Tema 7: Modelos de variables aleatorias discretas y absolutamente continuas
|
|
- José Ignacio Marín Sandoval
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tema 7: Modelos de variables aleatorias discretas y absolutamente continuas. Introdución En este tema estudiaremos algunas distribuciones asociadas a variables aleatorias discretas y absolutamente continuas, consideradas como clásicas por el hecho de aparecer frecuentemente en diferentes ámbitos del desarrollo del Cálculo de Probabilidades y la Estadística Matemática. En todo el tema, y para el caso de variable aleatoria X, discreta, S denotará el soporte, es decir, el conjunto de valores x k tales que P [X = x k ] = p k > 0. Véase Tema Modelos de variables aleatorias discretas 2.. Variable aleatoria degenerada. Distribución degenerada En general, diremos que una variable aleatoria, X, es degenerada cuando b IR con P [X = b] =, es decir, el soporte de X se limita a un único valor, b. Así, se puede decir que X es constante con probabilidad. Como caso particular, una variable aleatoria constante es degenerada. Para este caso, se tiene, F X (x) = I [b,+ ) E[X r ] = b r, r IN V [X] = 0 M X (t) = E[e tx ] = e tb La distribución asociada a una variable aleatoria degenerada se denomina distribución degenerada. Observemos así que usualmente hablamos, de forme indistinta, de distribución o variable aleatoria de tal o cual tipo Distribución concentrada en dos puntos Diremos que la variable aleatoria X tiene una distribución concentrada en dos puntos cuando el soporte es S = {x, x 2 }, siendo P [X = x ] = p, P [X = x 2 ] = p, p (0, ). NOTA: p puede tomar también los valores 0 ó pero ello daría lugar a casos triviales. El caso particular más importante es aquel en el cual x = y x 2 = 0, siendo P [X = ] = p y P [X = 0] = p = q. Para este caso, Se tiene, E[X r ] = p, r IN E[X] = p, V [X] = p( p) M X (t) = E[e tx ] = pe t + q Esta distribución particular se denomina de Bernoulli, y simbólicamente se escribe X Be(p) para indicar que X posee una distribución de tal tipo. Un experimento aleatorio con dos resultados posibles se conoce con el nombre de experimento o prueba de Bernoulli.
2 2.3. Distribución uniforme discreta en n puntos Dado n IN, diremos que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución uniforme discreta en n puntos cuando S = {x,..., x n } siendo P [X = x k ] = /n, k =,..., n. Es decir, todas las probabilidades iguales, de ahí al nombre de uniforme. El caso más usual es aquel en el que x k = k. Para esta situación se obtiene, M X (t) = E[e tx ] = n k= ekt = e t (e nt )/(e t )n) E[X] = n k= k = (n + )/2 E[X 2 ] = n k= k2 = ( + n)( + 2n)/6 V [X] = E[X 2 ] E 2 [X] = (cálculos rutinarios) = (n 2 )/2 Hemos aplicado las expresiones elementales, k= k = n(n + )/2 k= ak = a( a n )/( a) k= k2 = n(n + )( + 2n)/ Distribución binomial [Profundamente estudiada y frecuentemente mencionada en temas anteriores] Dados n IN y p (0, ), diremos que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución binomial de parámetros n y p, lo que se denota X Bi(n, p), si S = {0,,..., n}, siendo P [X = k] = ( n k) p k ( p) n k, k = 0,..., n. Se tiene, denotando p = q, E[X] = np, V [X] = npq M X (t) = (q + pe t ) n Observemos que esta distribución aparece de manera natural cuando se considera la repetición de una experimento, con dos posibles resultados, Éxito y Fracaso, en iguales condiciones (de forma que podamos suponer independencia entre las diferentes repeticiones, y queremos considerar la variable aleatoria número de éxitos obtenidos Distribución geométrica [Estudiada en el Tema 6.] Consideremos una experimento o prueba de Bernoulli, con resultados posibles, Éxito, con probabilidad p, y Fracaso, con probabilidad p = q. Si repetimos el experimento, en las mismas condiciones, siendo las repeticiones independientes, hasta conseguir el primer Éxito, podemos definir la variable aleatoria X = número de Fracasos previos o anteriores al primer Éxito. Esta variable aleatoria toma, obviamente, valores enteros no negativos, y recordando el modelo binomial, tendremos, denotando q = p, P [X = 0] = p P [X = ] = qp P [X = 2] = q 2 p P [X = k] = q k p k 0 2
3 que obviamente forma una distribución de probabilidad. Se tiene pues el soporte, S = IN = IN {0}. La distribución obtenida se denomina geométrica de parámetro p. para indicar que X tiene tal distribución se escribe X Ge(p). Para dicha variable aleatoria, se verifican [véase Tema 6.], M X (t) = p/( e t q) E[X] = q/p, V [X] = q/p 2 t < ln(q) Es posible definir, de manera alternativa, la variable aleatoria con distribución geométrica como Y = número de pruebas realizadas al obtener el primer Éxito. Esta variable toma valores en IN siendo su función de probabilidad P [Y = k] = q k p k. Es obvio que Y = X +, siendo pues, E[Y ] = q p + = p V [Y ] = V [X] = q p 2 Esta definición alternativa aparece en muchos textos y tratados de Cálculo de Probabilidades, y es prácticamente igual a la definición usual Distribución binomial negativa Es una generalización de la distribución geométrica, en el sentido de repetir el experimento asociado hasta conseguir r Éxitos, definiendo ahora la variable aleatoria X = número de fracasos previos al r-esimo Éxito con r. Esta variable aleatoria toma obviamente valores enteros no negativos, y para ella se obtiene fácilmente, teniendo en cuenta que la sucesión equivalente a X = k sería, R, R 2, R 3..., r ésimo Éxito donde antes del r-ésimo éxito habrá k Fracasos y r Éxito, ( ) k + r P [X = k] = p r q k k = 0,, 2,... k obteniéndose también fácilmente, M X (t) = p r /( e t q) r E[X] = rq/p, V [X] = rq/p 2 t < ln(q) Para indicar que X tiene una distribución de este tipo, con parámetros r y p, se escribe X Bn(r, p). Observemos que si r = coincide con la geométrica Distribución hipergeométrica Consideremos un conjunto, U, con N elementos, de los cuales, N son de tipo I y N 2 = N N de tipo II. De la población se extrae una muestra de n N elementos, sin reemplazamiento y sin considerar el orden como característica diferenciadora, de forma que todas las posibles combinaciones sean equiprobables, y se considera la variable aleatoria X = número de elementos de tipo I en la muestra obtenida. Observemos que si k es un valor factible, entonces, ) P [X = k] = ( N )( N2 k n k debiendo verificarse k n, k N, n k N 2, k 0, es decir, ( N n) máx{0, n + N N} k mín{n, N } La distribución así obtenida se denomina hipergeométrica, y para indicar que X tiene tal distribución, se escribe X H(N, N, n). Se verifica, E[X] = nn /N V [X] = (N n)(n N )nn /(N 2 (N )) 3
4 2.8. Distribución de Poisson [Estudiada en el Tema 5.] Diremos que una variable aleatoria discreta, X, sigue una distribución de Poisson si el soporte es S = IN y la función de probabilidad es, λ λk P [X = k] = e k! denotándose X P(λ). Mediante cálculos rutinarios obtenemos, λ > 0 M X (t) = e λ(et ) t IR E[X] = λ, V [X] = λ 3. Modelos de variables aleatorias absolutamente continuas 3.. Distribución uniforme Definición. Diremos que la la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [a, b] con a, b IR, a < b, o que es uniforme en dicho intervalo, o que sigue una distribución uniforme, lo cual se denota X U[a, b], si es absolutamente continua, con función de densidad, o, también, f(x) = b a I [a,b](x) f(x) = b a I (a,b)(x) x IR x IR Es inmediato comprobar que f cumple los requisitos exigidos para ser función de densidad. Además, con una sencilla integración, se obtiene la función de distribución, 0 x a x a F (x) = a < x b b a x > b Se tiene además [integrales inmediatas], Momentos de orden k. E[X k ] = bk+ a k+ (b a)(k + ) k 0 Esperanza, momento de segundo orden y varianza. E[X] = a + b 2 Función generatriz de momentos, E[X 2 ] = b2 + ab + a 2 3 V [X] = (b a)2 2 M X (t) = etb e ta t(b a) t 0, M X (0) = Un caso particular, que aparece con frecuencia es [a, b] = [0, ], siendo entonces f = I [0,]. En este caso, Se tiene además [integrales inmediatas], Momentos de orden k. E[X k ] = k + k 0 4
5 Esperanza, momento de segundo orden y varianza. E[X] = 2 Función generatriz de momentos, E[X 2 ] = 3 V [X] = 2 M X (t) = et t t 0, M X (0) = 4. Distribución exponencial o exponencial negativa [Estudiada en el Tema 5.] Diremos que X tiene una distribución exponencial de parámetro λ > 0 si es absolutamente continua con función de densidad, f(x) = λe λx I [0,+ ) (x) x R siendo la pues función de distribución, Fácilmente se obtienen, Momentos de orden k. F (x) = x λe λt I [0,+ ) (t) dt = ( e λx) I [0,+ ) (x) E[X k ] = k! λ k Esperanza, momento ordinario de segundo orden y varianza. k IN E[X] = λ E[X 2 ] = 2 λ 2 V [X] = λ 2 Función generatriz de momentos, 4.. Distribución Gamma M X (t) = λ λ t t < λ Definición. Diremos que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución Gamma de parámetros a y p, lo que denotaremos X Ga(a, p), si es absolutamente continua, con función de densidad, siendo cero si x 0. f(x) = ap Γ(p) e ax x p x IR +, a > 0, p > 0 En la anterior definición, Γ(p) denota la famosa función Gamma, una de las más importantes de las matemáticas por sus numerosas apariciones y aplicaciones, Γ(p) = + 0 x p e x dx p > 0 Esta importante función fue profundamente estudiada por el insigne Euler por lo que a veces se le llama función Gamma de Euler en su honor. Recordemos que esta función, de frecuente aparición en todos los campos de la matemática pura y aplicada, verifica las siguientes propiedades, Γ() = 5
6 Γ(p) = (p )Γ(p ) Γ(n) = (n )! Γ( 2 ) = π n IN p > [Nota: cierta similitud con el factorial]. Para ampliar, véase cualquier texto intermedio de Análisis Matemático. Fácilmente se comprueba que f cumple las propiedades inherentes a la función de densidad. Se tiene además, Momentos de orden k. E[X k ] = Esperanza, momento de segundo orden y varianza. E[X] = p a Función generatriz de momentos, Casos particulares: E[X 2 ] = M X (t) = Γ(k + p) a k Γ(p) k 0 p(p + ) a 2 V [X] = p a 2 ( ) p a t < a a t Si X Ga(a = /2, p = n/2), n IN diremos que X sigue una distribución χ 2 (pronunciar chi cuadrado ) con n grados de libertad, lo que se denota X χ 2 n. Si X Ga(a = λ, p = ), obtenemos precisamente la distribución exponencial de parámetro λ 5. Distribución Beta Definición. Diremos que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución Beta de parámetros a y b, lo que denotaremos X Be(a, b), si es absolutamente continua, con función de densidad, siendo cero si x (0, ). f(x) = B(a, b) xa ( x) b x (0, ) a, b > 0 En la definición anterior, B(a, b) representa la famosa función beta, definida como, B(a, b) = 0 x a ( x) b dx a, b > 0 y que presenta interesantes propiedades, entre ellas, la siguiente relación con la función Gamma, B(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) Fácilmente se comprueba que f cumple las propiedades inherentes a la función de densidad. Se tiene además, Momentos ordinarios de orden k. E[X k ] = B(a + k, b) B(a, b) Esperanza, momento ordinario de segundo orden y varianza. k 0 E[X] = a a + b Si a = b = entonces X U(0, ). E[X 2 ] = Si X Be(a, b) entonces Y = ( X) Be(b, a). a(a + ) (a + b)(a + b + ) V [X] = ab (a + b) 2 (a + b + ) 6
7 6. Distribución de Cauchy [Estudiada en el Tema 6.] Definición. Diremos que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución de Cauchy, lo que denotaremos X C(0, ), si es absolutamente continua, con función de densidad, f(x) = π + x 2 x IR Es obvio que f verifica los requisitos para ser función de densidad, siendo la función de distribución correspondiente, F (x) = x f(t) dt = π arctg(x) + 2 x IR Como ya se ha visto en el Tema 6., esta distribución carece de función generatriz de momentos y de momentos de cualquier orden ya que la integral impropia, x r dx, r IN + x2 es absolutamente divergente. IR 7. Distribución normal La distribución normal, es una de las más importantes y desempeña un relevante papel en el desarrollo del Cálculo de Probabilidades y de la Estadística Matemática. Como modelo de distribución teórica, se adapta con gran aproximación a numerosos fenómenos reales en el campo de la Biología, la Psicología, la Economía o la Astronomía, es decir, es una distribución muy normal. Históricamente, fue Gauss uno de los primeros matemáticos que la estudió, en relación a problemas de errores en observaciones astronómicas y de cálculo de orbitas de cuerpos celestes pudiendo encontrarse en su famosa obra Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientium, publicada en 809, en Gottingen, algunas interesantes disquisiciones sobre el particular. Por esta razón, se suele conocer con el nombre de distribución de Gauss. Sin embargo no se le debe conceder todo el mérito, pues otros matemáticos de la época también hicieron importantes aportaciones al respecto. Por esta razón, también se le llama distribución de Laplace-Gauss o de Gauss-Laplace. Definición. Diremos que la variable aleatoria Z se distribuye según una distribución normal de parámetros 0 y, lo que denotaremos Z N(0, ), si es absolutamente continua, con función de densidad, f(z) = 2π e 2 z2 z IR Observemos que f 0 y además, haciendo el cambio de variable z 2 = 2t, obtenemos, + + e 2 z2 dz = 2 e z2 dz = t 2 e t dt = Γ( 2 ) = 2π 2π 2π π 0 La correspondiente función de distribución, F Z, se denota tradicionalmente por Φ, y se tiene pues, Φ(z) = z 0 2π e 2 t2 dt Esta función, Φ, aparece en numerosos campos de las Matemáticas y por ello ha sido muy estudiada. Sus valores se pueden buscar en tablas especiales, o calcularlos con programas como MATHEMATICA o similares. Si Z N(0, ) y µ, σ IR con σ > 0, sea X = µ + σz. La función de distribución de X será pues, [ F X (x) = P [X x] = P Z x µ ] ( ) x µ = Φ = σ σ 7 x µ σ 2π e 2 t2 dt x IR
8 y mediante un sencillo cambio de variable, se obtiene, F X (x) = x ( t µ σ 2π e 2 σ La variable aleatoria X, absolutamente continua, tiene pues como función de densidad, ) 2 dt ( x µ f(x) = σ 2π e 2 σ ) 2 x IR y diremos que sigue una distribución normal de parámetros µ y σ 2, denotándose X N(µ, σ 2 ). Algunas de sus características son, E[X] = µ E[X 2 ] = µ 2 + σ 2 V [X] = σ 2 M X (t) = e tµ+t2 σ 2 /2 t IR Resultado. Dados µ, σ IR con σ > 0, se verifica, o, equivalentemente, Z N(0, ) (µ + σ Z) N(µ, σ 2 ) X N(µ, σ 2 ) X µ N(0, ) σ donde Z y X son variables aleatorias. Definición. dada una variable aleatoria X N(µ, σ 2 ), la variable aleatoria, se denomina tipificación de X o variable X tipificada. Z = (X µ)/σ N(0, ) OBSERVACIÓN: La tipificación permite hallar probabilidades para una variable aleatoria cualquiera si se conocen las probabilidades para la N(0, ). Por ejemplo, sea X N(6, 4), entonces, si queremos calcular P [X 0], tendremos, P [X 0] = P [(X 6)/ 4 (0 6)/ 4] = P [Z 2] = Φ(2) donde hemos denotado Z = (X 6)/2, siendo pues Z N(0, ) por el resultado anterior. Así, para calcular probabilidades asociadas a una distribución de probabilidad normal general, N(µ, σ 2 ), basta conocer la función Φ. En este caso, Φ(2) = 0,97725, ha sido calculado con MATHEMATICA, mediante la instrucción, N[CDF[NormalDistribution[0, ], 2]] Bibliografía [] Gutiérrez, R., Martínez, A. y Rodríguez, C. (993). Curso básico de probabilidad. Pirámide. [2] Renyi, A. (966). Calcul des probabilités. Dunod. [3] Renyi, A. (976). Cálculo de probabilidades. Reverté. [4] Rohatgi, V.K. (976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley. 8
Modelos Básicos de Distribuciones Discretas y Continuas
Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 1/27 Modelos Básicos de Distribuciones Discretas y Continuas Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Sevilla Contenidos Modelos
Más detallesAlgunos modelos clásicos de distribuciones asociadas a variables aleatorias discretas y absolutamente continuas
Algunos modelos clásicos de distribuciones asociadas a variables aleatorias discretas y absolutamente continuas Dpto. de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Sevilla. Variables Aleatorias
Más detallesModelos de distribuciones discretas y continuas
Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Modelos de distribuciones discretas y continuas Estadística I curso 2008 2009 1. Distribuciones discretas Aquellas
Más detallesTema 6: Características numéricas asociadas a una variable aleatoria. Función generatriz de momentos
Tema 6: Características numéricas asociadas a una variable aleatoria. Función generatriz de momentos. Introducción En este Tema 6. construiremos y estudiaremos una serie de parámetros o características
Más detallesPart VI. Distribuciones notables. Estadística I. Mario Francisco. Principales distribuciones unidimensionales. discretas. Principales distribuciones
Part VI notables El proceso de Bernoulli En cada observación se clasifica el elemento de la población en una de las dos posibles categorías, correspondientes a la ocurrencia o no de un suceso. Llamaremos
Más detallesProbabilidad II Algunas distribuciones notables. Antonio Cuevas Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid
Probabilidad II Algunas distribuciones notables Antonio Cuevas Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid La distribución normal f (x; µ, σ) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2, x R, µ R, σ > 0 E(X
Más detallesTema 5: Funciones medibles. Variables aleatorias. Función de distribución.
Tema 5: Funciones medibles. Variables aleatorias. Función de distribución. El concepto de variable aleatoria formaliza las magnitudes numéricas asociadas a los resultados de una experimento aleatorio.
Más detallesI. Distribuciones discretas
Probabilidades y Estadística (M) Funciones de densidad o probabilidad puntual, esperanzas, varianzas y funciones características de las variables aleatorias más frecuentes I. Distribuciones discretas Distribución
Más detalles2 Modelos de probabilidad discretos sobre R
UN CATÁLOGO DE MODELOS DE POBABILIDAD Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. Introducción En este capítulo vamos a dar un catálogo de algunos de los modelos de probabilidad más utilizados,
Más detallesModelos de distribuciones discretas y continuas
Tema 6 Modelos de distribuciones discretas y continuas 6.1. Modelos de distribuciones discretas 6.1.1. Distribución uniforme sobre n puntos Definición 6.1.2 Se dice que una v.a. X sigue una distribución
Más detallesTema 6: Modelos de probabilidad.
Estadística 60 Tema 6: Modelos de probabilidad. 6.1 Modelos discretos. (a) Distribución uniforme discreta: La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta de parámetro n,que denoteramos
Más detallesCurso de Probabilidad y Estadística
Curso de Probabilidad y Estadística Distribuciones de Probabilidad Dr. José Antonio Camarena Ibarrola camarena@umich.mx Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Facultad de Ingeniería Eléctrica
Más detallesMa34a Probabilidades y Procesos Estocásticos 21 de Noviembre, Resumen No. 3
Ma34a Probabilidades y Procesos Estocásticos 21 de Noviembre, 2004 Resumen No. 3 Prof. Cátedra: M. Kiwi Prof. Auxiliares: M. Soto, R. Cortez 1 Variables Aleatorias 1.1 Variables Aleatorias Absolutamente
Más detallesCálculo de probabilidad. Tema 3: Variables aleatorias continuas
Cálculo de probabilidad Tema 3: Variables aleatorias continuas Guión Guión 3.1. La función de densidad de probabilidad Definición 3.1 Sea P una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω. Se dice
Más detallesTransformaciones y esperanza
Capítulo 3 Transformaciones y esperanza 3.1. Introducción Por lo general estamos en condiciones de modelar un fenómeno en términos de una variable aleatoria X cuya función de distribución acumulada es
Más detallesCálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 1
08231. Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 1 Problema 1. Se eligen tres puntos A, B y C, al azar e independientemente, sobre una circunferencia. Determinar la distribución del valor
Más detallesAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Introducción El comportamiento de una variable aleatoria queda
Más detallesDistribuciones de probabilidad más usuales
Tema 5 Distribuciones de probabilidad más usuales En este tema se estudiarán algunas de las distribuciones discretas y continuas más comunes, que se pueden aplicar a una gran diversidad de problemas y
Más detalles( ) DISTRIBUCIÓN UNIFORME (o rectangular) 1 b a. para x > b DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY. x ) DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. α α 2 DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE
Estudiamos algunos ejemplos de distribuciones de variables aleatorias continuas. De ellas merecen especial mención las derivadas de la distribución normal (χ, t de Student y F de Snedecor), por su importancia
Más detallesDefinición 4.1 Diremos que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución Uniforme de parámetro N, N 1, si. rg(x) = {1, 2,...
Índice 4 MODELOS DE DISTRIBUCIONES 4.1 4.1 Introducción.......................................... 4.1 4.2 Modelos de distribuciones discretas............................. 4.1 4.2.1 Distribución Uniforme
Más detallesFORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Jorge M. Galbiati pág. DISTRIBUCION BINOMIAL 2 DISTRIBUCION POISSON 4 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA 5 DISTRIBUCION GEOMETRICA 7 DISTRIBUCION NORMAL 8 DISTRIBUCION
Más detallesTema 6 Algunos modelos de distribuciones continuas
Tema 6 Algunos modelos de distribuciones continuas 1. Distribución uniforme continua Esta es la más sencilla de las distribuciones continuas, y surge al considerar una variable aleatoria que toma valores
Más detallesVariables aleatorias continuas y Teorema Central del Limite
Variables aleatorias continuas y Teorema Central del Limite FaMAF 17 de marzo, 2015 Variables aleatorias continuas Definición Una variable aleatoria X se dice (absolutamente continua) si existe f : R R
Más detallesTEMA 2.- VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.- CURSO 17/18
TEMA 2.- VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.- CURSO 17/18 2.1. Concepto de variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. 2.2. Variables aleatorias discretas. Diagrama de
Más detallesVariables Aleatorias y Distribución de Probabilidades
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidades Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 27 de mayo de 2011 Tabla de Contenidos Variables
Más detallesFórmulas, Resultados y Tablas Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática
DEPARTAMENT D ESTADÍSTICA I INVESTIGACIÓ OPERATIVA Fórmulas, Resultados y Tablas Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática A. Distribuciones de variables aleatorias. 1. Descripción de una distribución
Más detallesVariables aleatorias continuas, TCL y Esperanza Condicional
Variables aleatorias continuas, TCL y Esperanza Condicional FaMAF 17 de marzo, 2011 1 / 37 Poisson P(λ) Número de éxitos en una cantidad grande de ensayos independientes Rango: {0, 1, 2,... } = {0} N Función
Más detallesMomentos de Funciones de Vectores Aleatorios
Capítulo 1 Momentos de Funciones de Vectores Aleatorios 1.1 Esperanza de Funciones de Vectores Aleatorios Definición 1.1 Sea X = (X 1,..., X n ) un vector aleatorio (absolutamente continuo o discreto)
Más detallesTema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras
Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso 2008-2009
Más detallesEjercicios Adicionales de Cálculo de Probabilidades LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS. CURSO
1 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Universidad de Sevilla Ejercicios Adicionales de Cálculo de Probabilidades LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS. CURSO 2005-2006. NOTACIONES Y NOMENCLATURA:
Más detallesPérdida Esperada. Pérdida Esperada (PE): Valor esperado de pérdida por riesgo crediticio en un horizonte de tiempo determinado.
Pérdida Esperada Uno de los objetivos de este estudio es construir una función de pérdidas para el portafolio de la cartera de préstamos que ofrece la entidad G&T Continental, basados en el comportamiento
Más detallesVariables aleatorias
Variables aleatorias DEFINICIÓN En temas anteriores, se han estudiado las variables estadísticas, que representaban el conjunto de resultados observados al realizar un experimento aleatorio, presentando
Más detallesUnidad 3. Probabilidad. Javier Santibáñez (IIMAS, UNAM) Inferencia Estadística Semestre / 22
Unidad 3. Probabilidad Javier Santibáñez (IIMAS, UNAM) Inferencia Estadística Semestre 2018-1 1 / 22 Espacios de probabilidad El modelo matemático para estudiar la probabilidad se conoce como espacio de
Más detallesObjetivos. 1. Variable Aleatoria y Función de Probabilidad. Tema 4: Variables aleatorias discretas Denición de Variable aleatoria
Tema 4: Variables aleatorias discretas Objetivos Dominar el uso de las funciones asociadas a una variable aleatoria discreta para calcular probabilidades. Conocer el signicado y saber calcular la esperanza
Más detallesModelo de Probabilidad
Capítulo 1 Modelo de Probabilidad 1.1 Definiciones y Resultados Básicos Sea Ω un conjunto arbitrario. Definición 1.1 Una familia no vacía F de subconjuntos de Ω es llamada una σ-álgebra de subconjuntos
Más detallesEstadística. Tema 2. Variables Aleatorias Funciones de distribución y probabilidad Ejemplos distribuciones discretas y continuas
Estadística Tema 2 Variables Aleatorias 21 Funciones de distribución y probabilidad 22 Ejemplos distribuciones discretas y continuas 23 Distribuciones conjuntas y marginales 24 Ejemplos distribuciones
Más detallesFamilias de distribuciones
Capítulo 2 Familias de distribuciones 2.1. Introducción Las distribuciones estadísticas son usadas para modelar poblaciones a través de un miembro de una familia de distribuciones. Cada familia se encuentra
Más detallesDistribuciones de probabilidad Discretas
Distribuciones de probabilidad Discretas Distribución Uniforme Discreta Definición Una variable aleatoria X, tiene una distribución uniforme discreta, si cada uno de los valores x 1, x 2,.. x n, tiene
Más detallesFunciones generadoras de probabilidad
Funciones generadoras de probabilidad por Ramón Espinosa Armenta En este artículo veremos cómo utilizar funciones generadoras en teoría de la probabilidad. Sea Ω un conjunto finito o numerable de resultados
Más detallesTécnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I
Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I Licenciado en Administración Módulo II: ESTADÍSTICA INFERENCIAL Contenidos Módulo II Unidad 4. Probabilidad Conceptos básicos de probabilidad:
Más detallesPercentiles. El percentil p de una variable aleatoria X es número más pequeño, que denominaremos x u que cumple:
Percentiles 130 El percentil p de una variable aleatoria X es número más pequeño, que denominaremos x u que cumple: el percentil es, por tanto, el valor de la variable aleatoria para el cual la función
Más detallesCurso Propedéutico de Cálculo Sesión 6: Aplicaciones de la Integración
por Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 6: de la Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico Esquema por 1 por 2 Esquema por 1 por 2 por Al contrario
Más detallesApuntes de Clases. Modelos de Probabilidad Discretos
2010 Índice 1. Distribución de Bernouilli 2 2. Distribución Binomial 3 3. Distribución Hipergeométrica 3.1. Aproximación Binomial de la distribución Hipergeométrica............. 7 4. Distribución Geométrica
Más detallesResumen de Probabilidad
Definiciones básicas * Probabilidad Resumen de Probabilidad Para calcular la probabilidad de un evento A: P (A) = N o decasosfavorables N o decasosposibles * Espacio muestral (Ω) Es el conjunto de TODOS
Más detallesModelado de la aleatoriedad: Distribuciones
Modelado de la aleatoriedad: Distribuciones Begoña Vitoriano Villanueva Bvitoriano@mat.ucm.es Facultad de CC. Matemáticas Universidad Complutense de Madrid I. Distribuciones Discretas Bernoulli (p) Aplicaciones:
Más detallesVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional Primavera 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus Definición de una V.A.C. Definición de una V.A.C.
Más detallesTema 4: Variables aleatorias. Tema 4: Variables Aleatorias. Tema 4: Variables aleatorias. Objetivos del tema:
Tema 4: Variables aleatorias Tema 4: Variables Aleatorias Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Objetivos del tema: Al final del tema el alumno
Más detallesUniversidad Nacional de La Plata
Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Agrarias y Forestales CÁLCULO ESTADÍSTICO STICO Y BIOMETRÍA CONTENIDOS UNIDAD 3: Introducción al Cálculo de Probabilidades. Experimento aleatorio.
Más detallesProcesos de Poisson. 21 de marzo, FaMAF 1 / 25
Procesos de Poisson FaMAF 21 de marzo, 2013 1 / 25 Distribución exponencial Definición Una v.a. X con función de densidad dada por f λ (x) = λ e λx, x > 0, para cierto λ > 0 se dice una v.a. exponencial
Más detallesModelos de probabilidad. Modelos de probabilidad. Modelos de probabilidad. Proceso de Bernoulli. Objetivos del tema:
Modelos de probabilidad Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Objetivos del tema: Al final del tema el alumno será capaz
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Grado en Ingeniería Informática Tema 3 Variables aleatorias Javier Cárcamo Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid javier.carcamo@uam.es Javier Cárcamo PREST.
Más detallesDistribuciones habituales
Distribuciones habituales Tema 5 Eponencial Ignacio Cascos Depto. Estadística, Univerdad Carlos III 1 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Univerdad Carlos III 2 Objetivos Adquirir soltura con el manejo
Más detalles6.3. Distribuciones continuas
144 Bioestadística: Métodos y Aplicaciones Solución: Si consideramos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen la enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero que puede ser
Más detallesUnidad IV: Distribuciones muestrales
Unidad IV: Distribuciones muestrales 4.1 Función de probabilidad En teoría de la probabilidad, una función de probabilidad (también denominada función de masa de probabilidad) es una función que asocia
Más detallesDistribuciones Probabilísticas. Curso de Estadística TAE,2005 J.J. Gómez Cadenas
Distribuciones Probabilísticas Curso de Estadística TAE,005 J.J. Gómez Cadenas Distribución Binomial Considerar N observaciones independientes tales que: El resultado de cada experimento es acierto o fallo
Más detallesESTADÍSTICA I. Unidad 4: Resumen de Contenidos Teóricos 1. Mariano Lanza DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD COMÚNMENTE UTILIZADAS
ESTADÍSTICA I Unidad 4: Resumen de Contenidos Teóricos Mariano Lanza DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD COMÚNMENTE UTILIZADAS. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. Distribución Binomial Definición previa: Prueba
Más detallesEstadística Grado en Nutrición Humana y Dietética
Estadística Grado en Nutrición Humana y Dietética Tema 3: Probabilidad y variables aleatorias Francisco M. Ocaña Peinado http://www.ugr.es/local/fmocan Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Más detallesTécnicas Cuantitativas II Variables Aleatorias Continuas. TC II Variables Aleatorias Continuas 1 / 44
Técnicas Cuantitativas II 2012-2013 Continuas TC II Continuas 1 / 44 TC II Continuas 2 / 44 : Esperanza y Varianza TC II Continuas 3 / 44 : Esperanza y Varianza Una variable, X, es una función X : Ω R
Más detallesObjetivos. 1. Variable Aleatoria y Función de Distribución. PROBABILIDAD Tema 2.2: Variables aleatorias discretas Denición de Variable aleatoria
PROBABILIDAD Tema 2.2: Variables aleatorias discretas Objetivos Dominar el uso de las funciones asociadas a una variable aleatoria discreta para calcular probabilidades. Conocer el signicado y saber calcular
Más detallesEstadística Grupo V. Tema 10: Modelos de Probabilidad
Estadística Grupo V Tema 10: Modelos de Probabilidad Algunos modelos de distribuciones de v.a. Hay variables aleatorias que aparecen con frecuencia en las Ciencias Sociales y Económicas. Experimentos dicotómicos
Más detallesTema 7. Variables Aleatorias Continuas
Presentación y Objetivos. Tema 7. Variables Aleatorias Continuas En este tema se propone el estudio de las variables aleatorias continuas más importantes, desde la más simple incrementando el grado de
Más detallesCuando la distribución viene dada por una tabla: 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA.
1. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS. El siguiente grafico corresponde a una distribución de frecuencias de variable cuantitativa y discreta pues solo puede tomar valores aislados (0, 1, 2, 3, 10). Se trata
Más detallesTeoría Estadística Elemental I Teoría (resumida) del 2 do Tema
Teoría Estadística Elemental I Teoría (resumida) del 2 do Tema Raúl Jiménez Universidad Carlos III de Madrid Noviembre 2011 Consideremos el lanzamiento de un dado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y supongamos
Más detallesPrincipales leyes de distribución de variables aleatorias
Capítulo 6 Principales leyes de distribución de variables aleatorias 6.1. Introducción Como complemento al capítulo anterior en el que definimos todos los conceptos relativos a variables aleatorias, describimos
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Grado en Ingeniería Informática Tema 5 Esperanza y momentos Javier Cárcamo Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid javier.carcamo@uam.es Javier Cárcamo PREST.
Más detallesTema 5 Modelos de distribuciones de Probabilidad
Tema 5 Modelos de distribuciones de Probabilidad Variable aleatoria unidimensional Dado un espacio de Probabilidad (E, F, P), una variable aleatoria es una aplicación del espacio muestral E al conjunto
Más detallesPart I. Momentos de una variable aleatoria. Esperanza y varianza. Modelos de Probabilidad. Mario Francisco. Esperanza de una variable aleatoria
una una típica Part I Momentos. Esperanza y varianza Esperanza una una típica Definición Sea X una discreta que toma los valores x i con probabilidades p i. Supuesto que i x i p i
Más detallesDistribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidad Variables continuas Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Distribuciones de probabilidad continuas
Más detallesProcesos estocásticos
Procesos estocásticos Enrique Miranda Universidad of Oviedo Máster Universitario en Análisis de Datos para la Inteligencia de Negocios Contenidos del curso 1. Introducción. 2. Procesos a tiempo discreto:
Más detallesSEÑALES Y SISTEMAS Clase 5
SEÑALES Y SISTEMAS Clase 5 Carlos H. Muravchik 15 de Marzo de 2018 1 / 43 Habíamos visto: Repaso Probabilidades (sobrevuelo) Veremos: 1. Repaso Probabilidades 2. Repaso Variables aleatorias. Distribuciones.
Más detallesEl momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es. n = esperanza matemática de X
Momentos El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es E(x) n = i = 1 k i ( ) x.p x El primer momento centrado en el origen (k=1) es la esperanza matemática de X También
Más detallesVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS El zoo binomial: las probabilidades en la distribución binomial. Tutorial 5, sección 2 X = número de éxitos al repetir n veces un experimento con probabilidaf de éxito p
Más detallesEstadística Clase 2. Maestría en Finanzas Universidad del CEMA. Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri
Estadística 010 Clase Maestría en Finanzas Universidad del CEMA Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri Clase 1. La distribución de Bernoulli. La distribución binomial 3. La distribución de
Más detallesEstadística Clase 2. Maestría en Finanzas Universidad del CEMA. Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri
Estadística 011 Clase Maestría en Finanzas Universidad del CEMA Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri Clase 1. La distribución de Bernoulli. La distribución binomial 3. La distribución de
Más detallesESTADÍSTICA Y ANÁLISIS DE DATOS. Práctica del Tema 5. Variable aleatoria (en R y R 2 )
ESTADÍSTICA Y ANÁLISIS DE DATOS Práctica del Tema 5. Variable aleatoria (en R y R ). Se considera un dado regular y se define la v.a. X: puntuación obtenida en un lanzamiento cualquiera de dicho dado.
Más detallesEstadística I Tema 5: Modelos probabiĺısticos
Estadística I Tema 5: Modelos probabiĺısticos Tema 5. Modelos probabiĺısticos Contenidos Variables aleatorias: concepto. Variables aleatorias discretas: Función de probabilidad y función de distribución.
Más detallesMODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD
MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus Modelo Uniforme Discreto Modelo Uniforme Discreto Sea
Más detallesPROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 3
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 3 1. Sea X una v.a. con función de densidad ½ 0.75 (1 x f X (x) = 2 ) 1 x 1 0 en otro caso. a) Verificar que f X es realmente una función de densidad. b) Calcular:
Más detallesJUEGO DE BASKETBALL. Repaso de Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas
JUEGO DE BASKETBALL Repaso de Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas PREGUNTA #1 Qué es una variable aleatoria uniforme discreta? Cómo es su distribución? Qué es una variable aleatoria uniforme
Más detallesEsperanza Condicional
Esperanza Condicional Podemos obtener la esperanza de una distribución condicional de la misma manera que para el caso unidimensional: 129 Caso 2 v.a. discretas X e Y: Caso 2 v.a. continuas X e Y: Percentiles
Más detallesCálculo de Probabilidades II Preguntas Tema 2
Cálculo de Probabilidades II Preguntas Tema 2 1. Demuestre que la suma de n v.a. Bernuolli(p) independientes tiene una distribución Binomial con parametros (n, p). 2. Se dice que una v.a tiene una distribución
Más detallesIntroducción al Diseño de Experimentos.
Introducción al Diseño de Experimentos www.academia.utp.ac.pa/humberto-alvarez Introducción Una población o universo es una colección o totalidad de posibles individuos, especímenes, objetos o medidas
Más detallesProbabilidad y Estadística
Esperanza matemática Probabilidad y Estadística Esperanza matemática Federico De Olivera Cerp del Sur-Semi Presencial curso 2015 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística
Más detallesMATEMÁTICAS II PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN NORMAL
MATEMÁTICAS II PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN NORMAL 1) PROBABILIDAD Experimentos aleatorios. Concepto de espacio muestral y de suceso elemental. Operaciones con sucesos. Leyes de De Morgan.
Más detallesProbabilidad para una V.A. Continua. P( a X b) = f ( x)
Tema 4: Variables Aleatorias Contínuas Prof. Heriberto Figueroa S. Capítulo 4 Variables Aleatorias Continuas y sus Distribuciones de Probabilidad 4.1. Variables Aleatorias Continuas Una variable aleatoria
Más detallesVariables aleatorias
Variables aleatorias BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimenez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ (imarrero@ull.es) ALEJANDRO
Más detalles0 en otro caso. P (X > 0) P ( 0.5 < X < 0.5) P ( X > 0.25) x 3 si 0 x < 2. 1 si 2 x P(X 1) P(0.5 X 1) P(0.5 < X 1 X < 1) f X (x) = (1+αx) 2
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 3 1. Sea X una v.a. con función de densidad { 0.75(1 x f X (x) = 2 ) 1 x 1 0 en otro caso. a) Verificar que f X es realmente una función de densidad. b) Calcular:
Más detallesTema 6. Variables aleatorias continuas. Distribución Normal
Tema 6. Variables aleatorias continuas. Distribución Normal Indice 1. Distribuciones de probabilidad continuas.... 2 2. Distribución Normal... 5 2.1. Distribución Normal estándar N(0,1).... 5 2.1.1 Utilización
Más detallesNotas sobre convergencia y funciones generatrices
Notas sobre convergencia y funciones generatrices Universidad Carlos III de Madrid Abril 2013 Para modelar un fenómeno aleatorio que depende del tiempo, podemos considerar sucesiones de variables X 1,X
Más detallesProbabilidad y Procesos Aleatorios
y Dr. Héctor E. Poveda P. hector.poveda@utp.ac.pa www.hpoveda7.com.pa @hpoveda7 Plan del curso Probabilidad Múltiples 1. Probabilidad Espacios probabilísticos Probabilidad condicional 2. 3. Múltiples 4.
Más detallesEstadística aplicada al Periodismo
Estadística aplicada al Periodismo Temario de la asignatura Introducción. Análisis de datos univariantes. Análisis de datos bivariantes. Series temporales y números índice. Probabilidad y Modelos probabilísticos.
Más detallesTEMA 3. Algunos modelos de probabilidad de tipo discreto. 3.1 Al finalizar el tema el alumno debe conocer...
TEMA 3. Algunos modelos de probabilidad de tipo discreto En este capítulo se abordan «familias» muy específicas de probabilidad, que con cierta frecuencia se nos presentan en el mundo real. Van a ser distribuciones
Más detallesESTADÍSTICA Y SUS APLICACIONES EN CIENCIAS SOCIALES Práctico 2 Solución. Curso 2016
ESTADÍSTICA Y SUS APLICACIONES EN CIENCIAS SOCIALES Práctico Solución. Curso 016 Ejercicio 1 Suponemos que hay independencia en la concurrencia o no entre las personas. Dado este supuesto y las características
Más detallesValeri Makarov: Estadística Aplicada y Cálculo Numérico (Grado en Química)
Estadística Aplicada y Cálculo Numérico (Grado en Química) Valeri Makarov 10/02/2015 29/05/2015 F.CC. Matemáticas, Desp. 420 http://www.mat.ucm.es/ vmakarov e-mail: vmakarov@mat.ucm.es Capítulo 4 Variables
Más detallesFolleto de Estadísticas. Teoría del 1er Parcial
Folleto de Estadísticas Teoría del 1er Parcial 2012 Población objetivo: Es un conjunto bien definido de elementos sobre los que se desea hacer algún tipo de investigación o medida. Unidades de investigación:
Más detallesTEMA 3: Probabilidad. Modelos. Probabilidad
TEM 3: Probabilidad. Modelos Probabilidad Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda: Resultados posibles: cara, cruz. Selección al azar de un
Más detallesIntroducción al Tema 7. Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones.
Introducción al Tema 7 1 Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones. V.A. de uso frecuente Tema 7. Modelos probabiĺısticos discretos
Más detalles