S11: Funciones continuas. Limites con dos variables.
|
|
- Asunción Chávez Castilla
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 S11: Funciones continuas. Limites con dos variables. Una función f() es continua en un punto interior a X si: 1) f = a B 2) f = A A = B = f(a) a + Discontinuidad de 1ª especie: A y B Si A = B f(a) (Discontinuidad evitable) Si A B (Discontinuidad de salto) 3) a f = f a Discontinuidad de 2ª especie: A y/ó B Limites laterales coinciden, eiste el límite y vale A f() f() Limites laterales no coinciden, no eiste el límite A Eiste el ite en a: a a f() = f = + a A A B a No eiste el ite en a: a f() = A f = + a B
2 P4) Estudia la continuidad en a = 0 de f = Solución 2+ 2 Estudiar la continuidad de una función empieza por determinar cuantos y cuales son los posibles punto de discontinuidad. Solo tiene un punto de posible discontinuidad: El cero f = = Recuerda que: 2 = 0 = 2 = = 0 + = 0 +0 = 0 Como los ites laterales no coinciden, la función no tiene límite en cero y, por tanto, no es continua en ese punto. En todo el resto de su dominio es continua. = si > 0 si < 0
3 P5) Tienen discontinuidades evitables las siguientes funciones? (i) f = 3 si > 0 1 si = 0 (ii) f = si 0 2 si < 0 1 si = 0 Solución El único punto de discontinuidad es el cero. Si > 0 3 = 3 Si < 0 2 = 2 Recuerda que: si > 0 = si < 0 f = 0 + f = = = 0 +2 = 0 = 2 0 = 0 = 0 Los límites laterales coinciden con el valor cero, pero f 0 = 1. Luego es una discontinuidad evitable haciendo f 0 = 0
4 (ii) f = si 0 1 si = 0 El único punto de discontinuidad es el cero. Como f = = = 0 6 = 6 Los límites laterales coinciden con el valor 6, pero f 0 = 1. Luego es una discontinuidad evitable haciendo f 0 = 6
5 P9) Eplica por que f = tiene, al menos, un cero c 2, Solución La función es continua en 2,3, ya que los denominadores no se anulan Calculemos los límites de la función en los etremos del intervalo = = Entonces, por el teorema de Bolzano*, eiste, al menos un c 2,3 tal que f c = 0. *Teorema (De Bolzano) Sea f: a, b R continua tal que f a f b < 0. Entonces, eiste, al menos un c a, b tal que f c = 0 (decimos que c es un cero de f)
6 La unicidad del límite La unicidad del límite, es una propiedad de las funciones de una variable también válida para funciones de dos variables. Si el límite eiste, es único e independiente del camino utilizado para calcularlo. En una variable, el problema se reduce a observar cómo se comporta la función al acercarnos a un punto del dominio por la derecha y por la izquierda, moviéndonos en general, sobre la recta y = 0. En el plano el número de direcciones para acercarnos a un punto 0, y 0 es infinito, por lo que en plano nunca podremos verificar todas las opciones. Sin embargo, desarrollaremos una estrategia de 4 pasos que consiste en elegir algunas direcciones que nos llevarán a conocer al candidato a ite: 1) Calculamos los límites reiterados. Si no coinciden no eiste el límite, si coinciden vamos al paso 2. 2) Calculamos los límites direccionales (y = m, y = m 2, etc. ). Si dependen de m, no eiste el límite. Si no dependen de m, pero no coinciden con los resultados del paso 1, no eiste el límite. Si no dependen de m, pero coinciden con los resultados del paso 1, vamos al paso 3. 3) Cambiamos a coordenadas polares. Si el límite depende de θ, no eiste el límite. Si no depende de θ y no coincide con los resultados anteriores, no eiste el límite. Si no depende de θ y coincide con los resultados anteriores, vamos al paso 4. 4) Utilizamos la definición de límite o utilizamos el criterio de la función mayorante.
7 1) Llamamos ites reiterados a los límites unidimensionales: 0 f(, y), y y0 y y0 f(, y) 0 Si la función tiene límite en 0, y 0, debe coincidir con los reiterados. Si los reiterados no coinciden, no eiste límite, pero si coinciden la eistencia del límite no está garantizada. 2) El límite en la dirección m cuando, y 0, y 0 se define como: f, m 0 + y 0 0 Donde, f: D R 2 R, 0, y 0 es un punto de acumulación de D. Si hacemos y = m 0 + y 0, el límite queda de una variable. Lo que estamos haciendo es acercarnos a 0, y 0 mediante puntos sobre una recta de pendiente m que pasa por 0, y 0. Si 0, y 0 = 0,0, el límite en la dirección de m se hace mediante: rectas,y = m, f, m ; 0 parabolas y = m 2, f, m 2 ; 0 Etc. Si eiste el límite doble f(, y) debe coincidir con los límites en cualquier,y ( 0,y 0 ) dirección y NO DEBE DEPENDER DE m, por tanto, si el límite direccional depende de la dirección m, no eiste el límite de la función en el punto. Si todos los límites direccionales eisten y coinciden, no se descarta que eista el límite, pero, aún no se garantiza su eistencia.
8 Si los límites reiterados y los límites direccionales coinciden, no podemos asegurar la eistencia del límite, pero ya tenemos candidato al límite. 3) Cambio a coordenadas polares en R 2. Hacemos el cambio de variable: = 0 + r cos (θ) y = y 0 + r sen(θ) Si 0, y 0 = 0,0 = r cos (θ) y = r sen(θ) Es la ultima posibilidad que tenemos de demostrar que no eiste el límite. Si el límite depende de θ, no eiste el límite. Si no depende de θ y no coincide con los resultados anteriores, no eiste el límite. Si no depende de θ y coincide con los resultados anteriores, vamos al paso 4. 4) El siguiente paso es pasar a polares y utilizar el criterio de la función mayorante o utilizar la definición. Criterio de la función mayorante Dada una función f: D R 2 R, una condición necesaria y suficiente para que: f(, y) = L,y 0,0 Es que eista una función real de variable real F tal que F r r 0 en todo el campo de variación de θ que recorra D: f r cos θ, r sen (θ) L F r = 0 y tal que para todo r y
9 Este criterio se puede aplicar a límites cuando, y 0, y 0, pero hay que hacer el cambio de variable: 0 =, y y 0 = y. La definición de límite con el candidato obtenido en los pasos anteriores. f(, y) = L ε > 0, δ(ε) > 0, tal que, y,y ( 0,y 0 ) D:, y 0, y 0 < δ f, y L < ε equivalentemente ( 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 < δ
10 Limites laterales (derecha e izquierda) (R) Limites laterales coinciden, eiste el límite y vale A Limites laterales no coinciden, no eiste el límite f() f() A B A 0 0 Eiste el ite en 0 : f() = f = A No eiste el ite en 0 : f() = A f = B Si la función tiene límite en 0, y 0, debe coincidir con los reiterados. Si los reiterados no coinciden, no eiste límite, pero si coinciden la eistencia del límite no está garantizada. Limites reiterados (R 2 ) Z Límites y = m, y = m 2, etc. (R 2 ) Z y 0 Y y 0 Y X 0 0 f, y y y0 0, y 0 = y y0 f, y 0 X 0 0 0, y 0 f, y y m
11 P12) Puede definirse f(0,0) para que sea continua f, y = log 1+2 +y 2 2 +y 2? Solución Esta función parece ser continua en todo R 2, salvo en el punto 0,0. Vamos a calcular su límite, y 0,0. Vamos a utilizar coordenadas polares: = r cos θ y = r sen θ 2 + y 2 = r 2, y 0,0 r 0,y 0,0 log y y 2 = r 0 log 1 + r 2 r 2 = 0 0 2r L Hôpital = 1 + r 2 r 0 2r 1 = r r 2 = 1 Si definimos f 0,0 = 1, la función será continua en R 2.
12 P14) Calcular el límite,y 0,0 Solución y 2 +y 2. I) Límites Reiterados 0 y 0 y 2 +y 2 0 = = 0 = 0; 0 0 OJO: Primero se simplifica la epresión y después se calcula el límite y 0 0 y 2 +y 2 0 = = 0 = 0; y 0 y y 0 Los límites reiterados coinciden. No sabemos si el límite eiste. Pero sí sabemos que, en caso de eistir, el límite será cero. Vamos al paso II. II) Nos acercarnos al punto (0, 0) por la recta y = m y m. 0 y m y 2 +y 2 m = 2 = 0 2 +m 2 0 m 2 1+m 2 = 0 m 1+m 2 = 0. El límite no depende de m (la trayectoria) y da cero. Seguimos sin saber si el límite eiste. Vamos al paso III. III) Cambiamos a polares.
13 = r cos θ y = r sen θ 2 + y 2 = r 2 y 2 + y 2, y 0,0 r 0 r 0 r cos θ r sen θ r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = r 2 sen θ cos θ r 0 r = r 0 rsen θ cos θ = 0 Como el límite no depende de θ, vamos a aplicar el criterio de la función mayorante, es decir, buscamos una función F, real de variable real tal que F r = 0, y además: r 0 f rcos θ, rsen θ L F(r) Donde L = 0. f rcos θ, rsen θ L = r cos θ r sen θ r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = rsen θ cos θ r = F(r) Haciendo F r = r, la función F mayoriza a f, F r r 0 que el límite es cero. = 0, y por lo tanto, podemos afirmar
Tema 7. Límites y continuidad. 7.1 Definición de límite de una función
Tema 7 Límites y continuidad 7.1 Definición de límite de una función Sea f : I R, I R yseaa I un punto de acumulación de I, decimos que f() tiene límite l R en el punto a f() =l si ε > 0, η > 0: a < η
Más detallesf cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD.. INTRODUCCIÓN. Fíjate en el comportamiento de la función ( ) f cuando toma valores cercanos a. Si se aproima a, la función toma valores cercanos
Más detallesf cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD.. INTRODUCCIÓN. Fíjate en el comportamiento de la función ( ) f cuando toma valores cercanos a. Si se aproima a, la función toma valores cercanos a
Más detallesTEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R
TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le
Más detallesUNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento
Más detalles3.21. Cálculo de límites.
3.21. Cálculo de ites. La eistencia de ite de una función en un punto indica que los valores que toma la función en entornos del punto están arbitrariamente próimos a un punto ite. En este apartado vamos
Más detallesUnidad 9. Límites, continuidad y asíntotas
Unidad 9. Límites, continuidad y asíntotas. Límite de una función en un punto Piensa y calcula Halla mentalmente y completa la tabla siguiente:,9,99,,00,0, f () =,9,99,,00,0, f () =,9,99 3, 3 3,00 3,0
Más detallesLímites y continuidad
Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVADA ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Índice Presentación... 3 Continuidad en un punto... 4 Estudio de la continuidad en un punto a partir de un ejemplo... 5 Discontinuidades... 7 Continuidad de las funciones definidas a trozos... 9 Propiedades
Más detallesLímite de una función Funciones continuas
Límite de una función Funciones continuas Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 2014-2015 1 LÍMITE CUANDO LA VARIABLE TIENDE A INFINITO. 3 1. Límite cuando la variable tiende
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 239 a 257
TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 Página 9 Página. a) f() 0. a) f() 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,9,99,999,9,99,999,9999 f() 00 0.000 0 6 0 8 b) f() 0 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,0,00,000
Más detallesTema 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) 4 en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesSOLUCIONES Límites y continuidad de funciones de varias variables 06-07
SOLUCIONES Límites continuidad de funciones de varias variables 6-7 Determinar las guientes funciones son acotadas: a z sen ( + ) cos( - e ), sen ( + ) cos( - e ), luego, es acotada: b z sen + sen Es acotada,
Más detallesLímites de funciones. Continuidad de funciones. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables. Optimización.
TEMA 1 Límites de funciones. Continuidad de funciones. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables. Optimización. Límite finito en un punto: Consideremos una función f definida en las proimidades
Más detallesf : R R Definición 2. Se llama dominio de una función f (lo denotaremos por Dom f) al conjunto de valores para los que está bien definida f(x) :
Resumen Tema 2: Funciones Concepto de función. Gráficas Definición. Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R que a cada número le hace corresponder otro valor f(). f() Definición
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites
Más detallesAplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadas. Recta tangente a una curva en un punto La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto ( 0, f( 0 )) viene dada por f ( 0 ) siempre que la función
Más detallesLímites y Continuidad de funciones de varias variables
1- Se construe un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro de su altura h - Determinar
Más detallesUn i d a d 2. Co n t i n U i da d. Objetivos. Al inalizar la unidad, el alumno:
Un i d a d Co n t i n U i da d Objetivos Al inalizar la unidad, el alumno: Identificará cuándo una función es continua en un punto y en un intervalo. Aplicará las operaciones de las funciones continuas
Más detallesLímites y Continuidad de funciones de varias variables
1- Se construe un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro de su altura h - Determinar
Más detallesTema 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
1 Tema LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) 4 en el punto = Para ello, damos a valores
Más detalles2-LÍMITES Y CONTINUIDAD
-Distancia entre dos números: d(a,b)= -LÍMITES Y CONTINUIDAD Sea f una función a y L R 0 Propiedad- =L Ejemplos: -f()= + = = = ( = = =5 ( ) - = = = ( ) - = M > > para suficientemente próimos a a =a es
Más detallesProblemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales
Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 7 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE El valor de la función f () = + 5 para = 5 no se puede obtener directamente porque el denominador se hace
Más detallesUnidad 10 Continuidad de las funciones
Unidad 10 Continuidad de las funciones 4 SOLUCIONES 1. La continuidad queda: a) La continuidad en x = 0. No es continua en ese punto al no coincidir los límites laterales. b) La continuidad en x = 3. 2.
Más detallesTEMA 10.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD
TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES TEMA.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD Una sucesión de números reales es un conjunto de números (a, a, a 3,...,
Más detallesFunciones de R m R n
Funciones de R n R m Funciones de R m R n Una funcion f : R n R m es una función cuyo dominio es un subconjunto Ω R n. Denotada por f : Ω R m donde a cada x R n f le asigna un vector f(x) R m. Ejemplo.-
Más detallesLímites y continuidad
Límite funcional 6 6. Límite funcional 79 6.2 Límites infinitos y en el infinito 8 6.3 Cálculo de límites 83 6.4 Continuidad 84 6.5 Teorema del valor intermedio 87 6.6 Monotonía 89 6.7 Ejercicios 9 La
Más detalles9 Continuidad. Solucionario ACTIVIDADES INICIALES EJERCICIOS PROPUESTOS. 9.I. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones.
Solucionario 9 Continuidad 9.I. Dibuja la gráfica de las guientes funciones. ACTIVIDADES INICIALES a) < f( ) > b) f ( ) a) Si (, ). El segmento de recta pasa por el punto (, ) y se acerca al (, ). Si [,
Más detallesTEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Estudios J.Concha ( fundado en 00) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento Bachillerato MATEMATICAS º BACHILLERATO Profesores Javier Concha y Ramiro Froilán Tema 8 Límites de funciones, continuidad
Más detallesTEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Alonso Fernández Galián TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Aunque el concepto de función está implícito en los trabajos de Newton, Leibniz, Euler, no fue hasta el glo XIX en que se definió de manera
Más detallesRESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES
RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Representa ráficamente la siuiente función y estudia su continuidad en = : = = f() = f() En = la función no es continua.. Puedes definir la función en alún
Más detallesLímites y continuidad
9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 9 Límites y continuidad 9. Límite y continuidad de una función en un punto Definición 9.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si,
Más detallesRESUMEN DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES
RESUMEN DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES La idea intuitiva de función continua es la de aquella cuya gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Analíticamente, una función f(x) se dice que es
Más detallesGuía Semana 3 1. RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática
. RESUMEN Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08- Ingeniería Matemática Guía Semana 3 Diferenciabilidad y derivadas. Sean Ω
Más detallesLímites de funciones de varias variables.
Límites continuidad de funciones de varias variables Límites de funciones de varias variables. En este apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables algunas de las técnicas
Más detallesTrabajo Práctico N 5
Trabajo Práctico N 5 Asíntota Continuidad Algunos ejemplos para tener en cuenta Asíntotas. Asíntota vertical (AV) Decimos que la recta = a es AV de f() f() = ± f() = ± a + Por ejemplo, para hallar la AV
Más detallesTEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD
TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD 6.. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Dada la función f() = 2, a qué valor se aproima f() cuando se aproima a 2? Dada la función f() =?, a qué valor se aproima f() cuando
Más detallestiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x , y se nota por L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a x lím( x
UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Diremos que una función y f () tiene por ite L cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ) L, cuando al acercarnos
Más detallesActividades resueltas
9 CAPÍTULO 7: LÍMITES Y CONTINUIDAD. CONCEPTO DE LÍMITE Qué es un ite? Límite: lo podemos definir como aquel lugar al que, si no llegamos, seremos capaces de acercarnos todo lo que queramos. En sentido
Más detallesUnidad 5. La derivada. 5.2 La derivada de una función
Unidad 5 La derivada 5. La derivada de una función A continuación trataremos uno de los conceptos fundamentales del Cálculo, que es el de la derivada. Este concepto es un ite que está estrecamente ligado
Más detallesUnidad 3 Límites y continuidad. Universidad Diego Portales CALCULO I
Unidad Límites y continuidad Una vista preinar Qué es el cálculo? Los dos problemas fundamentales El área del conocimiento que llamamos Cálculo gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales que
Más detallesTEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD
TEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD. IDEA DE LÍMITE. La idea de lmite de una función f() cuando ésta tiende a un punto a, (se escribe f () ), es la del valor al que se acerca la función cuando vamos tomando
Más detallesx 1 3 f) x e lim x lim + 2 lim lim log x lim x 1 (x 1)(x 4) lim x 1 (x 2)(x 5) (x 2)(x 3) 1. Calcular los siguientes límites no indeterminados 1 :
+ ln 4 + f + 5 EJERCICIOS de LÍMITES DE FUNCIONES y CONTINUIDAD. Calcular los siguientes límites no indeterminados : 4 + + 4 f) e log g) 0, + 4 i) 0+ + 4 e) j) 4. Dada la gráfica de la figura, indicar
Más detallesTEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
UNIDAD 8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 6. Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si es continua o discontinua: < 0 a) y = + < b) y = 0
Más detallesCAPÍTULO. Continuidad
CAPÍTULO 4 Continuidad. Comprender el concepto de continuidad de una función en un punto.. Determinar clasificar las discontinuidades de una función.. Bosquejar la gráfica de funciones continuas discontinuas.
Más detallesSección 2.3. # 27. Evalúa el límite, si es que existe. lim
Sección. Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas. Preparado por Dr. Eliseo Cruz Medina Mate 01. Ejercicios resueltos correspondientes al primer eamen parcial.
Más detallesPráctica 2: Funciones de R n en R m
Análisis I Matemática I Análisis II C) Análisis Matemático I Q) Primer Cuatrimestre - 208 Práctica 2: Funciones de R n en R m. Dar el dominio de denición para cada una de las siguientes funciones y gracarlo:
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto
Más detallesPráctica 2: Funciones de R n en R m
Análisis I Matemática Análisis II (C) Análisis Matemático I (Q) er. Cuatrimestre - 207 Práctica 2: Funciones de R n en R m. Describir y gracar el dominio de denición para cada una de las siguientes funciones:
Más detallesTEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite
Más detallesTEMA 5: FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD
TEMA 5: FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD 5. Funciones reales PÁGINA. Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa para almacenar un líquido colorante con un volumen de 500 c m. Las cajas tienen la base
Más detalles3 LÍMITE - Teoría y Ejemplos
3 LÍMITE - Teoría y Ejemplos Introducción A partir del concepto de ite, podemos analizar el comportamiento de una función tanto en intervalos muy pequeños alrededor de un número real como cuando los valores
Más detallesa) p = ½. b) p = 0. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Para que sea continua en x = 0 debe cumplirse que lím
Matemáticas Empresariales I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES si 0. La función f ( ) sen es continua en = 0 si: p si 0 a) p = ½. b) p = 0. Para que sea continua en = 0 debe cumplirse que
Más detallesLímites y continuidad
Límites y continuidad.. Límites El ite por la izquierda de una función f en un punto 0, denotado como 0 f() es el valor al que se aproima f() cuando se acerca hacia 0 por la izquierda. De igual forma,
Más detallesTEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD
TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. LÍMITES Y CONTINUIDAD . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. LÍMITES Y CONTINUIDAD... LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO... LÍMITES INFINITOS... LÍMITES EN EL INFINITO..4.
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
UNIDAD 6 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 38. Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si es continua o discontinua: < 0 a) y = + 3 < b) y
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesx+3 3. f(x) = x 2 -x-2 x-2 x f(x) = 22. f(x) = tag(x+1) 23. f(x) = cos(x+1) x+2 x+2, x< f(x) =
. Hallar el dominio de la función:. f() = +. f() = - + +. f() = -- + 4. f() = 4 +8 +- 5. f() = + 6. f() = - 7. f() = ++ 8. f() = -- 9. f() = +4 0. f() = + - -. f() = +4+. f() = - -4. f() = - + 6. f() =
Más detallesUna función f(x) es una regla que asocia a cada valor posible de la variable independiente un valor, y solo uno, de los números reales
Tema : Limite y continuidad 0. INTRODUCCIÓN Las gráficas de algunas funciones presentan características especiales que, para su estudio, requieren del uso del cálculo. Por ahora, con nuestras herramientas
Más detalles1 Consideramos la gráfica siguiente:
Conderamos la gráfica guiente: Determina, a la vista de la gráfica, el dominio de definición, metrías, el recorrido, la eistencia de asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Justifica,
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) Taller 6
Coordinación de Matemática I MAT0 Taller 6 Primer semestre de 0 Semana 7: Lunes 07 viernes de mayo Ejercicios Ejercicio Calcular [ ] 0 + donde [ ] denota la función parte entera. Ejercicio Calcular cos
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS. Dada la función f (), (, ), definir f () y f () de forma que f sea continua sen(π ) en todo el intervalo cerrado [, ]. : f () f () π 5 si. Estudiar la continuidad
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) Práctica 4 Continuidad
Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad Práctica 4 Parte Continuidad 1. Idea de continuidad Intuitivamente una función es continua en un punto a si está definida en dicho punto y su
Más detallesFunciones de varias variables
Capítulo Funciones de varias variables Problema Sea f : IR 2 IR definida por: 2 y 2 f, y) = e +y 2 > y, y. i) Estudiar la continuidad de f en IR 2. ii) Definimos g : IR IR como g) = f, ). Analizar la derivabilidad
Más detallesLímites y continuidad
Límites elementales Límites y continuidad Límites elementales Ejercicio. a) 7+4 b) 5+3 2 2 + c) 2 2 4 2 d) 2 + 2 +4 2 Solución. a) 7+4 = 7 b) 5+3 2 2 + = 0 c) 2 2 4 2 d) 2 + 2 +4 2 = + Ejercicio 2. a)
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesIntroducción al Cál lculo Infinitesimal
Tema 3 1. Conceptos básicos: dominio, recorrido.. Funciones reales de dos variables reales. 3. Gráficas. 4. Curvas de nivel. 5. Trazas. 6. Concepto de límite. 7. Límites reiterados, según trayectorias
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 9: Límites y continuidad
accés a la universitat dels majors de anys acceso a la universidad de los mayores de años UNIDAD DIDÁCTICA 9: Límites y continuidad ÍNDICE Concepto de límite de una función en un punto. Indeterminaciones.
Más detallesGUIA DE MATEMATICAS I, CAPITULO III
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICE-RECTORADO ACADEMICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA AREA DE MATEMATICAS GUIA DE MATEMATICAS I, CAPITULO III Prof. Orlando Baisdem Pérez Puerto Ordaz,
Más detalles5.3 Dominios de funciones: Polinómicas: Dom f(x): R La X puede tomar cualquier valor entre (, + )
Tema 5: Funciones. Dominio, Límites, Asíntotas y Continuidad de Funciones 5.1 Concepto de Dominio de una función Función: es una regla que asigna a cada número real X un único número real Y. X Dom R Dom
Más detallesTEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA : CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1. Continuidad de una función en un punto Entre las primeras propiedades de las funciones aparece el concepto de continuidad. Durante mucho tiempo fue asumida como una idea
Más detallesI.- Representación gráfica de una función polinómica
Los campos a considerar en el estudio de una representación gráfica son; Dominio de la función Continuidad y derivabilidad Simetrías Periodicidad Asíntotas Verticales Horizontales Oblicuas Posición de
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS 3 si Si la función f está definida mediante f (), calcula a y b para que sea a b si > continua. La función es continua en (, ) (, ), pues en
Más detalles3º ESO PMAR FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES
FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable independiente, ) le corresponde un valor o
Más detallesf : IR IR 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real,, un único número real y = f (. A
Más detallesTEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD.
TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD. 1.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x, cuando los originales
Más detallesCapítulo 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD Versión Beta 1.1
Capítulo 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD Versión Beta 1.1 www.mathspace.jimdo.com Tabla de contenido Capítulo 1...1 LÍMITES Y CONTINUIDAD...1 1.1. LÍMITES...2 1.1.1 Definición formal...2 1.1.2. Cálculo de límites...2
Más detallesCALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE TEMA 4. FUNCIONES DE DOS VARIABLES
mjg@uniovi.es.: El plano R CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE. - TEMA. FUNCIONES DE DOS VARIABLES R {( / R e R, } conjunto de todos los pares ordenados de números reales Ejercicio: { } Sean A
Más detallesExamen de Análisis Matemático. a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: (1 + 3x) 1 2
Curso º Bachillerato 16/05/017 Ejercicio 1 a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: f() = 1+3 ; g() = ln(1 5) + e7 b) (1 punto) Estudia la derivabilidad de la función dada por: a)
Más detallesf : IR IR 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real
Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real,, un único número real y = f (). A la
Más detallesProcedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función
DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición
Más detallesProcedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función
DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición
Más detallesI. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS
Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES
Más detallesEJERCICIOS DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 1: Funciones de variable real. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García
EJERCICIOS DE CÁLCULO I Para Grados en Ingeniería Capítulo : Funciones de variable real Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García Índice. Funciones de variable real... La recta real.........................................
Más detallesEXAMEN TEMA 2:Funciones de varias variables
GRUPO 4Mb (16-17) CÁLCULO ETSI Informática (UPM) 8 de Junio - 217 Tiempo: 2 horas Nombre y Apellidos: Nº de Matrícula: Pr 1 Pr 2 Pr3 Pr4 Nota EXAMEN TEMA 2:Funciones de varias variables 2x 3 y 3 +yx 2
Más detalles9 Continuidad ACTIVIDADES INICIALES EJERCICIOS PROPUESTOS. 9.I. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones.
9 Continuidad 9.I. Dibuja la gráfica de las guientes funciones. ACTIVIDADES INICIALES a) < f( ) > b) f ( ) 9.II. Escribe la epreón algebraica de la función. Y O X EJERCICIOS PROPUESTOS 9.. Indica las guientes
Más detalleslím x 1 r x a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún 1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal
Más detallesCalcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: Calcula la derivada de las siguientes funciones: e) f (x) = x x.
Derivadas Definición Reglas de derivación jercicio Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: a) y = en el origen + b) y = cos() en ( c) y = + en (3, 0) π, 0) d) y = en (, ) Solución
Más detallesFUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES.
FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES. TASA DE VARIACION MEDIA. Dada una unción y se llama TASA DE VARIACIÓN o INCREMENTO de a la variación que eperimenta cuando la variable independiente pasa de "a" a "a
Más detallesen dicho intervalo y si f ( x 1
Tema 7 (III) Teoremas de Rolle y del valor medio Aplicaciones al cálculo de ites: regla de L Hòpital Teorema del máimo Teorema de Rolle Se dice que f () tiene un máimo local (o relativo) en un punto si
Más detallesLÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c significa que toma valores cada vez más próimos a c. Se lee tiende a c. Por ejemplo: ; `9; `; `; `; `; `9; `; `999; Es una secuencia de números cada vez más próimos
Más detallesTEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD
º CONCEPTOS PREVIOS Ejercicio º Valor absoluto a,b, TEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD º Intervalos: a, b, a, b, a, b Semirrectas:, a, -,a, a,, a, Representa gráficamente las siguientes funciones,
Más detallesOPCIÓN A. 1.- a) (1,5 puntos) Hallar el rango de la matriz. 2.- (2,5 puntos) Calcular, razonadamente, el valor de a para que:
Nombre: Nota Curso: º Bachillerato Eamen X (Rec º Eval) Fecha: 4 de Marzo de 06 La mala o nula eplicación de cada ejercicio implica una penalización de hasta el 5% de la nota. OPCIÓN.- a) (,5 puntos) Hallar
Más detallesCálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith J. Briceño N.
Cálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith J. Briceño N. Objetivos a cubrir Código : MAT-CDI.5 Límites laterales. Cálculo de límites. Límites en el infinito. Límites infinitos Límites
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 2º BACHILLERATO
LÍMITES: OPERACIONES CON INFINITOS LÍMITES: RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES DEL TIPO 1 Estas indeterminaciones están relacionadas con el número e se calculan de la siguiente forma: 1 DOMINIO E IMAGEN DE
Más detalles