Prueba Nivel: Álgebra y Modelos Analíticos 3 Matemático. Nombre: Curso: Fecha: Porcentaje de logro Ideal: 100 % Porcentaje Logrado: Nota:

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1 1 Centro educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Nivel: NM- 3 Prueba Nivel: Álgebra y Modelos Analíticos 3 Matemático Nombre: Curso: Fecha: Porcentaje de logro Ideal: 100 % Porcentaje Logrado: Nota: Unidad: Álgebra Contenido: Álgebra, Geometría Analítica Aprendizaje Esperado: Aplica conceptos de simplificación y factorización de expresiones algebraicas en la resolución y demostración de problemas y determina el conjunto solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de grado 1 y.. - Analiza diferentes figuras geométricas en el plano cartesiano y demuestra sus propiedades. Instrucciones: - - Resuelve en forma ordenada y anota los resultados finales con lápiz pasta. - Todo desarrollo y/o procedimiento que no esté ordenado, no será corregido y se considerará NULO para efectos de asignación de puntaje. Parte I. Álgebra. I) Respuesta breve. ( % c / u 18% ) 3a 1 a 1 1 a 1) Demuestra que a ± 1 ; : a 1 a 1 = a + 1

2 ) Demuestra, resolviendo o comprobando, que la solución de la ecuación de primer grado x + a + b x + a b a + b a + b = ; a b es x = x + a x a x a 3) Demuestra que: a + a + 1 a ± 1 ; : = a 1 ( a 1) 1 a 3 4) Resuelve la ecuación literal : ( ) ( ) x x a a a x = 1 a x x a

3 3 5) Resuelve la ecuación exponencial ( a ) n n n n 1 n 1 a + = 1 a 6) Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si se resta una misma cantidad a los 3 lados, se obtiene un triángulo rectángulo. Qué cantidad(es) es (son) esta(s)? 7) Resuelve la ecuación bicuadrática: 4 x + 4x 6 = 0

4 4 8) Resuelve la ecuación: x = 11 3 x 9) Resuelve y Demuestra que la solución de la ecuación literal de primer grado ( a b) + ab ( a b) b ( x a) a ( x a) = a 1 ; a ± b a b a ab + b a + 1 b a + a a + b + a + 1 ab ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) está dada por: x = a + 1

5 5 II) Desarrollo. ( 4% c / u 36% ) { } 10) Resuelve las ecuaciones siguientes : x ( x ) ( x ) x ( x ) ; ( ) ( ) ( ) = 7 y y y + y y + = +, para demostrar que x + y = ) Realizando cambio de variable, determina el conjunto solución de la ecuación irracional x + x 1 x x 1 + = 98 x x 1 x + x 1

6 6 1) Demuestra que: 1+ a 1 a a b 1 a a + b ( 1+ a ) = 3 a + b ab a ab + b 3{ + ( ) } { ( ) a b 4 a b } a b a + b 3ab 13) La diferencia de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados 97. Determina el valor absoluto de la raíz cuadrada del producto de ellos.

7 7 a ab 14) Dados = a + b 1 A, B = b a + b 1 1 a Demuestra que: A + B + C = 1 y C x 1 3x + 1 5x + 19x = + ; x + 3 x + 5 x + 8x + 15

8 8 x y = + a b a b 15) Resuelve el siguiente sistema ; a b 0 x y = 0 b a 1 1 y Demuestra que su solución está dada por: x = ; y = a b 16) Resuelve el siguiente sistema xy x y = 3 3xy x y = 8

9 9 17) Resuelve el siguiente sistema 3x + 5xy y = 0 7x + 9xy 3y = 7

10 10 18) Demuestra que 1 x y x 1 1 x, y ± 1; + : = x y x 1 y y 1 Optativo 1 (6%) En un círculo la distancia entre dos cuerdas paralelas es 1 cm. Si cada cuerda mide 6 cm más que el radio, determina la medida del radio.

11 Nombre: Parte II. Geometría Analítica. III) Respuesta breve. (,5% c / u 30% ) 1) Sean a y b números enteros de modo que a > b. Entonces, en qué cuadrante se ubica el punto d cuyas coordenadas son (b a, a b)? 11 ) Dadas las rectas L 1 : y= ax+ 5 y L 1 : 3x+ y+ 9= 0, qué valor debe tener a, para que: a) L1 L b) L 1 / / L 3) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -1) y es paralela a la recta y x + 8 = 0? 4) Si el punto ( 3, 1), pertenece a la recta L: (k 1)x + (k + 1)y 1 = 0. Determina el valor de k.

12 1 5) Determina si la distancia entre los puntos: ( ) determinada por: d = m + n m n 3 n m 3 A m, n ; B +, queda 6) Cuánto mide el área de una circunferencia de diámetro AB determinado por los puntos A 1, 5 ; B 7,3? ( ) ( ) 7) Dada Una recta L : Ax By C = y un punto P ( x, y ) 1 1, su distancia queda determinada Ax1 + By1 + C por la expresión: dpl =. A + B Usando lo anterior determina si la distancia de la figura es efectivamente la indicada.

13 13 8) Determina la ecuación principal de la recta, cuya pendiente 4 y su coeficiente de posición es, su ecuación general es : 9) Determina la distancia del punto P, que corresponde a la intersección de las rectas: y = 5 x e y = x 1, al origen. 10) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 u (unidades) es el punto A 3,. Si la abscisa del otro extremo es 6, determina los valores que puede tomar la ( ) ordenada. 11) Determina la ecuación general de L, sabiendo que es perpendicular a L1 y pasa por el 0, punto ( )

14 14 1) Uno de los puntos extremos de un segmento es P ( ) y su punto medio es P ( 4,3 ) Determina las coordenadas del otro extremo. 1 7,8 M IV) Demostraciones. ( 4% c / u 4% ) 13) Las rectas L1 : x + y 8 ; L : x y + 4 = 0 forman con eje de las abscisas un triángulo. Determina su área y perímetro.

15 14) El triángulo de la figura, determina la ecuación principal, de cada una de sus transversales de gravedad 15

16 16 15) Los puntos; A(, 1 ) ; B (, ) ; C ( 5, ) son los vértices de un triángulo. a) Demuestra que este es isósceles. b) Determina la ecuación general de la simetral que Intersecta la base del triangulo. 16) Utilizando el triángulo de la figura: : a) Demuestra que Triángulo ABC es rectángulo en C b) Demuestra que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.

17 17) Demostrar que la recta que une los puntos medios de lados cualesquiera de un triángulo, es paralela al tercer lado e igual a su mitad. 17

18 18) Demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio: a) Es paralelo a las bases b) su longitud es igual a la semisuma de las bases- 18

19 Optativo!!! (6%) Dos de los vértices de un triángulo equilátero son: A( 1,1 ) ; B ( 3,1) del tercer vértice.. Hallar las coordenadas 19