Figura 1: Pendiente de una recta no vertical a partir de dos puntos cualesquiera sobre la recta.

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1 Rectas en el Plano Pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical es la razón de cambio vertical con respecto a la cantidad de cambio horizontal entre dos puntos. Para los puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ), el cambio vertical es y = y 2 y 1 y el cambio vertical es x = x 2 x 1. y se lee delta y. (ver figura 1) Figura 1: Pendiente de una recta no vertical a partir de dos puntos cualesquiera sobre la recta. Definición 1 Pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical que pasa por los puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) es m = y 2 y 1 x 2 x 1 Si la recta es vertical, entonces x 1 = x 2 y la pendiente no está definida. Ejemplo 1. Determine la pendiente de la recta que pasa por dos puntos. a) ( 1, 3) y (3, 4) b) (1, 1) y (3, 5) Solución a) Los dos puntos son (x 1, y 1 ) = ( 1, 3) y (x 2, y 2 ) = (3, 4). Por lo tanto, m = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( 1) = 7 4 1

2 b) Los dos puntos son (x 1, y 1 ) = (1, 1) y (x 2, y 2 ) = (3, 5). Por lo tanto, m = y 2 y 1 x 2 x 1 = = 2 Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente Si conocemos la pendiente y las coordenadas de un punto de una recta, entonces, podemos determinar una ecuación para esa recta. Si consideramos un punto cualesquiera (x, y) en una recta de pendiente m y que pasa por el punto (x 1, y 1 ), la ecuación de la pendiente proporciona la ecuación m = y y 1 x x 1 o y y 1 = m(x x 1 ) Definición 2 La forma punto-pendiente de una ecuación de una recta que pasa por el punto (x 1, y 1 ) y tiene como pendiente m es y y 1 = m(x x 1 ) Ecuación de una recta en la forma pendiente-intersección al origen La intersección y de una recta no vertical es el punto donde la recta intersecta el eje y, normalmete se designa por (0, b). Si conocemos la intersección y y la pendiente se puede usar la ecuación de la pendiente para determinar una ecuación para la recta. Si la pendiente de una recta es m, y su intersección y es (0, b) y usando la ecuación en la forma punto-pendiente se obtiene y b = m(x 0) o y = mx + b Definición 3 La forma pendiente-intersección al origen de la ecuación de una recta con pendiente m e intersección y (0, b) es y = mx + b 2

3 SECCIONES CONICAS En esta sección revisaremos y definiremos geométricamente las parábolas, las elipses y las hipérbolas, y deduciremos sus ecuaciones cartesianas estándar (canónicas). Estas curvas se llaman secciones cónicas porque se forman al cortar un cono doble con un plano (figura 2). Figura 2: Secciones cónicas Las ecuaciones de las secciones cónicas se pueden definir en términos de la ecuación general de segundo grado (de dos variables) Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Estudiaremos únicamente las secciones cónicas para las cuales B = 0, que es cuando el eje de la sección cónica es paralelo a alguno de los ejes coordenados (x o y). Las cónicas se definirán como el lugar geométrico de todos los punto que satisfacen cierta propiedad geométrica. A partir de esa definición se obtendrán las ecuaciones estándar o canónicas de las secciones cónicas. Parábolas Definición 4 El conjunto formado por todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija dados en el plano, es una parábola. El punto fijo es el foco de la parábola. La recta es la directriz. 3

4 La parábola mas sencilla es aquella para la cual el foco está en uno de los ejes y la directriz es perpendicular a éste. Por ejemplo, si el foco está sobre el eje y en coordenadas (0,3) y la directriz es la recta y = 3, la parábola se muestra en la figura 3. La ecuación de la parábola se determina a partir de un punto P (x, y) sobre ella. Un punto P (x, y) está en la parábola si y solo si se cumple que las distancias P F y P Q son iguales (figura 3). Las distancias P F y P Q son P F = x 2 + (p y) 2 P Q = y + p Resolviendo P F = P Q para y, se obtiene la ecuación de la parábola y = x2 4p, o x2 = 4py (1) Figura 3: Gráfica de la parábola y = x2 4p Si realizamos un desplazamiento h de la parábola en la dirección del eje x y un desplazamiento k en la dirección del eje y, se obtiene una ecuación mas general y k = (x h)2 4p o (x h) 2 = 4p(y k) forma canónica (2) Si la parábola abre hacia abajo (figura 4), con su foco en (0, p) y con 4

5 directriz en la recta y = p, la ecuaciones 1 y 2 se convierten en y = x2 4p (x h)2 y k = 4p (3) (4) Figura 4: Gráfica de la parábola y = x2 4p Al número positivo p se le llama distancia focal de la parábola, y es la mitad de la distancia del foco a la directriz. Al intercambiar las variable x y y se obtienen las ecuaciones de las parábolas que se abren a la derecha o a la izquierda (figura 5) y la ecuaciones correspondientes se obtienen intercambiando las variables x y y en las ecuaciones anteriores Parábolas con vértice en (0,0) Ecuación estandar x 2 = 4py y 2 = 4px Abre Hacia arriba o hacia abajo Hacia la derecha o hacia la izquierda Foco (0, p) (p, 0) Directriz y = p x = p Eje Eje y Eje x Longitud focal p p Ancho focal 4p 4p 5

6 (a) Parábola y 2 = 4px (b) Parábola y 2 = 4p Figura 5: Ejemplo 2. Considerar la parábola x 2 + 2x + 4y 3 = 0 y determinar su distancia focal, su vértice, su foco, la ecuación de la directriz y su gráfica. Solución. Primero es necesario escribir la ecuación en la forma estándar x 2 + 2x = 4y + 3, y completando el cuadrado x 2 + 2x + 1 = 4y (x + 1) 2 = 4(y 1) y 1 = (x + 1)2 4 Al relacionar con la ecuación 4 se tiene que: La parábola abre hacia abajo y el eje de la parábola es paralelo al eje y. Distancia focal: p = 1 Vértice = ( 1, 1) Foco: (-1,0), el foco está a p unidades del vértice y sobre el eje de la parábola. Directriz: y = 2, la directriz está a 2p del foco y es perpendicular al eje de la parábola. 6

7 Ecuación estándar o canónica de una parábola La forma estándar o canónica de una parábola con vértice (h, k) es Directriz y = k p x = h p Ecuación estándar (x h) 2 = 4p(y k) (y h) 2 = 4p(x h) Abre Hacia arriba (k > p) o A la derecha (h > p) o hacia abajo(k < p) a la izquierda(h > p) Foco (h, k + p) (h + p, k) Eje x = h y = k Longitud focal p p Ancho focal 4p 4p Ejercicios: En los ejercicios 1 a 3 se dan ecuaciones de parábolas. Obtenga las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. Luego dibuje la parábola (a escala), Incluya el foco y la directriz en el dibujo. 1. y = 8x 2 2. x = 2y 2 3. x 2 = 8y 4. La parábola y 2 = 8x se desplaza 2 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha, a) Escriba la ecuación de la parábola resultante al realizar los desplazamientos señalados. b) Obtenga las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz. c) Grafique la parábola. 5. La parábola x 2 = 6x se desplaza 3 unidades hacia arriba y 2 unidad hacia la izquierda, a) Escriba la ecuación de la parábola resultante al realizar los desplazamientos señalados. b) Obtenga las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz. 7

8 c) Grafique la parábola. Elipses Definición 5 Una elipse es el conjunto de los puntos en el plano cuyas distancias a dos puntos fijos tienen la misma suma constante. Los puntos fijos son los focos de la elipse. La recta que pasa por los focos de una elipse es el eje focal. El punto que se localiza en el eje a la mitad de la distancia entre los focos es el centro. Los puntos donde el eje focal y la elipse se cruzan son los vértices de la elipse (figura 6). Figura 6: Puntos en el eje focal de una elipse Si los focos se encuentran en las coordenadas F 1 ( c, 0) y F 2 (c, 0), la recta focal coincide con el eje x (figura ) y si la suma constante es 2a, para un punto P (x, y) sobre la elipse se debe cumplir que P F 1 + P F 2 = 2a. Considerando que P F 1 es la hipotenusa del triángulo rectángulo con vértices F 1, P y (x, 0) y P F 2 la hipotenusa del triángulo rectángulo con vértices F 2, P y (x, o) (figura 7), se escribe la ecuación. (x + c)2 + y 2 = (x c) 2 + y 2 = 2a Simplificando la ecuación se obtiene x 2 a + y2 2 a 2 c = 1 (5) 2 8

9 Puesto que 2a > 2c, entonces, a 2 c 2 es un número positivo. Ahora, si definimos b = a 2 c 2, la ecuación de la elipse se escribe x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (6) Figura 7: Elipse x2 a 2 + y2 b 2 = 1 Algunas definiciones: El eje mayor de la elipse es el segmento de recta de longitud 2a que une los dos vértices. El eje menor es el segmento de recta de longitud 2b perpendicular al eje mayor. El semieje mayor es el número a. El semieje menor es el número b. Ejemplo 3. La elipse x y2 9 = 1 ( figura 8 ) tiene: El semieje mayor: a = 16 = 4, el semieje menor: b = 9 = 3. Distancia del centro al foco: c = 16 9 = 7. Focos: (±c, 0) = (± 7, 0). Vértices: (±a, 0) = (±4, 0). Centro: (0, 0) 9

10 Figura 8: Elipse x y2 9 = 1 Si los focos (y por lo tanto los vértices) de la elipse se encuentran sobre el eje y, el eje mayor es ahora vertical en lugar de horizontal y la ecuación es x 2 b 2 + y2 a 2 = 1 (7) Ecuación estándar o canónica de una elipse La forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h, k) y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b respectivamente, donde a > b es, (x h) 2 (y k)2 + a 2 b 2 = 1, El eje mayor es horizontal (x h) 2 (y k)2 + b 2 a 2 = 1, El eje mayor es vertical Los focos se encuentran en el eje mayor a c unidades del centro, con c 2 = a 2 b 2 Ejercicios: En los ejercicios 6 a 8 se presentan ecuaciones de elipses. Exprese cada ecuación en su forma canónica. Luego dibuje (bosqueje) la elipse. 10

11 6. 3x 2 + 2x 2 = x y 2 = x y 2 = 8 En los ejercicios 9 a 10 se da información sobre focos y vértices de elipses en el plano xy, En cada caso, determine la ecuación en la forma canónica a partir de la información proporcionada. 9. Focos: (±3, 0). Vértices: (±4, 0) 10. Focos: (0, ±4). Vértices: (0, ±6) Ejemplo 4. Encontrar el centro, los vértices y los focos de la elipse 4x 2 + y 2 8x + 4y 8 = 0 luego hacer un bosquejo de la gráfica de la elipse. Solución. Completar el cuadrado para expresar la ecuación original en la forma canónica 4x 2 + y 2 8x + 4y 8 = 0 4(x 2 2x) + (y 2 + 4y) = 8 4(x 2 2x + 1) + (y 2 + 4y + 4) = 8 4(1) + 4 4(x 2 1) 2 + (y + 2) 2 = 16 (x 1) 2 (y + 2) = 1 El eje mayor es paralelo al eje y, luego, (h, k) = (1, 2), a = 4, b = 2 y c = 16 4 = 12 = 2 3. Tenemos: Centro(1,-2) Vértices: (1,-6) y (1,2) Focos:(1, 2 2 3) y (1, ) Para realizar un bosquejo de una elipse, se puede aprovechar el hecho de que la elipse está inscrita en un rectángulo con lados iguales a los ejes mayor y menor. Los lados del rectángulo son los ejes mayor y menor, el centro del rectángulo es el centro de la elipse (figura 12). 11

12 Figura 9: Bosquejo de la elipse del ejemplo 4 Hipérbolas Definición 6 La hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano, cuyas distancias a dos puntos fijos del plano tienen diferencia contante. Los puntos fijos son los focos de la hipérbola. La recta que pasa por los focos de la hipérbola es el eje focal. El punto que esta a la mitad entre los focos es el centro de la hipérbola. Los puntos donde el eje focal y la hipérbola se cruzan son los vértices de la hipérbola (figura 10(a)). Si los focos están en coordenadas F 1 ( c, 0) y F 2 (c, 0) (figura 10(b)) y la diferencia constante es ±2a, un punto P (x, y) está en la hipérbola si y solo si la diferencia entre los puntos P F 1 y P F 2 es igual a ±2a. (x + c)2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = ±2a (8) Al simplificar la ecuación se obtiene x 2 a + y2 2 a 2 c = 1 (9) 2 12

13 (a) Puntos sobre el eje focal (b) Hipérbola Figura 10: Puesto que 2a es mayor que 2c, a 2 c 2 es negativo. Si se define b como la raíz positiva de c 2 a 2, la ecuación 9 se puede escribir x 2 a 2 y2 b 2 = 1 (10) Las hipérbolas tienen dos ramas, para la rama derecha P F 1 P F 2 = 2a y para la rama izquierda P F 2 P F 1 = 2a. Para valores absolutos de x grandes, las ramas de la hipérbola siguen a dos rectas llamadas asíntotas de la hipérbola. las ecuaciones de estas rectas son y = ± b a x Ejemplo 5. La ecuación x 2 5 y2 4 = 1 es la ecuación 10 con a 2 = 5 y b 2 = 4. Y se tiene Distancia entre el centro y el foco: c = a 2 + b 2 = = 3 Focos: (±c, 0) = (±3, 0) Vértices: (±a, 0) = (± 5) Asíntotas: y = ± b a = ± 2. 5 La gráfica se presenta en la figura

14 Figura 11: Hipérbola x2 4 y2 5 = 1 Ecuación estándar o canónica de una hipérbola La forma estándar o canónica de una hipérbola con centro en (h, k) es (x h) 2 (y k)2 = 1 El eje transversal es horizontal a 2 b 2 o (y k) 2 a 2 (x h)2 b 2 = 1 El eje transversal es vertical Los vértices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c unidades del centro, con, c 2 = a 2 + b 2. Las ecuaciones de las asíntotas son: Si el eje transversal es horizontal Si el eje transversal es vertical y = k + b a (x h) y y = k b (x h) a y = k + a b (x h) y y = k a (x h) b Ejemplo 6. Encontrar el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de 14

15 las asíntotas de la hipérbola 4x 2 y 2 4x 3 = 0 luego hacer un bosquejo de su gráfica. Solución. Completar el cuadrado para expresar la ecuación en la forma canónica. 4x 2 y 2 4x 3 = 0 4(x 2 x y 2 ) = 3 y 2 = ( 4 x 2 x ( 4 x 1 2 y 2) 2 = 4 (x 1 2 )2 1 y2 4 = 1 ( ) 1 4 Comparando con la ecuación canónica, (h, k) = ( 1, 0), a = 1, b = 2, c = = 5, y se tiene: ( Centro: 1 (, 0) 2 Focos: 1 + 5, 0 ) y ( 1 5, 0 ) ( 2 2 Vértices: 3, 0) y ( 1 2 (, 0) 2 Asíntotas: y = x 1 2) = 2x 1 y y = 1 2x Las asíntotas de una hipérbola coinciden con los las diagonales de un rectángulo de lados 2a y 2b y centro localizado en el centro de la hipérbola, esta característica se puede utilizar para realizar un bosquejo de su gráfica (figura 6). Ejercicios En los ejercicios 11 a 12 se tiene ecuaciones de hipérbolas. Exprese cada ecuación en su forma canónica y determine las asíntotas de las hipérbolas. Luego dibuje la hipérbola, incluyendo sus asíntotas y focos. 15

16 Figura 12: Bosquejo de la hipérbola del ejemplo x 2 2y 2 = y 2 3x 2 = La hipérbola (y 2 /4) (x 2 /5) = 1 se desplaza 2 unidades hacia la derecha. a) Obtenga la ecuación de la nueva hipérbola. b) Obtenga el centro, los focos, los vértices y las asíntotas de la nueva hipérbola. c) Trace el centro, los focos, los vértices y las asíntotas nuevas y bosqueje la hipérbola. 14. La hipérbola (y 2 /3) x 2 = 1 se desplaza 1 unidad hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba. a) Obtenga la ecuación de la nueva hipérbola. b) Obtenga el centro, los focos, los vértices y las asíntotas de la nueva hipérbola. c) Trace el centro, los focos, los vértices y las asíntotas nuevas y bosqueje la hipérbola. 16

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