Premio Nacional BMV. Autor: Blackbird. Categoría: Investigación

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1 Estmacón del resdual de un bono respaldado por hpotecas medante un modelo de resgo crédto: una comparacón de resultados de la teoría de cópulas y el modelo IRB de Baslea II en datos del mercado hpotecaro mexcano Autor: Blackbrd Categoría: Investgacón Premo Naconal BMV

2 Resumen ejecutvo El presente trabajo de nvestgacón está enfocado en el mercado mexcano de bonos respaldados por hpotecas medante el estudo de una estructura de bursatlzacón de crédtos hpotecaros, tene por objetvo mostrar una prmera evdenca para dsmnur el porcentaje del últmo tramo de un bono respaldado por hpotecas, esta porcón conocda como resdual tene un mpacto mportante en la calfcacón credtca de la estructura, generando ncentvos para que sea lo sufcentemente grande para una calfcacón de grado de nversón y sufcentemente pequeña para obtener la mayor cantdad de recursos fnanceros en la emsón. Una característca de estos bonos es que son emtdos medante un fdecomso que tene como patrmono a los crédtos que el fdecomtente bursatlza, el fdecomso emte deuda equvalente a certo porcentaje de los crédtos fdecomtdos y con el remanente se emte una nota no calfcada, que queda en posesón del fdecomsaro en segundo lugar, sendo éste, la msma entdad que bursatlza los crédtos. El poseedor de esta nota no recbe pago de ntereses hasta en tanto no se den por pagados los ntereses y valor nomnal de los bonos en posesón del fdecomsaro en prmer lugar, por lo que una de las funcones de esta nota es absorber las prmeras pérddas dervadas prncpalmente por ncumplmentos en pago de los acredtados y generalmente es estmada de acuerdo a un análss de escenaros de estrés de factores de resgo para modelar la amortzacón de la cartera y el pago de los bonos, es así como el escenaro de estrés más severo es el que defne el tamaño de esta porcón en la estructura, por lo que la estmacón del resdual depende del juco del estructurador para defnr el escenaro.

3 Partendo de lo anteror, este trabajo de nvestgacón propone la estmacón del resdual a través del empleo de un modelo de resgo crédto aplcando la teoría de cópulas (Nelsen, 999) a la tasa de ncumplmento (T) y a la exposcón al momento de ncumplmento (EAD, por sus sglas en nglés) como factores de resgo representatvos en una cartera de crédtos hpotecaros. Para dferencar perfles de resgo y evtar desestmar factores de recuperacón, es decr, consderar que algunos crédtos vencdos vuelven a ser vgentes al pagar el monto atrasado, el portafolo bajo estudo se agrupó aplcando la técnca de árboles de segmentacón basados en pruebas χ (CHAID), tomando como crtero la relacón que hay entre el saldo del crédto y el valor de la garantía al momento de su orgnacón (LTV, por sus sglas en nglés), esta varable es mportante bajo el supuesto de que a mayor captal nvertdo menor resgo de ncumplmento, es decr, cuando el valor de la garantía es mayor al saldo del crédto, la contraparte tene ncentvos en mantener su estatus vgente y no caer en ncumplmento o recuperarse de vencdo a vgente. El resdual de la estructura se estmó como la pérdda no esperada resultado de la smulacón de la dstrbucón de pérddas del portafolo, esta smulacón se realzó modelando las varables T y EAD ajustando paramétrcamente una cópula t-student bvarada y sem-paramétrcamente las cópulas t-student, Normal y Gumbel, estas estmacones se comparan con las obtendas bajo el modelo de calfcacones nternas básco (BIS, 006) consderando una correlacón de 0.0 y la establecda en el msmo de 0.5. Así, los resultados obtendos muestran que al aplcar la teoría de cópulas (Nelsen, 999) se obtenen estmacones mayores a los obtendos bajo el modelo de calfcacones nternas e nferores al resdual real obtendo medante análss de

4 escenaros. S ben es certo que el resdual no sólo tene la funcón de absorber las prmeras pérddas, los resultados aquí obtendos permten mostrar que exste evdenca que sugere un ncentvo al emsor para optar por otras técncas de estmacón del resdual, tenendo un mpacto postvo en la captacón de recursos en el mercado de deuda, al dsmnur la porcón equvalente a la nota estructurada no calfcada. Esta aportacón permte la consderacón de este trabajo como ganador del Premo Naconal BMV sendo una nvestgacón aplcada enteramente al mercado mexcano, que muestra el empleo de métodos más sofstcados y que han sdo probados en varas aplcacones fnanceras como la valuacón de nstrumentos dervados y seguros, por ctar algunos ejemplos. El documento está estructurado de la sguente manera: El prmer capítulo, a manera de ntroduccón versa de manera general los temas relevantes de la nvestgacón, a saber, mercado hpotecaro mexcano, bonos respaldados por hpotecas y resgo crédto. En el segundo y tercer capítulos, se establecen los fundamentos teórcos referentes a los bonos respaldados por hpotecas y a la teoría de cópulas respectvamente. La metodología empleada esta descrta en el cuarto capítulo, los resultados generales se muestran en el qunto capítulo y fnalmente, las conclusones se establecen en el sexto capítulo. Adconalmente están ncludos en la presente nvestgacón dos anexos mportantes, el prmero muestra los resultados del ajuste de las cópulas empleadas y en el segundo, el códgo medante el que se desarrolló la nvestgacón, prevamente a estos anexos se muestra la lteratura consultada para el desarrollo de este documento.

5 CONTENIDO ÍNDICE DE CUADROS... v ÍNDICE DE FIGURAS... v CAPÍTULO I I. INTRODUCCIÓN... 9 I.. MERCADO HIPOTECARIO MEXICANO... 9 I.. MERCADO DE BONOS RESPALDADOS POR HIPOTECAS... I..3 RIESGO CRÉDITO... 7 CAPÍTULO II... II. BONOS RESPALDADOS POR HIPOTECAS... II.. COLATERAL... II.. PREPAGO... 3 II..3. MODELO MULTIFACTORIAL DE PREPAGO... 5 II..4 PORTAFOLIO DE CRÉDITOS SUJETO A BURSATILIZACIÓN... 7 II. PARÁMETROS DE RIESGO CRÉDITO II.3 MODELOS DE RIESGO CRÉDITO II.3. MODELO DE MERTON II.3. MODELO KMV II.3.3 MODELO CREDITRISK II.3.4 MODELOS DE MEZCLA BERNOULLI II.3.5 MODELO DE CALIFICACIONES INTERNAS DE BASILEA II CAPÍTULO III III. CÓPULAS... 5 III. MEDIDAS DE DEPENDENCIA III.3 COEFICIENTES DE DEPENDENCIA EN LA COLA III.4 CÓPULAS ELÍPTICAS III.4. CÓPULA NORMAL III.4. COPULA t-student... 6 III.5 CÓPULAS ARQUIMEDIANAS III.5. CÓPULA CLAYTON III.5. CÓPULA FRANK III.6 CÓPULAS DE VALORES EXTREMOS III.6. CÓPULA GUMBEL III.6. CÓPULA GALAMBOS III.6.3 CÓPULA HÜSLER REISS III.7 CÓPULA EMPÍRICA CAPÍTULO IV METODOLOGÍA v

6 CAPÍTULO V RESULTADOS CAPITULO VI... 9 CONCLUSIONES... 9 LITERATURA CITADA ANEXO I. RESULTADOS DEL AJUSTE DE CÓPULAS... A- ANEXO II CÓDIGO R... A-7 v

7 ÍNDICE DE CUADROS Cuadro II. Indcadores en un grupo de crédtos a tasa fja... 4 Cuadro V. Grupos y probabldad de ncumplmento resultado de la prueba CHAID Cuadro V. Composcón observada de la estructura de bursatlzacón Cuadro V.3 Estmacón de la pérdda esperada y no esperada, α-cuantl y défct esperado a dferentes cuantles (PE, UL α, Q α, ES α respectvamente) para el bono respaldado por hpotecas medante smulacón hstórca Cuadro V.4 Estmacón de la pérdda esperada y no esperada a dferentes cuantles (PE, UL α, respectvamente) para el bono respaldado por hpotecas con el modelo de BASILEA II (BIS, 006) Cuadro V.5 Estmacón del resdual por el modelo de BASILEA II, expresón II.69 con parámetros de acuerdo al cuadro V Cuadro V.6 Parámetros para la expresón II Cuadro V.7 Estmacón paramétrca de las margnales t-student... 8 Cuadro V.8 Estmacón paramétrca de la cópula t-student para el grupo Total... 8 Cuadro V.9 Pérdda esperada y no esperada, estmacón paramétrca de la cópula t-student Cuadro V.0 α-cuantl (Q α ), estmacón paramétrca de la cópula t-student Cuadro V. Défct esperado (ES α), estmacón paramétrca de la cópula t-student Cuadro V. Pérdda esperada y pérdda no esperada a dferentes cuantles para la cópula t-student semparamétrca Cuadro V.3 Pérdda esperada y pérdda no esperada a dferentes cuantles para la cópula Normal semparamétrca Cuadro V.4 Pérdda esperada y pérdda no esperada a dferentes cuantles para la cópula Gumbel semparamétrca Cuadro V.5 Comparatvo de estmacones v

8 ÍNDICE DE FIGURAS Fgura V. Segmentacón del portafolo medante la técnca CHAID... 7 Fgura V. Panel de amortzacón base: (Izquerda a derecha) resduales, y resdual 3 (abajo) Fgura V.3 Panel de amortzacón estresado: (Izquerda a derecha) resduales, y (abajo) resdual Fgura V.4 Panel de grupos de T y EAD. Densdades de las cópulas ajustadas v

9 CAPÍTULO I. I. INTRODUCCIÓN Un punto central en el análss de cualquer estructura fnancera es su valuacón, dentro del mercado de bonos respaldados por hpotecas, han surgdo un gran número de esfuerzos para obtener una buena estmacón del valor de mercado, consderando la mayor nformacón dsponble y fundamentados prncpalmente en la teoría de ausenca de oportundades de arbtraje. En el mercado mexcano, el orgnador de los crédtos hpotecaros recurre a la estratega de bursatlzacón traspasando actvos credtcos a un fdecomso con la fnaldad de obtener más recursos para generar nuevos préstamos, al respecto, los agentes estructuradores están enfocados en resolver el problema de la falta de lqudez de los orgnadores de los crédtos hpotecaros, más que en establecer jucos respecto al uso óptmo del captal, s se consdera a la msma estructura de bursatlzacón como una entdad fnancera, resultando en resduales que pueden sobre o sub valorar el resgo de crédto de la estructura de acuerdo a lo que reflejaría un modelo de estmacón de pérddas esperadas y no esperadas. I.. MERCADO HIPOTECARIO MEXICANO La oferta de vvenda en Méxco es mucho menor que la demanda, ocasonando que la adquscón de una propedad de uso habtacón sea costosa. A dferenca de otros mercados, en el caso naconal, los crédtos para adquscón de vvenda son a tasa fja, asmsmo, los agentes orgnadores han desarrollado tanto esquemas de Es decr, los altos precos para adquscón de vvenda se deben a la oferta y demanda y no a especulacón. 9

10 fnancamento, como sstemas de orgnacón credtca que permten otorgar crédtos de acuerdo a sus mejores estmados estadístcos sobre el perfl de resgo crédto que tenen los ndvduos. En térmnos generales, las hpotecas generalmente se categorzan por el tpo de nterés devengado y el tamaño del préstamo (Gangwan, 998). Una hpoteca a tasa fja, como su nombre lo ndca, tene una tasa de nterés fja por todo el plazo del crédto. Los plazos del crédto pueden varar de 5 años hasta 30 años, aunque pueden exstr otras varacones. Las hpotecas a tasa ajustable (ARM), tenen tasas de nterés que varían de acuerdo al producto específco, estos crédtos tambén se caracterzan por su tamaño. Una característca mportante de los crédtos hpotecaros es la razón deuda a valor de la garantía (LTV ó Loan to Value), la cual dce cuánto vale el préstamo contra el valor de mercado del colateral, en los crédtos a plazo de 30 años, es común encontrar valores cercanos al 95% al momento de orgnar el crédto y se puede decr que el acredtado do un enganche del 5%, el cual puede ser un porcentaje del valor de la vvenda más gastos admnstratvos. Independentemente del tpo de hpoteca, la mayoría tenen cláusulas contractuales smlares, el propósto de estas cláusulas es establecer los derechos de propedad tanto del acredtado como del prestamsta. En un conveno hpotecaro se establecen los acuerdos para que el acredtado mantenga la propedad del ben, se asegure por daños a su patrmono y evte realzar modfcacones estructurales que ocasonen efectos negatvos en el valor de la vvenda. Las cláusulas legales de los convenos permten acelerar el proceso legal en la recuperacón de las garantías en los eventos de ncumplmento, además se establecen los prvlegos de prepago por parte de los deudores cuando optan por lqudar un crédto. Cuando un acredtado entra en ncumplmento, se convene por lo general la adjudcacón de la garantía medante la cual, al recuperarla, los recursos provenentes del remate de ésta, son dstrbudos de acuerdo a la subordnacón establecda, es decr, de acuerdo a la prelacón en el contrato. Asmsmo en casos 0

11 especales, se le otorga al deudor la oportundad de reestructurar su crédto o a entregar la garantía de forma voluntara como pago del saldo adeudado, lo cual suele ocurrr cuando el LTV observado al momento del ltgo es mayor o mucho mayor a 00%. I.. MERCADO DE BONOS RESPALDADOS POR HIPOTECAS La demanda potencal de fnancamento para la adquscón de vvenda, a futuro, ncrementa las expectatvas de crecmento de los partcpantes del mercado hpotecaro, msmos que consderan recurrr a la emsón de bonos respaldados por hpotecas como una estratega de solucón a sus problemas de lqudez y que en algunos casos llega a ser una vía de fnancamento muy atractva, cuando el mercado de deuda lo permte. Dentro de este mercado con expectatva de expansón, en un contexto general, la bursatlzacón puede estar motvada por aspectos fnanceros, regulatoros, fscales, contables y estratégcos ya que puede verse como una venta de actvos o un fnancamento y en muchos casos puede tener ambas característcas. Los orgnadores de crédtos recurren a la venta de sus actvos hpotecaros para la emsón de bonos y así obtener recursos fnanceros y emplearlos para orgnar más crédtos, dcho mercado ha sdo el que más ha entrado en el negoco de la bursatlzacón. En el mercado Mexcano la bursatlzacón se lleva a cabo con transferenca de la propedad de los actvos a una entdad legalmente consttuda y regulada llamada Fdecomso, la cual es la responsable de la admnstracón de los crédtos transferdos y de la amortzacón de los bonos emtdos. S se consdera que se ha realzado una bursatlzacón con transferenca de propedad, el propetaro cede completamente los actvos, el cedente recbe el efectvo de los actvos provenente de los nversonstas que compran los bonos emtdos por el

12 fdecomso y los bonos son pagados medante la amortzacón de los crédtos hpotecaros. En una estructura de bursatlzacón, la porcón que no forma parte de los bonos emtdos y consttuye parte del captal del fdecomso, funcona como una porcón de seguro contra ncumplmento en los pagos de los crédtos, esto sgnfca que es la parte que absorbe las pérddas y generalmente es posesón del cedente, esto quere decr que como el cedente ya recbó el valor de los crédtos al momento de la transferenca para la orgnacón de nuevos crédtos, con excepcón de esa proporcón, tene un cambo en su exposcón al resgo crédto y este cambo se refleja en un menor requermento de captal en su balance general, sn embargo tene la desventaja de tener un actvo subordnado, el cual regresará a formar parte de su balance en el caso de que se cumplan las sguentes dos condcones: los bonos emtdos deben estar completamente pagados y las pérddas realzadas sean menores que el resdual. La emsón de estructuras fnanceras respaldadas por hpotecas requere fundamentalmente de la estmacón del valor de mercado de los crédtos, para ello, es necesaro obtener el valor presente de los flujos de efectvo futuros provenentes de la amortzacón de los crédtos hpotecaros. S los crédtos hpotecaros no tenen un esquema de amortzacón conocdo, los flujos de efectvo se generan medante smulacón, debdo a que por lo general, son crédtos con tasas de nterés varable la cual depende de las condcones del mercado en el futuro; en el caso de hpotecas a tasa fja, los flujos de efectvo se generan de acuerdo a la amortzacón programada y en ambos casos, se smulan las tasas de ncumplmento y prepago, se aplcan curvas teórcas de prepagos e ncumplmento o se modelan estadístcamente. Para la estmacón del valor presente se requere de una defncón de la estructura de plazos para descontar dchos flujos. Comúnmente se le conoce como Frts Lost pece (FLP), (Davdson et al, 003)

13 Un recurso a la defncón de la tasa de descuento de los flujos de efectvo es el modelo de estructura de plazos de Cox-Ingersol-Ross (985) empleado genércamente para valuar mortgage backed securtes (MBS) 3, donde la tasa de corto plazo del mercado que determna el preco del bono, sgue un proceso estocástco con volatldad constante y la ecuacón dferencal de segundo orden que resulta del modelo, se resuelve vía métodos Monte Carlo. Sn embargo, este modelo estma el valor de un bono que no tene resgo de ncumplmento y es necesaro consderarlo como punto de partda para poder nclur las característcas generales de un bono respaldado por hpotecas en el caso mexcano, a saber, resgo de ncumplmento, opcón de prepago por varables ajenas a las tasas de nterés y otras característcas del crédto, como la tasa de amortzacón y su plazo. El resgo de ncumplmento de un bono respaldado por hpotecas resulta de una omsón de pagos del sufcente número de acredtados que mpdan el cumplmento del pago del cupón a los nversonstas, es decr, que la amortzacón de los crédtos hpotecaros no es sufcente para afrontar el compromso adqurdo en la emsón del bono, este resgo es absorbdo por el resdual y el papel que desempeña en la estructura mpacta en la calfcacón del bono. Así como el ncumplmento, el prepago de los crédtos afecta el rendmento del nversonsta, este evento de prepagar por parte del deudor, puede ser modelado como una opcón de compra amercana que depende del nvel de rqueza del acredtado (Merton, 974) y puede o no depender de las tasas de nterés del mercado, es decr, se pueden dferencar prepagos nfluencados por varables sensbles a las tasas de nterés, como oportundades de refnancamento; o por varables que no dependen de las tasas de nterés, como muerte, daños a la garantía o prepagos parcales voluntaros. En el mercado de MBS se emplean curvas teórcas de prepago, sn embargo, de acuerdo a la lteratura (Fabozz, 006), actualmente solo son 3 Dunn y McConnell (98) emplean el modelo CIR para valuar MBS de la agenca GNMA concluyendo que la amortzacón y el prepago tenen un mpacto postvo, caso contraro a la opconaldad de compra de los bonos y que estas tres característcas reducen el resgo de tasa de nterés del bono y consecuentemente su rendmento. 3

14 convencones del mercado ya que fueron generadas bajo certos cclos de tasas de nterés y aunque exste evdenca empírca que este benchmark ya no es tan apropado, contnua sendo usado en el análss de flujos de efectvo de bonos respaldados por hpotecas de las agencas como GNMA (Government Natonal Mortgage Assocaton). Así como un crédto puede ser prepagado, dentro de un MBS puede ocurrr otro tpo de prepago, éste ocurre cuando el estructurador consdera no realzar pagos al resdual y todo el flujo de efectvo generado por la amortzacón del grupo de crédtos hpotecaros, es empleado para repartr los pagos dentro de la cascada de flujos del bono, prmero las comsones y los cupones de acuerdo a la subordnacón y el remanente se converte en un tpo de prepago como un acelerador de amortzacón del bono pagando por antcpado una porcón de su valor nomnal. Por otro lado, la valuacón de los actvos hpotecaros lleva a obtener el rendmento del bono respaldado por hpotecas en el lado del pasvo del balance del fdecomso, dado que los flujos de efectvo generados por la amortzacón de los crédtos, menos los costos de admnstracón, son empleados para pagar el cupón del bono, las varables empleadas para valuar los actvos afectan al lado de los pasvos y captal. La mayoría de los modelos en la lteratura para la valuacón de bonos respaldados por hpotecas de Estados Undos (por ejemplo Dunn y McConell, 98), se enfocan prncpalmente en la valuacón de la parte del pasvo, los bonos son valuados establecendo que el valor se afecta prncpalmente por los prepagos ya que los bonos emtdos por las agencas admnstradoras como la Government Natonal Mortgage Assocaton (GNMA) están garantzados contra ncumplmento en pago de los acredtados, debdo a que esto no ocurre en el mercado Naconal es necesaro nclur este factor de resgo en su valuacón, otra dferenca mportante se debe a que los crédtos en Estados Undos se emten a tasa varable y por lo tanto es otro factor de resgo debdo a las oportundades de refnancamento cuando la tasa contratada es 4

15 mayor a la tasa del mercado; en Karya et al (00) se emplea un modelo de tres factores para la valuacón de los bonos donde las oportundades de refnancamento dependen de un índce de precos de vvenda, los otros dos factores son la tasa del crédto y la tasa de descuento de los flujos de efectvo generados por la amortzacón de los crédtos. Boudouklh et al (997) mencona que los nveles en las tasas de nterés proporconan un buen ajuste como varable proxy para la tasa esperada de prepago, la vda promedo de los flujos de efectvo y para observar que tanto está una opcón dentro del dnero (moneyness), mentras que la pendente de la estructura de plazos funcona como control para la tasa promedo a la cual estos flujos de efectvo tenen que ser descontados, medante un modelo multvarado para valuar MBS en un ambente de tasas de nterés con multfactores. Carey (998) analza un portafolo de bonos de emsón prvada medante el ncumplmento, severdad y tasas promedo de pérddas contra emsones públcas y muestra que los bonos prvados de unas clases de resgo tenen mejor desempeño que sus smlares emsones públcas y en ambos casos, la dversfcacón y la aversón al resgo ndvdual nfluyen sobre la dstrbucón de pérddas. Por otro lado, una característca relevante que es consderada con detenmento es lo que se refere la garantía (vvenda), ya que desde la orgnacón del crédto determna que mpacto tendría en caso de ncumplmento; Chan y Thakor (987) prueban equlbro en contratos de crédto y colocacones bajo dferentes especfcacones compettvas y explcan los roles económcos del colateral consderando resgo moral y seleccón adversa, un prncpal resultado es que a mayor sea conceptualzado el equlbro compettvo entre oferentes de crédto, afecta más la caracterzacón de equlbro en contratos de crédto que llevan a cabo los prestamstas y prestataros. 5

16 Chan y Kanatas (985) nvestgan que papel cumple el colateral en los contratos de crédto, ya que en garantías por ncumplmento, el prestamsta requere establecer cudadosamente sus ntereses para que en el evento de un ncumplmento de su contraparte, no se vean severamente afectados sus rendmentos. A esto concluyen que elmnando el resgo moral, para que el colateral juegue un papel sgnfcante debe haber, o un mercado de crédto mperfectamente compettvo o que los prestamstas sean adversos al resgo o que exstan valuacones asmétrcas entre los prestamstas y prestataros. En este msmo sentdo, Bester (994) hace un análss de la funcón del colateral en un modelo de renegocacón de deuda, esto es, que en los contratos de crédto, el prestamsta mpone sus condcones para el evento de bancarrota o ncumplmento, tenendo con esto un contrato óptmo en el cual, el acredtado tenga ncentvos para establecer acuerdos con el prestamsta de acuerdo a las condcones del contrato de crédto. Otro aspecto mportante es el tema referente a la estructura de captal para analzar la emsón de deuda medante bursatlzacón y al respecto, Bolton y Frexas (000) proponen un modelo de equlbro entre el mercado y un ambente corporatvo consderando nformacón asmétrca y la nexstenca de mpuestos, con la fnaldad de que la emsón de captal, deuda bancara y fnancamento medante la emsón de bonos puedan estar en equlbro. Al estructurar un grupo de crédtos hpotecaros, el tamaño del resdual determna la calfcacón del bono y el rendmento prometdo al nversonsta, por ejemplo, se obtendría una calfcacón AAA, hacendo el resdual sufcentemente grande como para solo tener un tramo de la estructura equvalente a bonos que sean amortzados en su totaldad de acuerdo a lo programado o con amortzacón antcpada, esto mpacta a los ngresos que por la venta o traspaso de las hpotecas obtendría el orgnador de los crédtos (sn consderar la afectacón en su balance); en el caso contraro, el bono obtendría una calfcacón muy baja lo que resultaría en un cupón más caro para satsfacer el apetto de resgo-rendmento del nversonsta. Así, s ambos partcpantes del mercado conocen la msma nformacón y no exsten oportundades de ganancas 6

17 extraordnaras, el resdual sería establecdo por el resgo crédto de los colaterales, comprometendo los flujos de acuerdo a la subordnacón defnda sguendo los crteros que marcaría un agente calfcador para el efecto de un alto grado de nversón, en este negoco el orgnador que se queda con el resdual, vsto como un nversonsta que compra una nota subordnada no calfcada, estaría dspuesto a obtener el dferencal entre las pérddas esperadas y las pérddas realzadas o cero en el escenaro extremo por tener esta nota. I..3 RIESGO CRÉDITO Por defncón, el resgo crédto provene del ncumplmento de una promesa de pago por la contraparte en un contrato de crédto o en la contratacón o compra de un nstrumento fnancero resgoso (Marrson, 00). Es meddo medante la estmacón de la probabldad de que la contraparte ncumpla su promesa de pago, de la exposcón que se tene en el evento de que ocurra el ncumplmento y de la pérdda que ocurrría s el ncumplmento sucedera consderando que exsta alguna garantía de la contraparte y que ésta pueda ser recuperada. Dentro de una nsttucón fnancera, este resgo se cubre medante una porcón de captal que se mantene de acuerdo a las pérddas potencales causadas por los factores que afectan a las transaccones realzadas por las nsttucones, esto es, la pérdda esperada (EL), la cual se puede consderar como una prma de resgo 4 y está en funcón de una porcón de pérdda que es observada medante la experenca por parte del orgnador del portafolo y que es conocda como pérdda dado que la contraparte ncumpló (LGD), de la probabldad de que la contraparte caga en ncumplmento (PD) y de la exposcón a un evento de ncumplmento (EAD), estos son entre otros factores, los que determnan la cantdad de captal necesaro para proteger o respaldar a un portafolo de crédtos (Bluhm, 4 Esto se debe a que la pérdda esperada, de acuerdo a los mejores estmados de las nsttucones, puede ser equvalente a la msma cantdad de recursos que éstas mantenen como proteccón, es decr, como un seguro contra ncumplmento. 7

18 003). Báscamente, la nocón de modelar el resgo crédto, se debe a la necesdad de una proteccón contra pérddas, esto es, la estmacón de una prma por resgo para cada crédto y admnstrarlas dentro de una cuenta nterna llamada reservas por resgo crédto, estas reservas tendrán la funcón de cubrr las pérddas ocasonadas por ncumplmento en los crédtos; en este sentdo, el captal económco tene la funcón de proporconar certa proteccón en los eventos en los que la estmacón del resgo crédto sea excedda por otra pérdda. Dado que el objetvo del resdual en la estructura de un bono respaldado por hpotecas, es absorber las pérddas realzadas por los ncumplmentos de los acredtados, debe reflejar el resgo crédto de la estructura, en este sentdo y al hacer la generalzacón de que se trata de una entdad fnancera, el resdual toma el papel del captal requerdo para cubrr en un caso extremo, que las mejores estmacones de pérddas esperadas de la nsttucón emsora sean exceddas. Los recursos que se mantenen como resduales, están congelando recursos que puderan ser empleados para ncrementar la emsón de bonos de lo que se desprende que al mantener una cantdad de captal para proteger completamente a un portafolo de crédtos, sería nefcente ya que, el evento de que ocurra una pérdda total es un evento muy extremo convrtendo a esta estratega económcamente nefcente, por tal motvo, las nsttucones fnanceras tenen ncentvos para mnmzar su requermento de captal y así poder lberar recursos económcos que pueden ser nvertdos en proyectos rentables. Sn embargo, al mantener menos captal aumenta la probabldad de que no se cumplan las oblgacones contraídas por parte de la nsttucón, en el caso de que sus pérddas superen sus mejores estmados llegando a provocar nsolvenca. S se defne al captal económco dentro del marco conceptual del VaR se puede decr que una nsttucón mantene captal con el objetvo de sostener una certa calfcacón en su deuda y asocada a esta calfcacón está una probabldad de sobrevvenca 8

19 (denotada q), lo que quere decr que la empresa debe mantener sufcentes reservas y captal para cubrr el q-ésmo cuantl de la dstrbucón de pérddas sobre un horzonte de tempo dado (por ejemplo, el cuantl 99.9 % en un año). Sn embargo y debdo a lo anteror, el VaR no provee nformacón de la magntud de la pérdda ncurrda en un evento que sobrepase el captal mantendo 5. Una medda de resgo más robusta es el défct esperado o ES (Expected Shorfall) el cual es la pérdda esperada condconada a estar en la cola de la dstrbucón de pérddas del portafolo. Asmsmo, Frey y McNel (00) señalan dos aspectos mportantes de este problema, el prmero se refere a que la suma del VaR de dos portafolos estmados ndvdualmente, podría no producr una frontera superor del VaR de un portafolo combnado; por otro lado, al optmzar un portafolo para mnmzar el VaR podría producr una estratega altamente resgosa. Argumentan tambén que en la práctca se le resta mportanca, lo cual podría ser certo para un portafolo sujeto solo a resgo mercado, mostrando el pelgro de esta aseveracón en un portafolo sujeto a resgo de crédto donde las dstrbucones de pérddas son sesgadas. Gordy (003) demuestra que las reglas de captal basadas en calfcacones, ncluyendo las de BASILEA II (BIS, 006), pueden ser concladas con los modelos generales de credt VaR. La contrbucón al VaR de cada exposcón es portafolo-nvarante solo s se cumplen dos prncpales consderacones: a) la dependenca entre exposcones es conducda por un solo factor de resgo sstemátco y b) nnguna exposcón contablza más de una porcón arbtraramente pequeña de la exposcón total del portafolo. Para construr la dstrbucón de pérddas de un portafolo, se debe determnar la dstrbucón conjunta de pérddas a nvel de cada nstrumento. Los modelos amplamente usados proporconan una estructura a este problema asumendo que las correlacones entre acredtados en un evento de crédto se ocasonan debdo a una dependenca común de un conjunto de factores de resgo sstemátco. Una propedad 5 Esto se debe a que el VaR no es una medda coherente de resgo ya que no cumple la propedad de subadtvdad, lo cual se ha mostrado en la lteratura bajo los axomas de Artzner et al (999) y se puede referr a Frey y McNel(00) entre otras fuentes. 9

20 natural en estos modelos es que el captal margnal requerdo por un crédto depende de cómo afecta la dversfcacón y por lo tanto tambén depende de que otros nstrumentos estén presentes en el portafolo. 0

21 CAPÍTULO II. II. BONOS RESPALDADOS POR HIPOTECAS La bursatlzacón en el mercado mexcano se lleva a cabo medante el traspaso de un grupo de crédtos hpotecaros a un fdecomso, el cual emtrá bonos cuyos pagos están respaldados por la amortzacón de los crédtos hpotecaros. El fdecomso se crea medante un contrato blateral, el cual es un acuerdo escrto entre el cedente de la cartera y una compañía que la admnstrará conocda como fducaro, el acuerdo es conocdo como escrtura del fdecomso. Consste en que el cedente asgna al fducaro para que represente a los tenedores de bonos. De acuerdo a la estratega de bursatlzacón, se defnen los fdecomsos y su funcón proporcona segurdad a los nversonstas al momento de recbr el pago. Un concepto clave para valuar una bursatlzacón en el contexto de los bonos respaldados por hpotecas es entender las característcas de los flujos de efectvo de los actvos subyacentes. Los flujos de efectvo representan la nteraccón entre las característcas contractuales del crédto subyacente y el acredtado. En las sguentes seccones se esbozará de manera general algunas de las prncpales característcas de los bonos respaldados por hpotecas y para mayor profunddad en el tema, puede recurrrse a Fabozz (006). II.. COLATERAL Los pagos realzados a tasa fja tenen dos característcas prncpales: nvel de pagos y pagos a plazo vencdo. Una hpoteca estándar permte al acredtado hacer el msmo pago cada mes durante la vda del préstamo, una porcón de este pago se refere al nterés y el resto al prncpal. Incalmente, la cantdad correspondente a cubrr los ntereses es mayor a la parte del prncpal que se ncrementa gradualmente al paso del

22 tempo. Los pagos a plazo vencdo se referen a que la amortzacón del crédto nca un mes después de otorgado. Para un crédto a tasa fja, el factor de pago mensual esta determnado medante la relacón sguente: n f p (II.) n Donde: f p = Factor de pago mensual = Tasa de nterés anual n = Plazo en meses Partendo de lo anteror se observa que el pago mensual m=f p x M n está compuesto por: p m m m (II.) Donde m(p) es la porcón pagada a captal y m() es la proporcón pagada por nterés y está en funcón del monto del crédto M en el mes n, es decr: m M n (II.3)

23 II.. PREPAGO Los acredtados generalmente tenen el derecho de prepagar sus crédtos en cualquer momento, una parte o por completo y en la mayoría de casos, sn penalzacón. En el caso del pago de una parcaldad, no afecta los pagos programados, úncamente dsmnuye el saldo del crédto así como su plazo. En la práctca, los crédtos que tenen característcas smlares se combnan para formar grupos homogéneos los cuales son posterormente bursatlzados, en este sentdo entender este grupo de crédtos como uno solo tene algunas consderacones, pues el efecto que tene el prepago de un crédto ndvdual no es el msmo que se tendría s uno o más crédtos dentro del conjunto de crédtos son prepagados. El prepago se puede defnr como la dferenca entre el balance actual del grupo de crédtos comparado con el balance esperado debdo a la amortzacón normal esperada y para descrbr esta actvdad, se han desarrollado dferentes modelos en el mercado medante el concepto de porcentaje de prepago o tasa de prepago bajo las sguentes convencones: SMM (Sngle monthly mortalty): Mde el porcentaje de prepago en cualquer mes expresado como porcentaje del balance esperado de la hpoteca. CPR (Condconal prepayment rate): Refleja el porcentaje de la tasa de prepago resultante de convertr la SMM a una tasa anual. La CPR se entende mejor como el porcentaje del balance no amortzado prepagado sobre una base anual. PSA (Publc Securtes Assocaton): Es una convencón adoptada en la ndustra por la Publc Securtes Assocaton en la cual la tasa de prepago, expresada en CPR se asume 3

24 que sgue una trayectora estándar en el tempo, la cual consdera que la tasa de prepago para el portafolo de crédtos se ncrementa gradualmente en los prmeros 30 meses y después los nveles termnan a una tasa constante y horzontal. Una curva PSA de 00% nca en 0.% de CPR en el prmer mes y sube 0.% de CPR por mes hasta el mes 30 y luego sguen constantes a 6% de CPR. SDA (Standard Default Assumpton): Tambén modelo de PSA ahora llamada Bond Market Assosaton (BMA), asume que la tasa de ncumplmento será de 0.0% por año del monto de crédtos hpotecaros en el prmer mes posteror a la orgnacón y se ncrementará a una tasa de 0.0% por mes hasta alcanzar 0.6% en el trentavo mes y permanecerá constante hasta el mes sesenta donde empeza a declnar a una tasa de % por mes hasta alcanzar 0.03% y permanecerá constante por el plazo remanente. Para estmar la curva SMM se emplea la sguente relacón: SMM B B p 00 (II.4) B Donde B p se refere al balance 6 esperado por la amortzacón normal del portafolo de crédtos y B es el balance actual. Asmsmo, la curva CPR, como ya se menconó, en funcón de la curva SMM se construye medante la expresón sguente: SMM CPR 00 (II.5) 00 6 El Balance se refere al saldo nsoluto M del grupo de crédtos por lo tanto se usara ndstntamente para referrse a ambas cantdades. 4

25 II..3. MODELO MULTIFACTORIAL DE PREPAGO Wlmott (000) señala que se puede ncorporar el efecto de la tasa de nterés para modelar la tasa de prepago, para esto, la tasa spot r y el tempo t se consderan dos varables obvas y de la msma manera, M (balance actual) como la varable dependente, consderando tambén el porcentaje de crédtos hpotecaros (Q) que de acuerdo a la amortzacón del grupo de crédtos, todavía permanecen dentro del portafolo. Por lo tanto, se puede establecer la sguente expresón para estmar el preco de un bono respaldado por hpotecas (MBS): P MBS V r, M, Q, t (II.6) Consderando el problema más smple, un grupo de crédtos que consste de hpotecas con la msma edad y madurez y el msmo cupón fjo, asumendo pagos constantes por toda la vda del crédto. El balance en térmnos de pagos contnuos x está defndo por la expresón: M x T t e r t d (II.7) Donde T es la fecha de madurez; el pago x de una hpoteca con valor de $ en el tempo t = 0 está dado por: x T r e d 0 (II.8) 5

26 S todo permanece gual, el cambo en el balance será: dm rm xdt (II.9) Lo cual es completamente determnsta en ausenca de prepago. Introducendo la parte remanente de hpotecas, Q: M Qx T t e r t d (II.0) La dnámca de M está dado por: dm M rm xqdt dq (II.) Q S se supone un prepago promedo de la forma: t f rdt a (II.) Durante un ntervalo dt, en el tempo t y cuando la tasa de nterés de corto plazo es r, esto es, la fraccón del balance que es prepagado y por lo tanto la fraccón del grupo de crédtos que desaparece, así: t f rqdt dq a (II.3) Reescrbendo: 6

27 dm t f r rm xq a M dt (II.4) Lo cual combna el cambo esperado debdo a los pagos regulares y el cambo nesperado por un pronto prepago. II..4 PORTAFOLIO DE CRÉDITOS SUJETO A BURSATILIZACIÓN Un portafolo de crédtos sujeto a bursatlzacón es un conjunto que cumple con certas característcas estándar como pueden ser tasa, plazo, etc. Sn embargo, no mportando lo estandarzado que sea el conjunto, exsten otras dferencas entre los grupos como puede ser la capacdad de que certo acredtado pueda pagar el monto programado de determnado grupo al cual fue categorzado o que el crédto no tenga la msma madurez que los demás, estas dferencas tenen un efecto mportante que tene que ser consderado en el cálculo de los flujos de efectvo. Algunos de estos ndcadores pueden encontrarse en la cuadro II. sguente: Madurez Remanente Promedo Plazo remanente promedo de los crédtos en el Ponderada (WAM o WARM) grupo, ponderado basado en el balance actual. Cupón Promedo Ponderado (WAC) Representa el pago mensual que hace el acredtado ponderado por el balance actual. Edad del Crédto Se refere a los meses desde la orgnacón del crédto. Cupón neto Cupón pagado al nversonsta del grupo de crédtos bursatlzado. Cuotas de admnstracón 7 Es la dferenca entre el WAC y el cupón neto, gual a las cuotas pagadas a la agenca admnstradora. Cuadro II. Indcadores en un grupo de crédtos a tasa fja. 7 Este flujo es pagado de la amortzacón del grupo de crédtos y está compuesto por dos partes, la prmera es la cuota por servco ya que el admnstrador del fdecomso, recaba los pagos mensuales de los deudores y dstrbuye los flujos a los nversonstas. La otra parte corresponde generalmente al pago de una garantía (cuando ésta exste), es decr al pago de la prma de un seguro contra ncumplmento del acredtado. 7

28 II..4. Flujos de Efectvo Los flujos de efectvo generados por la amortzacón de los crédtos, se estman medante el cálculo de los ndcadores menconados en la cuadro II. anteror, así como de las ecuacones para estmar las curvas de prepago medante dos aproxmacones, por un lado se pueden calcular los flujos mes a mes aplcando los prepagos a cada mes u obtenendo los flujos para todos los meses y escalándolos medante los prepagos. Para efectuar el cálculo mes a mes se pueden segur los sguentes puntos:. Se nca con el monto actual del portafolo de crédtos y con el pago mensual ponderado (WAC), el cupón neto, el plazo remanente promedo ponderado (WAM) y el tempo que ha transcurrdo desde la orgnacón (edad).. Se calcula el pago programado del crédto de acuerdo al monto, el WAC y WAM al nco del perodo.. Se calculan los pagos por nterés y al prncpal. v. Se estman las cuotas admnstratvas y el nterés neto v. Se calcula el monto del prncpal programado v. Se calcula la cantdad de prepago v. Se deduce el prncpal programado y la cantdad de prepago para determnar el monto prncpal al nco del sguente perodo. v. Se calcula el flujo del grupo bursatlzado como la suma del prncpal programado, el prncpal prepagado y los flujos de efectvo neto de nterés. x. Se actualza el WAM y el tempo desde la orgnacón y se repte para cada perodo hasta que el monto del grupo de crédtos se reduce a cero. 8

29 Asumendo que se conoce la curva SMM, esto es suponendo valores, se puede estmar el monto actual medante la sguente expresón: SMM B Bp (II.5) 00 Debdo a que el monto actual del portafolo de crédtos ahora es B, se puede estmar el balance o monto para el sguente perodo empleando la nueva estmacón y el plazo remanente, por lo tanto, generalzando la ecuacón anteror a t perodos se tene: B B pt 00 t SMM (II.6) Y para el caso donde la curva SMM no es constante se tene: B B pt t SMM t (II.7) 00 n Donde n = (,,) es decr, desde la orgnacón hasta la fecha actual. II..4. Rendmento Suponendo la semejanza del portafolo de crédtos a un bono que es colocado a par y donde su preco es la suma de sus cupones a valor presente, se tene lo sguente: P Flujo... T TWAM r r r B Flujo B WAM WAM Flujo B T (II.8) 9

30 El rendmento r B se puede consderar como la TIR y es común llamarlo rendmento equvalente hpotecaro o MEY (Mortgage Equvalen Yeld). En la estmacón anteror no se está consderando, por supuesto, los retrasos en los pagos, para consderarlos es necesaro nclur la fecha valor al día de pago para los flujos de efectvo, con lo cual se consdera el nterés devengado, por lo que se está obtenendo un preco suco, el preco lmpo se estma medante la dferenca del preco suco y el nterés devengado y el nterés devengado es calculado como el nterés a tasa cupón sobre una base 30/360, es decr: ID B S (II.9) D Donde S D es la fecha valor, B es el monto del portafolo de crédtos e es la tasa cupón. La mayoría de los bonos cuponados en el mercado, hacen pagos semestrales, por lo que resulta necesaro convertr el rendmento de las hpotecas a una base semestral, es decr a una base equvalente a un bono con cupones semestrales. Para convertr esta tasa de rendmento r B a una tasa equvalente semestral r e es necesaro estmar que tasa cupón daría el msmo rendmento anual, es decr: rb re ra (II.0) Donde r A se refere a la tasa anual equvalente. II. PARÁMETROS DE RIESGO CRÉDITO El resgo crédto resulta de toda transaccón cuando exste la posbldad de que alguna de las partes de la operacón no cumpla con la promesa convenda, en este sentdo, el resgo crédto abarca el resgo de ncumplmento que se refere báscamente a la 30

31 asgnacón de una probabldad de que la contraparte falle en el cumplmento de sus oblgacones fnanceras; por otra parte, tambén contempla el resgo de mercado que mde la pérdda fnancera s la contraparte ncumple. La varable de pérdda se defne como: ~ L EAD LGD (II.) D Donde D es la funcón ndcadora del evento ncumplmento, es decr: ncumplmento P D (II.) 0 no ncumplmento P Asmsmo, la pérdda esperada (EL) asocada a la varable de pérdda de un acredtado es: ~ EL E L EAD LGD P Donde: P(): Probabldad de ncumplmento, en la práctca, la asgnacón de una probabldad de ncumplmento a un acredtado se realza medante dos aproxmacones, un prmer caso se tene medante la calbracón de la tasa de ncumplmento a partr de datos de mercado, como es el caso de los modelos estructurales como los que se desprenden del modelo de Merton (974) y el otro se realza medante el montoreo de la caldad credtca basado en calfcacones. EAD: Exposcón al ncumplmento, especfca la parte del portafolo que está sujeta a resgo de ncumplmento, en el caso partcular de crédtos hpotecaros, la exposcón es el saldo del crédto. 3 (II.3)

32 LGD: Pérdda dado que ocurre el evento de ncumplmento, cuantfca la porcón de pérdda que el portafolo sufre en el caso de ncumplmento, su estmacón depende entre otros factores del tpo de garantía del colateral, la prelacón sobre el reclamo de las garantías, etc. En algunos casos es convenente consderarla como una varable aleatora descrta por la severdad de la pérdda, en tal caso estaría defnda como el valor esperado de la severdad, esto es: ESev LGD (II.4) La pérdda esperada, prevamente defnda por la expresón II.3 puede verse como un seguro o como una reserva de recursos para cubrr las pérddas esperadas de acuerdo a la experenca de ncumplmentos, sn embargo estas reservas pueden resultar nsufcentes puesto que solo protegen en el promedo de la curva de la dstrbucón de pérddas, así sería convenente ncrementar esas reservas para las pérddas que exceden al promedo, es decr, para las pérddas no esperadas. Una seleccón natural para las desvacones al promedo de las pérddas es la desvacón estándar de la dstrbucón de pérddas defnda en II., por lo que se defne a la pérdda no esperada de acuerdo a lo sguente: UL V L ~ VEAD SEV L (II.5) Aún defnr la pérdda no esperada como el captal en resgo reservado para casos de estrés fnancero, no es la mejor opcón, puesto que exste una probabldad sgnfcatva de que las pérddas esperadas puedan ser exceddas por más de una desvacón estándar y es por esto que es necesaro contar con un captal en resgo a un nvel de confanza estadístcamente elegdo y la forma común de hacerlo es medante el captal económco (EC α ) el cual se defne como el α-cuantl de la dstrbucón de pérddas menos la pérdda esperada, es decr: 3

33 EC q EL (II.6) Dónde: q nf q 0 L ~ q (II.7) En la práctca, es común consderar a q α como el VaR de crédto y al captal económco como el nvel de reservas para cubrr las pérddas no esperadas, por lo que estos conceptos se consderaran de manera ndstnta en el presente trabajo y al referrse a la pérdda no esperada se hará pensando en captal económco y vceversa. II.3 MODELOS DE RIESGO CRÉDITO Partendo de un marco conceptual general, se defne que una pérdda credtca ocurre debdo a un evento de ncumplmento por parte del oblgado, es decr, se gnoran cambos en el mercado debdos a cambos en la calfcacón credtca. Denotando a un conjunto de factores de resgo sstemátco por X, los cuales pueden ser dentfcados por varables observables, como macroeconómcas o ndcadores de desempeño de la ndustra o podrían no estar dentfcados. Sn mportar su dentdad, se asume que toda dependenca entre eventos de crédto se debe a la sensbldad común de estos factores. Condconando a X, el resgo credtco restante del portafolo es dosncrásco de cada acredtado, mentras que se defne a p (x) como la probabldad de ncumplmento del acredtado condconado a la realzacón del evento x de X. Por otra parte, s se defne que el evento de ncumplmento ocurre cuando el rendmento de los actvos del acredtado es menor a certo umbral y que este 33

34 rendmento está sujeto a resgo sstemátco y resgo dosncrásco o específco, como se señaló prevamente, se puede establecer la sguente relacón: R w X (II.8) Donde X es un conjunto de factores de resgo sstemátco y es el resgo específco de cada acredtado, asmsmo, w y η son ponderadores que ndcan la mportanca relatva de cada factor de resgo. X tene dstrbucón normal con meda cero y matrz de varanza-covaranza Ω con unos en la dagonal, es decr, la varanza es uno; se dstrbuye N(0, ) y por lo tanto, sn pérdda de generaldad se mpone que R se dstrbuye normal con meda cero y varanza: ' R w w Var (II.9) Partendo de la defncón anteror de ncumplmento, se establece que una pérdda ocurre s R cae por debajo del umbral u, es decr, el ncumplmento ocurre s: w X u (II.30) Por lo tanto, el ncumplmento ocurre sí y solo sí: u w X (II.3) Debdo a que es una varable normal estándar, el evento de ncumplmento ocurre con probabldad condconal: p x u w X (II.3) 34

35 Por otra parte, sea A la exposcón del acredtado y U su pérdda untara, así, para un portafolo de n acredtados, la razón de pérdda total está defnda por: L n n U A (II.33) n A Nótese que U = 0 en el caso de que no exsta ncumplmento y en el caso contraro es el porcentaje de pérdda dado ncumplmento (LGD) de la exposcón. II.3. MODELO DE MERTON La mayoría de los modelos y metodologías de resgo crédto empleados en la práctca, están basados en el modelo de Merton (974), el cual emplea el enfoque de valuacón de actvos medante el prncpo contable de que el ncumplmento ocurre en el momento en el cual, el valor de los actvos es menor al de los pasvos de certa empresa. Este modelo parte de la aproxmacón de la dea básca de valuacón de opcones de Black-Scholes (973) y la extensón de esta teoría por Merton (973), desarrollando así, la teoría de valuacón de pasvos corporatvos, consderando los sguentes supuestos:. No hay costos de transaccón, mpuestos, n problemas con actvos ndvsbles.. Hay un número sufcente de nversonstas y se puede comprar y vender sn límte a preco de mercado.. Exste un mercado de ntercambo para prestar y pedr prestado a la msma tasa de nterés. v. Se permte la venta en corto. 35

36 v. El ntercambo se da en tempo contnuo. v. Se mantene el teorema de Modglan-Mller v. La tasa de nterés es constante y conocda. v. El valor de la frma V sgue un proceso estocástco defndo medante la sguente ecuacón dferencal estocástca: dv V Cdt Vdz (II.34) Donde: α: Tasa de nterés nstantánea de rendmento esperada. C: Pago realzado de la frma a los acconstas o a los tenedores de bonos s es postvo ó pago recbdo por nuevo fnancamento s es negatvo. σ : Varanza nstantánea del rendmento de la frma. dz: Movmento Brownano estándar. Se supone que exste un actvo cuyo valor de mercado es Y y está en funcón del valor de la frma y el tempo Y = F(V, t), donde la dnámca del preco de este actvo está defndo por la sguente ecuacón dferencal estocástca: dy yy C y dt yydz y (II.35) Donde las varables α y, C y, y y dz y se defnen bajo los msmos conceptos anterores estando en funcón del actvo Y. Dada la relacón funconal entre el valor de la empresa y el valor del actvo Y = F(V, t), la aplcacón del lema de Itô resulta en la sguente expresón: 36

37 dy F t F V F Vt F V V C V dt V dz t t t t t (II.36) Asmsmo, defnendo a Y lnv se tene que de la ecuacón anteror resulta: d ln Vt V t C Vt dt Vt dz (II.37) Vt V V t t Smplfcando e ntegrando en el ntervalo (0, t) se tene: tz ln V t z V e (II.38) t t t Donde se está consderando que C = 0 y ~ N0, z. Dado que el valor de la empresa es una varable aleatora, en el tempo t se puede observar que los actvos de la empresa sean mayores a sus pasvos o vceversa, por consguente, estos eventos conducen a:. V t > B En este caso no exste el ncumplmento por lo que la contraparte recbe el pago B.. V t B En este caso exstrá ncumplmento por lo que la contraparte ejecutará la estratega de recuperar lo más posble, por lo que recbe V t, B mn. Lo anteror, se puede traducr en térmnos de una opcón de compra, cuyo valor está defndo como (S t ) medante la sguente relacón: 37

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