VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Transcripción

1 VARIABLE ALEATORIA DICRETA Muchas veces se desea resumr co u úmero el resultado de u epermeto aleatoro E muchos de los ejemplos relatvos a epermetos aleatoros que ha sdo cosderados hasta ahora el espaco muestral es sólo ua descrpcó de los posbles resultados E alguos casos tales descrpcoes so sufcetes pero e otros se hace útl asocar u úmero co cada resultado del espaco muestral Es así como se llega a la defcó de varable aleatora Ua varable aleatora X es ua fucó que asga u úmero real a cada resultado e el espaco muestral de u epermeto aleatoro El cojuto de los posbles valores de la varable aleatora X se deoma rago Dremos que la varable aleatora es dscreta s su rago es fto (o fto cotable A meudo el terés recae e la probabldad de que ua varable aleatora X tome u valor partcular esto se deota P(X= La dstrbucó de probabldad de X será etoces la descrpcó del cojuto de valores posbles de X (rago de X juto co la probabldad asocada co cada uo de estos valores La dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora es a meudo el resume más útl de u epermeto aleatoro Dremos que la fucó p(=p(x= que va del cojuto de valores posbles de la varable aleatora X al tervalo [ ] es la fucó dstrbucó de probabldad para X s sólo s se satsface las sguetes propedades: p( para todo p e defe la dstrbucó acumulada F( para la varable aleatora X como F( = P(X = Ejemplo Epermeto aleatoro: se laza ua moeda 3 veces = {ccc ccs csc css scc scs ssc sss } ea X : # caras observadas t p t 3 p(

2 La dstrbucó ateror es ua dstrbucó de probabldades para la varable aleatora X e efecto p( para todo ( = 3 además dstrbucó acumulada de probabldad observe que p Para determar la P(X = P(X = = 8 P(X = P(X = + P(X = = = 8 P(X = P(X = + P(X = + P(X = = = P(X 3 = P(X= + P(X= + P(X= + P(X= 3 = e tee etoces = 8 3 F( X es ua varable aleatora el epermeto aleatoro que determa el valor de X se repte muchas veces etoces se obtee ua secueca de valores para X A partr de esta secueca de valores se puede detfcar el valor promedo o valor esperado de la varable aleatora X que se defe e la forma sguete: deotamos E X X E = p Propedades: a E(k=k b E(kX=kE(X c E(XY=E(XE(Y d E(g(X=g(p( e X Y so depedetes etoces E(XY=E(XE(Y= X Y Para el ejemplo dado X E = p = p p p 3p 3

3 3 3 3 = A veces el terés es determar la varabldad de la varable aleatora Defmos etoces la varaza de la varable aleatora X deotada ó σ medate la sguete ecuacó: V(X = E[(X-E(X ] su forma reducda es: X V X V = E X E X dode E X = p Para el ejemplo dado X p p p = E = 3 p Etoces V X = a V(k= b V(kX=k V(X c V(XY=V(X+V(Y s X Y so depedetes d V(aX+bY= a V(X+b V(Y+abCov(XY dode Cov(XY = E((X- X (Y- Y = E(XY- X Y La desvacó estádar de la varable aleatora X es la raíz cuadrada postva de la varaza es decr σ = V X DITRIBUCIÓN BINOMIAL U esao Beroull es u epermeto aleatoro que sólo admte dos posbles resultados deotados éto fracaso La probabldad de éto se deota p Por lo tato s deotamos el éto por el fracaso por se tee: P(= p P(=-p=q Además se cumple: E(X= p V(X=pq U proceso Beroull es u proceso e el cual se verfca las sguetes codcoes: El epermeto aleatoro se repte veces e détcas codcoes

4 Ha sólo dos posbles resultados e cada repetcó del epermeto llamados arbtraramete éto fracaso La probabldad de éto deotada p es la msma para cada repetcó (permaece costate etre repetcoes las repetcoes del epermeto aleatoro so depedetes etre sí Cosderemos ahora la varable aleatora X: # étos observados e repetcoes upoga que se quere determar la probabldad de observar étos e repetcoes; esto es se desea determar P(X = Como lo mportate es observar étos e repetcoes el orde de ocurreca de los msmos es rrelevate; así para cotar de cuátas formas puede observarse étos e repetcoes empleamos las combacoes Por otro lado como las repetcoes del epermeto so depedetes etre sí calcular P(X = equvale a calcular la probabldad de ua terseccó de evetos (e las que cada eveto correspode a u éto o a u fracaso teemos que la probabldad de u puto muestral cualquera asocado al epermeto es q ; e deftva: p P(X = = p q para Dado que q p p q resulta que P(X = = p q para determa ua dstrbucó de probabldades deomada dstrbucó bomal E resume se dce que la varable aleatora X tee dstrbucó bomal s su fucó dstrbucó de probabldad está dada por p q s p = otros valores e puede demostrar que para ua varable aleatora co dstrbucó bomal E X = p

5 V X = pq DITRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA: Ua varable aleatora X tee ua dstrbucó hpergeométrca s se toma ua muestra s reemplazo de u cojuto de N elemetos de los cuales k so cosderados de ua categoría e especal (acertos los otros N-k so cosderados de otra categoría (fallas se desea obteer acertos de ua muestra de elemetos ó esaos e epresa de la sguete formula: k N k P( X para N E k N k( N k N N N ( Esto també se puede eteder para más de dos grupos Ejemplo: este tres grupos el prmero co k elemetos el segudo grupo k el tercero co k 3 queremos hallar la probabldad de escoger elemetos del prmer grupo elemetos del segudo grupo z elemetos del tercer grupo s reemplazo; la probabldad es la sguete: k k k3 z P( X Y Z z k k k3 z DITRIBUCIÓN POION Los epermetos que da valores umércos de ua varable aleatora X que ocurre durate u tervalo de tempo dado o e ua regó específca se deoma epermetos Posso El tervalo puede ser de cualquer logtud: u muto u día ua semaa u mes o cluso u año; la regó específca podría ser: u segmeto de líea u área o quzás ua peza de materal U epermeto Posso se derva de u proceso Bomal el cual verfca las sguetes propedades:

6 El úmero de resultados que ocurre e u tervalo o regó es depedete del úmero de resultados que ocurre e otro tervalo o regó (Esto determa ua característca que se cooce como falta de memora La probabldad de que ocurra u solo resultado durate u tervalo mu corto o ua regó pequeña es proporcoal a la logtud del tervalo o al tamaño de la regó o depede del úmero de resultados que ocurre fuera de este tervalo o regó la probabldad de que ocurra más de u resultado e tal tervalo corto o que caga e tal regó pequeña es sgfcate La varable aleatora X: # de resultados que ocurre durate u epermeto Posso se deoma varable aleatora Posso su dstrbucó de probabldades dada por λ e λ p para se deoma dstrbucó Posso; dode es el úmero! promedo de resultados por udad de tempo o regó Para ua varable aleatora co X V X = dstrbucó Posso se tee E = DITRIBUCIONE CONTINUA Las dstrbucoes de probabldad so dealzacoes de los polígoos de frecuecas E el caso de ua varable estadístca cotua cosderamos el hstograma de frecuecas relatvas se comprueba que al aumetar el úmero de datos el úmero de clases el hstograma tede a establzarse llegado a covertrse su perfl e la gráfca de ua fucó Dstrbucó uforme E estadístca la dstrbucó uforme es ua dstrbucó de probabldad cuos valores tee la msma probabldad e dce que ua varable aleatora X cotua tee ua dstrbucó uforme e el tervalo [ab] s la fucó de desdad de probabldad (FDP es La fucó de dstrbucó e el caso cotuo etre a b es

7 u meda estadístca es (a + b / su varaza (b a / f(= f(= Dstrbucó epoecal E estadístca la dstrbucó epoecal es ua dstrbucó de probabldad cotua co u parámetro λ > cua fucó de desdad es u fucó de dstrbucó es Aquí e sgfca el úmero e El valor esperado la varaza de ua varable aleatora X co dstrbucó epoecal so

8 f(= f(= Dstrbucó Normal La dstrbucó ormal també llamada dstrbucó de Gauss o dstrbucó gaussaa es la dstrbucó de probabldad que co más frecueca aparece e estadístca teoría de probabldades Esto se debe a dos razoes fudametalmete: u fucó de desdad es smétrca co forma de campaa lo que favorece su aplcacó como modelo a gra úmero de varables estadístcas Es además límte de otras dstrbucoes aparece relacoada co multtud de resultados lgados a la teoría de las probabldades gracas a sus propedades matemátcas La fucó de desdad está dada por: Dode μ (Μ es la meda σ (sgma es la desvacó estádar (σ es la varaza Muchas varables aleatoras cotuas preseta ua fucó de desdad cua gráfca tee forma de campaa La mportaca de la dstrbucó ormal se debe prcpalmete a que ha muchas varables asocadas a feómeos aturales que sgue el modelo de la ormal

9 f( f( TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL X es la meda de ua muestra aleatora de tamaño etraída de ua poblacó que tee meda μ varaza σ etoces z es ua varable aleatora cua fucó de dstrbucó de probabldad se la dstrbucó ormal estádar a medda que aumeta aproma a la de La demostracó formal de este teorema requere el maejo de límtes de la fucó geeradora de mometos de la varable ( X -/(/ embargo medate smulacoes co el computador se puede verfcar vsualmete que s mportar la dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora dscreta o cotua X el límte de la varable aleatora X tede a la forma tpo campaa de la dstrbucó ormal cuado crece Co carácter geeral o al meos e los modelos de probabldad cláscos se admte ua apromacó aceptable al modelo ormal sempre que 3 se dce que la muestra es grade Adcoalmete e este caso s se descooce la varaza de la poblacó se puede usar como apromacó la varaza muestral: Ejemplo U fabrcate de latas de ptura especfca que cada ua cubre e promedo 5 pes cuadrados co ua desvacó estádar de 36 pes cuadrados Calcule la probabldad que la meda del área cuberta por ua muestra aleatora de 4 de estas latas de ptura tega u valor etre pes cuadrados olucó

10 X: Área cuberta por ua lata de ptura Es ua varable aleatora cua dstrbucó de probabldad es descoocda co meda = 5 varaza descoocda Por el Teorema del Límte Cetral X tee dstrbucó apromadamete ormal s 3 por lo tato ( X -/(/ tee dstrbucó apromadamete ormal estádar Adcoalmete se puede usar la apromacó: = P(48 X 49 = P( Z = P( Z = P(-3536Z = F(-7568 F(-3536 = 393 Dstrbucó Webull La dstrbucó de Webull complemeta a la dstrbucó epoecal a la ormal se usa cuado se sabe de atemao que ua de ellas es la que mejor descrbe la dstrbucó de fallos o cuado se ha producdo muchos fallos (al meos los tempos correspodetes o se ajusta a ua dstrbucó más smple La dstrbucó de Webull os permte estudar cuál es la dstrbucó de fallos de u compoete clave de segurdad que pretedemos cotrolar que a través de uestro regstro de fallos observamos que éstos varía a lo largo del tempo detro de lo que se cosdera tempo ormal de uso La dstrbucó de Webull se represeta ormalmete por la fucó acumulatva de dstrbucó de fallos F (t:

11 edo la fucó desdad de probabldad: La tasa de fallos para esta dstrbucó es: Las ecuacoes ( ( (3 sólo se aplca para valores de (t - t Para valores de (t - t < las fucoes de desdad la tasa de fallos vale Las costates que aparece e las epresoes aterores tee ua terpretacó físca: t es el parámetro de poscó (udad de tempos vda míma defe el puto de partda u orge de la dstrbucó η es el parámetro de escala etesó de la dstrbucó a lo largo del eje de los tempos Cuado (t - t = η la fabldad vee dada por: R (t = ep - ( ß = /ep ß = / 78 = 368 (368% Etoces la costate represeta també el tempo meddo a partr de t = segú lo cual dado que F (t = = 63 el 63 % de la poblacó se espera que falle cualquera que sea el valor de ß a que como hemos vsto su valor o flue e los cálculos realzados Por esta razó també se le llama usualmete vda característca ß es el parámetro de forma represeta la pedete de la recta descrbedo el grado de varacó de la tasa de fallos F(= F(=

12 Dstrbucó logormal La dstrbucó logormal tee prcpalmete las sguetes aplcacoes: a Represeta la evolucó co el tempo de la tasa de fallos λ(t e la prmera fase de vda de u compoete la correspodete a los fallos fatles e la "curva de la bañera" etedédose como tasa de fallos la probabldad de que u compoete que ha fucoado hasta el state t falle etre t t + dt E este caso la varable depedete de la dstrbucó es el tempo (fgura b Permte fjar tempos de reparacó de compoetes sedo també e este caso el tempo la varable depedete de la dstrbucó c Descrbe la dspersó de las tasas de fallo de compoetes ocasoada por dferete orge de los datos dsttas codcoes de operacó etoro bacos de datos dferetes etc E este caso la varable depedete de la dstrbucó es la tasa de fallos La dstrbucó logormal tee dos parámetros: m* (meda artmétca del logartmo de los datos o tasa de fallos σ(desvacó estádar del logartmo de los datos o tasa de fallos La dstrbucó logormal se caracterza por las sguetes propedades: Asga a valores de la varable < la probabldad de este modo se ajusta a las tasas probabldades de fallo que de esta forma sólo puede ser postvas

13 Como depede de dos parámetros se ajusta be a u gra úmero de dstrbucoes empírcas Es dóea para parámetros que so a su vez producto de umerosas catdades aleatoras (múltples efectos que flue sobre la fabldad de u compoete La esperaza matemátca o meda e la dstrbucó logormal es maor que su medaa De este modo da más mportaca a los valores grades de las tasas de fallo que ua dstrbucó ormal co los msmos percetles del 5% 5% tededo por tato a ser pesmsta Logormal LOGN(mo Fucó de desdad f(= s > de otra maera Dstrbucó acumulada F(= o este ecuacó Parámetros Parámetro de escala: m Parámetro de forma: o Rago [ &] Meda e^-u+o/ Varaza e^*u+o^(e^o^-

14 LA DITRIBUCIÓN T upoga que se toma ua muestra aleatora de tamaño <3 de ua poblacó co dstrbucó ormal co meda varaza e ha establecdo aterormete que la meda muestral X també tedrá dstrbucó ormal co meda X varaza Por lo tato la varable z tedrá dstrbucó ormal estádar embargo s la varaza de la poblacó es descoocda etoces la varable ateror a o tee dstrbucó ormal estádar debe usarse otro estadístco deomado estadístco T o de tudet : T La dstrbucó de este estadístco també tee forma tpo campaa smétrca depededo del valor de Este parámetro determa la forma partcular de la dstrbucó co la sguete defcó: = - grados de lbertad ( léase u Este estadístco es útl cuado por cosderacoes práctcas o se puede tomar ua muestra aleatora grade Pero para usar este estadístco es ecesaro que la poblacó tega dstrbucó ormal X

15 Fg Dstrbucó T para = 5 3 grados de lbertad Para usar esta dstrbucó s o se dspoe de u utltaro formátco se usa tablas que cotee alguos valores de T para dferetes grados de lbertad medate la sguete defcó: t : valor de t tal que P(Tt = como se se muestra e el sguete gráfco: DITRIBUCION DE PROBABILIDAD F upógase que deseamos comparar las varazas de dos poblacoes ormales basados e la formacó coteda e muestras aleatoras depedete de las dos poblacoes upógase que ua muestra aleatora cotee varables aleatoras dstrbudas ormalmete co ua varaza comú que la otra muestra aleatora cotee varables aleatoras dstrbudas ormalmete co ua varaza comú que la otra muestra aleatora cotee varables aleatoras dstrbudas ormalmete co ua varaza comú calculamos de las observacoes e la muestra etoces es ua estmacó de De maera smlar calculada a partr de las observacoes de la seguda muestra es ua estmacó para Así tutvamete podríamos pesar e utlzar / para hacer ferecas co

16 respecto a las magtudes relatvas de dvdmos cada por etoces la razó sguete / / tee ua dstrbucó F co grados de lbertad La defcó geeral de ua dstrbucó F es como sgue: DEFINICION ea varables aleatoras j - cuadrada co v v grados de lbertad Respectvamete Etoces s so depedetes / / v v F se dce que tee ua dstrbucó F co v grados de lbertad del umerador v grados de lbertad del deomador DITRIBUCION DE PROBABILIDAD CUADRADA I Cosderado uevamete las muestras aleatoras depedetes de dstrbucoes ormales sabemos que / / tee dstrbucoes depedetes co v v grados de lbertad respectvamete Así la defcó mplca que / / / / / / v v F

17 tee ua dstrbucó F co lbertad del deomador grados de lbertad del umerador grados de E al fgura 73 se muestra la gráfca de ua típca fucó de desdad F Los valoras de tales que F F P se da e la tabla X Cuadrado para los valores de E la los ecabezados de las columas correspode a los grados de lbertad del umerador e tato que los grados de lbertad del deomador se ecuetra como los ecabezados prcpales de los regloes Frete a los grados de lbertad del deomador (los ecabezados de los regloes se ecuetra los valores de Por ejemplo s la varable F estudada tee 5 grados de lbertad del umerador 7 grados de lbertad del deomador F = 88 F 5 = 397 F 5 = 59 F = 746 F 5 =95 luego la probabldad de que ua varable aleatora co ua dstrbucó F co 5 grados de lbertad del umerador 7 grados de lbertad del deomador eceda de 746 es Lo correspodete se afrma para los demás casos F FIGURA Ua típca fucó de desdad De probabldad F f u F u DITRIBUCION PROBABILIDAD GAMA Los tempos que tarda e revsar u motor de u automóvl ó avó tee ua dstrbucó de frecuecas sesgadas Las poblacoes asocadas a estas varables aleatoras frecuetemete tee dstrbucoes que se puede modelar adecuadamete por la fucó de desdad tpo gamma Fucó de desdad de probabldad para ua varable aleatora tpo gamma: E dode: ; e f ( ( /

18 ( e d La catdad de la de la fucó alfa se cooce como la fucó gamma La tegracó drecta os da que la fucó uo gual a uo La tegracó por partes os da que la fucó de alfa meos uo alfa meos uo por la fucó alfa meos uo para cualquer tervalo de alfa maor o gual a uo que la fucó de sea gual a meos uo factoral para u úmero etero E el caso especal cuado alfa es u úmero etero se puede epresar la fucó de dstrbucó de ua varable aleatora tpo gamma como ua suma de certas varables aleatoras de Posso alfa o es u úmero etero es mposble ecotrar la atdervada del tegrado de la epresó: c d dode c d e / ( d Y por lo tato es mportate obteer las áreas bajo la fucó de desdad tpo gamma medate tegracó drecta Ha dos casos especales de las varables aleatoras tpo gamma que merece cosderacó partcular: Ua varable aleatora tpo gamma que tee ua fucó de desdad co parámetros alfa gual a v etre dos beta gual a dos se deoma varable aleatora j - cuadrada J - cuadrada se preseta co frecueca e la teoría de la estadístca El parámetro v se deoma úmero de grados de lbertad asocado a la varable aleatora j - cuadrada La fucó de desdad gamma para el caso especal v = se deoma fucó de desdad epoecal E cualquer puto ; f ( e /

19 La fucó de desdad epoecal muchas veces es útl e los modelos de duracó de compoetes eléctrcos U fusble es u ejemplo de u compoete para el cual este supuesto suele cumplrse LA DITRIBUCION DE PROBABILIDAD BETA La dstrbucó de probabldad beta es ua fucó de desdad co dos parámetros defda e el tervalo cerrado <= <= e utlza frecuetemete como modelo para fraccoes tal como la proporcó de mpurezas e u producto químco o la fraccó de tempo que ua maqua está e reparacó Fucó de desdad probabldad: ; ( ( { ( B f E cualquer otro puto dode ( ( ( ( ( d B Nótese que la defcó de ( sobre el tervalo <= <= restrge su aplcacó c<= <= d = (- c / (d- c defrá ua ueva varable e el tervalo <= <= Así la fucó de desdad beta se puede aplcar a ua varable aleatora defda e el tervalo c<= <= d medate ua traslacó ua medcó e la escala La fucó de dstrbucó acumulatva para la varable aleatora beta se llama comúmete fucó beta esta dada por ( ( ( ( I dt B t t F Para valores eteros de alfa beta I (alfa beta está relacoada co la fucó de probabldad bomal Cuado = p se puede demostrar que p p d B p F ( ( ( ( E dode < p < gual a alfa más beta meos uo

20 REGREIÓN LINEAL IMPLE El propósto de este estudo es proporcoar los coceptos téccas para determar ua ecuacó que descrba de maera razoable a u cojuto de datos dado Este estudo se deoma aálss de regresó la ecuacó empírca obteda se deoma ecuacó de regresó la cual susttue a u modelo teórco o dspoble E este prmer efoque se supodrá que se tee u cojuto de medcoes u observacoes de ua varable Y deomada varable de respuesta las cuales correspode a u cojuto que represeta los valores de ua varable X deomada varable de predccó e supodrá que este ua correspodeca de X a Y de tal maera que cada valor está asocado co u valor Es mportate recoocer que cada valor es el resultado de ua medcó por lo tato es posble que pudese haber otros valores para el msmo valor dado Esto os permte recoocer que provee de ua varable aleatora Y la cual debe teer algua dstrbucó de probabldad Tratemos de vsualzarlo e el sguete gráfco: upodremos que este ua relacó leal etre X Y Este hecho puede recoocerse grafcado los putos ( = observado la tedeca leal de los putos Esta represetacó se deoma gráfco de dspersó e propoe u modelo leal que tome e cueta la aleatoredad de Y permta luego eplcar los errores de medcó

21 Modelo probablsta propuesto: Y = + + sedo el compoete aleatoro de Y e supodrá que para cada varable aleatora Y el compoete aleatoro tee la msma dstrbucó de probabldad que además so depedetes N( (dstrbucó ormal co meda varaza Por lo tato el valor esperado de este modelo es ua recta teórca (descoocda co los parámetros que debe estmarse E[Y] = + RECTA DE MÍNIMO CUADRADO Es u procedmeto matemátco para estmar los parámetros de la recta de regresó utlzado los datos dados El objetvo es colocar ua recta etre los putos de tal maera la suma de las dstacas de esta recta a los putos sea la meor posble Defcó

22 Es la recta de mímos cuadrados so los estmadores de Para cada valor se tee el valor observado mímos cuadrados: ea e = - u valor obtedo co la recta de Etoces el crtero de mímos cuadrados cosste e mmzar e para todos los putos El cuadrado puede terpretarse como ua maera de cuatfcar las dstacas No mporta s el puto está sobre o debajo de la recta Crtero de mímos cuadrados CE = e ( ( (Lea CE: uma de Cuadrados del Error El procedmeto matemátco para realzar esta optmzacó es: CE CE Co facldad se llega al sstema de ecuacoes leales:

23 De dode se obtee falmete los estmadores Ejemplo Los sguetes datos correspode a ua muestra aleatora de estudates que ha tomado certa matera Los datos clue la calfcacó parcal la calfcacó fal e pretede ecotrar u modelo de regresó que permta predecr la calfcacó fal que obtedría u estudate dada su calfcacó parcal Estudate Nota Parcal Nota fal olucó Prmero represetamos los datos e u dagrama de dspersó e observa que al cremetar (varable de predccó també se cremeta ( varable de respuesta

24 Obtecó de la recta de mímos cuadrados Cálculos usttumos e el sstema de ecuacoes leales: De dode se obtee: Ecuacó de mímos cuadrados: = Gráfco de la recta de mímos cuadrados

25 Ahora pretedamos predecr la calfcacó fal que obtedrá u estudate que obtuvo 5 e su calfcacó parcal: = (5 = 7763 REGREIÓN LINEAL MÚLTIPLE Cosdere que ua varable Y depede de k varables k Para descrbr esta relacó se propoe u modelo de regresó leal múltple Modelo teórco probablsta propuesto: Y = k k + edo el compoete aleatoro de Y Note que cuado k = se reduce al modelo de regresó leal smple vsto upoer que se tee ua muestra aleatora ( k = Fjados los k valores k se tee ua observacó o medcó la cual es uo de los posbles valores de la varable aleatora Y e supodrá que para cada varable aleatora Y el compoete aleatoro tee la msma dstrbucó de probabldad que además so depedetes N( (dstrbucó ormal co meda varaza MODELO DE REGREIÓN LINEAL MÚLTIPLE DE MÍNIMO CUADRADO Para estmar los k + parámetros k se usará u procedmeto smlar al modelo de regresó leal smple co el método de mímos cuadrados kk ea e = - e dode : valor observado e la muestra

26 : valor obtedo co el modelo de mímos cuadrados: Crtero de mímos cuadrados Mmzar CE = k k e ( ( Utlzado CE = k se obtee las ecuacoes ormales para ecotrar los estmadores k Cosderemos el caso específco k= Y depede de varables Modelo teórco probablsta propuesto: Y = Modelo de regresó leal múltple de mímos cuadrados; Para ecotrar CE = e obtee las ecuacoes ormales Las epresamos e otacó matrcal

27 A = C REGREIÓN LINEAL MÚLTIPLE EN NOTACIÓN MATRICIAL El modelo teórco probablsta puede epresarse coveetemete e otacó matrcal Y = k k + Cosderamos el caso específco k= e dode Y depede de varables Modelo teórco probablsta propuesto: Y = Datos de la muestra: ( = Cada observacó es u valor de la varable aleatora Y = Y = = e puede epresar e forma desarrollada Y = Y = Y = El modelo teórco epresado e otacó matrcal Y = X + Y Y Y

28 X se deoma matrz de dseño Y = Y Y Y X = = = El sstema de ecuacoes ormales del modelo de regresó leal múltple de mímos cuadrados puede etoces epresarse medate la matrz de dseño X A = C A = = A = X T X C = = C = X T ea = 3 Etoces A = C X T X = X T = (X T X - (X T

29 : vector co los estmadores de mímos cuadrados X: matrz de dseño (datos de la muestra : vector de observacoes obtedas e la muestra = ANALII DE VARIANZA Para smplfcar la escrtura de alguas epresoes de terés se escrbe las sguetes fórmulas dádoles e alguos casos ua detfcacó Las demostracoes correspodetes utlza las propedades de las sumatoras ( ( = ( = ( CT = = ( = (3 = ( ( = (4 CE = ( (5 CR = ( Demostracó de (

30 = ( = ( = = = = = = ETIMACIÓN DE LA VARIANZA E el modelo de regresó leal smple el compoete aleatoro es N( La varaza puede ser estmada co la varaza de los errores de los datos de la muestra Defcó de la varaza muestral (es u estmador sesgado de e = - CE = e = ( = CE = ( Usamos la fórmula (4 defda aterormete: CE = ( De cual se obtee CE Co las fórmulas ( (4 (5 escrtas arrba se obtee ( ( (

31 E forma smbólca CT: CR: CT = CR + CE uma de cuadrados total (es la varaza de los datos de la muestra uma de cuadrados de regresó (es la varaza del modelo de mímos cuadrados propuesto CE: uma de cuadrados del error (es la dfereca etre los datos el modelo de mímos cuadrados propuesto Metras meor es el valor de CE mejor es el la efcaca del modelo de mímos cuadrados propuesto u varaza eplca adecuadamete a la varaza de los datos Para el modelo de regresó leal multvarado Y = k k + e defe la varaza muestral CE = k Para este modelo també es válda la ecuacó ateror co la msma terpretacó de las fuetes de varacó: CT = CR + CE Para medr la efcaca o poder de eplcacó del modelo de mímos cuadrados propuesto se defe la sguete medda: Coefcete de determacó del modelo de regresó leal múltple R CR = R CT El valor de R muestra la proporcó de la varabldad de de los datos que es eplcada por el modelo de mímos cuadrados Ejemplo upoer que co los datos se obtuvo R = 934 Esto sgfca que el 934% de la varacó de la varable de terés es eplcada por el modelo de mímos cuadrados

32 e etede també que el valor de CE debe ser pequeño esto debe terpretarse como que los datos o está mu alejados de la recta de mímos cuadrados que ésta los represeta adecuadamete INFERENCIA CON LO PARÁMETRO DEL MODELO DE REGREIÓN LINEAL Modelo teórco probablsta propuesto: Y = k k + N( Para estmar los k + parámetros k se propoe el modelo de regresó leal de mímos cuadrados: kk uposcoes es u estmador sesgado del parámetro E[ ] = El estmador N( Notacó V[ ] = Cov[ tee dstrbucó ormal = ] = j (varaza de j = j (covaraza de j Defcó Matrz de varazas-covarazas k k [ j ] = k k kk La teoría estadístca demuestra la sguete relacó

33 [ j ] = [X T X] - [X T X] - X es la matrz de dseño del modelo de mímos cuadrados CE = es la varaza del modelo de mímos cuadrados k INTERVALO DE CONFIANZA PARA LO PARÁMETRO I Parámetro: = k Estmador: = k El estadístco t = tee dstrbucó t co = -k- grados de lbertad Defcó Itervalo de cofaza para co vel - - t / + t / = k PRUEBA DE HIPÓTEI PARA LO PARÁMETRO I Ho: = b (algú valor especfcado para el parámetro Ha: < b ó > b ó b 3 vel de sgfcaca de la prueba 4 Estadístco de prueba b t = tee dstrbucó t co = -k- grados de lbertad Ha Regó de rechazo de Ho e favor de Ha < b t < -t > b t > t < b t<-t / t > t / 5 Calcule el valor del estadístco 6 Decsó

34 REGREIÓN LINEAL MÚLTIPLE Ejemplo e desea defr u modelo de regresó para predecr la calfcacó fal Y que tedría u estudate dada su calfcacó parcal su porcetaje de assteca a clases cosderado los sguetes datos: Calfcacó parcal Assteca a clases a Modelo de regresó leal múltple propuesto Y = b Notacó matrcal Calfcacó fal Y Y Y Y Y Y Y X = (matrz de dseño c Estmacó de parámetros por mímos cuadrados

35 = = (X T X - (X T = = = = d Proostque la calfcacó fal s la calfcacó parcal es 75 el porcetaje de assteca clases es 8 ( ( = 938 e Aálss de varaza ( = CT = 6 ( = 533 CR = 6 ( = CE = 6 ( = 98583

36 f Coefcete de determacó R = CR CT g Estmacó de la varaza = 99 = 99% 5 33 = CE k = h Matrz de varaza-covaraza T T j X X X X = = (386 Varaza de los estmadores de mímos cuadrados V[ ] = = = = 6933 = = 7937 j Itervalo de cofaza para co vel 95% - = 95 = k = 6-- = 3 t / = t 5 = 38 (Tabla T - t / + t / k Pruebe co 5% de sgfcaca que > Ho: = Ha: >

37 = 5 = -k- = 3 t = t 5 = 353 (Tabla T Regó de rechazo de Ho : t > 353 = 4888 t = = No se puede rechazar Ho l Pruebe la ormaldad del error co 5% de sgfcaca medate la Prueba de Kolmogorov-mrov Ho: N( (dstrbucó ormal co meda varaza Ha: Ho = 5 e = - = 6 e e e e e e = = 386 e Z = e = (valores estadarzados F (Z (dstrbucó ormal estádar acumulada Estadístco de prueba D = ma ( F ( (para este ejemplo so los valores e Regó de rechazo de Ho = 5 = 6 D 5 = 5 D > 5 (Tabla K- Datos ordeados ( (ordeados ( F ( ( - F (

38 -5878 /6= /6= /6= /6= /6= /6= D = ma ( F ( = 437 Coclusó: D o cae e la regó de rechazo por lo tato o se puede rechazar Ho