. c) Estimar qué gastos de publicidad se han de realizar para conseguir unas ventas de , es

Transcripción

1 1.- En una muestra de 64 famlas se ha estudado el número de membros en edad laboral (X) y el número de ellos que están en actvo (Y). Los resultados son los de la tabla de doble entrada: X/Y a) Hacer un dagrama de dspersón de los datos. Exste relacón entre las varables? b) Calcular el coefcente de correlacón lneal e nterpretarlo. c) En una famla con 5 membros en edad laboral, cuántos de ellos se espera que estén en actvo?.- Calcula el coefcente de correlacón entre las varables X, Y de la tabla, sendo X Gastos de publcdad de un producto (en mles de ), Y Ventas consegudas (en mles de ) X Y a) Hallar las dos rectas de regresón y representarlas gráfcamente Qué se observa? b) Estmar las ventas que orgnarán un gasto en publcdad de 5.500, es decr, Ŷ (5'5). c) Estmar qué gastos de publcdad se han de realzar para consegur unas ventas de , es decr, ˆX (15) 3.- Representar los pares de valores (X, Y) de la sguente tabla medante un dagrama de puntos y, sn efectuar cálculos, contestar las sguentes preguntas: X Y a) Se trata de una relacón funconal o de una relacón estadístca? b) Cuánto vale el coefcente de correlacón? c) Cómo son las dos rectas de regresón? Escrbr sus ecuacones. d) A la vsta de la respuesta anteror, escrbr el valor de las pendentes de las rectas de regresón. e) Representar las rectas de regresón. 4.- A la vsta de las cuatro nubes de puntos sguentes, ndcar cómo es la correlacón entre ambas varables en cada caso: fuerte, débl o nula, y s tenen sgno postvo o negatvo. Y Y Y Y X X X X A B C D Explcar qué coefcente de correlacón de los sguentes asgnaría a cada nube de puntos: r = -0 7, r = 0 03, r = 1, r = 0 68, r = -1 3, r = Departamento de Matemátcas

2 RESUMEN: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Es frecuente realzar el estudo conjunto de dos varables estadístcas para determnar s exste alguna relacón entre ellas, de forma que se pueda predecr los valores de una a partr de la otra. PARÁMETRO VARIABLE X VARIABLE Y Meda de cada varable x f f x y f f y Varanza de cada varable s x f x f x s y f y f y Covaranza (varanza conjunta) Es la meda artmétca de los productos de las desvacones de cada varable respecto a su meda. s xy f x y f xy Coefcente de correlacón lneal Se llama correlacón a la dependenca que exste entre las dos varables. sxy r s s x y -1 r +1 r = -1 dependenca funconal negatva -1 < r < 0 dependenca aleatora negatva r = 0 ndependenca aleatora 0 < r < +1 dependenca aleatora postva r = +1 dependenca funconal postva Recta de regresón de y sobre x y s y s xy x x x Recta de regresón de x sobre y x s x s xy y y y La recta de regresón es una recta que ajusta lo más posble los puntos de la nube de puntos. El punto x, y es el centro de gravedad de la dstrbucón bdmensonal. 1ª Cuanto más estrecha sea la nube de puntos más se acerca r a 1 ª A medda que r tende a 1, las dos rectas de regresón tenden a confundrse OBSERVACIONES 3.ª S s xy = 0 r = 0 y y x x Las rectas de regresón son perpendculares. 4 Departamento de Matemátcas

3 Dstrbucones de probabldad. Varable dscreta 1. Expermentos aleatoros: azar y probabldad. Consderamos los sguentes sucesos: Extraer una carta de una baraja española. Lanzar una moneda al are y anotar el resultado de la cara que aparece. Arrojar una pedra al vacío y medr su aceleracón. Medr la longtud de una crcunferenca de rado 5 m. Qutar el freno de mano de un coche, en una cuesta abajo muy pronuncada. De estos expermentos hay algunos cuyos resultados podemos predecr de antemano y otros no. A estos expermentos que se caracterzan por porque al repetrlos bajo análoga condcones se obtene sempre el msmo resultado, los llamaremos expermentos determnstas. Por el contraro, llamaremos expermentos aleatoros a los que se caracterzan porque al repetrlos en análogas condcones jamás se puede predecr el resultado que se va a obtener. El azar es la ncertdumbre nherente al resultado de un expermento aleatoro; su medda y concrecón en térmnos numércos es lo que se conoce como Probabldad.. El lenguaje de la probabldad: Espaco muestral, sucesos aleatoros, tpos de sucesos. Llamaremos espaco muestral de un expermento aleatoro al conjunto de todos los resultados posbles del expermento. Lo desgnaremos por E. A cada uno de los elementos que forman el espaco muestral se llama suceso elemental (o punto muestral). Los sucesos elementales no se pueden descomponer en otros más smples. Ejemplo 1: Lanzamento de una moneda. E = {C,X}, Sucesos elementales: Cara ( C) y Cruz (X) Ejemplo : Lanzamento de un dado. E = {1,, 3, 4, 5, 6 } Sucesos elementales: 1,, 3, 4, 5 y 6. Ejemplo 3: Lanzamentos de dos monedas. E = {CC, CX, XC, XX} Sucesos elementales: CC, CX, XC y XX. Ejemplo 4: Lanzamento de dos dados y anotar la suma de los números que aparecen en las caras superores. E = {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} Sucesos elementales:, 3,..., 11 y 1. Se llama suceso aleatoro de un expermento a cada uno de los subconjuntos del espaco muestral E. Ejemplo: Lanzamento de un dado. E = {1,, 3, 4, 5, 6} Algunos subconjuntos de E son, por ejemplo: Salr par: {, 4, 6}, Salr mpar: {1, 3, 5} Salr múltplos de 3: {3, 6}. A todos estos subconjuntos se les llama sucesos. El conjunto de todos los sucesos de un expermento aleatoro se denomna espaco de sucesos y se desgna por S. Ejemplo: Lanzamento de un dado de qunelas {1, X, } y anotar el símbolo de la cara superor. Hallar el espaco muestral y el espaco de sucesos. E={1, X, } tres elementos. S = {, {1}, {X}, {}, {1, X}, {1, }, {X, }, {1, X, }} 8 elementos. 5 Departamento de Matemátcas

4 Consderemos nuevamente el expermento consstente en lanzar un dado y anotar la cara superor: E = {1,, 3, 4, 5, 6} Sea A el suceso salr mpar, es decr, {1, 3, 5}. Pues ben, decmos que se verfca el suceso A s al efectuar el expermento obtenemos como resultado 1 ó 3 ó 5. Por el contraro s obtenemos, 4 ó 6 dremos que el suceso A no se verfca. De una manera general, dremos que un suceso A se verfca, se realza o se presenta, s al efectuar una prueba del expermento aleatoro obtenemos uno de los sucesos elementales que componen el suceso A. como resultado Se llama suceso seguro al que sempre se realza. Es evdente que estamos hablando del propo espaco muestral E que es el suceso formado por todos los resultados posbles del expermento. Se llama suceso mposble, y lo desgnaremos por, a un suceso que no se realza nunca. Consderamos nuevamente el espaco muestral asocado al lanzamento del dado, E={1,, 3, 4, 5, 6} y los sucesos A = Salr número par = {, 4, 6}, A = Salr número mpar = {1, 3, 5} Los sucesos A y A son contraros, ya que s se realza A no se realza A, y se realza A no se realza A. Dado un suceso cualquera A del espaco de sucesos S, llamaremos suceso contraro del suceso A a un suceso que se realza cuando no se realza A, y recíprocamente. El suceso contraro de A se representa por A, A o A c. El suceso A está formado por elementos de E que no pertenecen a A. Se verfca, evdentemente: 1. El suceso contraro del suceso certo es el suceso mposble, es decr: E. El suceso contraro del suceso mposble es el suceso seguro, es decr: E Ejemplo: Escrbr el espaco muestral dervado del expermento de lanzar tres monedas, descrbr el suceso A = obtener al menos una cara y su contraro. S recurrmos a un dagrama de árbol para la obtencón de los sucesos elementales, obtendremos: E = {CCC, CCX, CXX, XXX} Ejemplo: lanzamento de un dado. E = {1,, 3, 4, 5, 6}. Hallar los sucesos contraros de los sguentes sucesos: A = Salr par = {, 4, 6} B = Salr múltplo de 3 = {3, 6} C = Salr 4 = {4} D = {1,, 5} 3. Operacones con sucesos. A partr de los sucesos asocados. o Unón o Interseccón o Dferenca o Contraro 4. Sucesos compatbles e ncompatbles. Dos sucesos son compatbles s pueden ocurrr al msmo tempo y son ncompatbles s no pueden ocurrr nunca al msmo tempo. 6 Departamento de Matemátcas

5 8) Consderemos el expermento que consste en la extraccón de tres tornllos de una caja que contene tornllos buenos y defectuosos. Se pde: a) El espaco muestral y número de elementos de que consta. b) Descrbr el suceso A = el últmo tornllo extraído es defectuoso c) Descrbr el suceso B = sólo hay un tornllo defectuoso d) Descrbr el suceso C = extraer al menos un tornllo defectuoso 9) Un afconado a los casnos tene tempo para jugar a la ruleta cnco veces a lo sumo. Cada apuesta es de 10. Empeza con 10 y deja de jugar cuando los perda o cuando gane 30. Obtener el espaco muestral. 10) En una encuesta, los resultados del nterrogatoro de cada persona se reflejan en una tarjeta. En las tarjetas se consderan el sexo, la edad (mayor o menor de 30 años), y la respuesta a la pregunta (Sí- No). Descrbr el espaco muestral y los sguentes sucesos: a) B = hombre menor de 30 años b) C = mujer c) D = persona mayor de 30 años que ha responddo Sí 11) En el expermento que consste en el lanzamento de un dado cúbco, consderamos los sucesos A = {1,3} y B = {4,6}. Se pueden verfcar A y B smultáneamente?, Son A y B sucesos contraros? Son A y B sucesos compatbles o ncompatbles? 1) Decr s son certas o falsas las sguentes afrmacones: a) S dos sucesos son compatbles, son contraros. b) S dos sucesos son contraros, son ncompatbles. 13) En la extraccón de una carta de una baraja española, se consderan los sucesos: A = sacar una espada B = sacar una fgura Explcar s son compatbles o ncompatbles. 14) S suponemos la exstenca de dos úncos peródcos en un determnado muncpo: El Eco y Notcas y desgnamos por A a los lectores del prmero y por B a los lectores de la competenca: a) Qué ndca el suceso A B? este suceso englobaría a las personas que leen los dos peródcos? b) Qué representa el suceso A B? y A B? c) Intenta encontrar dos formas de representar con un suceso al conjunto de ndvduos que no son lectores de nnguno de los dos peródcos. 8 Departamento de Matemátcas

6 1. S el número de experencas realzadas es muy grande, la frecuenca relatva se aproxma a la probabldad.. La probabldad de un suceso es un número comprenddo entre 0 y La suma de las probabldades de todos los resultados elementales es gual a La probabldad del suceso seguro es La probabldad del suceso mposble es gual a S dos sucesos A y B son ncompatbles P(A B) = P(A) + P(B) y P(A B) = S dos sucesos A y B son contraros P(A) + P(B) = Al extraer una carta de una baraja española se dan las probabldades sguentes: p (Rey), Caballo), Sota). Cuál es la probabldad de que no salga una fgura? El espaco muestral de un expermento aleatoro es E a, b, c y las probabldades de los resultados 1 1 a y b son p ( a), b). Hallar la probabldad del resultado c y las probabldades de los sucesos 3 sguentes: a) A = {a, b} b) B = {a, c} c) C = {b, c} 3.- S A y B son dos sucesos ncompatbles de un expermento aleatoro y sus probabldades son 1 1 p ( A), B), respectvamente, hallar la probabldad de: 3 a) Suceso A o B. b) Suceso contraro de A ( A ). c) Suceso contraro de B (B ). 4.- En la lotería prmtva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Se pde calcular: a) Probabldad de que en la prmera extraccón salga un número múltplo de 7. b) Probabldad de que en la prmera extraccón salga un número que no sea múltplo de 7. c) Probabldad de que en la prmera extraccón salga un número que empece por. d) Probabldad de que en la prmera extraccón salga un número que no empece por. 5.- Se gra la aguja de una ruleta de números 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y nos fjamos en el número en el que se detene. Calcular: a) Probabldad de que se obtenga número prmo. b) Probabldad de obtener número compuesto. c) Probabldad de número prmo o número múltplo de 4. d) Probabldad de no obtener 5. e) Probabldad de número par o prmo. 9 Departamento de Matemátcas

7 PROBABILIDAD DE SUCESOS 1.- Se lanzan dos dados, cuál es la probabldad de que la suma de los números que salen sea 3, 4 ó 5?.- Se ha trucado una moneda de modo que la probabldad de obtener cara es el trple que la de obtener cruz. Cuál es la probabldad de cada suceso elemental? 3.- Tres de las caras de un dado se pntan de negro, dos de verde y una de rojo. Qué probabldad tene cada color de aparecer? 4.- Sean A y B dos sucesos tales que A) = 0 3, B) = 0 4 y A B ) = 0 6. Hallar las probabldades sguentes (recordar las leyes de Morgan): a) A B) b) A B) c) A B) d) A B) 5.- Un expermento aleatoro tene tres resultados posbles, es decr su espaco muestral está formado por tres puntos muestrales a los que llamaremos A, B y C. Se sabe que p ( AB) 3 y que p ( B C) 5. Hallar A), B) y C) Sea el espaco muestral E A, B, C, D a) S A)=1/3, B)=1/6 y C)=1/9. Calcular D). b) S A)=B)=1/4 y C)= D). Hallar C) y D). 7.- Certo dado se ha trucado, de modo que la probabldad de que salga cara par es el doble que la de que salga mpar. Cuál es la probabldad de obtener un número par al lanzar el dado? 8.- Se lanza al are dos dados. Hallar la probabldad de que se verfque cada uno de estos sucesos: A = la suma es ocho C = la suma es, a lo sumo, ocho E = la suma es más de ocho B = la suma es par D = la suma es ocho, como mínmo F = la suma es par o más de ocho 9.- Cuál es la probabldad de que al lanzar dos dados al are salgan dos números guales? 10.- Hallar la probabldad de que al lanzar un dado la suma de los puntos de las cnco caras vsbles sea múltplo de Hallar la probabldad de un suceso sabendo que s sumamos esta probabldad al cuadrado con el cuadrado de la probabldad del suceso contraro da 13/ Se lanzan al are tres monedas. Calcular la probabldad de que se verfquen los sguentes sucesos: a) Sacar al menos una cara. b) Sacar dos caras. c) No sacar nnguna cruz. d) Sacar dos cruces. 30 Departamento de Matemátcas

8 Experencas compuestas. Sucesos dependentes e ndependentes 13.- Una urna contene 8 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extraen dos bolas al azar. Hallar la probabldad de que: a) Las dos bolas sean blancas. b) Las dos bolas sean negras. c) Sea una de cada color. d) Sean las dos del msmo color Una clase está formada por 15 chcos y 0 chcas. S elegmos dos alumnos al azar, hallar la probabldad de que: a) Los dos sean del msmo sexo, b) Sean de sexo dstnto El temaro de una oposcón consta de 50 temas. Un opostor se ha preparado 35. El examen consste en extraer tres temas al azar de los que hay que elegr uno. Se pde la probabldad de: a) Que el opostor sepa los tres temas. b) Que no sepa nnguno. c) Que al menos sepa uno de los tres temas En una bolsa hay metdas dez bolas numeradas del 0 al 9. Se extraen dos de ellas al azar. Hallar la probabldad de: a) Que ambas tengan gual pardad. b) Que la suma de las dos sea gual a 10. c) Que una sea par y la otra mpar. (Nota: consderar el cero como número par) En una bolsa hay 6 bolas blancas y 8 azules. Se extraen cuatro de ellas al azar. Hallar la probabldad de: a) Que no sean las cuatro blancas. b) Que una al menos sea azul. c) Que sean dos de cada color Cuál es la probabldad de sacar, al menos, dos ases al extraer cuatro cartas de una baraja española? 19.- Se echan al are cnco monedas. Hallar la probabldad de: a) Sacar tres caras exactamente. b) Sacar, al menos, dos caras. c) No sacar nnguna cara. 0.- Una caja contene 7 bolas blancas, 3 azules y 5 verdes. Se extraen tres bolas al azar. Calcular la probabldad de que: a) Sean las tres blancas. b) Sean las tres azules. c) Sean las tres verde. d) Sean dos azules y una verde. e) Sean las tres de dstnto color. 1.- Un producto está formado por tres partes A, B y C. El proceso de fabrcacón es tal que la probabldad de un defecto en A es 0 03, la de un defecto en B es 0 04 y la de un defecto en C es a) Cuál es la probabldad de que el producto no sea defectuoso? b) Y de que sólo una de sus partes sea defectuosa? 31 Departamento de Matemátcas

9 34.- la probabldad de que un hombre y una mujer de 18 años vvan 50 años más es 0 6 y 0 7, respectvamente. Se pde la probabldad de que: a) Vvan los dos después de 50 años. b) Vva sólo la mujer. c) Vva al menos uno de los dos. No vva nnguno de los dos De dos sucesos A y B se sabe que B), A B). Hallar A-B): a) S A y B son INCOMPATIBLES. b) S A y B son INDEPENDIENTES Se lanzan dos dados, s la suma de los puntos de las caras superores es 7, hallar la probabldad de que en alguno de los dados salga En un colego hay 60 alumnos de Bachllerato. De ellos 40 estudan nglés, 4 estudan francés y 1 los dos domas. Se realza el expermento de elegr un alumno de éstos al azar. Sean A y B los sguentes sucesos: A = el alumno elegdo estuda nglés, B = el alumno elegdo estuda francés. a) Determnar las probabldades A), B), A B), AB). b) Determnar las probabldades condconadas sguentes B/ A), B/ A B), A/ B' ) Se sabe que p ( A), B), AB). Hallar: A B), P( A( B), P( B/ A), B' ) Un pscólogo de una empresa de seguros del ramo del automóvl ha estudado el comportamento de los asegurados cuando conducen, ya estén sobros o ebros, y ha constatado que la probabldad de que un conductor sobro tenga un accdente es y la probabldad de que lo tenga un conductor ebro es 0 5. Por otra parte, ha detectado que la probabldad de conducr borracho es a) Hallar la probabldad de que se produzca un accdente y que al hacer el control de alcoholema al conductor dé postvo. b) Hallar la probabldad de conducr borracho y que se produzca un accdente. c) Hallar la probabldad de que se produzca un accdente. d) S sabemos que se ha producdo un accdente, cuál es la probabldad de que el conductor dé postvo en la prueba de alcoholema? 40.- Un robot empeza a explorar un labernto. Los camnos que salen de cada bfurcacón son equprobables (excepto que no se puede retroceder). Al fnal de cada camno hay una trampa. En cuál de las trampas es más probable que acabe el robot, o todas las trampas son gualmente probables? 33 Departamento de Matemátcas

10 EJERCICIOS DE REPASO 1.- Se realza una consulta a 5 famlas para conocer el número de vvendas en propedad y se obtenen los datos de la tabla sguente. Calcular la moda, la medana, la meda y la desvacón típca. Número de vvendas 0 1 Número de famlas Razonar con cuál de los coefcentes de correlacón dados se corresponden estos dagramas de dspersón: a) r = 0 4; b) r = 0 9; c) r = 0 8. Razonar en qué casos tendrá mayor fabldad un ajuste bdmensonal medante una recta. 3.- Juan tene 19 años de edad y mde 1 90 m de estatura. Su talla está en el percentl 9 para los jóvenes de su edad. Qué quere decr esto? 4.- De una muestra de 75 bombllas se han obtendo los sguentes datos relatvos a su duracón en horas. Calcular la duracón meda, la desvacón típca y los cuartles de la dstrbucón. Duracón [50,300) [300,350) [350,400) [400,450) [450,500) [500,550) Nº de bombllas Responder razonadamente a las sguentes preguntas: a) Puede ser negatva la meda? b) Puede ser negatva la varanza? c) Puede ser negatva la covaranza? 6.- Indcar y razonar cuál de las sguentes afrmacones es correcta. S la pendente de una recta de regresón es negatva: a) La correlacón es muy débl. b) La correlacón es muy fuerte. c) La correlacón es nversa. d) La correlacón es drecta. 7.- Indcar y razonar cuál de estas afrmacones es correcta. S las dos rectas de regresón concden: a) Exste una correlacón muy fuerte. b) La correlacón es negatva. c) Exste dependenca funconal. d) No se puede afrmar nada sobre la correlacón. 8.- La sguente tabla muestra los índces de las bolsas de Madrd y Wall Street durante una semana. Calcular el coefcente de correlacón y la recta de regresón de X sobre Y. Interpretar el resultado. Madrd (X) Wall Street (Y) Departamento de Matemátcas

11 9.- Se ha encuestado a un grupo de 100 ndvduos sobre el número de horas que dedcan a dormr (X) y a ver la televsón (Y). Los resultados son los sguentes: Nº de horas de sueño Nº de horas de TV Frecuenca a) Calcular el coefcente de correlacón e nterpretarlo refréndolo al enuncado. b) Hallar la ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X. c) S una persona duerme 7 horas y meda, cuánto cabe esperar que vea la televsón? d) Sn determnar la recta de regresón de X sobre Y, ndcar en qué punto se cortará esta recta con la calculada en el apartado b) De los sucesos A y B se sabe que: sguentes: A B) y P( AB). p ( A), 5 B) 1, 3 AB) 1 3. Hallar las probabldades 11.- Sean A y B dos sucesos tales que p ( AB) Son ncompatbles A y B? Justfcar la respuesta. 1.- En una sala en la que hay 0 personas, 14 de ellas leen el peródco, 10 toman café y 8 hacen ambas cosas. Selecconamos dos personas al azar, calcular la probabldad de que: a) Las dos tomen café y no lean el peródco. b) Las dos sólo hagan una de las dos cosas. c) Nnguna de las dos haga nada. d) Las dos hagan ambas cosas Al lanzar dos dados, cuál es la probabldad de obtener un número de puntos cuya suma sea 9? Y que la suma sea múltplo de 3? 14.- En una facultad, el 5% de los estudantes ha suspenddo Matemátcas, el 0% ha suspenddo Hstora y el 15% ha suspenddo las dos asgnaturas. S selecconamos un alumno al azar, determnar la probabldad de que: a) Suspenda al menos una de las dos asgnaturas. b) Suspenda Hstora, pero no Matemátcas. c) No suspenda nnguna de las dos asgnaturas. 35 Departamento de Matemátcas

12 Experenca dcotómca: es una experenca aleatora en la que observamos, exclusvamente, s ocurre un suceso A o su contraro, A. Al suceso A se le denomna éxto y su probabldad es P(A) = p. La probabldad de su contraro es P(A ) = 1 p = q. Ejemplos de experencas dcotómcas: 1. Lanzar una moneda (A = cara, A = cruz, p = P(A) = ½, q = P(A ) = ½). Lanzar un dado y ver s sale 5 o no (A ={5}, A = {1,, 3, 4, 6}, p = 1/6, q = 5/6) 3. Extraer una carta de una baraja y ver s es fgura (A = Fgura = {as, sota, caballo, rey}, A = No fgura, p = 16/40 = 0 4, q = 4/40 = 0 6) 4. Tenemos un montón de tornllos fabrcados por una máquna que, por térmno medo, produce un % de defectuosos. Extraemos uno de ellos al azar y vemos s es o no defectuoso (A = defectuoso, A = No defectuoso, p = 0 0, q = 0 98) Dstrbucón bnomal: Supongamos que se repte n veces una msma experenca dcotómca y nos preguntamos por el número de éxtos (X). X es una varable dscreta que puede tomar los valores 0, 1,, 3,..., n. La dstrbucón de probabldad de la varable X se llama dstrbucón bnomal B(n, p). p = P(A) es la probabldad de éxto en cada una de las experencas. n es el número de veces que se repte la experenca. Es mportante destacar que las experencas que se repten n veces deben tener las msmas condcones en las sucesvas repetcones y, por tanto, la probabldad de éxto ha de ser la msma en todos los casos (cada una de las n experencas es ndependente de las otras). Cálculo de probabldades en una dstrbucón bnomal: En una dstrbucón B(n, p), en la cual P(A) = p, P(A ) = 1 p = q, la probabldad de que se tengan k éxtos (salga k veces A y n k veces A en cualquer orden) es n k P(X = k) = p k q n n n! k, donde k es un número combnatoro que ndca todas las formas k!( n k)! posbles de ordenar k sucesos A y n k sucesos A. n! se lee factoral de n y se calcula con el producto n (n 1) (n ) (n 3) 3 1 Ejercco: Calcular la probabldad de que al lanzar 4 monedas se obtengan 3 caras de dos formas dstntas, con un dagrama de árbol y utlzando las fórmulas de la bnomal. La meda de una dstrbucón bnomal B(n, p) es μ = n p, y la desvacón típca n p q 38 Departamento de Matemátcas

13 1.- Se supone que la probabldad de nacer nño es 0 5. Calcular la probabldad de que en una famla de 6 hjos: a) Todos sean varones. b) Al menos dos sean varones. c) Tres sean varones. d) Calcular la meda y la desvacón típca..- La probabldad de nacmento de nños varones en España es del 51 7%. Hallar la probabldad de que una famla de 5 hjos tenga: a) Por lo menos una nña. b) Por lo menos un nño. 3.- La probabldad de que un estudante obtenga el título de arqutecto es 0 3. Calcular la probabldad de que, de un grupo de 7 estudantes matrculados en prmero, a) Los sete fnalcen la carrera. b) Al menos dos acaben la carrera. 4.- Se tene una moneda trucada, de modo que la probabldad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza ses veces la moneda. Calcular las sguentes probabldades: a) Obtener dos veces cruz. b) Obtener, a lo sumo, dos veces cruz Una moneda está trucada de manera que la probabldad de sacar cruz es. Se lanza la moneda 11 dez veces. Calcular la probabldad de obtener: a) 8 caras. b) Al menos una cruz. 6.- Certo medcamento contra una enfermedad provoca mejoría el 60% de los casos. Cuál es la probabldad de que 5 pacentes que sguen el tratamento mejoren? Y de que 4 no expermenten mejoría? 7.- La probabldad de que un alumno de prmero de bachllerato estude Matemátcas I es 0 4. Calcular la probabldad de que en un grupo de 10 alumnos elegdos al azar haya exactamente 7 que no estuden Matemátcas I. 8.- Un arquero tene una probabldad de hacer blanco de 5 4. S tra tres veces, calcular la probabldad de: a) Hacer blanco exactamente una vez; b) Hacer blanco más de una vez. 9.- Una varable aleatora X sgue la ley bnomal de tpo B(5, 0 3). Determnar: a) Su funcón de probabldad y representarla. b) La meda y la desvacón típca Una urna contene cuatro bolas blancas y ses negros. Se saca una bola al azar, se apunta el color y se devuelve a la urna. S la experenca se repte cnco veces, hallar la probabldad de obtener: a) Dos bolas blancas. b) A lo sumo dos bolas blancas. 40 Departamento de Matemátcas

14 11.- Un alumno ha estudado doce temas de 30 que entran en un examen. Se elgen dos temas al azar. El alumno puede haber estudado los dos, uno o nnguno. Calcular y representar gráfcamente las funcones de probabldad y de dstrbucón. 1.- Una urna tene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su color y se devuelve a la urna. S esta experenca se repte cnco veces, calcular la probabldad de obtener: a) Tres bolas rojas. b) Al menos tres bolas rojas. c) A los sumo cnco bolas verdes. d) Alguna roja Un examen tpo test consta de 10 preguntas, cada una con 4 respuestas, de las cuales sólo una es correcta. S un alumno contesta al azar: a) Cuál es la probabldad de que conteste ben a tres preguntas? b) Y la de que conteste ben a más de dos preguntas? c) Calcular la probabldad de que conteste mal a todas las preguntas. d) Calcular la meda y la desvacón típca En un proceso de fabrcacón de tornllo se sabe que el % son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornllos. Calcular la probabldad de que en una caja haya este número de tornllos defectuosos: a) Nnguno. b) Uno. c) Más de dos Se lanzan tres monedas y se cuentan el número de caras obtendas. Hacer una tabla con las probabldades, representarla gráfcamente y calcular la meda y la desvacón típca Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases. a) Cuál es la funcón de probabldad? b) Calcular la meda y la desvacón típca En una urna, A, hay cnco bolas numeradas del 1 al 5 y en otra, B, hay cuatro bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda, s sale cara se saca una bola de A y, s sale cruz, se saca de B. Se observa el número que tene la bola. a) Hacer una tabla de la dstrbucón de probabldad. b) Representarla gráfcamente. c) Calcular la meda y la desvacón típca. 41 Departamento de Matemátcas

15 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA. DISTRIBUCIÓN NORMAL. 1.- Utlzando la tabla de dstrbucón normal, calcular las probabldades: a ) P( z 1'47) b ) P( z 0'79) c ) P( z 0'16) d ) P( z '1) e ) P( z 0'03) f ) P( 0'5 z ') g ) P(1'15 z 3'1) h ) P( z 0'03) ) P( z 4).- Utlzando la tabla de la normal, calcular el valor de k: a ) P( z k) 0'99 b ) P( z k) 0' 14 c ) P( z 0'16) d ) P( z k) 0'9830 e ) P( z k) 0' 465 f ) P( 0'5 z ') g ) P( k z 3'1) 0'141 h ) P( k z 0'03) 0' 7348 ) P( z k) Sea z una varable aleatora N(0, 1). Calcular: a) P( z 1'3) b) P( z 1'3) c) P( z '17) d) P( z '17) e) P(1'5 z '03) f) P( '03 z 1'5) 4.- Las tallas de los ndvduos de una poblacón se dstrbuyen normalmente con una meda gual a 175 cm y una desvacón típca gual a 8 cm. Calcular la probabldad de que un ndvduo tenga una talla: a) mayor que 180 cm; b) menor que 170 cm; c) entre 170 y 180 cm. 5.- Los opostores que se presentan a unas plazas de un organsmo autónomo se dstrbuyen normalmente con una puntuacón meda de 70 5 y con una desvacón típca gual a 9. Cuántas plazas se adjudcarán en la oposcón de este año, s el trbunal ha decddo de antemano dejar sn plaza a todos aquellos que obtengan una puntuacón nferor a 80? 6.- La altura de una poblacón se dstrbuye normalmente con una meda de 170 cm y una desvacón típca de 6 cm. Calcular la probabldad de que elegdo un ndvduo al azar, tenga estatura: a) menor que 164 cm; b) mayor que 176 cm; c) comprendda entre 164 y 176 cm 7.- S el peso de una poblacón de ndvduos tene dstrbucón normal N(74, 7) en kg. a) Cuál es la probabldad de que un ndvduo pese más de 70 kg? b) Qué porcentaje pesará menos de 9 kg? c) Qué porcentaje pesará entre 70 y 9 kg? d) Qué peso debe tener un ndvduo para que el 16 6% de la poblacón pese más que él? e) Y qué peso debe tener para que el 35% pese menos que él? 8.- Los 600 soldados de un cuartel poseen una altura que se dstrbuye según una normal de parámetros μ = 166cm, σ = 1cm. Hallar el número aproxmado de soldados cuya altura esté comprendda entre 165 y 18 cm. Cuántos medrán más de 190 cm? S los mandos del ejércto forman un batallón de gastadores con el 4% de los soldados más altos, a partr de qué altura deben selecconarse? 9.- Para aprobar unas oposcones se necesta obtener 100 puntos, o más, en una prueba. Por experencas anterores se sabe que la dstrbucón de los puntos obtendos por los opostores es una normal de meda 110 puntos y desvacón típca 15. a) Qué probabldad tene un opostor de aprobar? b) S sabemos que hay 1000 opostores y sólo 300 lazas, cuántos puntos deberán exgr para ajustar el número de plazas al número de opostores aprobados? 4 Departamento de Matemátcas

16 Tabla de dstrbucón normal estándar N (0, 1) Los valores de la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor postvo de z. z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,510 0,5160 0,5199 0,539 0,579 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,617 0,655 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,713 0,7157 0,7190 0,74 0,6 0,757 0,791 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,764 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,765 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,861 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8930 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,955 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9561 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,1 0,981 0,986 0,9830 0,9934 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9901 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,4 0,9918 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,995,6 0,9953 0,9954 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,9 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3, 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0, ,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0, Departamento de Matemátcas