1.- Sea la función f definida por f( x)

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1 Solución Eamen Final de la 3ª Evaluación de º Bcto..- Sea la función f definida por f( ) a) El dominio de la función es Dom( f) estudiando las asíntotas verticales:, por tanto vamos a empezar La función f, presenta una asíntota vertical en un punto o, si ocurre: f( ) o e e ( ) f Por tanto f tiene una Asíntota Vertical en =. o e e Estudiamos ahora la asíntota horizontal: Una función presenta una asíntota horizontal en y=k, si ocurre: f( ) k k Por tanto: e e ( puntos) a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f. b) Halla los etremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Asíntota Horizontal y= cuando L' e e Y Estudiamos en este caso: L' L' e e e obtenemos: ( ) función presenta una rama parabólica cuando f( ) y Por tanto la b) Para la monotonía, utilizamos la derivada de la función y la igualamos a cero: e f '( ) f '( ) e ( ) Por tanto, si utilizamos la tabla, tenemos: (-,) (,) (,+ ) f () f() Mín (,) Así que f es creciente en:,,, f es decreciente en, presenta un mínimo en el punto (,) y además, la función

2 .- Sea f la función definida por f( ) 4 ( puntos) a) Halla las ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta r : y a) Las ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente a una gráfica en un punto a, vienen dadas por: Recta Tangente '( ) y f a f a a Por tanto, como: f()=; f ()=-; f ()=-4, tenemos: Recta Normal y f a a f '( a) y y y 4y 4 b) En el punto de la gráfica en el que la recta tg es perpendicular a la recta dada, como la pendiente de la tangente es: m=-/, la pendiente de la perpendicular será: m Por tanto, la derivada en dicho punto ha de ser -, derivamos la función: f '( ) f '( ) Así que calculamos f(-) y ya tenemos el punto pedido: (-,3) Sea f la función definida por f( ) a b c d. Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica: ( puntos) El punto (,) es un punto de infleión de la gráfica de f. f tiene un mínimo local en el punto de abscisa =. La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente. f() Si el punto (,) es un punto de infleión, tenemos que: f ''() Si tiene un mínimo en =, tenemos que: f '() Y si la recta tangente en = tiene pendiente, tenemos: f '() Agrupando todas estas ecuaciones, nos dará un sistema, cuyas soluciones a, b, c y d son los coeficientes de f(). Resolviendo: f() d f ''() b b f '() 3a b c 3a c f '() a 4b c a c

3 Solución Eamen Final de la 3ª Evaluación de º Bcto. a b c d f( ) Calcule las derivadas siguientes: ( punto) a) f( ) e ln 5 b) g( ) c) h( ) 3 5 ln a f e e 3 3 ) '( ) 3 ln ln 3( ) 3 g '( ) 5 h'( ) Determina a y b para que el siguiente límite eista y sea finito. Además calcúlalo. (p) ln a b 3 sen ln a b L' 3 a b sen 3 sen cos Para que podamos volver a utilizar la regla de L, tiene que ocurrir que +a=, por tanto a debe de ser a=-. Y ya estamos en condiciones de volver a aplicar L : b b L' b 3 3 sen cos 3 sen cos 6 sen cos 3sen De igual manera, para que sea finito, b b Así que de esta forma volvemos a estar en condiciones de aplicar L : 3 ' L sen cos 3sen 6 cos sen cos 6 3

4 6.- Estudia y representa la siguiente función: f( ) ( puntos).- Dominio: La función es un cociente de polinomios, por tanto su dominio es el conjunto de los números reales, menos los valores que anulen el denominador..- Simetrías: Dom( f) Para ver si una función es par o impar, calculamos f(-) y vemos que ocurre: f( ) 3.- Periodicidad: Por tanto la función no es impar, ni impar. No es Simétrica. La función f () no es periódica, porque no es composición de funciones trigonométricas. 4.- Puntos de discontinuidad: Como f () es un cociente de polinomios, y los polinomios son siempre funciones continuas, f() es una función continua ecepto donde se anule el denominador. f( ) f( ) Por tanto, f es continua en todos los puntos de su dominio y en =-, la función f () presenta una discontinuidad asintótica. 5.- Puntos de corte con los ejes. Los puntos de corte con los ejes se calculan haciendo f() e igualando f()= y resolviendo la ecuación, por tanto: Hacemos f( ) Calculamos f ( ) Por tanto el punto de corte con el eje X y con el eje Y es el (,) 6.- Asíntotas: Como hemos visto ya, en el apartado de continuidad, f () presenta en =- una asíntota vertical. Como f ( ) y alguna asíntota oblicua o rama ya sea hiperbólica o parabólica. f ( ), no presenta asíntotas horizontales, pero si puede presentar Calculamos f( ) Como es finito, ahora calculamos f( ) 4

5 Solución Eamen Final de la 3ª Evaluación de º Bcto. ( Por tanto f ) presenta una asíntota oblicua en y=- 7.- Monotonía y curvatura: Para ello, lo primero es calcular la derivada de f () f '( ) ( ) 4 4 f '( ) ( 4) y la igualamos a cero para calcular los etremos relativos: 4 Estudiamos ahora el signo de f '( ) para ver los intervalos de monotonía. Dibujamos una línea recta en la que ponemos los puntos que hacen la derivada, los puntos que hacen la función cero, y los puntos donde no es continua. X (-,-4) (-4,-) (-,) (,+ ) f () f() Ma (-4,-8) Min(,) f () es creciente en el intervalo, 4, f () es decreciente en el intervalo 4,, f () tiene un máimo en 4 ( 4) 8 f () tiene un mínimo en () f en el punto 4, 8 f en el punto, Vamos a calcular ahora los puntos de infleión, donde la curva cambia de cóncava a convea. Para ello trabajamos con la segunda derivada. f ''( ) f ''( ) 8 3, esta segunda derivada siempre es distinta de cero, luego no hay punto de infleión Veamos ahora la curvatura de la función: f ()< f ()> - Por tanto, la función es cóncava en (-,-) y es convea en (-,+ ) 8.- Gráfica de la función: Con todos los datos que ya tenemos de f (), lo único que nos falta es representarla.