I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROBABILIDAD

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1 I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROBABILIDAD Sean A y B dos sucesos con P(A0,, P(0, y P(A 0,. Calcular las probabilidades: a P(A/ b P(A/A c P(A B/A d P(A/A. Tenemos: ( ( ( ( P A B + P A B P A + P B P A B P A + P B P A B 0,+ 0, 0, 0,7 a Por definición, se tiene que: P( A/ Por tanto P( A / 0, 0, P A ( P( b P( A ( A Tenemos que P( A/A P( A En el dibujo se observa que ( A P A/ ( ( A P A P A A B A B c P( ( A ( A Tenemos que P( A B/A P( AU En el dibujo se observa que ( ( ( P A B/A B ( P A B 0, P AUB 0,7 A B A B A B 7 d P( A ( A Tenemos que P( A/A P( AU En el dibujo se observa que ( ( P A/A P A 0, P AUB 0, 7 7 A A B A P A B 0,8 Sean A y B dos sucesos tales que P(A 0,4; independientes. y ( Para ver si son independientes hay que comprobar que P( A P( P( A Tenemos: 0,7 P A B P A B P A B P A B 0,7 0, Por otra parte ( ( Como: 0, 4 0,7 0,8 0, P ( A P ( P ( A B P A B 0,7. Verificar si A y B son P A B + P A B P A + P B 0, 8 + 0, 0, 4 + P B P B 0,7 Luego no son independientes.

2 P A B De los sucesos A y b se sabe que P( A P( a P( A b P( A. Hallar: a Tenemos que: P( A P( A P( A P( A P( A b Como: P( A + P( A P( A + P( P( A P( A + P( P( A P( A +. Calcular: 8 4 Sean A y B dos sucesos con P( A ; P( B ; P( A a P( A b P( A c P( A d P( A a Utilizando la fórmula P( A + P( P( A + P( A + P A B P A B obtenemos: ( + + ( P ( A b P( A P( A P P( A A 8 8 B 4 4 c P( A P( A P( A d Para hacer este apartado nos hace falta la representación gráfica de los sucesos: ( P A es toda la parte rallada, es decir, el espacio muestral menos B más la intersección. Con esto tenemos que: ( ( P A B P E P B + P A B Sean los sucesos A {llueve hoy}, B {llueve mañana}, con las probabilidades P(A0,6; P(0,; P(B/A0,. Calcular la probabilidad que: a Llueva los dos días. b Llueva sólo hoy. a Lo que nos preguntan es (traducido a lenguaje matemático: P( A P( A Como PB/A PA ( PB/A PA P( A Entonces tenemos que: P A B 0, 0,6 0, b Lo que nos preguntan es: P( A.. Tal y como se ve en el dibujo tenemos que: ( ( P A B P A P A B 0,6 0, 0,

3 En cierta universidad el 80% de los alumnos ve la televisión o lee; el % realiza ambas cosas y el 60 % no lee. Para un estudiante elegido al azar, calcular la probabilidad de que no vea la televisión. A Ver televisión, B Leer. Entonces tenemos: P A B 0,80; P A B 0,; P B 0,6 P( P( 0,6 0,4 ( ( P A P A B + P A B P B 0,8 + 0, 0,4 0,7 P A 0,7 0, En un experimento aleatorio la probabilidad del suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B, y la suma de las probabilidades de A y del contrario de B es,. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es 0,8. Calcular la probabilidad de que: a Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B. b Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B. c Son independientes los sucesos A y B? Si llamamos x P(A, y P(, con los datos de l enunciado tenemos: x y P( A 0,6 y 0, x 0,6 x + ( y, P( 0, a Lo que nos piden es P( A. P A B + P A B P A + P B P A B P A + P B P A B 0,6 + 0, 0,8 0, 7 b Lo que nos piden es P( A. Por tanto P A B P A B P A B 0, 8 0, 8 c Para que sean independientes tiene que ocurrir que P( A P( P( A Como 0,6 0, 0,8, resulta que los sucesos son independientes. Se elige al azar uno de los 0 primeros números naturales. a Calcular la probabilidad de que el número extraído sea cuadrado perfecto. b Sabiendo que el número extraído es múltiplo de, cuál es la probabilidad de que sea cuadrado perfecto? a Casos posibles: 0. Casos favorables: 7 (, 4, 9, 6,, 6, 49 Aplicando la regla de Laplace: 7 P( cuadrado perfecto 0, 0 bcasos posibles: 6 (, 6, 9,,, 8,, 4, 7, 0,, 6, 9, 4, 4, 48. Casos favorables: (9, 6 Aplicando la regla de Laplace: P ( cuadrado perfecto / múltiplo 0, 6

4 Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado de los temas existentes. Este se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. Que el alumno pueda escoger uno de los dos exámenes (porque se lo sabe pude ocurrir cuando: se sabe los dos temas, se sabe el primero pero no el segundo, se sabe el segundo pero no el primero. Habría que calcular la probabilidad de cada uno de estos tres casos y luego sumarlas. Otra forma de hacerlo es calcular primero el suceso contrario, es decir la probabilidad de no poder escoger ninguna pregunta (porque no se sabe ninguna pregunta: Si llamamos p sabe la primera pregunta, p sabe segunda pregunta, tenemos que: P( p p 0, P saberse algún tema 0, 0,8 Se propone a Juan y Pedro la resolución de un problema. Se estima, en función de sus evaluaciones, que la probabilidad de que lo resuelva Juan es de / y de que lo resuelva Pedro /4. Cuál es la probabilidad de que el problema no sea resuelto? Pe Resuelva el problema Pedro Ju Resuelva el problema Juan, Tenemos que: P( Ju P( Ju P( Pe P( Pe P( Ju Pe 4 De una baraja de 40 cartas se cogen 4 de ellas al azar. Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos copas. Calculamos la probabilidad de obtener dos copas: P( C C C C 0, Esta es la probabilidad de sacar las dos primeras copas y las dos últimas dos no copas. Hay 6 casos diferentes de sacar dos copas: CCCC; CCCC; CCCC; CCCC; CCCC;CCCC Por tanto la probabilidad de sacar dos copas exactamente es: P copas 6 0,07 0,4 De una baraja de 40 cartas se sacan cuatro al azar. Calcular la probabilidad que sean de distinto palo. Primero calculamos la probabilidad de obtener Oros, Copas, Espadas y Bastos, por reste orden P( O C E Como hay 4 formas diferentes (4! 4 de que salgan los cuatro palos, la probabilidad pedida es: P( distinto palo 4 0,

5 El tiempo climatológico se clasifica como bueno o malo. En cierta zona la probabilidad que se produzca un cambio de un día para otro es de 0,. Si para cierto sábado la probabilidad que sea bueno es de 0,4, Cuál es la probabilidad que el domingo haga bueno? SB El sábado hace bueno DB El domingo hace bueno. Para que el domingo haga bueno pueden ocurrir dos situaciones: ª: El sábado hace bueno y el domingo también (no hay cambio de un día para otro. ª: El sábado hace malo y el domingo bueno (hay cambio de un día para otro. La probabilidad pedida es la suma de estas dos probabilidades, es decir: P( SB D 0,4 0,7 0,8 P( D 0,8 + 0,8 0, 46 P( SB D 0,6 0, 0, 8 En una bolsa hay bolas rojas, negras y blancas. Se extrae al azar una bola y, sin devolverla, se extrae otra. Calcular la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color. Tenemos tres casos que son favorables a lo que nos piden:. Que las dos bolas sean rojas. Que las dos bolas sean negras. Que las dos bolas sean rojas. Hay que calcular la probabilidad de ambos casos y luego sumarlos: 4 0 P( R R P ( N N P ( mismo color + + 0, P( B Tres máquinas M, M, M, producen el 4%, 0% y %, respectivamente, del total de piezas que produce una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de esas máquinas son del %, 4% y %. Se toma una pieza al azar, calcular la probabilidad que sea defectuosa. Hay que calcular la probabilidad de que sea defectuosa en cada una de las máquinas y luego sumarlas. P ( M D 0, 4 0,0 0,0 P ( M D 0,0 0,04 0,0 P ( D 0,0 + 0,0 + 0,0 0,08 P( M D 0, 0,0 0,0 En una ciudad en la que hay el doble de hombres que de mujeres hay una epidemia. El 6% de los hombres y el % de las mujeres están enfermos. Se elige un individuo al azar, calcular la probabilidad que esté sano. P( H Como hay el doble de hombres que de mujeres las probabilidades de ambos es: P( M Puede ocurrir que el que esté sano sea hombre o mujer. Por tanto (observa que el dato que nos dan es el la probabilidad de estar enfermo, por tanto hay que calcular la probabilidad del suceso contrario para saber la probabilidad de estar sano: P( H S P( Sano + 0, P( M S 00 00

6 Se disponen de tres monedas. La primera, trucada, tiene una probabilidad de sacar cara de 0,4. La segunda moneda tiene dos cruces y la tercera, también trucada, tiene una probabilidad de sacar cara de 0,6. Se lanzan las tres monedas. Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces. Hay dos casos favorables a obtener dos cruces:. Que la primera y segunda moneda sean cruz y la tercera cara. Que la segunda y tercera sean cruz y la primera cara. El tercer posible caso no es tal ya que no puede ocurrir que la primera y tercera sean cruces y la segunda cara. Calculamos ambas probabilidades y luego las sumamos: P ( X X C 0, 6 0, 6 0,6 P ( cruces 0,6 + 0,6 0, P ( C X X 0, 4 0, 4 0, 6 Un dado está trucado de manera que son iguales las probabilidades de sacar, 4 ó 6. También son iguales las probabilidades de sacar, ó. Además la probabilidad de obtener es el doble que la probabilidad de sacar. Calcular la probabilidad de sacar 7 al tirar dos dados. P( P( 4 P( 6 x P( P( x y P P P y Como la suma de todas las probabilidades tiene que ser igual a, se obtiene que: y + x + y + x + y + x x + y ( y + y 9y y x 9 9 Como sacar 7 se puede obtener de seis formas distintas:,6,,4 4,, 6,, todos elos con un valor par y otro impar, se tiene que: 4 P( 7 6x y Una caja A contiene bolas blancas y negras. Otra caja B contiene bolas blancas y negras. Sacamos una bola de la caja A y la introducimos en B. Si a continuación se extrae una bola de B, razona cuál es la probabilidad de que sea blanca. Volvemos a tener dos casos favorables de obtener que la segunda bola sea blanca:. Que la bola de la urna A sea blanca y la bola de la urna B sea blanca. Que la bola de la urna A sea negra y la bola de la urna B sea blanca. Calculamos ambas probabilidades y luego sumamos. Hay que tener en cuenta que al sacar una bola de la urna A e introducirla en B, la composición de esta última urna cambia. 4 8 P( B P ( segunda blanca P( N 6 0 Una urna con 4 bolas contiene bolas blancas y bolas negras. Se escoge una bola al azar. Calcular la probabilidad que sea blanca. Al no saber como están distribuidas las bolas dentro de las urnas, éstas lo pueden estar de tres formas distintas: U : bolas blancas y una negra, U : dos bolas blancas y dos negras, U : una bola blanca y negras (observa que el problema dice bolas blancas y negras. La probabilidad pedida es la probabilidad de obtener una bola blanca dependiendo de cual que las urnas sea (se supone que las tres urnas son igual de probables: 6 P( P( U P( + P( U P( + P( U P(

7 En un edificio se usan dos ascensores; el primero lo usan el 4% de los inquilinos y el resto usa el segundo. El porcentaje de fallos del primero es del %, mientras que el del segundo es del 8%. Si un cierto día un inquilino queda atrapado en un ascensor, hallar la probabilidad de que haya sido en el primero. A Usar el primer ascensor A Usar el segundo ascensor F Fallo en el ascensor. P( F /A P( A 0, 0 0, 4 P( A/F 0,8 P F 0, 4 0, 0 + 0, 0, 08 En cierta empresa se producen dos bienes A y B en la proporción a 4. La probabilidad de que un bien de tipo A tenga defecto de fabricación es del %, y del tipo B es del %. Se analiza un bien, elegido al azar, y resulta correcto, qué probabilidad existe de que sea de tipo A? P( A El que A y B estén en proporción a 4 significa que las probabilidades son: 4 4 P( Como sabemos el resultado final de la elección (correcto, es decir no defectuosos, tenemos que aplicar el teorema de Bayes: P( D/A P( A 0, 97 P 7 ( A /D 0,84 P( D 4 0, , En un congreso se reúnen 0 médicos, de los cuales son españoles, 6 franceses y 70 portugueses. De ellos el 7% de los españoles, el 60% de los franceses y el 6% de los portugueses están a favor de usar cierta vacuna. Seleccionado un médico al azar, resulta que está a favor de la vacuna. Cuál es la probabilidad de que sea portugués? E Español F Francés P Portugués FV Favorable a la vacuna. 70 P( FV /P P 0, 6 ( P P( P/FV 0 0,66 P( FV ,7 + 0, , Tenemos un dado normal y otro trucado (con 4 unos y doses. Se escoge un dado al azar y se lanza dos veces. Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido y el de la segunda tirada, calcular la probabilidad de haber escogido el dado trucado. N Dado normal T Dado trucado 4 P ( /T P( T 6 6 P( T / 0, 8889 P (

8 El 0% de los empleados de una empresa son ingenieros, otro 0% son economistas. El 7% de los ingenieros son directivos, el 0% de los economistas también, mientras que sólo en 0% de los no ingenieros ni economistas son directivos. Se escoge un trabajador al azar y resulta que es directivo, qué probabilidad es que sea economista? I Ingenieros E Economistas R Resto de empleados D Directivos P( D/E P( E 0,0 0,0 P( E/D 0,7 P D 0,0 0,7 + 0,0 0,0 + 0, 60 0,0 En una casa hay tres llaveros A, B y C, el primero con llaves, el segundo con 7 y el tercero con 8, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del garaje. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el garaje. a Cuál será la probabilidad de acertar con la llave? b Si la llave escogida es la correcta, cuál será la probabilidad de que pertenezca al llavero A? Llamamos AP a abrir la puerta. a P( AP + + 0, b P( AP/A P( A P( A /AP 0,47 P( FV De una urna de 4 bolas blancas y negras se extraen, al azar, sucesivamente dos bolas. Si la segunda bola es negra, cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido? N primera bola negra N segunda bola negra P( N/N P ( N PN/N 6 0, P( N Una urna contiene bolas blancas y negras. Se sabe que en total hay 6 bolas. Se sacan dos bolas y resultan que las dos son negras. Calcular la probabilidad que haya tantas bolas blancas como negras. Al no saber como están distribuidas las bolas dentro de las urnas, éstas lo pueden estar de cinco formas distintas: U : bolas blancas y una negra, U : 4 bolas blancas y negras, U : bolas blancas y negras, U 4 : bolas blancas y 4 negras; U : una bola blanca y negras (observa que el problema dice bolas blancas y negras. P( N N/U P( U 6 P( U /N N 0, P( N N