Figura 1: Pendiente de una recta no vertical a partir de dos puntos cualesquiera sobre la recta.
|
|
- Magdalena Rodríguez Mora
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Rectas en el Plano Pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical es la razón de cambio vertical con respecto a la cantidad de cambio horizontal entre dos puntos. Para los puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ), el cambio vertical es y = y 2 y 1 y el cambio vertical es x = x 2 x 1. y se lee delta y. (ver figura 1) Figura 1: Pendiente de una recta no vertical a partir de dos puntos cualesquiera sobre la recta. Definición 1 Pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical que pasa por los puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) es m = y 2 y 1 x 2 x 1 Si la recta es vertical, entonces x 1 = x 2 y la pendiente no está definida. Ejemplo 1. Determine la pendiente de la recta que pasa por dos puntos. a) ( 1, 3) y (3, 4) b) (1, 1) y (3, 5) Solución a) Los dos puntos son (x 1, y 1 ) = ( 1, 3) y (x 2, y 2 ) = (3, 4). Por lo tanto, m = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( 1) = 7 4 1
2 b) Los dos puntos son (x 1, y 1 ) = (1, 1) y (x 2, y 2 ) = (3, 5). Por lo tanto, m = y 2 y 1 x 2 x 1 = = 2 Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente Si conocemos la pendiente y las coordenadas de un punto de una recta, entonces, podemos determinar una ecuación para esa recta. Si consideramos un punto cualesquiera (x, y) en una recta de pendiente m y que pasa por el punto (x 1, y 1 ), la ecuación de la pendiente proporciona la ecuación m = y y 1 x x 1 o y y 1 = m(x x 1 ) Definición 2 La forma punto-pendiente de una ecuación de una recta que pasa por el punto (x 1, y 1 ) y tiene como pendiente m es y y 1 = m(x x 1 ) Ecuación de una recta en la forma pendiente-intersección al origen La intersección y de una recta no vertical es el punto donde la recta intersecta el eje y, normalmete se designa por (0, b). Si conocemos la intersección y y la pendiente se puede usar la ecuación de la pendiente para determinar una ecuación para la recta. Si la pendiente de una recta es m, y su intersección y es (0, b) y usando la ecuación en la forma punto-pendiente se obtiene y b = m(x 0) o y = mx + b Definición 3 La forma pendiente-intersección al origen de la ecuación de una recta con pendiente m e intersección y (0, b) es y = mx + b 2
3 SECCIONES CONICAS En esta sección revisaremos y definiremos geométricamente las parábolas, las elipses y las hipérbolas, y deduciremos sus ecuaciones cartesianas estándar (canónicas). Estas curvas se llaman secciones cónicas porque se forman al cortar un cono doble con un plano (figura 2). Figura 2: Secciones cónicas Las ecuaciones de las secciones cónicas se pueden definir en términos de la ecuación general de segundo grado (de dos variables) Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Estudiaremos únicamente las secciones cónicas para las cuales B = 0, que es cuando el eje de la sección cónica es paralelo a alguno de los ejes coordenados (x o y). Las cónicas se definirán como el lugar geométrico de todos los punto que satisfacen cierta propiedad geométrica. A partir de esa definición se obtendrán las ecuaciones estándar o canónicas de las secciones cónicas. Parábolas Definición 4 El conjunto formado por todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija dados en el plano, es una parábola. El punto fijo es el foco de la parábola. La recta es la directriz. 3
4 La parábola mas sencilla es aquella para la cual el foco está en uno de los ejes y la directriz es perpendicular a éste. Por ejemplo, si el foco está sobre el eje y en coordenadas (0,3) y la directriz es la recta y = 3, la parábola se muestra en la figura 3. La ecuación de la parábola se determina a partir de un punto P (x, y) sobre ella. Un punto P (x, y) está en la parábola si y solo si se cumple que las distancias P F y P Q son iguales (figura 3). Las distancias P F y P Q son P F = x 2 + (p y) 2 P Q = y + p Resolviendo P F = P Q para y, se obtiene la ecuación de la parábola y = x2 4p, o x2 = 4py (1) Figura 3: Gráfica de la parábola y = x2 4p Si realizamos un desplazamiento h de la parábola en la dirección del eje x y un desplazamiento k en la dirección del eje y, se obtiene una ecuación mas general y k = (x h)2 4p o (x h) 2 = 4p(y k) forma canónica (2) Si la parábola abre hacia abajo (figura 4), con su foco en (0, p) y con 4
5 directriz en la recta y = p, la ecuaciones 1 y 2 se convierten en y = x2 4p (x h)2 y k = 4p (3) (4) Figura 4: Gráfica de la parábola y = x2 4p Al número positivo p se le llama distancia focal de la parábola, y es la mitad de la distancia del foco a la directriz. Al intercambiar las variable x y y se obtienen las ecuaciones de las parábolas que se abren a la derecha o a la izquierda (figura 5) y la ecuaciones correspondientes se obtienen intercambiando las variables x y y en las ecuaciones anteriores Parábolas con vértice en (0,0) Ecuación estandar x 2 = 4py y 2 = 4px Abre Hacia arriba o hacia abajo Hacia la derecha o hacia la izquierda Foco (0, p) (p, 0) Directriz y = p x = p Eje Eje y Eje x Longitud focal p p Ancho focal 4p 4p 5
6 (a) Parábola y 2 = 4px (b) Parábola y 2 = 4p Figura 5: Ejemplo 2. Considerar la parábola x 2 + 2x + 4y 3 = 0 y determinar su distancia focal, su vértice, su foco, la ecuación de la directriz y su gráfica. Solución. Primero es necesario escribir la ecuación en la forma estándar x 2 + 2x = 4y + 3, y completando el cuadrado x 2 + 2x + 1 = 4y (x + 1) 2 = 4(y 1) y 1 = (x + 1)2 4 Al relacionar con la ecuación 4 se tiene que: La parábola abre hacia abajo y el eje de la parábola es paralelo al eje y. Distancia focal: p = 1 Vértice = ( 1, 1) Foco: (-1,0), el foco está a p unidades del vértice y sobre el eje de la parábola. Directriz: y = 2, la directriz está a 2p del foco y es perpendicular al eje de la parábola. 6
7 Ecuación estándar o canónica de una parábola La forma estándar o canónica de una parábola con vértice (h, k) es Directriz y = k p x = h p Ecuación estándar (x h) 2 = 4p(y k) (y h) 2 = 4p(x h) Abre Hacia arriba (k > p) o A la derecha (h > p) o hacia abajo(k < p) a la izquierda(h > p) Foco (h, k + p) (h + p, k) Eje x = h y = k Longitud focal p p Ancho focal 4p 4p Ejercicios: En los ejercicios 1 a 3 se dan ecuaciones de parábolas. Obtenga las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. Luego dibuje la parábola (a escala), Incluya el foco y la directriz en el dibujo. 1. y = 8x 2 2. x = 2y 2 3. x 2 = 8y 4. La parábola y 2 = 8x se desplaza 2 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha, a) Escriba la ecuación de la parábola resultante al realizar los desplazamientos señalados. b) Obtenga las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz. c) Grafique la parábola. 5. La parábola x 2 = 6x se desplaza 3 unidades hacia arriba y 2 unidad hacia la izquierda, a) Escriba la ecuación de la parábola resultante al realizar los desplazamientos señalados. b) Obtenga las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz. 7
8 c) Grafique la parábola. Elipses Definición 5 Una elipse es el conjunto de los puntos en el plano cuyas distancias a dos puntos fijos tienen la misma suma constante. Los puntos fijos son los focos de la elipse. La recta que pasa por los focos de una elipse es el eje focal. El punto que se localiza en el eje a la mitad de la distancia entre los focos es el centro. Los puntos donde el eje focal y la elipse se cruzan son los vértices de la elipse (figura 6). Figura 6: Puntos en el eje focal de una elipse Si los focos se encuentran en las coordenadas F 1 ( c, 0) y F 2 (c, 0), la recta focal coincide con el eje x (figura ) y si la suma constante es 2a, para un punto P (x, y) sobre la elipse se debe cumplir que P F 1 + P F 2 = 2a. Considerando que P F 1 es la hipotenusa del triángulo rectángulo con vértices F 1, P y (x, 0) y P F 2 la hipotenusa del triángulo rectángulo con vértices F 2, P y (x, o) (figura 7), se escribe la ecuación. (x + c)2 + y 2 = (x c) 2 + y 2 = 2a Simplificando la ecuación se obtiene x 2 a + y2 2 a 2 c = 1 (5) 2 8
9 Puesto que 2a > 2c, entonces, a 2 c 2 es un número positivo. Ahora, si definimos b = a 2 c 2, la ecuación de la elipse se escribe x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (6) Figura 7: Elipse x2 a 2 + y2 b 2 = 1 Algunas definiciones: El eje mayor de la elipse es el segmento de recta de longitud 2a que une los dos vértices. El eje menor es el segmento de recta de longitud 2b perpendicular al eje mayor. El semieje mayor es el número a. El semieje menor es el número b. Ejemplo 3. La elipse x y2 9 = 1 ( figura 8 ) tiene: El semieje mayor: a = 16 = 4, el semieje menor: b = 9 = 3. Distancia del centro al foco: c = 16 9 = 7. Focos: (±c, 0) = (± 7, 0). Vértices: (±a, 0) = (±4, 0). Centro: (0, 0) 9
10 Figura 8: Elipse x y2 9 = 1 Si los focos (y por lo tanto los vértices) de la elipse se encuentran sobre el eje y, el eje mayor es ahora vertical en lugar de horizontal y la ecuación es x 2 b 2 + y2 a 2 = 1 (7) Ecuación estándar o canónica de una elipse La forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h, k) y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b respectivamente, donde a > b es, (x h) 2 (y k)2 + a 2 b 2 = 1, El eje mayor es horizontal (x h) 2 (y k)2 + b 2 a 2 = 1, El eje mayor es vertical Los focos se encuentran en el eje mayor a c unidades del centro, con c 2 = a 2 b 2 Ejercicios: En los ejercicios 6 a 8 se presentan ecuaciones de elipses. Exprese cada ecuación en su forma canónica. Luego dibuje (bosqueje) la elipse. 10
11 6. 3x 2 + 2x 2 = x y 2 = x y 2 = 8 En los ejercicios 9 a 10 se da información sobre focos y vértices de elipses en el plano xy, En cada caso, determine la ecuación en la forma canónica a partir de la información proporcionada. 9. Focos: (±3, 0). Vértices: (±4, 0) 10. Focos: (0, ±4). Vértices: (0, ±6) Ejemplo 4. Encontrar el centro, los vértices y los focos de la elipse 4x 2 + y 2 8x + 4y 8 = 0 luego hacer un bosquejo de la gráfica de la elipse. Solución. Completar el cuadrado para expresar la ecuación original en la forma canónica 4x 2 + y 2 8x + 4y 8 = 0 4(x 2 2x) + (y 2 + 4y) = 8 4(x 2 2x + 1) + (y 2 + 4y + 4) = 8 4(1) + 4 4(x 2 1) 2 + (y + 2) 2 = 16 (x 1) 2 (y + 2) = 1 El eje mayor es paralelo al eje y, luego, (h, k) = (1, 2), a = 4, b = 2 y c = 16 4 = 12 = 2 3. Tenemos: Centro(1,-2) Vértices: (1,-6) y (1,2) Focos:(1, 2 2 3) y (1, ) Para realizar un bosquejo de una elipse, se puede aprovechar el hecho de que la elipse está inscrita en un rectángulo con lados iguales a los ejes mayor y menor. Los lados del rectángulo son los ejes mayor y menor, el centro del rectángulo es el centro de la elipse (figura 12). 11
12 Figura 9: Bosquejo de la elipse del ejemplo 4 Hipérbolas Definición 6 La hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano, cuyas distancias a dos puntos fijos del plano tienen diferencia contante. Los puntos fijos son los focos de la hipérbola. La recta que pasa por los focos de la hipérbola es el eje focal. El punto que esta a la mitad entre los focos es el centro de la hipérbola. Los puntos donde el eje focal y la hipérbola se cruzan son los vértices de la hipérbola (figura 10(a)). Si los focos están en coordenadas F 1 ( c, 0) y F 2 (c, 0) (figura 10(b)) y la diferencia constante es ±2a, un punto P (x, y) está en la hipérbola si y solo si la diferencia entre los puntos P F 1 y P F 2 es igual a ±2a. (x + c)2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = ±2a (8) Al simplificar la ecuación se obtiene x 2 a + y2 2 a 2 c = 1 (9) 2 12
13 (a) Puntos sobre el eje focal (b) Hipérbola Figura 10: Puesto que 2a es mayor que 2c, a 2 c 2 es negativo. Si se define b como la raíz positiva de c 2 a 2, la ecuación 9 se puede escribir x 2 a 2 y2 b 2 = 1 (10) Las hipérbolas tienen dos ramas, para la rama derecha P F 1 P F 2 = 2a y para la rama izquierda P F 2 P F 1 = 2a. Para valores absolutos de x grandes, las ramas de la hipérbola siguen a dos rectas llamadas asíntotas de la hipérbola. las ecuaciones de estas rectas son y = ± b a x Ejemplo 5. La ecuación x 2 5 y2 4 = 1 es la ecuación 10 con a 2 = 5 y b 2 = 4. Y se tiene Distancia entre el centro y el foco: c = a 2 + b 2 = = 3 Focos: (±c, 0) = (±3, 0) Vértices: (±a, 0) = (± 5) Asíntotas: y = ± b a = ± 2. 5 La gráfica se presenta en la figura
14 Figura 11: Hipérbola x2 4 y2 5 = 1 Ecuación estándar o canónica de una hipérbola La forma estándar o canónica de una hipérbola con centro en (h, k) es (x h) 2 (y k)2 = 1 El eje transversal es horizontal a 2 b 2 o (y k) 2 a 2 (x h)2 b 2 = 1 El eje transversal es vertical Los vértices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c unidades del centro, con, c 2 = a 2 + b 2. Las ecuaciones de las asíntotas son: Si el eje transversal es horizontal Si el eje transversal es vertical y = k + b a (x h) y y = k b (x h) a y = k + a b (x h) y y = k a (x h) b Ejemplo 6. Encontrar el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de 14
15 las asíntotas de la hipérbola 4x 2 y 2 4x 3 = 0 luego hacer un bosquejo de su gráfica. Solución. Completar el cuadrado para expresar la ecuación en la forma canónica. 4x 2 y 2 4x 3 = 0 4(x 2 x y 2 ) = 3 y 2 = ( 4 x 2 x ( 4 x 1 2 y 2) 2 = 4 (x 1 2 )2 1 y2 4 = 1 ( ) 1 4 Comparando con la ecuación canónica, (h, k) = ( 1, 0), a = 1, b = 2, c = = 5, y se tiene: ( Centro: 1 (, 0) 2 Focos: 1 + 5, 0 ) y ( 1 5, 0 ) ( 2 2 Vértices: 3, 0) y ( 1 2 (, 0) 2 Asíntotas: y = x 1 2) = 2x 1 y y = 1 2x Las asíntotas de una hipérbola coinciden con los las diagonales de un rectángulo de lados 2a y 2b y centro localizado en el centro de la hipérbola, esta característica se puede utilizar para realizar un bosquejo de su gráfica (figura 6). Ejercicios En los ejercicios 11 a 12 se tiene ecuaciones de hipérbolas. Exprese cada ecuación en su forma canónica y determine las asíntotas de las hipérbolas. Luego dibuje la hipérbola, incluyendo sus asíntotas y focos. 15
16 Figura 12: Bosquejo de la hipérbola del ejemplo x 2 2y 2 = y 2 3x 2 = La hipérbola (y 2 /4) (x 2 /5) = 1 se desplaza 2 unidades hacia la derecha. a) Obtenga la ecuación de la nueva hipérbola. b) Obtenga el centro, los focos, los vértices y las asíntotas de la nueva hipérbola. c) Trace el centro, los focos, los vértices y las asíntotas nuevas y bosqueje la hipérbola. 14. La hipérbola (y 2 /3) x 2 = 1 se desplaza 1 unidad hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba. a) Obtenga la ecuación de la nueva hipérbola. b) Obtenga el centro, los focos, los vértices y las asíntotas de la nueva hipérbola. c) Trace el centro, los focos, los vértices y las asíntotas nuevas y bosqueje la hipérbola. 16
COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS
LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS 01. Halla la ecuación de la circunferencia de centro ( 5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0). 02. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:
Más detallesSecciones Cónicas. 0.1 Parábolas
Secciones Cónicas 0.1 Parábolas Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, se obtienen cortando un cono circular recto doble con un plano. Al cambiar la posición del plano se tiene un círculo, una
Más detallesBloque 2. Geometría. 4. Iniciación a las Cónicas
Bloque 2. Geometría 4. Iniciación a las Cónicas 1. La circunferencia Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Elevando al cuadrado
Más detallesGeometría Analítica. Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada:
Geometría Analítica Definición de línea recta: Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera y del lugar, el valor de la pendiente m calculado
Más detalles1. L U G A R E S G E O M É T R I C O S E N E L P L A N O
L U G A R E S G E O M É T R I C O S. C Ó N I C A S 1. L U G A R E S G E O M É T R I C O S E N E L P L A N O Se define un lugar geométrico como el conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada
Más detallesDocente Matemáticas. Marzo 11 de 2013
Geometría Analítica Ana María Beltrán Docente Matemáticas Marzo 11 de 2013 1 Geometría Analítica Definición 1. Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que tienen una característica
Más detallesSECCIONES CÓNICAS. 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar?
SECCIONES CÓNICAS 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar? 2. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO: es una ecuación de la siguiente forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey
Más detallesIntroducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica I Contenido 1 Introducción 2 La Circunferencia 3 Parábola 4 Elipse 5 Hiperbola Objetivos Se persigue que el estudiante:
Más detallesGuía de estudio Nº 3: Ejercicios propuestos sobre Lugares geométricos. Secciones cónicas
U.C.V. Facultad de Ingeniería CÁLCULO I (5) Guía de estudio Nº : Ejercicios propuestos sobre Lugares geométricos. Secciones cónicas.- Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos (, ) del plano
Más detallesINSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS
INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponden a los espacios académicos en los que el estudiante del Politécnico Los Alpes puede profundizar y reforzar sus conocimientos en diferentes temas de cara
Más detallesEs el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
REPARTIDO IV - CÓNICAS Elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Elementos de la elipse Focos Son los puntos fijos F
Más detallesCónicas y cuádricas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
Grado en Óptica y Optometría Curso 2009-2010 Cónicas y cuádricas. Curvas cónicas Entre las curvas, quizás más importante y con más renombre, figuran las conocidas como curvas cónicas, cuyo nombre proviene
Más detallesUNPSJB - Facultad Ciencias Naturales - Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 2014 CONICAS
Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 014 CONICAS La superficie que se muestra en la figura se llama doble cono circular recto, o simplemente cono. Es la superficie tridimensional generada por una recta
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO PLANTEL IGNACIO RAMÍREZ CALZADA DE LA ESCUELA PREPARATORIA PROBLEMARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO PLANTEL IGNACIO RAMÍREZ CALZADA DE LA ESCUELA PREPARATORIA PROBLEMARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA ELABORO: ING. ROBERTO MERCADO DORANTES SEPTIEMBRE 2008 Sistemas coordenados
Más detallesLugar Geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz
1 Lugar Geométrico Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
Más detallesLa parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
La Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Características geométricas. a) Vértice. Es el
Más detallesUNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas
009 UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas Se hace referencia a las definiciones, fórmulas y algunos ejemplos sobre los temas indicados Iván Moyota Ch.
Más detallesGUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 268 GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Profra: Citlalli Artemisa García García 1) Qué es la pendiente? 2) Cómo es la pendiente de rectas
Más detallesA pesar de la importancia de las cónicas como secciones de una superficie cónica, para estudiar los elementos y propiedades de cada una de ellas en
SECCIONES CÓNICAS Las secciones cónicas se pueden definir como lugares geométricos en el plano, sin embargo la definición clásica de las cónicas, que se debe a Apolonio de Perga, se hizo mediante un procedimiento
Más detallesEs la elipse el conjunto de puntos fijos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
ESQUEMA LAS CÓNICAS LA PARÁBOLA ECUACIONES DE LA PARÁBOLA ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA ELIPSE ECUACIONES DE LA ELIPSE PROPIEDADES DE LA ELIPSE LA HIPÉRBOLA ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA 10 ASÍNTOTAS
Más detalles2º BACH CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS
2º BACH CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS CURVAS TÉCNICAS 1. ÓVALOS. El óvalo es una curva cerrada, plana y convexa formada generalmente por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a dos; tiene dos ejes
Más detalles1 + r, y = y 1 + ry Si P es el punto medio del segmento P 1 P 2, entonces x = x 1 + x 2 2
CAPÍTULO 5 Geometría analítica En el tema de Geometría Analítica se asume cierta familiaridad con el plano cartesiano. Se entregan básicamente los conceptos más básicos y los principales resultados (fórmulas)
Más detallesSuperficie cónica. Cuando una recta g que corta a otra recta e, gira alrededor de ella, genera una superficie cónica
CÓNICAS Superficie cónica Cuando una recta g que corta a otra recta e, gira alrededor de ella, genera una superficie cónica V Las cónicas como secciones de un cono. Circunferencia Al cortar la superficie
Más detalles1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Geometría Analítica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a
Más detallesGeometría Analítica Agosto 2015
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados. 1) A(3, 3), B( 3, 1), C(0, 3) 2) O( 2, 3), P(2, 3), Q(0, 2) 3) R(4, 4), S(7, 4), T(6,
Más detallesUNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS
UNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS Objetivos Geometría analítica Introducción L cónica sección cónica Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A B C D E F 4.1. Circunferencia Circunferencia es el conjunto
Más detallesElipse UNIDAD. : (x + 4) 2 + (y + 3) 2 1 = 0 Igualamos:
UNIDAD c) C : (x + ) + (y + ) = 0 Igualamos: C : (x ) + (y + ) = 0 (x +) +(y +) = (x ) +(y +) 8 8 x +8x + + y +y + = x x + + y + y + 8 8 0x + y = 0 8 x + y = 0. Eje radical. C C (, ) (, ) x + y = 0 Elipse
Más detallesAntes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Cónicas. 1. Conocimientos previos. ntes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones. Sería conveniente realizar
Más detallesCónicas. Marcos Marvá Departamento de Física y Matemáticas, Universidad de Alcalá. November 27,
Cónicas Marcos Marvá Departamento de Física y Matemáticas, Universidad de Alcalá November 27, 2013 marcos.marva@uah.es Cómo definir una cónica Como intersección de un plano y un cono recto de doble hoja
Más detallesLA PARÁBOLA ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA. x 2px p y x 2px p. Geometría Analítica
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA DEFINICIÓN LA PARÁBOLA Parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz (L) y de un punto fijo exterior
Más detallesRectas y Cónicas. Sistema de Coordenadas Cartesianas. Guía de Ejercicios # Encuentre las coordenadas de los puntos mostrados en la figura.
Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales Escuela de ingeniería Forestal Departamento de Botánica y Ciencias Básicas Matemáticas I I 2014 Prof. K. Chang. Rectas y Cónicas Guía
Más detallesUnidad 6 GEOMETRIA ANALITICA
Profesor: Blas Torres Suárez. Versión.0 Unidad 6 GEOMETRIA ANALITICA Competencias a desarrollar: Determinar distancia y el punto medio de entre dos puntos dados Encontrar la ecuación de una recta si se
Más detallesLa Ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria con centro en el origen.
Geometría analítica TEMA 1: LA CIRCUNFERENCIA 1. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN La Ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria con centro en el origen. Sea P(X, Y) un punto
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de
Más detallesDIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
SISTEMA COORDENADO CARTESIANO, DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ANGULO ENTRE DOS RECTAS y AREA 1) Transportar a una gráfica los siguientes puntos: a) ( 5, 2 ) b) (0, 0 ) c) ( 1 + 3, 1-3 ) d) ( 0, 3 ) e) ( -
Más detallesGeometría Analítica Enero 2015
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados. A( 2,, B( 8,, C( 5, 10) R( 6, 5) S( 2, - T(3,- U( -1, - V( 2, - W( 9, 4) II.- Demuestre
Más detallesTEMA 6 CÓNICAS CÓNICAS TEMA 6. 1.º BACHILLERATO - CIENCIAS. 1. La circunferencia. Ecuación de una circunferencia. (x - a) + (y - b) = r.
TEMA 6 CÓNICAS Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen
Más detalles1.- Localizar en un plano cartesiano los siguientes puntos A (0,0), B (3,5), C (-2,7), D (-5,-6) E (6,-3). Hacer su gráfica correspondiente.
Guía de matemáticas III La presente guía de matemáticas III tiene como objetivo que el alumno que tome los cursos de regularización o de título pueda tener una base, para preparase para dichos exámenes.
Más detallesFunción lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado.
Tema 5 Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. 5.0.1 Ecuaciones en dos variables. Una linea del plano es el conjunto de puntos (x, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II SECCIONES CONICAS Se llaman secciones cónicas a un grupo de cuatro
Más detallesGUIA ADICIONAL CÁLCULO 1 GEOMETRÍA ANALÍTICA. 1.- Grafique los siguientes puntos y encuentre la distancia entre ellos:
GUIA ADICIONAL CÁLCULO GEOMETRÍA ANALÍTICA ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA.- Grafique los siguientes puntos y encuentre la distancia entre ellos: a ) A(, 3) B( 5,3) b ) A( 4, 5) B(5, 3) c ) A(4, ) B(6,
Más detallesTema 3. GEOMETRIA ANALITICA.
Álgebra lineal. Curso 087-009. Tema. Hoja 1 Tema. GEOMETRIA ANALITICA. 1. Hallar la ecuación de la recta: a) que pase por ( 4, ) y tenga pendiente 1. b) que pase por (0, 5) y tenga pendiente. c) que pase
Más detallesCURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS
2º BACH CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS ANA BALLESTER JIMÉNEZ CURVAS TÉCNICAS 1. ÓVALOS. El óvalo es una curva cerrada, plana y convexa formada generalmente por cuatro arcos de circunferencia iguales dos
Más detallesTEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios:
TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia.
Más detallesGuía de Estudio Algebra y Trigonometría Para Ciencias Agropecuarias
Guía de Estudio Para Ciencias Agropecuarias Unidad: Geometría Analítica Los siguientes ejercicios están relacionados con los principales temas de Geometría Analítica e involucra todos los conocimientos
Más detalles2. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento
Geometría 1 Geometría anaĺıtica Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x e y tiene infinitas soluciones Por ejemplo x + y = 3 tiene como soluciones (0, 3), (1, ), ( 1, 4), etc Hasta ahora se han
Más detallesTALLER DE CONICAS. Ejemplo 1: En las siguientes ecuaciones diga que posible curva es:
TALLER DE CONICAS Ejemplo 1: En las siguientes ecuaciones diga que posible curva es: 1. y -4x =4. x=y. x-y+6=0 4. 9x +4y -18x+16y-11=0 5. 9x -4y -18x-16y-4=0 6. 4x +y =4 7. 4x 9y =6 8. 4x+=0 9. 5y-=0 10.
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 5. Geometría en el plano
CIRCUNFERENCIA CÓNICAS La circunferencia de centro C y radio r 0, es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al punto C es igual a r. Para obtener su ecuación se tiene en cuenta que un punto X =
Más detallesUCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/2010. Solución al primer examen parcial. x - x 3 1
UCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/010 Solución al primer eamen parcial 1. Encuentre el conjunto de todos los números reales que satisfacen el sistema de inecuaciones - 3 4 4 0 1 1 1 Solución:
Más detallesEjercicios de Álgebra y Geometría Analítica
Ejercicios de Álgebra y Geometría Analítica Profr. Fausto Cervantes Ortiz Recta Dibujar las rectas indicadas 1. y = x + 1 2. y = 2x + 5 2 3. y = x + 2 4. y = x + 2 5. y = 2x 3 2 6. y = 3 2 x + 1 2 7. y
Más detallesE X A M E N MEJORAMIENTO
NOTA. PERMITIDO UTILIZAR CALCULADORA Y FORMULARIO E X A M E N MEJORAMIENTO M A T E M Á T I C A S V B A C H I L L E R A T O Matemática V Bachillerato N o m b r e : F e c h a : / / SERIE I: Rellena el círculo
Más detallesELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA
ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA Derecho básico de aprendizaje: Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones. (ver DBA
Más detallesÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de Circunferencia.
ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de 2012. Circunferencia. Elementos de la circunferencia. El segmento de recta es una cuerda. El segmento de recta es una cuerda que pasa por el centro, por lo tanto
Más detallesSe llama Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado centro.
Cónicas 1.- Circunferencia Definición 1 (Definición geométrica) Se llama Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado centro. Analíticamente la circunferencia
Más detallesGeometría Analítica Agosto 2016
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Demostrar que los puntos dados no son colineales. 1) A (0, 5), B(3, 1), C( 11, 27) 2) A (1, 4), B( 2, 10), C(5, 5) II.- Demostrar que los puntos dados forman
Más detallesCÓNICAS UNIVERSIDAD MARIANA
Cónicas CÓNICAS UNIVERSIDAD MARIANA FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA DE PROCESOS 2015 CONTENIDO 1. INTRODUCCION 2. DEFINICON GENERAL 2.1 Ecuación canónica 3. PARABOLA 3.1 Ecuación canónica 4. ELIPSE 4.1
Más detallesINSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT LÁZARO CÁRDENAS DEL RÍO ÁREA BÁSICA ACADÉMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO
PRIMER EXAMEN PARCIAL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT LÁZARO CÁRDENAS DEL RÍO ÁREA BÁSICA ACADÉMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO GUÍA DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 2016-2017A SISTEMA DE COORDENADAS, LUGARES
Más detallesGUIA DIDACTICA MATEMATICA 5to PARABOLA
UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO LOS PIRINEOS DON BOSCO INSCRITO EN EL M.P.P.L N S2991D2023 RIF: J-09009977-8 GUIA DIDACTICA MATEMATICA 5to PARABOLA Asignatura: Matemática Año Escolar: 2013-2014 Lapso: 2do Año:
Más detalles10.1 Rectas en el plano
10 CAPÍTULO DIEZ Ejercicios propuestos 10.1 Rectas en el plano 1. Determine la distancia y el punto medio entre los siguientes pares de puntos: a. (1, 2) ; ( 2, 3) b. (0, 3) ; (1, 5) c. ( 2, 1) ; ( 3,
Más detallesFormulario de Geometría Analítica
1. El Punto 1.1. Distancia entre dos puntos Sean A(x 1, y 1 ) y B(x, y ) dos puntos en el plano. La distancia d entre ambos está dada por la ecuación: d(a, B) = (x x 1 ) + (y y 1 ) 1.. Punto medio: Sean
Más detallesLAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. d(x,f) + d(x,f ) = k LAS CÓNICAS COMO LUGARES
Más detallesPlaneación de vídeos-tutoriales: Cónicas
Planeación de vídeos-tutoriales: Cónicas Adriana Serna García; Jonathan E. Martínez Medina; Luis Eduardo Gómez Ojeda adrianasgp7@hotmail.com; jonamartinez7@gmail.com; luisbajistagomez@gmail.com Licenciatura
Más detallesHipérbola, parábola y sus elementos Semana del Viernes 25 al Miércoles 30 de Abril
UNIVERSIDAD DE CHILE Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas MC-140 Matemáticas I Ayudantías 06A y 06B Hipérbola, parábola y sus elementos Semana del Viernes 25 al Miércoles 0 de Abril 1. Si la
Más detallesPROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO.
PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO. FACULTAD DE MATEMATICAS UNIVERSIDAD VERACRUZANA 2010 Xalapa, Ver. México 1 1. La distancia entre dos puntos en la recta real es 5. Si uno de los puntos
Más detallesINECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.
Más detallesRespuestas ejercicios edición 2007 Sección 3.3: Transformación de coordenadas Ejercicio 3-1
Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 Respuestas ejercicios edición 007 Sección 3.3: Transformación de coordenadas Ejercicio 3-1 a) Simetría respecto de ambos ejes y respecto del origen. b) Simetría respecto
Más detallesLECCIÓN Nº 04 LA PARABOLA
LECCIÓN Nº 04 LA PARABOLA Parábola El conjunto de puntos del plano tales que están a la misma distancia de una recta dada y de un punto dado F que no este sobre recibe el nombre de parábola. El punto F
Más detallesEjercicios N 3 (MAT 021)
Ejercicios N 3 (MAT 021) Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Septiembre 2009 1 Rectas 1. En cada caso determine la ecuación de la recta L (a) L pasa por el punto P ( 1,
Más detallesUnidad IV. La parábola
Unidad IV. La parábola El estudiante, resolverá problemas teóricos o prácticos relativos a la parábola, a través del análisis descriptivo, aplicación y combinación de sus propiedades, gráficas y ecuaciones,
Más detalles7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 49 7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas Cónicas Círcunferencias, elipses, parábolas, e hipérbolas son llamadas secciones cónicas
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio
Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 Geometría del plano y del espacio José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es
Más detallesn Por ejemplo, en un pentágono tenemos que saber que sus ángulos suman 540º y cada ángulo del pentágono son 108º.
MATEMÁTICAS 3º ESO TEMA 10 PROBLEMAS MÉTRICOS EM EL PLANO- 1. ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS La suma de los ángulos de un polígono de n lados es: 180º (n-2) 180º(n - 2) La medida de cada ángulo de un polígono
Más detallesProyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta
Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias
Más detallesLugares geométricos y cónicas
Lugares geométricos y cónicas E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Lugar geométrico página 6.. Definición página 6. Circunferencia página 6.. Ecuación página 6.. Casos particulares página 67. Elipse página
Más detalles9 Lugares geométricos. Cónicas
9 Lugares geométricos. Cónicas Página Dónde se situará el depósito? La solución es P = (0, ) Página Hazlo tú. Mediatriz: y + = 0 Página 7 Hazlo tú. B : 7 7y = 0 B : 7 7y = 0 Hazlo tú. Es una recta, y =
Más detallesUNIDAD EDUCATIVA SAGRADOS CORAZONES CENTRO
UNIDAD EDUCATIVA SAGRADOS CORAZONES CENTRO Contemplar, vivir y anunciar el amor redentor de Cristo CIENCIAS EXACTAS SUPLETORIO - Matemáticas Tercer Año de Bachillerato 07 08 Dirección: Calles Sucre Oe
Más detallesFormas de trazar una circunferencia, semicircunferencia, arcos y las cónicas.
Formas de trazar una circunferencia, semicircunferencia, arcos y las cónicas. 1 Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia
Más detallesLugares geométricos. Cónicas
ACTIVIDADES Si el plano es perpendicular a la generatriz del cilindro, la sección es una circunferencia. Si no es perpendicular, la sección es una elipse. Porque el plano solo corta a uno de los conos
Más detallesHipérbola: Elementos y ecuación de la hipérbola
Hipérbola: Elementos y ecuación de la hipérbola Tinoco, G. (2013). Hipérbola: Elementos y ecuación de la hipérbola. [Manuscrito no publicado]. México: UAEM. Espacio de Formación Multimodal Hipérbola En
Más detalles4. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(-2,3) y radio 4. Sol: (x+2) 2 +(y-3) 2 =16.
Problemas de circunferencias 4. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(-2,3) y radio 4. Sol: (x+2) 2 +(y-3) 2 =16. 10. 5. Calcula la potencia del punto P(-1,2) a la circunferencia: x 2 +y
Más detallesUNIVERSIDAD CENTROAMERICANA JOSÉ SIMEÓN CAÑAS ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES GUIA DE TRABAJO Secciones Cónicas Ciclo 02 de 2012
UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA JOSÉ SIMEÓN CAÑAS ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES GUIA DE TRABAJO Secciones Cónicas Ciclo 0 de 0 PARTE I: Ejercicios cortos de selección Múltiple. En cada uno de los siguientes
Más detallesUNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS Álgebra Guía de Ejercicios º Elementos Elementos de Geometría Analítica Plana ELEME TOS DE GEOMETRÍA A ALÍTICA Distancia
Más detalles1º BACH TANGENCIAS CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS ANA BALLESTER JIMÉNEZ
1º BACH TANGENCIAS CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS ANA BALLESTER JIMÉNEZ TANGENCIAS Propiedades: Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia se encuentra en la recta que une los centros
Más detallesSe llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.
LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(,) a las coordenadas del punto genérico aplicando analíticamente
Más detallesSECCIONES CÓNICAS (1)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta
LOS EJERCICIOS DEBEN RESOLVERSE TAMBIÉN USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO. LAS ECUACIONES PEDIDAS SON, EN TODOS LOS CASOS, LAS CANÓNICAS Y LAS PARAMÉTRICAS. I) GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO 1. Determinar y
Más detallesCónicas, denición y nomenclatura
Las curvas llamadas cónicas son importantes desde muchos puntos de vista. Desde un punto de vista práctico, sirven para aproximar peque nos trozos de curvas complicadas con un grado de aproximación mayor
Más detalles1. Cónicas Definición. Sean D y F una recta y un punto del plano tales que F D. Sea e. e-veces su distancia a la recta D. Es decir: P Cónica
1. Cónicas 1.1. Definición. Sean D y F una recta y un punto del plano tales que F D. Sea e un número positivo. Una cónica es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que su distancia a F es
Más detallesELIPSE focos elipse Centro Vértices Focos Eje focal Cuerda focal Lado recto
ELIPSE Definición.- Dados dos puntos fijos F 1 y F 2 llamados focos, (F 1 F 2 ) separados por una distancia 2c, y dada una constante a talque, a > c > 0, se define la elipse E como el conjunto de todos
Más detallesIntroducción a la geometría analítica
Introducción a la geometría analítica Prof. Yoel Gutiérrez 1 Sistema de coordenadas rectangulares 1.1 sistema coordenado rectangular El sistema coordenado rectangular, indicado en la figura 1, consta de
Más detallesINTRO. ESTUDIO DE LAS CÓNICAS
INTRO. ESTUDIO DE LAS CÓNICAS Una vez que se han estudiado los sistemas de coordenadas y las ecuaciones de las figuras geométricas más elementales, las rectas, se pasará a hacer un estudio de algunas líneas
Más detallesCapítulo 1: Secciones Cónicas
Capítulo : Secciones Cónicas Resumen En este apartado se trata sobre la definición, caractrización graficación de las Secciones Cónicas. Primero se definen las secciones cónicas como la curva de intersección
Más detallesPREPARATORIA CENTRO CALMECAC educando con perspectiva de futuro
PREPARATORIA CENTRO CALMECAC educando con perspectiva de futuro Guía para Exámenes Final y Extemporáneo del Curso de Matemáticas IV GEOMETRIA ANALITICA Esta guía tiene como propósito proporcionarte información
Más detallesLas cuatro secciones cónicas básicas se ilustran en las siguientes figuras: Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
SECCIONES CÓNICAS Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas aparecen dependiendo
Más detallesB23 Curvas cónicas Curvas cónicas
Geometría plana B23 Curvas cónicas Curvas cónicas Superficie cónica de revolución es la engendrada por una recta que gira alrededor de otra a la que corta. Curvas cónicas son las que resultan de la intersección
Más detallesUTalca - Versión Preliminar
1. Definición La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto y una recta dada. Más claramente: Dados (elementos bases de la parábola) Una recta L, llamada directriz
Más detallesELIPSE. Muchos cometas tienen órbitas extremadamente excéntricas. Por ejemplo, el cometa Halley, tiene una excentricidad orbital de casi 0.97!
ELIPSE Las órbitas de los planetas son elípticas. La excentricidad de la órbita de la Tierra es muy pequeña (menor de 0.2), de manera que la órbita es casi circular. La órbita de Plutón es la más excéntrica
Más detalles