La distribución normal o de Gauss

Transcripción

1 La distribución normal o de Gauss Distribución límite La distribución Normal o de Gauss La distribución de Gauss tipificada La función integral. Cálculo de la función integral La desviación estándar de la media Intervalos de probabilidad y confianza Diferencias significativas Técnicas eperimentales en Física General /5

2 La distribución límite Qué ocurre si aumentamos el número de medidas? N=00 medidas Histograma de bins de 00 medidas de N=000 medidas Histograma de bins de 000 medidas de Técnicas eperimentales en Física General /5

3 La distribución límite Cuando N nos acercamos a la distribución límite. Distribución límite f() f ( ) d = Fraccion de las medidas que se encuentran entre y + d = Probabilidad de que una medida de un resultado comprendido entre y + d b f ( d ) = Fraccion de las medidas que se encuentran entre = a y = b a = Probabilidad de que una medida de un resultado que se encuentre entre a y b Distribuciones discretas y continuas discretas continuas F k = nk N F = f( ) d k k k Técnicas eperimentales en Física General 3/5

4 Condición de normalización discretas continuas k F k = + f( ) d = Cálculo de la media discretas continuas = Fk k k = + f( ) d Cálculo de la desviación estándar discretas continuas n = ( ) k k k N + = ( ) f( ) d Técnicas eperimentales en Física General 4/5

5 La distribución Normal o de Gauss GX, ( ) = e π ( X ) + G X, ( ) d= Propiedades Tiene un máimo en = X Es simétrica alrededor de X Tiende a cero rápidamente si X >> Técnicas eperimentales en Física General 5/5

6 Valor medio y desviación estándar Si se efectúan un gran número de medidas de una variable aleatoria que sigue una distribución de Gauss, qué valores hay que esperar para y Valor medio + + ( )? = f( ) d = G ( ) d X, G d e d ( X) y= X dy= d + + = X, ( ) = π { 0 π } y y + + = ye dy X e dy X X + = + = π π = X Desviación estándar + ( ) = ( X) GX, ( ) d= ( ) = Técnicas eperimentales en Física General 6/5

7 La distribución Normal tipificada: Cómo puede estudiarse la distribución de Gauss de forma general? GX, ( ) e π ( X) = G0,( z) = e π X z= z Distribución normal tipificada G 0, (z) = Distribución Normal tipificada G0,( z) = e π z z X=0. Máimo en z = 0. Puntos de infleión: z = ± = Técnicas eperimentales en Física General 7/5

8 La función integral Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida entre a y b? b b X, a a ( X) a b G d e = = d Prob( ) ( ) π Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de una desviación estándar? Prob( X X + ) = X+ X+ X, ( ) X X = = ( X) G d e d π Técnicas eperimentales en Física General 8/5

9 Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de t desviaciones estándares? Prob( X t X + t ) = X+ t X+ t = ( ) = ( X) G d e d X, X t X t π Prob( ) ( X) X t X + t = e d z X t z t π X+ t X t d = dz X X X + t X = = + = = = X X t X = = = = X t z t z + t Prob( X t X + t) = e dz t π Técnicas eperimentales en Física General 9/5

10 Cálculo de la función integral z + t Prob( X t X + t) = e dz t π Técnicas eperimentales en Física General 0/5

11 Cálculo de la función integral (cont.) t =.yz Prob(dentro de t ) = X+ t = G ( ) d= = X t π X, + t t e z dz Técnicas eperimentales en Física General /5

12 Cálculo de la función integral (cont.) X+ t Qt () = G ( d ) = = X π 0 X, t e z dz Q() Q() Q() + Q() 50% Q() Técnicas eperimentales en Física General /5

13 La desviación estándar de la media Supongamos que que se distribuye siguiente secuencia de eperimentos: N medidas de N medidas de... GX,. Imaginemos la = i N i = i N i Si repetimos el eperimento n veces, los valores de i cambiarán, y la media de las medias y su desviación estándar serán = i ( ) = i n n i N i= Efectuando sólo uno de los eperimentos, cuál es la desviación estándar de la media de las N medidas? GX, Los i se distribuyen, el verdadero valor de es X La desviación estándar de la media será = + + N = N = + + = N N N Técnicas eperimentales en Física General 3/5

14 Intervalos de probabilidad y confianza Cuál es el significado de asignar la desviación típica como error de una medida? Si tomamos una muestra de N datos, calculamos su media y su desviación típica y escribimos ± significa que el 68% de las medidas realizadas se encuentran en el intervalo ±. O bien, el mejor valor, X se encuentra en el intervalo: X + con un nivel de confianza del 68 % Técnicas eperimentales en Física General 4/5

15 Diferencias significativas Cómo se comparan nuestras medidas con los valores esperados? Valor medido Valor esperado ± a Supongamos que: a ( t ) No es una diferencia significativa. Prob (fuera ) = 3% Supongamos que: a 3 ( t 3) La diferencia es muy significativa. Prob (fuera 3 ) = 0.3% Norma generalmente aceptada: Si a Resultado aceptable. Si a.5 Resultado inaceptable. Si.9 a.6 Resultado no concluyente. O bien: P (fuera t ) 5% Diferencia significativa. P (fuera t ) % La diferencia es muy significativa. Técnicas eperimentales en Física General 5/5