4 Descripción conjunta de varias variables.

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1 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 23 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 2 Descripción conjunta de varias variables..1 Ejemplos Ejemplo.1 La siguiente tabla de frecuencias absolutas corresponde a 200 observaciones de una variable bidimensional. La última fila contiene la distribución marginal de la variable Y,ylaúltima columna contiene la distribución marginal de la variable X. X \ Y n i n j Calcular: a) Las distribuciones marginales. b) La distribución de X condicionada a que Y =25. c) La distribución de Y condicionada a que X =12. d) La distribución de X condicionada a que Y [15, 25]. Respuesta: a) La distribución de X condicionada a que Y =25es: X/Y =25 n i b) La distribución de Y condicionada a que X =12es: Y/X =12 n 3j c) La distribución de X condicionada a que Y [15, 25] es: X \ Y Ejemplo.2 Con los datos del ejemplo.1 calcular las medias, y varianzas marginales. Cuál de las dos variables presenta mayor variación? Respuesta: Las medias marginales son: x =( )/200 = 10.36, y =( )/200 = Las varianzas marginales: s 2 X =2.35, s 2 Y =86.5 Observando los coeficientes de variación CV (X) =0.15, CV(Y )=0.2 vemos que la variable Y presenta más dispersión que la variable X. Ejemplo.3 Preguntamos a dos hermanos sus preferencias sobre diferentes deportes. La seguiente tabla contiene los órdenes de preferencias dados por cada hermano: deporte x i y i tennis 1 7 fútbol 5 3 baloncesto 6 2 natación 2 6 waterpolo 3 5 voleibol 7 1 golf Averiguad si los gustos deportivos de estos dos hemanos son iguales, opuestos o independientes. Respuesta: deporte x i y i d i d 2 i tennis fútbol baloncesto natación waterpolo voleibol golf

2 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 25 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 26 Tenemos k =7elementos. El coeficiente de correlación de Spearman es: r S = = 1, por tanto, los gustos deportivos de los dos hermanos son totalmente opuestos, ya que los dos criterios de clasificación son del todo discordantes..2 Ejercicios. Ejercicio.1 La siguiente tabla muestra la distribución conjunta de frecuencias relativas de la variable X, que representa el número de tarjetas de crédito que posee una persona, y la variable Y,quereflejaelnúmero de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito. Y = Num. de compras por semana X = Num. tarjetas a) Si se sabe que en el estudio han participado 300 personas, hallar la distribución conjunta de frecuencias absolutas. b) Hallar la distibución marginal de Y. Cuál es el número medio y la desviación típica del número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito? c) Obtener la distibución del número de tarjetas de crédito que poseen las personas de dicho estudio. Cuál es el número más frecuente de tarjetas de crédito que posee una de estas personas? d) Calcular la distribución del número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito que realizan las personas que poseen tres tarjetas. Cuál es la media de esta distribución? Respuestas: a) La distribución de frecuencias absolutas se obtiene multiplicando la tabla anterior por n =300. b) y c) La distribución marginal de Y se obtiene sumando, para cada valor de la variable Y, las filas de la tabla, mientras que la distribución marginal de X se obtiene sumando, para cada valor de la variable X, las columnas de la tabla. Y X n X n Y La media y desviación de Y se calculan a partir de la distribución marginal de Y, de la misma manera que se hacía en el caso univariante: y = = =2.11, que representa el número medio de compras por semana que hacen las personas del estudio. s 2 y = (2.11) = (2.11)2 =1.66, s y = 1.66 = El número más frecuente de tarjetas de crédito se obtiene con la moda de X, queesmo =1. d) La distribución del número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito que realizan las personas que poseen tres tarjetas es la distribución de Y condicionada a X =3,esdecir,Y X=3, que se obtiene mediante la tercera fila de la tabla del apartado (a): Y X=3 n 3j total 78 La media de esta distribución es y x=3 = = =2.73, que representa el número medio de compras por semana que hacen las personas que tienen 3 targetas de crédito. Ejercicio.2 Se han clasificado 100 familias según el número de hijos e hijas, en la siguiente tabla:

3 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 27 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 28 H \ M a) Hallar las medias, varianzas y desviaciones típicas marginales. b) Qué número medio de hijas hay en aquellas familias que tienen 2 hijos? c) Qué número medio de hijos hay en aquellas familias que no tienen hijas? d) Qué número medio de hijos tienen aquellas familias que a lo sumo tienen 2 hijas? e) Hallar la covarianza. Respuestas: a) Definimos las variables X = número de hijos e Y = número de hijas, y construimos la tabla de frecuencias marginales: X \ Y n i n i x i n i x 2 i x 5 i j=1 n ij y j x 1 = x 2 = x 3 = x = x 5 = n j n j y j n j yj x = 1 n n i x i = =1.56, y = 1 n n j y j = =1.6, s 2 X = x 2 x 2 = (1.56)2 =1.53 s X = 1.53 = 1.2, s 2 Y = y 2 y 2 = (1.6)2 =1.53 s Y = 1.29 = 1.1. b) Nos preguntan por y X=2. Empezamos escribiendo la tabla de Y condicionada a X = x 3 =2: Por tanto, y X=2 = 1 n 3 Y X=2 n 3 j n 3 j y j y 1 =0 7 0 y 2 =1 8 8 y 3 = y =3 3 9 y 5 = 1 total 2 31 j=1 n 3 j y j = 31 2 =1.29. c) Nos preguntan por x Y =0. Empezamos escribiendo la tabla de X condicionada a Y = y 1 =0: Por tanto, x Y =0 = 1 n 1 X Y =0 n i 1 n i 1 x i x 1 =0 0 x 2 =1 5 5 x 3 =2 7 1 x = x 5 = 2 8 total 23 2 n i 1 x i = 2 23 =1.83. d) Nos preguntan cuánto vale x Y 2. Escribimos la tabla de X condicionada aquey tome los valores y 1 =0, y 2 =1, y 3 =2: X Y 2 n i 1 n i 2 n i 3 3 j=1 n ij x 3 i j=1 n ij x 1 = x 2 = x 3 = x = x 5 = total x Y 2 = 1 3 j=1 n ij 3 j=1 n ij x i = =1.59.

4 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 29 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 30 e) La covarianza es s XY = 1 x i y j n ij x y = 1 x i n n j=1 y j n ij x y j=1 = 209 (1.56)(1.6) = Interpretación geométrica de la covarianza. Figure 1: Interpretación geométrica de la covarianza. Relación lineal entre variables. s XY > 0 s XY < 0 Figure 2: Interpretación geométrica de la covarianza. Relación no lineal entre variables. s XY =0 s XY =0 Ejercicio.3 Responde a las siguientes cuestiones: a) Supón que se miden dos variables y que la segunda siempre toma un valor más pequeño que la primera. Es verdad que el coeficiente de correlación lineal de Pearson será negativo? Pon un ejemplo. b) Supón que en las parejas de hermanos gemelos, uno siempre fuese un 2% más bajo que el otro. Cuál sería la correlación lineal entre las alturas de los dos hermanos? Justifica la respuesta. c) En general, qué se puede deducir si el coeficiente de correlación lineal entre dos variables es exactamente igual a cero? Respuestas: a) No es cierto. Por ejemplo, para Y = X 5, Y siempre va a tomar valores menores que X, encambior XY =1, puesto que Y es una transformación lineal de X. b) Si X es la altura de un hermano y Y =0.02 X es la altura del otro, entonces r XY =1puesto que Y es una transformación lineal de X. c) Si r XY =0lo único que se puede deducir es que no existe relación lineal entre X e Y. Ejercicio. El product manager de una empresa publicitaria sospecha que la campaña llevada a cabo durante el último mes para promocionar una nueva bebida refrescante no ha sido efectiva. Con el fin de verificar esta impresión, encarga que se encueste a 1000 personas y se les pida cuántas veces han visto el anuncio por televisión y cuántos litros del producto han consumido. La tabla siguiente muestra los resultados: Y = veces que ha visto el anuncio X = litros (0,1] (1,2] (2,] (,10] a) Qué porcentaje de personas no han probado el producto a pesar de haber visto el anuncio? Qué porcentaje lo han probado sin haber visto el anuncio? b) Cuál es el número medio de veces que han visto el anuncio las 1000 personas encuestadas? c) De qué manerahainfluído la publicidad sobre el consumo de este producto? (Indicación: Calculad el coeficiente de correlación lineal entre estas dos variables e interpretad el resultado). d) Si la población total es de 3 millones de personas, y el litro de refresco vale 1 euro, estimad el gasto total en producto. Respuestas: a) Para encontrar el porcentaje de personas que no han probado el producto a pesar de que han visto el anuncio debemos utilizar la distribución de X condicionada a Y > 0:

5 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 31 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 32 X Y>0 n i2 + n i3 + n i 0 11 (0,1] 75 (1,2] 30 (2,] 19 (,10] 15 total 550 El porcentaje que nos piden es % = 7.73%. Para encontrar el porcentaje de personas que lo han probado sin haber visto el anuncio, debemos utilizar la distribución de X condicionada a Y =0: X Y = (0,1] 75 (1,2] 5 (2,] 16 (,10] 0 total 50 El porcentaje que nos piden ahora es % = 30.22%. b) El número medio de veces que han visto el anuncio las 1000 personas encuestadas es y, que se obtiene a partir de la distribución marginal de Y : Y y j n j y j n j total Y la media de veces que las 1000 personas encuestadas han visto el anuncio es y = 2200/1000 = 2.2. c) Para calcular el coeficiente de correlación lineal, escribimos la tabla con las marcas de clase de cada variable y las columnas auxiliares para el cálculo de las medias, varianzas y covarianza. x i \ y j n i x i n i x 2 i n i j=1 x iy j n ij n j y j n j yj 2 n j n i1 A partir de la tabla, obtenemos s XY = xy x y = =0.3095, s 2 X = x 2 x 2 = ( ) =1.098, 1000 s 2 Y = y 2 y 2 = ( ) =7.335, 1000 y, finalmente, el coeficiente de correlación lineal es r XY = s XY = = s X s Y Puesto que r XY > 0, existe una relación lineal directa entre X e Y,aunque ésta es muy baja. Es decir, que el número de veces que una persona ve el anuncio influye poco en los litros de producto que consume. Por tanto, podemos concluir que la publicidad no ha sido demasiado efectiva. d) Para estimar el gasto total en producto, debemos tener en cuenta la distribución marginal de X y, en concreto, sus frecuencias realtivas marginales: X x i f i x i f i (0,1] (1,2] (2,] (,10] total Puesto que que f i representa la proporción de litros de producto consumidos en la clase i-ésima, la suma 5 x i f i = es la proporción de litros de producto gastados. Por tanto, si litro de refresco vale 1 euro, para una población de 3 millones de habitantes, una estimación del gasto total en producto viene dada por ɛ = ɛ. Aproximadamente se han gastado 1,19 millones de euros en producto. Ejercicio.5 Para probar la efectividad de una vacuna se realiza el siguiente experimento a un grupo de personas: se vacuna a una parte de ellas y se observa si contraen o no la enfermedad. Los datos se recogen en la siguiente tabla: vacunados no vacunados enfermos no enfermos

6 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 33 Estudiar la efectividad de la vacuna. Respuesta: Para decidir si la vacuna es efectiva planteamos un contraste de independencia entre las variables categóricas nominales X = estar vacunado e Y = contraer la enfermedad. Para ello calculamos las frecuencias marginales a partir de la tabla de valores observados: vacunados no vacunados n i enfermos no enfermos n j y la tabla de valores esperados bajo la hipótesis de independencia: vacunados no vacunados enfermos /91 = /91 = no enfermos /91 = /91 = 9.11 Puesto que se trata de una tabla 2 2 utilizaremos la fórmula del estdístico χ 2 con la corrección de Yates: ( )2 ( )2 Q = ( )2 ( ) = = 6.92 >χ 2 1(0.05) = 3.81 Por tanto, rechazamos la hipótesis de independencia, es decir, la vacuna sí es efectiva. Para saber el grado de efectividad, calculamos alguna medida de asociación para variables nominales. Por ejemplo, el coeficiente de contingencia de Pearson Q/n C = 1+Q/n = 6.92/ /91 = = , olavdecramer Q/n 6.92/91 V = min{k 1,r 1} = = = Ambas medidas señalan que el grado de dependencia es bajo. Es decir, la efectividad de la vacuna no es muy alta, puesto que el hecho de estar vacunado influye poco a la hora de contraer la enfermedad.