UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. CLAVE M sB

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M sB CURSO: SEMESTRE: Primer CÓDIGO DEL CURSO: 960 TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial FECHA DE EXAMEN: Abril 2018 REVISION DEL EXAMEN: Lic. Carlos A. Morales S. SOLUCION DEL EXAMEN: Luis Ramírez COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

2 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS MATEMATICA DE COMPUTO 1 Lic. Carlos A. Morales S. Aux. Luis Ramírez 1er. Examen parcial abril/2018 TEMARIO LGSR TEMA 1 (2/100) a) Construya la tabla de verdad de la proposición compuesta: ( p nor q) (r nand s) b) Expresar el conectivo solamente en términos del conectivo nor TEMA 2 (25/100) a) Utilice el método de inducción matemática para demostrar: 2() + (6) + 6(8) + + 2n(2n + 2) = n(n + 1)(n + 2) b) Demostrar por contradicción: es irracional TEMA (18/100) Utilice reglas de inferencia y equivalencias lógicas para demostrar que el siguiente argumento es correcto: p q q s r s p (s q) w TEMA (15/100) Negar las siguientes proposiciones:.1 x R, n N, n > x.2 x es par si y sólo si x no es divisible por. (p q) r TEMA 5 (18/100) Utilice tablas de verdad para demostrar que: (p (q r)) ((p q) (p r))

3 SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema 1: 2 puntos a) Construya la tabla de verdad de la proposición compuesta: ( p nor q) (r nand s) p q r s p q ( p or q) ( p nor q) (r and s) (r nand s) ( p nor q) (r nand s) b) Exprese el conectivo solamente en términos del conectivo nor Proposición Propiedad p q Premisa p q Implicación (p p) q Ley de Idempotencia (p p) q [(p p) q] Doble Negación [(p p) q] [((p p) q) ((p p) q)] Ley de Idempotencia ((p p) q) ((p p) q)

4 Tema 2: 25 puntos a) Utilice el método de inducción matemática para demostrar: Base: Para n = 1 2() + (6) + 6(8) + + 2n(2n + 2) = n(n + 1)(n + 2) 2(1)(2(1) + 2) = (1)(1 + 1)(1 + 2) = 8 = 8 Hipótesis de Inducción Para n = k Tesis: Para k + 1 k 2() + (6) + 6(8) + + 2k(2k + 2) = k(k + 1)(k + 2) k 2i(2i + 2) = k(k + 1)(k + 2) i=1 [ 2i(2i + 2) ] + 2(k + 1)(2k + 2) = (k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2) i=1 k(k + 1)(k + 2) + 2(k + 1)(2(k + 1) + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + ) Expresión Procedimiento k(k + 1)(k + 2) + 2(k + 1)(2(k + 1) + 2) Factorizar 2 de la expresión (2(k + 1) + 2) k(k + 1)(k + 2) + 2(k + 1)(2((k + 1) + 1)) Operar la expresión (2((k + 1) + 1)) k(k + 1)(k + 2) + 2(k + 1)(2(k + 2)) Operar la expresión 2(k + 1)(2(k + 2)) Factorizar (k + 1)(k + 2) a la expresión k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) [ 1 k + 1] Operar 1 k + 1 k + (k + 1)(k + 2) [ ] Reescribir la expresión (k + 1)(k + 2)(k + ) Conclusión: La expresión cumple para todo número entero mayor a 1

5 b) Demostrar por contradicción es irracional Fundamento Lógico Inicio p contradicción p p : es irracional p : es racional Hipótesis Auxiliar Definición de un racional a, b Z, a, b 0/ r = a mcd(a, b) = 1 b Por definición = a b donde a, b 0 mcd(a, b) = 1 Contradicción = a b b = a b 2 = a 2 b 2 = (k) 2 b 2 = 9k 2 b 2 = k 2 a 2 es divisible por implica que a es divisible por ; sea a = k Sustituir a por k De Igual manera para b es divisor de a y b y mcd(a, b) = 1 contradicción por lo tanto es irracional

6 Tema : 18 puntos Pasos p q q r r s p ( s q) w Razón 1 p q Premisa 2 q r Premisa p r Silogismo hipotético Pasos: (1) y (2) [(p q) (q r)] (p r) r s Premisa 5 p s Silogismo hipotético Pasos: () y () [(p r) (r s)] (p s) 6 p premisa 7 s Método de Separación Pasos: (5) y (6) [( p s) p] s 8 q Método de Separación Pasos: (1) y (6) [(p q) p] q 9 s q Conjunción Pasos: (7) y (8) 10 (s q) w Adición Pasos: (9), w

7 Tema : 15 puntos Negar las siguientes expresiones.1 x R, n N, n > x x R, n N, n x.2 x es par si y sólo si x no es divisible por Utilizando el conectivo o exclusivo: ó Utilizando los conectivos y, o p: x es par q: x no es divisible por x es par ó x no es divisible por p q Proposición (p q) (q p) Doble Implicación [(p q) (q p)] Negación (p q) (q p) Ley de DeMorgan ( p q) ( q p) Implicación (p q) (q p) Ley de DeMorgan x es par y x es divisible por o x no es divisible por y x no es par. (p q) r (p q) r [(p q) r] [( p q) r] ( p q) r (p q) r Proposición Negación Implicación Ley de DeMorgan Ley de DeMorgan (p q) r

8 Tema 5: 18 puntos Utilice tablas de verdad para demostrar que: (p (q r)) ((p q) (p r)) p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r) (p (q r)) ((p q) (p r)) Tautología