La Hipérbola. César Román Martínez García Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005

Transcripción

1 L Hipérbol Césr Román Mrtínez Grcí Conlep Azthucn 20 de noviembre de 2005 Resumen Estudiremos l ecución de l hipérbol 1. Hipérbol Definición 0.1 Un hipébol es el lugr geométrico de un punto ue se mueve en un plno de tl mner ue el vlor bsoluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos del plno, llmdos focos, es siempre igul un cntidd constnte, positiv y menor ue l distnci entre los focos. 2. Ecución ordinri de l hipérbol Consideremos ls hipérbol de centro en el origen y cuyo eje focl coincide con el eje X como lo muestr l figur 1.Los focos F y F 0 están entonces sobre el eje X. ComoelcentroO es el punto medio del segmento FF 0, ls coordends de F y F 0 serán (c, 0) y ( c, 0), respectivmente, siendo c un constnte positiv. Se P (x, y) un punto culuier de l hipérbol. Entonces, por l definición de hipérbol, el punto P debe stisfcer l condición geométric siguiente, ue expres ue el vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis del punto los focos es un cntidd constnte, FP F 0 P =2 (1) en donde es un constnte positiv y 2 <2c. L condición geométric (1) es euivlente ls dos relciones, FP F 0 P =2, (2) FP F 0 P = 2. (3) L relción (2) es verdder cundo P está sobre l rm izuierd de l hipérbol; l relción (3) se verific cundo P está sobre l rm derech. Utilizndo 1

2 Y P(x,y) A V V O F (-C,0) F (C,0) X A Figur 1: lfórmulprldistnci FP = (x c) 2 + y 2, F 0 P = (x + c) 2 + y 2, de mner ue l condición geométric (1) está expresd nlíticmente por (x c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 =2, (4) (x c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 2, (5) correspondiendo ls ecuciones (4) y (5) ls relciones (2) y (3), respectivmente. Por el mismo procedimiento l trnsfomr y simplificr l ecución de l elipse tenemos (x c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2 +2 elevndo l cudrdo (x c) 2 + y 2 =(x + c) 2 + y 2 +4 (x + c) 2 + y simplificndo 2cx + c 2 = +2cx + c 2 +4 (x + c) 2 + y

3 elevndo l cudrdo 4xc 4 2 =4 (x + c) 2 + y 2 xc + 2 µ 2 2 = (x + c) 2 + y 2 c xc + 4 = cx + 2 c y 2 simplificndo (c 2 2 ) 2 y 2 = 2 (c 2 2 ) (6) Por ser c>, c 2 > 2 es un número positivo ue podemos designr por b 2.Por tnto, sustituyendo en l ecución (6) l relción obtenemos b 2 2 y 2 = 2 b 2, ue podemos escribir en l form b 2 = c 2 2, (7) 2 y2 =1. (8) b2 Podemos demostrr recíprocmente, ue si P 1 (x 1,y 1 ) es un punto culuier cuys coordends stisfcen l ecución (8), entonces P 1 stisfce l condición geométric (1) y, por tnto, está sobre l hipérbol. Luego l ecución (8) es l ecución de l hipérbol. Ahor ls intersecciones con el eje X son y. Por tnto, ls coordnds de los vértices V y V 0 son (, 0) y (, 0), respectivmente, y l longitud del eje trnverso es igul 2, ue es l constnte ue interviene en l definición. Aunue no hy intersección con el eje Y, dos puntos, A (0,b) y A 0 (0, b), se tomn como extremos del eje conjugdo. Por tnto, l longitud del eje conjugdo es igul 2b. L ecución (8) muestr ue l hipérbol es simétric con respecto mbos ejes coordendos y l origen. Despejndo y de l ecución (8), result: y = ± b p x2 2, (9) Por tnto, pr ue los vlores de y sen reles, x está restringido vrir dentro de los intervlos x y x. De uí ue ningun posición del lugr geométrico prece en l región comprendid entre ls rects x = y x =. Despejndo x de l ecución (8) se obtiene x = ± b p y2 + 2, (10) de cul vemos ue x es rel pr todos los vlores reles de y. Según esto, ls ecuciones (9) y (10), junts, con l simétri del lugr geométrico, muestrn ue l hipérbol no es un curv cerrd sino ue const de dos rms diferentes, 3

4 un de ls cules se extiende indefinidmente hci l derech, rrib y bjo del eje X, y l otr se extiende indefinidmente hci l izuierd y por rrib y bjo del eje X. L hipérbol (8) no tiene síntots verticles no horizontles. En el siguiente cálculo demostrremos, ue l curv tiene dos síntots oblicus. De l ecución (9) y l relción (7), hllmos ue l longitud de cd ldo recto es 2b2. Como l elipse, l excentricidd e de un hipérbol está definid por l rzón c. Por tnto, de (7), tenemos e = c = 2 + b 2 (11) Como c>, l excentricidd de un hipérbol es myor ue l unidd. Si el centro de un hipérbol está en el origen pero su eje focl coincide con el eje Y, hllmos, nálogmente, ue l ecución de l hipérbol es b 2 y2 = 1 (12) 2 Ls ecuciones (8) y (12) son ls llmds primers ecuciones ordinris de l hipérbols. Esto lo podemos resumir en el siguiente teorem. Teorem 2.1 L ecución de centro en el origen, eje focl coincide con el eje X, yfocoslospuntos(c, 0) y ( c, 0), es 2 y2 b 2 =1 Si el eje focl coincide con el eje Y, de mner ue ls coordens de los focos sen (0,c) y (0, c), entonces l ecución es b 2 y2 2 = 1 Pr cd hipérbol, es l longitud del semieje trnsverso, b l del semieje conjugdo, c ldistncidelcentrocdfoco, y, b, c están relcionds por c 2 = 2 + b 2 Tmbién, pr cd hipérbol, l longitud de cd uno de sus ldos rectos es 2b2, y l excentricidd e está dd por l relción e = c = 2 + b 2 como c>, L excentricidd de un hipérbol es myor ue l unidd. 3. Asíntots de l hipérbol Si l ecución de l hipérbol l escribimos de l form b 2 2 y 2 = 2 b 2 (13) 4

5 y =- b x Y b y = x d P(x,y) O X Figur 2: despejndo y, obtenemos ue puede escribirse en l form y = ± b p x2 2, y = ± b r x 1 2, (14) Frecuentemente se dese investigr lo ue ocurre en un ecución cundo un de ls vribles ument numéricmente sin límite. Si un punto de l hipérbol (13) se mueve lo lrgo de l curv, de mner ue su bscis x ument numéricmente sin límite, el rdicl del segundo miembre de (14) se proxim más y más l unidd, y l ecución tom l form y = ± b x. (15) Como l ecución (15) represent un rect y = b x y y = b x, esto nos conduce inferir, deldefinición de síntot, ue l hipérbol es síntot ests dos rects. Ahor demostrremos ue est deducción es correct. Demostrción 3.1 Se P 1 (x 1,y 1 ) un punto culuier de l prte superior de l rm derech de l hipérbol (113), como se indic en l figur 2.L ecución de l rect y = b x puedeescribirsedelform bx y =0 (16) 5

6 Por tnto, l distnci d de l rect (16) l punto P 1 (x 1,y 1 ) está dd por d = bx 1 y 1 b2 + 2 (17) Si multiplicmos numerdor y denomindor del segundo miembro de (17) por bx 1 + y 1, obtenemos d = bx 1 y 1 bx 1 + y 1 b2 + 2 bx 1 + y 1 = b y1 2 (18) b2 + 2 bx 1 + y 1 Pero como P 1 está sobre l hipérbol (16), b y 2 1 = 2 b 2,demnerue l ecución (18) puede escribirse como d = 2 b 2 b2 + 2 bx 1 + y 1 (19) Sí P 1 semuevehcilderechlolrgodelcurvyselejindefinidmente del origen, sus coordends, x 1 y y 1, umentn mbs de vlor sin límite, de mner ue, por l ecución (19), d decrece continumente y se proxim cero. Se sigue, de cuerdo con esto, por l definición de síntot, ue l rect (16) es un síntot de l rm derech de l hipérbol (13). Si P 1 está sobre l prte inferior de l rm izuierd de l hipérbol (13) y se mueve hci l izuierd lo lrgo de l curv lejndose indefinidmente del origen, entonces sus coordends x 1 y y 1 umentn de vlor mbs sin límite en l dirección negtiv. L ecución (19) muestr entonces ue d decrece continumente y tiende cero, de donde se sigue ue l rect (16) es tmbién un síntot de l rm izuierd de l hipérbol (13). Quedn dos csos por considerr ue son cundo P 1 está sobre l prte inferior de l rm derech y cundo está sobre l prte superior de l rm izuierd. Emplendo el mismo rzonmiento ue en los párrfos nteriores, podemos demostrr ue l rect bx + y =0,esun síntot de mbs rms de l hipérbol (13). Esto lo enuncimos en el siguiente teorem. Teorem 3.1 L hipérbol b 2 2 y 2 = 2 b 2, tiene por síntots ls rects bx y =0y bx + y =0. 6