M a t e m á t i c a s I I 1

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Antonio Hidalgo Gallego
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1 Matemáticas II

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3 REGIÓN DE MURCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Bloque A Para saber si la matriz tiene inversa, el determinante de la misma tiene que ser distinto de cero. B Como el sistema es homogéneo, sabemos de antemano que nunca será incompatible. A 4 Así A tiene inversa. Los pasos para calcularla son: Calculamos su determinante: a A a 6 a Adj (A) (Adj (A)) (Adj (A)) A A 5 5 f 5 p Este determinante se anula cuando a toma el valor 6. Discutimos el sistema según los valores del parámetro: Si a 6, tenemos rango(a) rango(a*), que es igual al número de incógnitas, entonces el sistema es compatible determinado (solución trivial x y z ). Si a 6, tenemos: A 6 La matriz A tiene rango igual a y como la matriz ampliada A* tiene la cuarta columna nula su rango es también, luego el sistema es compatible indeterminado con grado de libertad. Bloque A El punto más cercano de la recta r al punto P se calcula con la proyección ortogonal de P sobre r, siguiendo los siguientes pasos: Calculamos el plano perpendicular a r que contiene a P, usando como vector característico del plano el vector director de la recta. De modo que: x y z D Calculamos el término independiente D sabiendo que el punto P pertenece al plano: P ( ) ( 7) D D D Entonces x y z. Tenemos que calcular la intersección de la recta con el plano, que es precisamente la proyección ortogonal que buscamos. Para ello vamos a escribir la recta en paramétricas y sustituimos en el plano: x t r y t t z t B Sustituimos: (t) t t 4t 4 t Luego la recta y el plano se cortan cuando el parámetro toma el valor t. Sustituimos en las paramétricas de r y obtenemos la proyección P de P sobre r: P ( (), (), ()) P(,, ) Para calcular la distancia entre las rectas calculamos previamente su posición relativa: v " (,, ) y v " (,, ) Como los vectores no son proporcionales, las rectas ni coinciden ni son paralelas, por lo tanto se cruzarán o cortarán. Para averiguarlo construimos el determinante formado por los vectores directores de las rectas y por un tercer vector que une uniendo un punto de cada recta; P (,, $ ) y P (,, ), y construimos P P P P (,, )

4 REGIÓN DEMURCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 Ahora calculemos el determinante: Como este determinante es distinto de cero las rectas se cruzan, por lo tanto la fórmula para calcular su distancia es: v ", " v, P " P " d(r, r ) v " " v El numerador sin el valor absoluto ya se ha obtenido al calcular el anterior determinante. Calculemos el denominador: " v " v " i " " j k (,, ) El módulo del producto vectorial es: v " v " ( ) 6 Por lo tanto, la distancia entre las rectas es d(r, r ) u. 6 6 Bloque A i) El denominador de la función se anula cuando x toma el valor, por lo tanto: Dom f {} La función corta al eje X cuando f(x), es decir, cuando el numerador x 5 vale cero, que sucede cuando x 5. ii) Se observa que en x hay una asíntota vertical, pues al sustituir en la función por este valor nos 4 aparece. Calculamos los límites laterales: x 5 4 lim x x x 5 4 lim x x B En (, ), f (x), luego la función es decreciente. v) Con la información obtenida en los anteriores apartados representamos la función: Y O (, 5) Para calcular el volumen del vaso necesitamos el radio de la base y la altura, según se muestra en la siguiente figura: x 5 f(x) x x (5, ) y X iii) Asíntotas horizontales: Como la función es un cociente de polinomios, podemos calcular simultáneamente el límite de la misma en y. lim x x 5 x, por ser del mismo grado. Por lo tanto, existe asíntota horizontal en y y vale y. Como hay asíntotas horizontales, no existen asíntotas oblicuas ni en ni en. iv) Calculamos la derivada de la función: ( x) (x 5) ( ) 4 f (x) ( x) ( x) Esta derivada nunca se anula, por lo tanto no hay puntos críticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento son los del dominio de la función: En (, ), f (x), luego la función es decreciente. El volumen tiene que valer 5 cm, por lo tanto la condición es r h 5. El área del vaso de cristal es igual al área lateral más el área de la base, es decir, A(r, h) rh r. Despejamos la variable h en la condición y sustituimos en la función: 5 r h 5 h r Sustituyendo, obtenemos: 5 5 A(r) r r r r r r h 4

5 REGIÓN DEMURCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 A continuación derivamos para calcular su mínimo: Calculemos ahora el valor de la altura del vaso: 5 5 r A (r) r h 5 r r r A (h) 5 r r 5 r 5 5 Demostramos, con el criterio de la segunda derivada, 5 5 que este valor minimiza la función área: 5 Por lo tanto, las dimensiones del vaso que minimizan el A (r) área son: r A 6 Radio de la base Altura 4, cm Como la derivada segunda devuelve un valor positivo, el valor calculado para el radio minimiza la función. Bloque 4 4A i) El teorema fundamental del cálculo integral dice lo siguiente: Si f(t) es continua, entonces la función F(x) f(t) dt es derivable y su derivada es F (x) f(x). O en la versión general: Si se cumple que f(t) es continua y g (x) y g (x) son derivables, entonces F(x) y F (x) f(g (x)) g (x) f(g (x)) g (x). ii) Para calcular la integral f(t) dt es derivable calculamos previamente la integral indefinida. x dx g (x) g (x) x x dx x x 4B Para calcular el área encerrada por estas funciones tenemos que calcular los puntos de corte entre ellas. Para ello igualamos entre sí sus expresiones y despejamos: x x x x x x x x x(x x ) x x x y x El área que queremos calcular se divide en dos áreas, según muestra la figura adjunta: f(x) x Y f(x) x x x Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, hay que realizar la división y resto escribirla en la forma cociente : divisor x x x x x La parte del cociente es cuasi inmediata si añadimos la constante que le falta para ser la derivada del numerador. Tenemos, por lo tanto: x x x x x x x ln dx dx A continuación aplicamos la regla de Barrow: x x dx x lnx ln ( ln ),54 Usando integrales definidas calculamos el área de la siguiente manera: A (x x xx )dx (x (x x x)) dx (x x x)dx (x x x)dx Aplicamos a continuación la regla de Barrow: x4 A 4 x x 4 x x u O x4 X 5

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