M a t e m á t i c a s I I 1

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1 Matemáticas II

2 Matemáticas II

3 EXTREMADURA CONVOCATORIA JUNIO 9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Opción A a) La matriz A tiene tres filas de las que para calcular el determinante sacamos factor común tres veces, por tanto: A 3 A 8. b) El determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices: I A A I A A A A A A c) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta, por lo tanto: A A t A A t 4 d) Cuando se realiza una permutación de filas o columnas el determinante cambia de signo; por lo tanto, el determinante pedido vale. e) Cuando a una fila se le suma o resta otra multiplicada por un número, el determinante no varía; luego el determinante solicitado es. a) Estos son los vectores directores de r y s: v i j k r (,, ) v i j k b s (b, a b, a) a Las rectas son paralelas si los vectores lo son, es decir, si son proporcionales. Para ello se tiene que cumplir: b a b a De la primera igualdad obtenemos: b a b a b a b a b De la igualdad obtenemos b a. b a Por consiguiente, para que las rectas sean paralelas se debe cumplir que a y b sean iguales. b) Las rectas serán perpendiculares si sus vectores directores lo son, es decir, si su producto escalar se anula: v r v s b (a b) () (a) b a b a b a Por tanto, cuando a y b son opuestos entre sí, las rectas son perpendiculares. a) Un punto (x, f(x )) es de inflexión si la derivada segunda de f(x) se anula en x, es decir, f (x ), y la derivada tercera no se anula en x, o sea, f (x ). b) Como la gráfica pasa por (, ): p() a 3 3 b a b 3 Como (, ) es un punto de inflexión, p (). p (x) 3ax x b p (x) ax p () a a Sustituimos en la anterior ecuación y tenemos: b 3 b c) Calculamos la derivada en x : p () 3a b 3 Como la derivada primera devuelve un valor positivo, en el punto (, ) la función p(x) es decreciente. a) Para expresar f(x) como una función definida a trozos, descomponemos el valor absoluto: x si x x f(x) x si x Por lo tanto: x x si x f(x) x x x (x) si x x si x x si x b) En el intervalo [, ] la función f(x) cambia de expresión en x, por consiguiente: x x dx x dx x dx x3 x3 = La integral se anula porque la función f(x) tiene simetría impar y las áreas negativa y positiva son iguales: x f(x) x, si x O Y x f(x) x, si x X 3

4 EXTREMADURA CONVOCATORIA JUNIO 9 c) Para calcular el área entre f(x), el eje X y las rectas x y x convertimos en positivo el valor que proporciona la integral de f(x) entre y, es decir: A x dx x dx Según los cálculos del apartado anterior, obtenemos el siguiente área: A u Opción B Calculamos la primera derivada de f(x): f (x) sen x Igualamos la derivada a cero y despejamos: sen x sen x Esta ecuación tiene infinitas soluciones, pero en el intervalo x tiene como soluciones: 5 x 3, x 5 Para saber dónde hay máximos y dónde mínimos utilizamos el criterio de la segunda derivada, f (x) cos x: 3 f cos Como es negativo, sabemos que en x hay un máximo 3 relativo, cuyo valor es f,8 5 5 f cos Como es positivo en x hay un mínimo relativo, 5 3 cuyo valor es f,443 a) Dadas las funciones derivables u y v, se cumple: u dv u v v du Donde du es la derivada de la función u y v es una primitiva de la función dv. b) En esta integral vamos a llamar u al monomio x ;de esta manera, al derivarlo obtendremos otro de menor grado y la integral será más sencilla: u x du x dx dv cos x dx v sen x x cos x dx x sen x x sen x dx Volvemos a aplicar la integración por partes en la integral 5 3 x sen x dx: 5 Así pues, tenemos: x cos x dx x sen x x sen x x sen x x cos x x sen x dx cos x dx x sen x x cos x sen x C Como la matriz es de orden 3, calculamos directamente su determinante: A u x du dx dv sen x dx vcos x b b A b b b(b ) b, b Por tanto: Si b y b El determinante de orden 3 no se anula, luego el rango de la matriz es 3. Si b A rango (A) Si b b b b x cos x cos x dx A rango (A) a) Como la recta viene expresada en paramétricas, sustituimos las coordenadas en la ecuación del plano: Sustituimos en las paramétricas: x y z 3 Por tanto, el punto de corte de la recta r y el plano es P(,, 3). 4

5 EXTREMADURA CONVOCATORIA JUNIO 9 b) La recta que buscamos tiene que estar contenida en el plano, luego su vector director será perpendicular al vector normal del plano. El vector director de s también debe ser perpendicular al de r; por tanto, para que sea perpendicular a ambos vectores a la vez, calculamos su producto vectorial: v s i j k (,, ) El único punto en común que tienen la recta r y el plano es el punto P(,, 3), calculado en el apartado anterior. Como s corta a r y está incluida en el plano, el punto de corte entre ambas es P(,, 3). Por consiguiente, la ecuación de la recta es: (x, y, z) (,, 3) (,, ) Observa un esquema de las rectas y el plano: π n π P r s 5