CÁLCULO II CIVIL - MINAS - METALÚRGICA EXTRACTIVA ANÁLISIS MATEMÁTICO II AGRIMENSURA

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1 Integrles Múltiples UNIVESIDAD NACIONAL DE SAN JUAN Flt e Ingenierí Deprtmento e Mtemáti CÁLCULO II CIVIL - MINAS - METALÚGICA EXTACTIVA ANÁLISIS MATEMÁTICO II AGIMENSUA NOTAS DE CLASE INTEGALES Integrles Múltiples Dr. Prof. N. Ssn Oán Mg. Prof. Emm E. Morles Ing. Plo Mri Mg. Li. Alejnr Grés Año 8 Año 7

2 Integrles Múltiples INTEGALES MÚLTIPLES. INTODUCCIÓN El presente tem trt e n onepto ásio el állo: integrles, pr mpos eslres etoriles, e os o má riles. Se efinen tres tipos e integrles: Múltiples, e Líne e Sperfiie. Ests efiniiones se relin prtir e n onepto geométrio o físio según orrespon. Aemás, se nlin lgns pliiones omo: ms, entro e gre, momento e ineri, fljo irlión. En Cállo I se trj en el állo e áres on fniones ontins efinis en [,], interlo sonjnto e : es eir f :, efinieno el áre jo l r, gráfi e = f() omo = f() A f () on f() A Se generli el onepto e integrl pr fniones e os riles. El interlo niimensionl [,] se reempl por n onjnto iimensionl, llmo región e integrión, ontenio en. El integrno es n fnión o mpo eslr f: efinio oto en. L integrl qe reslt se llm integrl ole se represent por: f (, )A, f (, ) Los símolos ifereniles, inin ls riles sore ls qe se integr se se reli l trnsformión e integrles.. INTEGAL DOBLE.. Definiión.. Se = f(, ), n fnión efini ot en el retánglo : [, ] [, ], iiieno n-sretánglos otenemos n prtiión, e. = f(, ) A Año 7

3 Integrles Múltiples El áre el -ésimo retánglo es ΔA =Δ Δ Mltiplino A por el lor inferior e f(, ) en el -ésimo sretánglo, l sm inferior n s m A p m, formmos = f(, ) A Mltiplino A por el lor sperior e f(, ) en el -ésimo sretánglo, formmos l sm sperior n S M A p M, = f(, ) A Not: Se erifi s S solmente no f (, ) es onstnte en retánglo p p L sm inferior s p n olmen ontenio en el erpo limito por l sperfiie = f(,), el plno el ilinro se es A ; erpo qe se llm ilinroie por nlogí l trpeoie. L sm sperior S p el olmen ontinente e iho ilinroie. Se trt e proimr el olmen el ilinroie por efeto por eeso, meinte l sm e olúmenes ontenios ontinentes orresponientes prtiión. En s-retánglo e l prtiión se mple (er figr nterior): m A V M A Año 7

4 Integrles Múltiples Si se he esto pr A qe pertenee l prtiión se otiene proimmente el olmen el erpo e se ltr rile mei sore = f(, ): V n V Comprno el olmen V on ls sms inferior sperior se oser qe sp V Sp pr prtiión P. Consierno n sesión e prtiiones P P Pn tles qe no n l norm e l prtiión tiene ero, es eir P ( P máim igonl e los n- ef retánglos), entones s V S n omo: p n p n lim s p n Pn P P ef qe = f(, ) es integrle por ser efini ot, entones, lim S f (, V f (, ) ) El sigiente esqem mestr los psos qe se relin pr efinir l integrl ole, omprno on el proeimiento tilio en fniones e n rile. = f () = f (,) Interpretión gráfi Se f efini ot en n región err. Consiérese qe f está efini ot en n interlo erro [,]. Forme n prtiión P el interlo [,] en n sinterlos e longites. Se P l norm e l prtiión, o se l longit el sinterlo mor.. Elíjse n * intermeio en sinterlo [ -, ] 5. Elúe l sm n f ( *) Por meio e n ril (o re e rets ertiles horiontles prlels los ejes oorenos), forme n prtiión P e en n sregiones retnglres e áres A = ontenis totlmente en. Se P l norm e l prtiión, o se l longit e l igonl mor e ls.e áre A. Seleiónese n pnto ( *, *) ritrrio intermeio en sregión e áre A. Elúe l sm n f ( *, *) A Año 7

5 Integrles Múltiples Definiión.. Se f(,) n fnión e os riles efini ot en n región err. Entones l integrl ole e f(,) en está por Oseriones n f (, ) A lim n P f ( *, *). f ( *, *) A se llm sm e iemnn. A. Si f(,) es ontin en entones f(,) es tmién integrle.. L integrl. f (, ) eiste si f(,) está efini ot en toos los pntos e., tmién eiste l integrl si los pntos e isontinies formn n onjnto finito e pntos. f (, ) ll n olmen o teho es = f (,). 5. Si = f (,) = entones ll el áre pln e l región... Cállo e integrles oles. Integrles reiters sore n retánglo. Se = f (,), tlqe f : = f(, te.) ontin en el retánglo : [,] [,] = f(, ) = Se pee llr el áre e l región somre, en el grfio nterior A() f(, te.) A () f (, ) Año 7 5

6 Integrles Múltiples A i, l integrl nterior le soi n lor A( i ) los qe representmos en el sigiente sistem rtesino : A() ( i, A( i )) i El áre somre en l figr nterior se ll omo A (). eemplno A() por f (, ) poemos llr el olmen efinio por = f (,), sore el retánglo : [,] [,] V A( ) f (, ) De igl mner, pero omenno el trjo on = onstnte, se pee otener el mismo olmen: V A( ) f (, ) Not. Cno l región e integrión es retnglr los límites e integrión son toos onstntes... Integrles oles etenis regiones más generles. Hst qí l integrl ole solo se h efinio pr regiones e integrión retnglres. No ostnte, no h ifilt pr etener el onepto regiones más generles. Se T n región ot e inlmos T en n retánglo. = f(, ) -T Año 7 6

7 Integrles Múltiples Se f(,) n fnión efini ot en T. Se efine n ne fnión f en el sigiente moo: f(,) si (,) T f (,) si (,) - T Es eir, se etiene l efiniión e f(,) too el retánglo hieno qe l fnión lg ero fer e T. Como f(,) es integrle en T, por lo tnto: T f (, ) f (, ) Pr resoler n integrl ole sore n reinto lqier, se onsier l riión e ls riles, en el reinto, e os mners iferentes:. Definmos el reinto, ominio e integrión e l fnión f(,), onsierno l rile omo inepeniente l rile omo epeniente, entones es {(, ) / θ () θ ()} Se interpret en n gráfio el reinto s riión pr islir lo ntes efinio. Se tiene en ent l efiniión nterior, lego l integrl ole qe plnte e l sigiente mner ().. () Se tiene en ent l efiniión nterior, lego l integrl ole qe plnte e l sigiente mner f (, ) ( ) ( ) f (, ) Ejemplo.. Se l región efini por: = {(,) :, ² }, one f(,) =. Clle f(, ). Qe pr el letor l tre e grfir el reinto. Solión. f (, ) Año 7 7

8 Integrles Múltiples. Se efine el reinto, ominio e integrión e l fnión f(,), onsierno l rile omo inepeniente l rile omo epeniente, entones es L interpretión gráfi e es, {(, ) / ψ () ψ ()}.. (). () Con est efiniión e l integrl ole qe epres e l sigiente mner: f (, ) () () f (, ) Ejemplo.. Se l región efini por: = { (,) :, }, one f(,) =. Plntee f(, ). Solión: f (, ) L gráfi se hio tilino softre ientífio, en Aneo se enentrn ls sentenis tilis. Generlino: D n región err ot qe tiene por fronter n r on l sigiente propie, qe to ret ort en lo smo os pntos, omo lo ini l figr, n fnión f(.) efini ontin en, ().. ().. () () Año 7 8

9 Integrles Múltiples Se pee plnter: f (, ) () () f (, ) () () f (, ) Not: Osere qe el reslto no epene el oren e integrión. Ejemplo.. Se l región limit por: =, = one f(,) =. Plntee f(, ). Solión: f (, ) Qe pr el letor l tre e grfir el reinto efinio en este ejemplo... Cllo e áres plns meinte integrles oles. El állo el áre e l región pln ini en l Figr [], tilino integrles efinis pr fniones e n rile, eemos trjr e l sigiente mner: A = f () f() (f() f()) f f () () L últim epresión se otiene plino el onepto ertio por Brro pr el állo e integrles efinis. = f () Figr [] = f () Poemos oserr en el esrrollo nterior qe, no f(,) =, l integrl ole represent el áre el reinto e integrión Are = Ejemplo.. Plnter l integrl qe permite llr el áre e l región limit por: =, =. Año 7 9

10 Integrles Múltiples Solión: Qe pr el letor l tre e llr l integrl e grfir el reinto. Oserión. Meinte integrles oles se pee llr áres plns olúmenes, en este rso tiliremos ests integrles solmente pr llr áres plns. V f (, ), Are = Ejemplo.5. Pr resoler por el letor:. Grfir l región : 5. Cllr el áre etermin por. Inertir el oren e integrión erifiqe el reslto e ) 5. Oserr ls rterístis e l región e los límites e integrión. ele l not e l págin 9. Ejemplo.6. Cllr el áre e l región: : Qe pr el letor l tre e grfir el reinto efinio en este ejemplo llr el áre.. Ejemplo.7. Determinr l región e inertir el oren e integrión:. f (, ) Solión: = ; = f (, ) Año 7

11 Integrles Múltiples. Íem pr: 5 Solión: f (, ) f (, ) f (, ) 5 5 Ejemplo.8. Cllr el áre el ominio limito por ls rs = - ², = Solión: Primero se eterminn los pntos e interseión. = - ² => ² + - = ( 8), ; =, = - P (,) P (-,-) A A ( - ) Cmio e oorens en integrles e n rile. En teorí e integrión niimensionl el métoo e sstitión nos permite llr integrles omplis trnsformánols en otrs más senills o en tipos e integrles qe peen llrse más fáilmente, qeno sí: t f () f [g(t)] g(t) t on = g(t) () t one = g(t ) = g(t ). Sponieno qe g tiene eris ontins en [t, t ] qe f es ontin en el onjnto e lores qe form g(t) l rir t en [t, t ]. Año 7

12 Integrles Múltiples.5.. Cmio e oorens en integrles oles. Coorens rilínes En os imensiones eiste nálogo prolem pr ls integrles oles. Se trnsform n integrl ole e l form f (, ) eteni n región el plno, en otr integrl ole F (,) eteni n ne región T el plno. Se estir ontinión l relión entre ls áres efinis por ls regiones T, tmién e los integrnos f(,) F(,). El métoo e sstitión en integrles oles es más lorioso qe en ls simples eio qe eisten os sstitiones formles efetr, n respeto ; otr respeto. Esto signifi qe en lgr e n fnión g qe pree en (), tenemos hor os fniones X e Y qe relionn, on, el moo sigiente : T Se l pliión X(, ) : () Y(, ) T (,) (,) Geométrimente, pee onsierrse qe X(, ) efinen n "pliión" qe he Y(, ) orresponer n pnto (,) el plno, el pnto imgen (,) el plno. Es eir qe n onjnto T e pntos el plno es plio otro onjnto el plno, omo se represent en l figr. L pliión tmién se epres meinte n fnión etoril. En el plno se tr el rio etor qe ne el origen on n pnto genério (,) e. r(,) X(,) i Y(, ) j eión etoril e l pliión. Como (,) son pntos e T, el értie e r(,) X(,) i Y(, ) j esrie pntos e. Algns ees pee epresrse en fnión e e qeno: - : U(, ) V(, ) Año 7

13 Integrles Múltiples Ests eiones efinen n pliión el plno en el plno, llm pliión iners e l efini en (), qe trnsform los pntos e en los e T. Est pliión es l qe se s en l prti por eso se pie qe X(,) ; Y(,) tengn iners, pr lo l ee ser no no o inío.. Ls pliiones no no son e espeil importni. Ests trnsformn pntos istintos e T en pntos istintos e ; tles pliiones estleen n orresponeni inío entre los pntos e T los orresponientes e permite (por lo menos teórimente) regresr e T por l pliión iners (qe ntrlmente es no no). U=te. (, ) T V=te. (, ) A Si onsiermos n segmento horiontl en el plno, sore iho segmento es onstnte. L fnión etoril r pli este segmento sore n r (llm r ) en el plno. Se oser qe Si r (,) X(, ) i Y(, ) j lego r r r Si te entones r r pes r Si te entones r r pes r r r es prlelo r qe r r es prlelo r L región retnglr el plno se trnsform en n porión el plno qe es si n prlelogrmo os los son los etores r r omo se oser en l figr nterior. El áre e iho prlelogrmo es el mólo el proto etoril e mos etores. Lego el A r r r r Done el mólo el proto etoril es: r r i j (, ) (, ) J(, ) (,) Pes por efiniión el Joino e (,) es J(,) (,) eorr relionr on mtri join ist en Uni I, prágrfo.7 pg.. Año 7

14 Integrles Múltiples Por lo qe el áre: A (, ) = (, ) Es eir qe: f (, ) f [X(, ),Y(, )] J(, ) T Si J(,) = pr toos los pntos e T, el "prlelogrmo" tiene l mism áre qe el retánglo l pliión onser ls áres. Si no es sí, pr otener el áre el prlelogrmo se ee mltiplir el áre el retánglo por J(,).. Se e qe el joino es n ftor e proporionli e ls áres e ls regiones. Si J(,) = en n pnto (,), los etores r r son prlelos ( qe s proto etoril es el etor nlo) el prlelogrmo egener. Tles pntos se llmn pntos singlres e l pliión. Y semos qe l form e trnsformión es áli tmién si eiste n número finito e pntos singlres o más generl no tles pntos formn n onjnto e mei nl. De lo estio nteriormente tenemos Teorem. Se = f(,) integrle en n región. Se n trnsformión inío : por = X (,), = Y (,) tl qe J(,), pr too (,) ( ) = T. Entones se erifi f (, ) T f [X(, ), Y(, )] J(, ) Oserión: l forml nterior le tmién si J(,) = sore n número finito e pntos singlres..5.. Cmio e oorens en integrles oles. Coorens polres Consieremos: Es eir qe: (, ) (, ) os sen os sen Y = sen on > = os pr qe l pliión se no no. J(, ) os sen sen os (os sen ) J(, ) Año 7

15 Integrles Múltiples Qeno A L fórml e trnsformión es: f (, ) f ( T os, sen) Ls rs = te. son rets por el origen ls rs = te. son írlos onéntrios en el origen en. L imgen el retánglo en el plno es n "seo prlelogrmo" en el plno limito por os rios os ros e irlo. Ls oorens polres son prtilrmente importntes no l región e integrión tiene fronters lo lrgo e ls les o son onstnte. En el so e ontornos irlres o elíptios en el plno, se pee trnsformr en rets prlels los ejes oorenos en el plno,. Ejemplo.9. Cllr, tilino oorens polres, el áre e n írlo entro en el origen e oorens rio. Qe pr el letor l tre e grfir el reinto efinio en este ejemplo llr el áre.. Ejemplo.. Cllr el áre e n rto e írlo e rio. Solión: Se reli el állo tilino integrles oles oorens polres. A os sen J (, ) En el plno se tom n rto e írlo, en el primer rnte se e en qe se trnsform en el plno (,), trnsformmos n e ls fronters: Si = => = os = / = = Año 7 5

16 Integrles Múltiples Si = => = sen = Si ² + ² = ² ² = ² = ±, sólo tom lores positios = Si Si = = = = os sen Lego El rto e irlo se trnsform en el retánglo [,] [,/] =/ = = = = = Lego el áre es: A T Ejemplo.. Cllr el áre el írlo e eión en oorens polres. f (, ) os.5.. Cmio e oorens en integrles oles. Coorens polres generlis os sen J(, ) Qe pr el letor l emostrión el Joino pr ests oorens el plnteo el A. Año 7 6

17 Integrles Múltiples.6. Apliiones e ls integrles oles. I. Ms totl e n lámin. En ests pliiones se trj on n lámin en Se efine tilino integrles oles l ms totl e n lámin on ensi (,), omo m () (, ) el oiente ms re (, ) se llm ensi mei e l lámin. Si no es n lámin, sino n figr geométri e os imensiones, el nterior oiente se llm promeio o lor meio e l fnión sore l región. II. Centro e gre e n lámin. Se efine omo entro e gre (, ) e n lmin (, ) ; m() (, ) m() Cno l ensi es onstnte (,) =, entones : ; one es el áre e. En este so (, ) se enomin entroie e l lámin (o e l región ). III. Momento e ineri e n lámin. L es n ret en el plno e l lámin (,) l istni ese el pnto (,) e l ret L. I L (, ) (, ) Se llm momento e ineri e l lámin respeto L. Año 7 7

18 Integrles Múltiples Not: Si (,) =, I L se enomin momento e ineri o segno momento e l región respeto e L. Los momentos e ineri respeto los ejes e se esignn por I e I I (, ), I (, ) L sm e estos os se llm momento polr e ineri I respeto el origen: I = I + I Ejemplo.. Cllr el entroie e l región pln limit por n ro e sinsoie, on. Solión. Como (,) no es to se onsier onstnte. Por simetrí,57 sen sen os sen sen sen Lego:, 9 8 (sen). INTEGALES TIPLES Sigieno los ino psos tilios pr efinir integrles oles, se efine l integrl efini triimensionl o integrl triple. L qe notmos omo, F(,, ) V. Consiere qe F(,,) está efini ot en n región err en el espio. Año 7 8

19 Integrles Múltiples. Por meio e n re triimensionl e plnos ertiles horiontles prlelos los plnos oorenos, forme n prtiión P e en sregiones (js) e olúmenes V ontenis totlmente en, one P es l norm e l prtiión, o se l longit e l igonl mor e los. *. Elij n pnto intermeio ritrrio (,, ) en sregión. * *. Forme l sm e iemnn: n F ( *,, ) V * * 5. Tome el límite e l smtori nterior no l norm e l prtiión tiene ero pr otener l efiniión s. F(,, )V lim P F( *, *, * ) V Definiión.. Se f n fnión e tres riles efini ot en n región err el espio. Entones l integrl triple e F en est por siempre no el límite eist. F (,,) V lim F( *, *, *) V P n Se trj on fniones ontins sore n región simplemente one el tipo: {(,,): ; () (); (, ) (,)} Spóngse qe este ominio espeil triimensionl, limito por n sperfiie err S tiene ls sigientes propiees: Año 7 9

20 Integrles Múltiples. Qe to prlel l eje, tr por n pnto interior el ominio (es eir por n pnto qe no pertenee l fronter S), ort l sperfiie S en os pntos.. Too el ominio se proet sore el plno en form e n ominio reglr (e os imensiones) D. = (,) = (,) = () = () () El olmen V es l ifereni el olmen qe limit = (,) menos el olmen qe limit = (,). Lego el olmen totl es igl : V () () (, ) () () (, ) () [ () (, ) (, )] () (,) V () (,) Ls integrles triples no tienen interpretión geométri no el integrno no es onstnte, es eir el tipo: () (,) f (,,) () (,) Ejemplo.. Cllr el olmen omprenio entre los tres plnos oorenos 8 Año 7

21 Integrles Múltiples V 8 (8 ) 8 V [8 ( ) ( ) ( ) ] (6 8 ) Cmio e oorens en integrles triples.... Coorens rilínes Teorem: Se f = f(,,) integrle en tl qe J(,,) pr too (,,) - ( ) = ', n pliión no no tl qe, : X(,, ) Y(,, ) Z(,, ) entones se erifi: f (,, ) f [ X (,, ), Y(,, ), Z(,, )] J(,, ) Oserión:. L fórml nterior le ún si, sore n onjnto e e mei nl, J =. Nótese qe l epresión el iferenil olmen, V, en el neo sistem e oorens es V J(,, ) = r r r () Con >, >, > eslres positios. Se reer qe el etor posiión e l sperfiie es r(,,) (,,)i (,,) j (,,), por lo qe eemplno en () reslt: r r r i i i j j j Año 7

22 Integrles Múltiples V r r r X X X Y Y Y Z Z Z Este eterminnte es el joino o ftor e proporionli e olúmenes, J(,, ) X X X Y Y Y Z Z Z Eisten os sistems e oorens rilínes prtilrmente importntes, ls oorens ilínris ls esféris.... Coorens ilínris Se i n pnto en el espio ss orresponientes oorens,,. L trnsformión : on, >, os sen P (,, ) o P (,, ) (, ) reie el nomre e sistem e oorens ilínris, se ll s Joino se e one es áli ih trnsformión. J(,,) (,,) (,,) os sen sen os ; Se otiene l epresión el joino el iferenil e olmen orresponiente J(,,) = V = El joino es istinto e ero (J(,,) ) si solo si, lego pr too pnto istinto el origen eiste - por lo tnto pr estos pntos l tern (,,) es n sistem e oorens. Al plir l trnsformión tenemos: f (,, ) f ( os, sen, ) Gráfimente: Año 7

23 Integrles Múltiples V=... Coorens esféris r L trnsformión : r os sen os on r = sen (er gráfi) lgr l trnsformión sen sen os os sen llm sistem e oorens esféris. r os r r sen P (,, ) o (,, ) os r = sen En l sigiente figr se isli l trnsformión e n iferenil e olmen no se le pli oorens esféris. Se etermin l epresión el joino pr ls oorens esféris Año 7

24 Integrles Múltiples J (,, ) sen os sen sen os os sen sen sen os os sen os sen sen os sen sen os [ os sen os sen sen ] [sen (sen os ) + os (sen os sen sen )] [sen + os sen (os sen )], otenieno finlmente [ sen (os sen )] sen J(,, ) sen Si J(,,), entones sen, por lo qe sen. Si = impli qe son los pntos sore el eje (+) qe es n onjnto e mei nl en por lo qe l forml e trnsformión es: f (,,) f [ sen os, sen sen, os ] sen Ejemplo... Cllr el olmen e n esfer tilino oorens esféris. V V os sen = V =. Hllr el olmen e l región enim el plno limito por el proloie = ² + ² el ilinro ² + ² = ² Solión: se trj on oorens ilínris, sí l eión el proloie se trnsform en = l eión el ilinro en = ². Año 7

25 Integrles Múltiples V Lego V ρ ρ π = ² + ² ² + ² = ².. Apliiones e ls integrles triples I. Ms totl e n sólio. Ls integrles triples peen emplerse pr llr olúmenes, mss, entros e gre, momentos e ineri otros oneptos físios soios sólios. Si es n sólio s olmen V está efinio por l integrl triple: V Si l sólio se le sign n ensi (,,) en no e ss pntos (,,), s ms M es: M (,, ) II. Centro e gre e n sólio. Ls oorens (,, ) el entro e gre e n sólio se eterminn por efiniión e l sigiente form: M (,,) M (,,) M (,,) III. Momento e ineri e n sólio. El momento e ineri respeto l plno, I, se etermin por: I (,,) Año 7 5

26 Integrles Múltiples eisten fórmls similres pr I, I. El momento e ineri respeto e n ret L, I L, se efine omo: I L (,,) (,,) one (,,) represent l istni e n pnto genério e l ret L. Ejemplo.. Hllr el momento e ineri on respeto l eje, el Ejemplo 6,, sponieno qe, l ensi es onstnte, (,,) = te. Solión: I ( Como se trj en oorens ilínris ) (,, ) I D 6 D esmen: En este rso hemos estio ifereniles e áre e olmen pr iferentes tipos e oorens. Pr trjr on integrles oles: Coorens rilínes A X X Y Y Coorens Crtesins A Coorens Polres A Coorens Polres Generlis A Pr trjr on integrles triples: Coorens rilínes V X X X Y Y Y Z Z Z Coorens ilínris V Coorens esféris V sen Año 7 6

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