datos por frecuencias = Total 56 X 1, Total de datos

7 Interpretación: Si se elige al azar un día, se espera que ese día, la cantidad vendida de bebidas, helados y postres en el abarrotes, sea de productos.

8 Propiedades de la Media La media aritmética tiene varias propiedades importantes: 1) Si se suma la distancia de todos los valores respecto de la media, esa suma da cero. 2) Si se toman una cantidad cualesquiera de conjuntos de valores, cada uno con su respectiva media, la media del conjunto general es igual a la suma de cada una de las medias de los diferentes conjuntos. 3) Es posible hallar la media de un conjunto de valores de una variable tomando la distancia de las observaciones a un valor cualquiera (pertenezca o no al recorrido de la variable) 4) si a un conjunto de observaciones de una variable se le realiza una operación matemática usando un valor constante, entonces la media del nuevo grupo de valores así obtenidos es igual a la aplicación de la misma operación matemática usando ese valor constante sobre la media original.

9 Mediana para datos no agrupados La mediana, a diferencia de la media no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de observaciones en dos mitades iguales. Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa). La ubicación de la mediana viene dada por las relaciones en caso que N sea impar en caso que N sea par

10 La mediana para datos no agrupados. La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de datos menores que él es igual al número de datos mayores que él. Por ejemplo, de acuerdo con la tabla dada antes, en número de bebidas vendidas en los 7 días de fútbol son: 11, 8, 23, 21, 5, 20, 18 1º. Ordenamos los datos: 5, 8, 11, 18, 20, 21, 23 2º. El dato que queda en el centro es 18. La mediana vale 65. Caso 2: Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es:

11 La mediana para datos agrupados donde: Md L i n 1 2 f Md F 1 c Md L i n F f Md c : mediana : limite real (o frontera) inferior de la clase mediana. : número total de datos. : suma de todas las frecuencias hasta, pero sin incluir, la clase mediana. : frecuencia de la clase mediana : amplitud de clase

12 Ejemplo: Las cantidades de bebidas vendidas durante 8 semanas aparecen ordenadas de la tabla siguiente. Calcule e interprete la mediana. Primero ubicamos la clase que Intervalo de clase Frecuencia absoluta De 0 a menos de 10 9 De 10 a menos de De 20 a menos de De 30 a menos de 40 6 Total 56 N 2 Clase mediana contiene a la mediana. 1 o Md (56 1) (9) dato. Mediana = bebidas

13 Interpretación: La mitad de las cantidades vendidas de bebidas es menor que La otra mitad de las cantidades vendidas es igual o mayor a bebidas.

14 Ventajas y desventajas de la mediana Ventajas: Los valores extremos no afectan a la mediana como en el caso de la media aritmética. Es fácil de calcular, interpretar y entender. Se puede determinar para datos cualitativos, registrados bajo una escala ordinal. Desventajas: Como valor central, se debe ordenar primero la serie de datos. Para una serie amplia de datos no agrupados, el proceso de ordenamiento de los datos demanda tiempo y usualmente provoca equivocaciones.

15 Moda La moda, es aquel dato o valor de la variable que más se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) con una frecuencia mayor Por ejemplo, las cantidades de postres vendidos durante la primer semana son: Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo El número que más se repite es el 3. por lo tanto la moda de los postres es 3.

16 Cálculo de la moda para datos agrupados 1 Mo L c donde: i d d 1 2 Mo : moda L i : limite real (o frontera) inferior de la clase modal (la de mayor frecuencia) d 1 : frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior d 2 : frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente c : amplitud de clase d

17 Ejemplo: Las cantidades de bebidas vendidas durante 8 semanas aparecen ordenadas de la tabla siguiente. Calcule e interprete la moda. Primero ubicamos la clase que Intervalo de clase Frecuencia absoluta De 0 a menos de 10 9 De 10 a menos de De 20 a menos de De 30 a menos de 40 6 Total 56 Clase modal contiene a la moda. Es la clase que tiene mayor frecuencia absoluta Mo (24 9) (24 9) ( Moda = bebidas Interpretación. El número más frecuente de productos vendidos al día es de 19.

18 Ventajas y desventajas de la moda. Ventajas: Se puede utilizar tanto para datos cualitativos como cuantitativos. No se ve afectada por los valores extremos. Se puede calcular, a pesar de que existan una o más clases abiertas. Desventajas: No tiene un uso tan frecuente como la media. Muchas veces no existe moda (distribución amodal). En otros casos la distribución tiene varias modas, lo que dificulta su interpretación.

19 Cuartiles, La mediana, como vimos, separa en dos mitades el conjunto ordenado de observaciones. Podemos a su vez subdividir cada mitad en dos, de tal manera que resulten cuatro partes iguales. Cada una de esas divisiones se conoce como Cuartil y lo simbolizaremos mediante la letra Q agregando un subíndice según a cual de los cuatro cuartiles nos estemos refiriendo. Se llama primer cuartil (Q 1 ) a la mediana de la mitad que contiene los datos más pequeños. Este cuartil, corresponde al menor valor que supera o que deja por debajo de él a la cuarta parte de los datos. Se llama tercer cuartil (Q 3 ) a la mediana de la mitad formada por las observaciones más grandes. El tercer cuartil es el menor valor que supera o que deja por debajo de él a las tres cuartas partes de las observaciones. Con esta terminología, la mediana es el segundo cuartil (Q 2 ) y el cuarto cuartil (Q 4 ) coincide con el valor que toma el último dato, luego de ordenados.

20 Quintiles, Deciles y Percentiles Los quintiles dividen en 5 partes el conjunto ordenado de observaciones. Cada uno respectivamente conteniendo el 20%, 40%, 60%, 80% y 100% de la totalidad de los datos. Los deciles dividen en 10 partes el conjunto ordenado de observaciones. Cada uno respectivamente conteniendo el 10%, 20%, 30%, 90% y 100% de la totalidad de los datos. Los percentiles dividen en 100 partes el conjunto ordenado de observaciones. Cada uno respectivamente conteniendo el 1%, 2%, 3%, 99% y 100% de la totalidad de los datos. La forma de calcular todos estos valores aparece en las notas de clase del tema II, páginas

21 Conclusión Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: media, mediana, moda, cuartiles, deciles y percentiles. Los procedimientos para calcular estas medidas estadísticas difieren levemente dependiendo de la forma en que se encuentren los datos.