FÓRMULA PARA EL CÁLCULO DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS ELEMENTALES EN LA ELABORACIÓN DE UN IPC

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1 FÓRMULA PARA EL CÁLCULO DE LOS ÍNDCES DE PRECOS ELEMENTALES EN LA ELABORACÓN DE UN PC RODRÍGUEZ FEJOÓ, Santago Deartamento de Métodos Cuanttatvos en E. y G. Unversdad de Las Palmas de Gran Canara correo-e: srfejoo@dmc.ulgc.es GONZÁLEZ CORREA, Carlos Consejería de Economía y Hacenda Goberno de Canaras correo-e: cgoncor@canarastelecom.com RODRÍGUEZ CARO, Alejandro Deartamento de Métodos Cuanttatvos en E. y G. Unversdad de Las Palmas de Gran Canara correo-e: arcaro@dmc.ulgc.es RESUMEN En este trabajo se analzan las rncales fórmulas con las que se calculan los índces elementales en la elaboracón de un PC, demostrando que todas ellas resentan ncongruencas con la teoría del comortamento del consumdor. Sobre la base de esta teoría, se defne una nueva fórmula que se ajusta a lo enuncado or dcha teoría y que, entre otras roedades cumle la de la reversón temoral. Este nuevo índce se calcula como la meda armónca de los ratos de recos onderada de forma nversa or el nvel de recos en el nstante base. Palabras clave: Números Índces, PC, Fórmula del Agregado Elemental.

2 . ntroduccón El reco de una economía y, más concretamente, el control de sus cambos, se ha convertdo en uno de los objetvos rortaros en el marco del análss macroeconómco. En esta línea y en el ámbto de la Unón Euroea, esta medda juega un ael fundamental en las delberacones del Banco Central Euroeo. El rmer aso ara alcanzar este objetvo consste en dsoner de una medda fable de la nflacón. Para ello se hace uso de la Teoría de los Números Índces con el fn de elaborar un Índce de Precos de Consumo (PC). Este retende obtener, de forma agregada, la tasa a la que los recos de un conjunto de benes y servcos adqurdos or las famlas ha cambado entre dos nstantes de temo en un determnado terrtoro. Dado que las famlas adqueren un conjunto amlo de benes y servcos y, tanto los recos como las cantdades comradas camban de forma desgual, el PC debe ser una funcón que venga determnada or las varacones ndvduales de los recos y las cantdades. El roblema es cómo concentrar todos estos cambos en una únca medda que sea lo más reresentatva osble de todos ellos. Con el fn de mejorar esta reresentatvdad, la elaboracón del PC ha sufrdo múltles y contnuos cambos, tanto en la nformacón estadístca como en las exresones matemátcas utlzadas ara su cálculo. La cuestón que se lantea en este trabajo se refere úncamente a la rmera fase de elaboracón de un PC. En concreto, el trabajo se centra en las fórmulas con las que se elaboran los índces elementales, no entrando a abordar otras cuestones relevantes, tales como el dseño muestral, la seleccón de roductos, los cambos de caldad, los cambos de establecmentos o la fórmula agregada. A lo largo del trabajo se demuestra que las fórmulas más utlzadas ara el cálculo de los índces elementales resentan ncomatbldades con la Teoría del Consumdor, or lo que se roone una nueva fórmula ara su cálculo, que, además de satsfacer los rncales axomas que debe cumlr un índce elemental, es congruente con dcha teoría. En lo que sgue, el trabajo se estructura en tres artes. En el eígrafe segundo se resentan las fórmulas más utlzadas ara el cálculo de los índces elementales, ndcando las ventajas e nconvenentes que la lteratura sobre el tema ha dentfcado en cada caso. En el unto tercero se analzan comaratvamente las tres fórmulas que la Unón Euroea ermte a la hora de elaborar los índces elementales necesaros ara obtener el Índce de Precos de Consumo Armonzado (PCA), analzando, medante un ejemlo numérco, su congruenca con la Teoría del Consumdor. La falta de consstenca de las tres nos lleva a lantear una nueva exresón 2

3 más acorde con el comortamento de los consumdores. En el eígrafe 4 se reseñan las rncales conclusones obtendas. 2. La fórmula de cálculo del índce elemental ara elaborar un PC El PC es un ndcador estadístco cuyo objetvo es medr la nflacón. Para ello, en su cálculo se tenen en cuenta los recos y cantdades de los benes y servcos consumdos or una determnada oblacón. Estos roductos se subdvden en gruos de forma sucesva buscando cada vez un mayor nvel de homogenedad dentro de cada subdvsón, hasta llegar a los agregados elementales, que conforman la undad más equeña sobre la cual se va a calcular la nflacón. Desde el unto de vsta de la nformacón dsonble, el nvel elemental se caracterza y defne or aquél ara el cual solo se dsone de nformacón sobre recos, no dsonendo de datos sobre las cantdades consumdas. Dado el volumen de oeracones de consumo que realzan las famlas es mosble calcular el verdadero cambo en recos y lo que se hace es obtener una estmacón del msmo a través del PC. En este objetvo, uno de los rmeros asos consste en determnar qué recos son los que van a medr la nflacón en cada uno de los agregados elementales. Las dos formas más habtuales ara reresentarlos son, ben selecconando un artículo reresentatvo del msmo, ben realzando una muestra aleatora entre los roductos que contene dcho agregado. S se toma la rmera ocón, el rmer aso consste en obtener un conjunto de recos de un msmo roducto tomados en dstntos establecmentos. S se toma la segunda ocón, tambén se necesta un conjunto de recos, ero éstos, además de obtenerse en dstntos establecmentos, ueden hacer referenca a dstntos roductos. El cálculo de todo PC se realza en dos fases. En la rmera fase se calculan, con los recos anterormente comentados, los índces ara cada uno de los agregados elementales. La segunda fase utlza los índces de los agregados elementales y la mortanca de cada agregado en el gasto total ara elaborar el PC a cualquer nvel de agregacón deseado. El rmer roblema, a la hora de defnr una fórmula deal ara el índce elemental, es que, a este nvel, solo se dsone de los recos, con lo cual no es osble calcular la mortanca de cada uno de ellos dentro del total del agregado. Esto oblga a trabajar con fórmulas no onderadas. Sguendo a LO (2003), las más utlzadas son la de Dutot ( D ), la de Carl ( C ), la de Jevons ( J ), la de Jevons-Coggeshall ( JC ) y la de Fsher ( F ). Para el cálculo de la nflacón dentro del agregado elemental en el nstante con resecto al nstante 0, se utlzan las 3

4 exresones [] a [5], sendo t el reco -ésmo ertenecente al agregado elemental en el nstante t={,0} y K el número de recos observados en dcho agregado. D = K K K = K = 0 [] C K = [2] K = 0 J K = K [3] 0 = JC K 0 K = [4] = = * ]5] F C JC Como se uede deducr de estas exresones, la fórmula de Dutot es el cocente entre las medas artmétcas de los recos en el nstante y 0 resectvamente, mentras que en el resto de los casos los romedos se calculan con resecto a índces y no a recos. De esta manera, la exresón de Carl no es más que la meda artmétca de los índces de recos smles, la de Jevons concde con la meda geométrca de los msmos, la de Jevons-Coggeshall con la armónca y la de Fsher con la meda geométrca de la de Carl y la de Jevons-Coggeshall. Desde el unto de vsta axomátco, la fórmula que cumle más roedades deseables es la de Jevons, seguda de la de Dutot, la de Fsher, la de Carl y la de Jevons-Coggeshall. Estas dos últmas ncumlen, entre otras, la roedad de reversón temoral, sendo la de Carl un límte sueror y la de Jevons-Coggeshall un límte nferor. Esta roedad se uede enuncar dcendo que, s los recos en los nstantes de temo 0 y t son guales, ara cualquer nstante temoral t' comrenddo entre ellos, se debe cumlr que el índce entre t' y 0 multlcado or el índce entre t y t' debe ser gual a la undad. La roedad de reversón temoral es esecalmente mortante s el PC se va a calcular de forma encadenada. Por ejemlo, en la rmera arte de la tabla se muestran los recos de un msmo roducto en dos untos de venta dstntos ara tres eríodos de temo. Como se uede observar, los recos en el eríodo cero son los msmos que en el eríodo 2 (reversón temoral de los recos). Por ello, el índce 4

5 calculado ara el eríodo 2 con base en 0 debera ser gual a, tanto s se calcula de forma drecta como s se hace encadenado a través del nstante. En L se calculan los índces de Carl con base en 0 ara los tres nstantes de temo. Como se uede observar, conjuntamente los recos han crecdo un 30% en el eríodo con resecto al 0 y un 0% s comaramos el 2 con el 0. En la línea L2 se calcula el C(/0), que es gual a,3, y el C(2/), que vale 0,836. Por últmo, en la L3 se obtene el índce de Carl encadenado, de tal manera que C(2/0) = C(/0) C(2/) =,086. Es decr, usando Carl encadenado se estaría dcendo que desde el nstante 0 al 2 el reco del agregado elemental en estudo ha crecdo un 8,6%. Con la fórmula de Carl se obtene semre un sesgo ostvo o cero, mentras que con la de Jevons- Coggeshall el sesgo obtendo es negatvo o cero. La relacón entre la meda artmétca y la armónca ermte que la fórmula de Fsher cumla la roedad de reversón temoral. Tabla. La roedad de reversón temoral y el C Temo 0 2 Punto de venta L C(t/0),000,300,000 L2 C(t/t-),300 0,836 t = L3 C(t/0) C(j/j-) j=,000,300,086 La fórmula de Dutot ncumle úncamente la roedad de roorconaldad. Esta roedad tene una mortanca que deende drectamente de la forma en cómo se selecconan los artículos que reresentan al agregado elemental. S el agregado elemental se reresenta or un únco artículo, exste una únca undad de medda y, or tanto, una homogenedad total. En este 5

6 caso, tenen sentdo las medas de los recos en cada nstante de temo y la fórmula de Dutot es tan válda como la de Jevons. Por el contraro, s los recos con los que se calcula el índce elemental se corresonden con roductos dstntos, ncluso con undades de medda dstntas, la fórmula de Dutot emeza a no ser válda. En consecuenca, la valdez o no de la fórmula de Dutot deende drectamente del grado de homogenedad de los roductos que contene el agregado elemental, o lo que es lo msmo, de s las medas artmétcas de recos tenen o no sentdo. Crcunscrbéndose a estas dos fórmulas, la de Dutot y Jevons, junto con la de Carl (la más utlzada hasta hace un ar de décadas) y desde el unto de vsta de su formulacón, las dferencas numércas se deben a las dstntas onderacones que cada una de ellas utlza a la hora de resumr los datos. En el índce de Carl, todos los índces smles tenen la msma onderacón, cuyo valor es /K, sendo K el número de índces que se romedan. Por tanto, la exstenca de valores extremos en los ratos de recos rovoca un deslazamento sensble en el C haca dchos valores extremos. Para analzar la onderacón en la fórmula de Dutot, artendo de la exresón [], sguendo los asos que se muestran en [6], se concluye que cada rato de recos está onderado or la mortanca del reco en el eríodo de referenca con resecto a la suma de todos los recos ara dcho eríodo. K K 0 0 K 0 K = = D = = = K K K = 0 K = = = [6] Por tanto, en esta formulacón, cuanto más alto sea el reco en el eríodo de referenca del índce, su rato de recos tene un efecto mayor en el índce fnal. En la fórmula de Jevons, todos los ratos tenen la msma onderacón, ero esta no es adtva sno otencal y multlcatva, lo cual dfculta la comaracón con las otras dos fórmulas. J K K = 0 = [7] Lo que esta claro es que ara que los tres resultados concdan es necesaro que todos los ratos de recos concdan. Esto ndca que, de alguna manera, la dsersón en los ratos de recos, y en defntva, la dsersón de los roos recos, exlcan las dferencas en los resultados de 6

7 las tres fórmulas. Carruthers, Sellwood y Ward (980) demuestran que aroxmadamente se cumle [8]. 2 2 * J D 0 + σ σ 2 e 2 e [8] σ y 2 σ son las varanzas de las varables 2 0 e e e y 0 e resectvamente, defndas en [9], sendo t el reco medo artmétco en el estrato elemental en el nstante t={0,}. = [9] t t t e t De forma smlar a [8], Dalen (992) y Dewert (995) obtenen la exresón [0] que relacona el índce de Jevons con el de Carl, 2 J C σ s 2 [0] sendo σ la varanza de la varable s defnda como []. 2 s K 0 0 K = s = K 0 K = [] A artr de la exresón [8] se concluye que los índces de Jevons y Dutot tenden a ser guales cuando las dsersones de los recos medos concden ara los dos eríodos de temo que se comaran. Sobre la base de la exresón [0] es obvo que los índces de Jevons y Carl tambén se gualan cuando la dsersón de los ratos de recos es gual a cero, es decr, cuando todos los recos resentan un msmo cambo relatvo. En caso contraro, el índce de Jevons semre es nferor al obtendo con Carl. Sn embargo, el índce de Dutot se uede stuar, según el caso, or encma o or debajo del de Jevons, reresentando el rmero unas referencas del consumdor con cantdades roorconales, to Leontef, y el segundo con gastos roorconales, to Cobb-Douglas. 3. Las fórmulas elementales en el índce de recos de consumo armonzado La Unón Euroea, a la hora de elaborar los PCA de cada uno de sus aíses membros, da lbertad a los msmos ara elegr entre la fórmula de Dutot y la de Jevons, ara calcular los 7

8 índces de los agregados elementales. ncluso, bajo certas crcunstancas, autorza el uso de la fórmula de Carl [Commsson of the Euroean Communtes (2000), ag. 52)]. Como una rmera aroxmacón a las dferencas que se ueden obtener al hacer uso de una u otra fórmula, suóngase que ara un determnado agregado elemental se recogen tres recos, corresondentes cada uno de ellos a un establecmento dstnto. En el nstante base, estos recos son 40, 50 y 60 euros. En el gráfco se reresentan los valores de los índces elementales de Dutot, Carl y Jevons ara dcha arcela en 6 stuacones dstntas. Tres se corresonden con un ncremento del 20%. En un caso, en el reco más bajo, en otro en el más alto y el tercero en el reco ntermedo. Las otras tres stuacones se referen a una reduccón, tambén del 20%, en cada uno de estos recos. Como es lógco, las stuacones de ncremento de recos se reflejan en la arte alta del gráfco y las de reduccón en la arte baja. Gráfco. Efecto de un ncremento/reduccón del 20% en un únco reco.000 Valores de los índces Carl Dutot Jevons ncremento en el reco más bajo ncremento en el reco más alto ncremento en el reco central Reduccón en el reco más bajo Reduccón en el reco más alto Reduccón en el reco central El asecto que más destaca en este gráfco en la gran varabldad del índce de Dutot. Es necesaro destacar que s el reco que sube un 20% es el más alto, la nflacón medda con esta fórmula es un 5% más alta que s se el reco que sube es el más bajo. En caso de que lo que se roduzca es una reduccón de recos, el comortamento es smétrco con resecto al valor. Este resultado se justfca erfectamente en base a las onderacones mlíctas que usa la fórmula de Dutot. El segundo elemento que destaca en el gráfco es la asmetría de la fórmula de Jevons ante un ncremento o dsmnucón de los recos. Es decr, una subda del 20% ara 8

9 uno de los recos en el nstante 0, suone una nflacón del 6,3%, mentras que s es una bajada, ésta se cfra en un 7,2%. La dferenca de nflacón en térmnos absolutos alcanza cas el 4,3%. Por últmo, el tercer elemento a destacar en el gráfco es la dstanca que hay entre el índce de Carl y el de Jevons. Para los datos del ejemlo con el que se está trabajando, s los recos suben un 20%, el índce de Carl es un 6,3% más alto que el de Jevons, s los recos bajan un 20%, el índce de Carl mde una caída de la nflacón del 6,7%, mentas que el de Jevons un 7,2%. Es decr, la caída es un 7,5% más fuerte con este últmo. La razón de estas dferencas se encuentra en las fórmulas [8] y [0], exresones estas que ueden re-escrbrse como [2] y [3] resectvamente. J σ D * σ ( ) ( ) [2] J σ C 2 ( r ) 2 r 2 [3] Denotando or σ y t a la varanza y la meda artmétca de los recos en el agregado 2 t elemental en el nstante t, y or recos. σ 2 r y r a la varanza y la meda artmétca del rato de Como se uede deducr de [2], las dferencas entre los valores obtendos con las fórmulas de Jevons y Dutot se deben a los cambos en el cuadrado de la dsersón relatva de los recos entre los dos nstantes de temo que se comaran. S esta dsersón crece del nstante cero con resecto al nstante uno, el índce elemental de Jevons será nferor al de Dutot, en caso contraro será sueror. LO (2003) afrma que en condcones normales la varabldad no camba, con lo cual ambos índces tenden a arrojar la msma cfra. A esar de ello, señalan dos stuacones en las cuales se ueden roducr dferencas sgnfcatvas entre ambos índces: cuando se roducen cambos fuertes en la nflacón global y cuando se dsone de ocos recos dentro del estrato elemental. Estas dos stuacones se justfcan or los cambos que se ueden roducr en los datos muestrales. Sn embargo, las dferencas entre ambos índces tenen una nterretacón teórca. S la dsersón relatva de los recos en un agregado elemental crece desde un nstante base a un nstante actual, se debe a que el mercado de ese agregado elemental se ha hecho menos Recordemos que el roblema de la fórmula de Carl es que ncumle la roedad de reversón temoral, roedad de gran mortanca en un PC de to encadenado, como es el caso del PCA. 9

10 transarente ara el consumdor, añadéndole dfcultad ara localzar el roducto a un menor reco o encontrar un susttuto del msmo más barato. En este sentdo, el índce de Jevons se calcula bajo el suuesto de que la transarenca del mercado ara el consumdor es la msma en los dos nstantes de temo que se comararan, mentras que el índce de Dutot corrge al de Jevons al consderar que s los recos resentan menos varabldad (relatva) el consumdor tendrá más facldad ara comrar los benes y servcos más baratos. En la msma línea se odrían nterretar las dferencas que exsten entre el índce de Jevons y el de Carl. Ambos son guales cuando todos los recos tenen en msmo cambo relatvo, con lo cual todos los consumdores sufren el msmo cambo relatvo en sus gastos. Volvendo a las exresones [2] y [3], se deduce drectamente que el índce de Dutot no es nvarante ante deslazamentos adtvos de los recos y sí lo es s el deslazamento es multlcatvo, lo cual sería equvalente a un deslazamento adtvo de los índces, lo que a su vez mlca que las dferencas absolutas entre el índce de Carl y Dutot ermanecen constantes. Por el contraro, s el deslazamento en los índces es multlcatvo, lo que ermanece constante es la dferenca entre Carl y Jevons. En cualquer caso, los tres índces resentan unos resultados ante cambos en los recos que dfíclmente se ueden ajustar al comortamento teórco eserado or arte del consumdor. Para ver algunas de estas ncongruencas volvemos al ejemlo de los tres recos que se ha estudado anterormente. Esto es, 40, 50 y 60 undades monetaras en los establecmentos,2 y 3 resectvamente. Comencemos or el índce de Jevons. Suongamos que el reco más alto se reduce un 0%. En esta stuacón los nuevos recos son 40, 50 y 54 undades monetaras en los establecmentos,2 y 3 resectvamente. Comarando los recos ncales y los fnales no es revsble un cambo de demanda en los establecmentos. Es decr, los consumdores que comraban en el nstante 0 en los establecmentos y 2, lo segurán hacendo en t=, ya que sus recos no han cambado y, además, el reco en el tercer establecmento aún es sueror al del suyo. Por otra arte, los que ya consumían en el establecmento más caro lo segurán hacendo, aunque a un reco nferor. En esta stuacón, J =0,9655, valor que concde con el caso en el cual es el reco más bajo el que se reduce un 0%. Sn embargo, la stuacón en térmnos de demanda es en este segundo caso comletamente dstnto. Los nuevos recos son 36, 50 y 60 undades monetaras en los establecmentos, 2 y 3 resectvamente. Ahora, todos los consumdores que comraban en el establecmento lo segurán hacendo, uesto que en el nstante el reco es más barato que en 0. Como se uede observar, en este caso la reduccón en el reco 0

11 del roducto afecta a muchos más consumdores que en el caso anteror. Por una arte, afecta a la totaldad de consumdores que drgían su demanda al establecmento, que, or ser el más barato, es de suoner que resentaba una demanda sueror a los otros dos. Por otra arte, consumdores que consumían antes en los establecmentos 2 y 3 se asarán a consumr en el establecmento. Dado que J toma el msmo valor en ambos casos, es evdente que no refleja correctamente el comortamento del consumdor. La msma crítca es alcable a C, uesto que ara su cálculo solo se tenen en cuenta los índces y no los recos, lo que conlleva tratar de forma equvalente el cambo en cualquera de los recos, no dscrmnando el hecho de que deendendo de que el reco que cambo es más o menos grande uede roducr dstntas reaccones en los consumdores. El D es ncluso más ncongruente, al onderar el rato de recos drectamente or el reco en el nstante base, lo que mlca que s es el reco más alto es el que sube su onderacón es mucho más elevada. Por el contraro, s el reco más bajo se reduce, este adquere menor eso relatvo, cuando lo eserado es que ncremente su demanda y, or tanto, su eso. La fórmula del número índce del agregado elemental debera tener en cuenta el comortamento del consumdor descrto anterormente. S se aceta, además, que los establecmentos con los recos más bajos deben resentar una mayor demanda, ello nos conduce a que la fórmula de cálculo del índce elemental debe estar onderada de forma nversa or los recos de artda. Es decr, defnmos f t como [4]. K t t = f = t [4] Y la onderacón como [5]. f t t w = K t f = [5] Estas onderacones son nversamente roorconales al tamaño de los recos en el nstante actual t. La fórmula del índce elemental debe nclur estas onderacones. Una osble fórmula es [6].

12 K t 0 At ( /0) = w 0 = [6] Esta fórmula cumle la roedad de reversón temoral y, además, dscrmna or el hecho de que los recos que camban sean los más altos o los más bajos. En el anexo se muestran los cálculos ara obtener A con los datos de la tabla y se comrueba que éstos cumlen la roedad de reversón temoral. El cumlmento de esta roedad en el índce elemental es consderada or Fsher (922) como fundamental, hasta el unto de que descarta el uso de la fórmula de Carl or no cumlrla, dcendo que el uso de la meda artmétca de los índces roduce uno de los eores errores en la elaboracón de los números índces [Fsher (922), ágnas 29-30]. La demostracón analítca de que A cumle la roedad de reversón temoral es la sguente. Sean 0, t' y t tres nstantes temorales tales que 0<t'<t. Denotemos or { },{ 0 } y { los recos en el agregado elemental en cada uno de los nstantes de temo corresondentes a los establecmentos ={,2,...,K }. Suongamos que se roduce una reversón temoral desde el nstante 0 al t, lo cual mlca que de reversón temoral s se verfca [7]. 0 t t' t } = ara todo. La fórmula A cumle la roedad = [7] At ( '/0) At ( / t') Susttuyendo [6] en [7] y tenendo en cuenta que los recos en el nstante 0 son guales a los recos en el nstante t, la roedad de reversón temoral se cumle s se verfca [8]. K 0 K t' 0 t' w t' w 0 = = = [8] Susttuyendo [4] en [5], se uede escrbr la onderacón en un nstante de temo genérco t como [9]. w t = K t t = [9] Por últmo, reemlazando [9] en [8] y reordenando adecuadamente los térmnos se obtene [20], que demuestra el cumlmento de la roedad de reversón temoral de A. K K K K t' 0 = t' 0 = = = = [20] 2

13 Partendo de esta últma exresón, es nmedato demostrar que A no es más que el cocente entre la suma de los nversos de los recos en el nstante 0 y. A = K = K = 0 [2] Dado que los recos son semre mayores que cero, el A exste semre y es una funcón contnua ara cualquer ar de conjuntos de recos y 0 con ={,2,...,K }. Además, A cumle la roedad de dentdad, uesto que de [2] es nmedato demostrar que s {, 2,..., } = = K, el valor de A es gual a. 0 gualmente sencllo de demostrar son las roedades de comortamento monótono, tanto en los recos actuales como en los recos base. Es decr, artendo de unos recos ncales ara el agregado elemental,, y ante dos osbles stuacones de crecmento de los recos en el 0 nstante actual, denotadas or y, a, b, tal que los recos en la stuacón a son mayores que en la stuacón b, la roedad de monotonía sobre el nstante actual mlca que se cumla que A(a/0) > A(b/0). La roedad de monotonía sobre el nstante base arte de dos stuacones en el nstante base, denotadas or y 0, a 0, b, tal que los recos en la stuacón a son mayores que en b. Bajo estas crcunstancas y suonendo crecmento entre ambas stuacones con resecto al nstante actual, el cumlmento de esta roedad exge que el A(/a) < A(/b). Tamoco resenta nnguna dfcultad la demostracón de que A cumle las roedades de roorconaldad, drecta sobre el eríodo actual e nversa sobre el eríodo base. La rmera ndca que s se multlcan los recos en el eríodo actual or una constante ostva, el índce se ve multlcado or dcha constantes. La segunda establece que s los recos en el nstante base se multlcan or una constante ostva, el índce se multlca or la nversa de dcha constante. El cumlmento de todas las roedades anterores mlca el cumlmento de la roedad del valor medo [Echhorn (978), ágna 55], or la cual el índce del estrato elemental se encuentra entre el valor más equeño y más grande de los ratos de recos ara cada. 3

14 Como últma roedad, destacamos el cumlmento or arte de A de la roedad de tratamento smétrco de cada uno de los establecmentos, dado que el orden de los recos no afecta al resultado fnal del índce. Para analzar el efecto de los cambos en recos sobre el A se vuelven a utlzar los datos de recos de los tres establecmentos y se rehace el gráfco, ncororando el nuevo índce. El resultado se muestra en el gráfco 2. Como se uede observar, y era de eserar, el comortamento de A es ouesto al de Dutot, uesto que en la nueva fórmula cada cambo ondera de forma nversa a la mortanca del reco en el nstante 0, mentras que en D la onderacón es drecta. Esto sgnfca que s, or ejemlo, los recos suben, su reercusón sobre el valor del índce del agregado elemental será mayor cuando el que sube es el reco más bajo. En este caso, todos los consumdores que comraban a este reco, que, or otra arte, dado que era el reco más bajo se suone que resentaba una mayor demanda, se ven oblgados a agar un reco más alto. Es decr, cuando el que sube es el reco más bajo esto afecta más a los consumdores y, or tanto, el cambo debe trasladarse con más fuerza sobre el índce del agregado elemental. Por el contraro, cuando el reco que sube es el más alto, habrá consumdores que no están dsuestos a agar este ncremento y se asarán a comrar en un establecmento con reco más bajo. Esto mlca que solo los que ya agaban un reco alto se ven afectados or el ncremento. Además de que el establecmento más caro debe resentar una menor demanda, ara algunos consumdores el reco se reduce, ya que camban de establecmento asando a uno con reco nferor. En defntva, s el reco que se ncrementa es el más alto, su efecto sobre el índce del agregado elemental debe de ser nferor al caso de que lo que se ncremente sea el reco más barato. Este efecto, como ya se ha dcho, no lo tene en cuenta n la fórmula de Jevons n la de Dutot, mentras que A sí lo recoge, como a contnuacón se demuestra. Con los datos del ejemlo, la nflacón en el agregado elemental, ante un ncremento del 20%, asa del 4,7% al 7,2% deendendo de s el reco que sube es el más alto o el más bajo resectvamente. 4

15 Gráfco 2. Efecto de un ncremento/reduccón del 20% en un únco reco.000 Valores de los índces Carl Dutot Jevons A ncremento en el reco más bajo ncremento en el reco más alto ncremento en el reco central Reduccón en el reco más bajo Reduccón en el reco más alto Reduccón en el reco central Ante un roceso de reduccón de recos el índce A vuelve a manfestarse en congruenca con la teoría del consumdor. Tal y como se observa en la arte nferor del gráfco 2, s lo que se reduce es el reco más alto, esto afectará a menos consumdores que son los que agaban este reco. En rnco, los consumdores de los establecmentos y 2 segurán comrando en sus establecmentos habtuales (a no ser que la reduccón de recos en el establecmento 3 sea tan fuerte que deje de ser el más caro). Ahora ben, s la reduccón se roduce en el establecmento con el reco más bajo, todos los consumdores de este establecmento se benefcaran de esta reduccón y, además, a los consumdores de otros establecmentos más caros ahora les uede resultar rentable asar a consumr en un unto de venta más barato. Sguendo este crtero, el índce del agregado elemental debe recoger una caída más fuerte en los recos cuando el reco que baja es el más bajo. En los datos del ejemlo, el A es gual a 0,908, cuando lo que se roduce es una reduccón en el reco más bajo, frente al valor 0,937, cuando lo que se reduce es el reco más alto. En térmnos de nflacón y ara los datos del ejemlo, la dferenca en la caída de recos en el agregado elemental es un 47,6% más fuerte cuando la reduccón se roduce en el reco más bajo con resecto a la msma reduccón en el reco más alto. 5

16 4. Conclusones En el trabajo se demuestra la nconsstenca que resentan las fórmulas habtualmente utlzadas ara el cálculo de los índces en los agregados elementales de un PC. En concreto, se analzan las fórmula de Dutot, Carl y Jevons or ser las que la Comundad Euroea ermte a la hora de elaborar el PCA, llegando a la conclusón de que nnguna de ellas reroduce al comortamento habtual de los consumdores ante un cambo en los recos. A artr de estos resultados y bajo las hótess: a) los recos más bajos acaaran más demanda; b) los cambos de demanda se roducen con sgno ostvo ante reduccón en los recos y de forma negatva ante un ncremento, se defne una nueva fórmula ara el índce del agregado elemental como la meda armónca de los ratos de recos onderada de forma nversa or el tamaño del reco en el nstante de referenca. Esta nueva fórmula se ajusta al comortamento de las hótess lanteadas sobre la Teoría del Consumdor y, además, cumle todas las roedades generalmente acetadas ara los índces elementales, ncluyendo la de reversón temoral, roedad ésta de mortanca catal cuando la estructura del índce es de to encadenado, como es el caso del PCA. BBLOGRAFÍA Advsory Commsson To The Study The Consumer Prce ndex (996): "Toward a More Accurate Measure of The Cost of Lvng", Fnal Reort To The Senate Fnance Commttee, Washngton, December 4. Bal, B.M. (99): "On the Frst Ste n the Calculaton of a Consumer Prce ndex", unublshed aer resented at the Jont ECE/LO Meetng on Consumer Prce ndces, Geneva, November 8-2. Bal, B.M. (995): "Axomatc Prce ndex Theory: A Survey", nternatonal Statstcal Revew 63, Bal, B.M. (998): ndustral Prce, Quantty and Productvty ndces, Kluwer Academc Publshers, Boston. Boon, M. Oerdoes, E. y Schut, C. (997): "Effects of Outlet Samlng on Consumer Prce ndces: A Case Study Usng Scanner Data", Statstcs Netherlands, BPA nº 97-RSM, November. 6

17 Carruthers, A.G., Sellwood, D.J. y Ward, P.W. (980): "Recent Develoments n the Retal Prces ndex", The Statstcan, 29, Commsson of the Euroean Communtes (2000): "On the Harmonzaton of Consumer Prce ndces n the Euroean Unon", Reort from the Commsson to the Councl. Com (2000) 742 fnal, Brussels: Euroean Commsson. Dalen, J. (992): "Comutng Elementary Aggregates n the Swedsh Consumer Prce ndex", Journal Of Offcal Statstcs, volumen 8, n. 2. Dalton, K., Greenlees, J. y Stewart, K. (998): "ncororatng a Geometrc Mean Formula nto the CP", Monthly Labor Revew, October Dewert, W. (995): "Axomatc and Economc Aroaches to Elementary Prce ndexes", Dscusson Paer Nº 95-0, Deartment of Economcs, Unversty of Brtsh Columba, Vancouver, Canada. Dewert, W. (996): "Comment on CP Bases", Deartament of Economcs, The Unversty of Brtsh Columba, Dscusson aer nº Echhorn, W. (978): Functonal Equatons n Economcs, Readng, MA: Addson-Wesley Publshng Comany. Fsher,. (922): The Mang of the ndex Numbers, Houghton-Mffln, Boston. LO (2003): CP Manual, Electronc Document: htt:// englsh/bureau/stat /gudes/c/, nternatonal Labour Organzaton. Mounton, B. (993): "Basc Comonents of the CP: Estmaton of Prce Changes", Monthly Labor Revew, December. Rensdorf, M. y Moulton, B. (994): "The Constructon of Basc Comonents of the Cost of Lvng ndexes", unublshed Worng Paer 252, Washngton, March, Bureau of Labor Statstcs,. Sellwood, D.J. (987): "Reducton of Errors n a Consumer Prce ndex", Bulletn Of Labour Statstcs 2, Génova. Schultz, B. (995): "Choce of Prce ndex Formulae at the Mcro-Aggregaton Level: The Canadan Emrcal Evdence", Prces Dvson, Statstcs Canada. Turey, R. (989): Consumer Prce ndces, LO Manual, Génova. 7

18 Anexo. Proedad de reversón temoral del A Puntos de venta() f t w t [ t / 0 ] - L [ t / t- ] - L2 L3 Temo(t) = =2 f t 2 f t w t 2 w t [ t / 0 ] - [ 2 t / 2 0 ] - A(t/0) [ t / t- ] - [ 2 t / 2 t- ] - A(t/t-) t= t= t=