Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II

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1 Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Martes, 0 de febrero de hora y 15 minutos. NOMBRE APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. Considérense las matrices A ( ), B ( 5 3 ) y C ( 1 k + 1 k 1 ), 0 1 k 4 10 a) Calcúlese el determinante de la matriz B A A T b) Determine los valores k para los que C 1 no existe.. En una clase de 1 alumnos, hay 1 que tienen computador portátil, 10 que tienen una tableta y 3 que no tienen ninguno de los dos dispositivos. El siguiente diagrama de Venn muestra los sucesos tener computador portátil y tener una tableta. Los valores de p, q, r y s representan cada uno a un número de alumnos. a) Escriba el valor de p. (0,5 puntos) b) Halle el valor de q. (0,5 puntos) c) Escriba el valor de r y el de s. (0,5 puntos) Se escoge un alumno de esa clase. d) Cuál es la probabilidad de que ese alumno tenga un computador portátil? (0,5 puntos) e) Halle la probabilidad de que ese alumno tenga o un computador portátil o una tableta pero no los dos dispositivos. (0,5 puntos) f) Halle la probabilidad de que no tenga tableta sabiendo que NO tiene computador portátil.

2 Se escogen al azar a dos alumnos de esa clase. Sea L el suceso el alumno tiene un computador portátil. g) Copie y complete correctamente el siguiente diagrama de árbol. (0,5 puntos) h) Calcule la probabilidad de que al menos uno de los alumnos tenga ordenador portátil. i) Calcule la probabilidad de que el primer alumno tenga un ordenador portátil si se sabe que el segundo no tiene ordenador portátil. 3. Una máquina fabrica una gran cantidad de clavos. La longitud, L en mm, de los clavos sigue una distribución normal donde L N(50, ). a) Halle P(50 < L < 50 + ) b) La probabilidad de que la longitud de un clavo sea menor que 53,9 mm es igual a 0,975. Calcule con una aproximación de tres cifras significativas. Consideremos la desviación calculada en el apartado b). A todos los clavos que tienen una longitud de al menos t mm se les considera clavos grandes. c) Se escoge un clavo al azar. La probabilidad de que sea un clavo grande es igual a 0,75. Halle el valor de t. d) Se escoge al azar un clavo del montón de clavos grandes. Halle la probabilidad de que la longitud de este clavo sea menor que 50,1 mm. e) Se escogen al azar diez clavos del montón de clavos grandes. Halle la probabilidad de que al menos dos de esos clavos tengan una longitud menor que 50,1 mm. 4. Sea A ( 1 1 ), B ( q p 1 ), C ( ), de modo que A B C 6 3 a) Halle el valor de p y de q. b) Resuelva la ecuación matricial A X + C I donde I es la matriz identidad de orden. (0,5 + 0,5 puntos) 5. El tiempo, en meses, que una persona es socia de un club deportivo, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida μ y desviación típica 9. a) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 personas que han sido socias de ese club y se obtuvo una estancia media de 8 1 meses. Determínese un intervalo de confianza al 90 % para μ. b) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza para μ al 99 % tenga una amplitud a lo sumo de dos meses? c) Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de 144 personas se ha obtenido un intervalo de confianza (7 766; 10 34) para μ, determínese el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo.

3 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº 6 DE º MATEMÁTICAS NM Considérense las matrices A ( ), B ( ) y C ( 1 k + 1 k 1 k 4 10 a) Calcúlese el determinante de la matriz B A A T b) Determine los valores k para los que C 1 no existe. Solución c) Calcúlese el determinante de la matriz B A A T 1 B A A T ( ) ( ) ( )T ( 13 8 ) ( ) ( Al ser el resultado una matriz de dimensión 3x, no tiene determinante. ) ), a) Determine los valores k para los que C 1 no existe. Para que exista C 1, debe ser cuadrada y su determinante no se debe anular. Puesto que C es cuadrada, tendremos que ver queé valores anulan al determinante de C, 4 8 C 1 k + 1 k 1 0 (k + 1) 3 + 4k (k 1) 8k (k + 1) + 8 (k 1) + 40 k k k 4k 8k 8k + 8k k 4k 0 Igualamos a cero el valor del determinante y resolvemos, 4k 4k 0 0 k + 6k k 6 ± ± ± 16 6 ± 4 { k k Por lo tanto, los valores para que los que la matriz inversa C 1 no existe, son k 1 1 y k 5.

4 . En una clase de 1 alumnos, hay 1 que tienen computador portátil, 10 que tienen una tableta y 3 que no tienen ninguno de los dos dispositivos. El siguiente diagrama de Venn muestra los sucesos tener computador portátil y tener una tableta. Los valores de p, q, r y s representan cada uno a un número de alumnos. a) Escriba el valor de p. (0,5 puntos) b) Halle el valor de q. (0,5 puntos) c) Escriba el valor de r y el de s. (0,5 puntos) Se escoge un alumno de esa clase. d) Cuál es la probabilidad de que ese alumno tenga un computador portátil? (0,5 puntos) e) Halle la probabilidad de que ese alumno tenga o un computador portátil o una tableta pero no los dos dispositivos. (0,5 puntos) f) Halle la probabilidad de que no tenga tableta sabiendo que NO tiene computador portátil. Se escogen al azar a dos alumnos de esa clase. Sea L el suceso el alumno tiene un computador portátil. g) Copie y complete correctamente el siguiente diagrama de árbol. (0,5 puntos) h) Calcule la probabilidad de que al menos uno de los alumnos tenga ordenador portátil. i) Calcule la probabilidad de que el primer alumno tenga un ordenador portátil si se sabe que el segundo no tiene ordenador portátil. Solución a) Escriba el valor de p. (0,5 puntos) El valor es p 3.

5 b) Halle el valor de q. (0,5 puntos) El número de alumnos que tienen algún tipo de dispositivo entre portátil o tableta es, q (1 r) (1 r 10) (1 r 1) (1 3) (1 3 10) (1 3 1) 18 (18 10) (18 1) c) Escriba el valor de r y el de s. (0,5 puntos) Según los datos del problema y aplicando el apartado a) r Se escoge un alumno de esa clase. s d) Cuál es la probabilidad de que ese alumno tenga un computador portátil? (0,5 puntos) Sea L Tener un ordenador portátil. En ese caso, P(L) , ,14 % e) Halle la probabilidad de que ese alumno tenga o un computador portátil o una tableta pero no los dos dispositivos. (0,5 puntos) Sea L Tener un ordenador portátil y T Tener tableta. En ese caso, podemos optar por varias maneras de hacer. Mostramos dos modos, P(Tener un solo aparato) P(L T) P(L T) , 6 66, 6 % o bien, P(Tener un solo aparato) P(L T c ) + P(T TL c ) , 6 66, 6 % f) Halle la probabilidad de que no tenga tableta sabiendo que NO tiene computador portátil. Se trata de una probabilidad condicionada, P(T c L c ) P(Tc L c ) P(L c ) 3/1 9/ , 3 33, 3 %

6 Se escogen al azar a dos alumnos de esa clase. Sea L el suceso el alumno tiene un computador portátil. g) Copie y complete correctamente el siguiente diagrama de árbol. (0,5 puntos) h) Calcule la probabilidad de que al menos uno de los alumnos tenga ordenador portátil. P(Al menos uno tenga portátil) 1 P(No tengan portátil) ,8857 8,86 % 35 i) Calcule la probabilidad de que el primer alumno tenga un ordenador portátil si se sabe que el segundo no tiene ordenador portátil. Se trata de una probabilidad condicionada, P(1º tiene portátil º no tiene portátil) P(1º tenga portátil º no tiene portáatil) P(º no tiene portátil) ,6 60 % 0

7 3. Una máquina fabrica una gran cantidad de clavos. La longitud, L en mm, de los clavos sigue una distribución normal donde L N(50, ). a) Halle P(50 < L < 50 + ) b) La probabilidad de que la longitud de un clavo sea menor que 53,9 mm es igual a 0,975. Calcule con una aproximación de tres cifras significativas. Consideremos la desviación calculada en el apartado b). A todos los clavos que tienen una longitud de al menos t mm se les considera clavos grandes. c) Se escoge un clavo al azar. La probabilidad de que sea un clavo grande es igual a 0,75. Halle el valor de t. d) Se escoge al azar un clavo del montón de clavos grandes. Halle la probabilidad de que la longitud de este clavo sea menor que 50,1 mm. e) Se escogen al azar diez clavos del montón de clavos grandes. Halle la probabilidad de que al menos dos de esos clavos tengan una longitud menor que 50,1 mm. Solución. a) Halle P(50 < L < 50 + ) L 50 P(50 < L < 50 + ) P ( < < ) P( 1 < Z < ) P(Z < ) P(Z < 1) P(Z < ) (1 P(Z < 1)) 0,9775 (1 0,841345) 0,9775 0, , b) La probabilidad de que la longitud de un clavo sea menor que 53,9 mm es igual a 0,975. Calcule con una aproximación de tres cifras significativas. Si P(L < 53,9) 0,975 entonces, En ese caso, L 50 P ( < 53,9 50 ) 0,975 P (Z < 3,9 ) 0,975 1,96 3,9 3,9 1,96

8 Consideremos la desviación calculada en el apartado b). A todos los clavos que tienen una longitud de al menos t mm se les considera clavos grandes. c) Se escoge un clavo al azar. La probabilidad de que sea un clavo grande es igual a 0,75. Halle el valor de t. Si P(L > t) 0,75 entonces, En ese caso, L 50 P(L > t) P ( > P (Z < t 50 t 50 t 50 ) 0,75 P (Z > ) 0,75 t 50 t 50 ) 1 0,75 0,5 P (Z < ) 0,5 0,675 t 50 0, ,35 48,65 d) Se escoge al azar un clavo del montón de clavos grandes. Halle la probabilidad de que la longitud de este clavo sea menor que 50,1 mm. Se trata de una probabilidad condicionada. 50 L 50 50,1 50 P(48,65 < L < 50,1) P (48,65 < < ) P(L < 50,1 L > 48,65) P(L > 48,65) L 50 48,65 50 P ( > ) P( 0,68 < Z < 0,05) P(Z > 0,68) P(Z < 0,05) P(Z < 0,68) P(Z < 0,68) P(Z < 0,05) (1 P(Z < 0,68)) P(Z < 0,68) 0, (1 0,751748) 0, , ,485 0, , e) Se escogen al azar diez clavos del montón de clavos grandes. Halle la probabilidad de que al menos dos de esos clavos tengan una longitud menor que 50,1 mm. Sea la variable aleatoria X Se elige un clavo del montón de clavos grandes. La probabilidad de éxito es la recogida en el apartado d), es decir, p 0, En ese caso, si se trata de contar el número de clavos menores que 50,1 mm, estamos ante la distribución binomial X B(10, ). La probabilidad y la probabilidad pedida es, P(X ) 1 P(X < ) 1 P(X 0) P(X 1) 1 ( 10 0 ) 0, (1 0,361407) 10 0 ( 10 1 ) 0, (1 0,361407) , , , ,78377

9 1 4. Sea A ( 3 0 ), B ( 1 1 q p 1 ), C ( ), de modo que A B C 6 3 a) Halle el valor de p y de q. b) Resuelva la ecuación matricial A X + C I donde I es la matriz identidad de orden. (0,5 + 0,5 puntos) Solución a) Halle el valor de p y de q. Operamos A B, A B ( ) ( 1 1 q ) ( q ) ( q ) 6 3 Como A B C, tendremos que, En ese caso, ( q 6 3 p 1 ) ( 6 3 ) p 4, 1 + q 1 p 4, q 1 c) Resuelva la ecuación matricial A X + C I donde I es la matriz identidad de orden. (0,5 + 0,5 puntos) Despejamos X, A X + C I A X I C (A B) X I C A 1 A X A 1 (I C) I X A 1 (I C) X A 1 (I C) Calculamos I C, I C ( ) ( ) ( ) Calculamos la matriz inversa de A mediante el método de Gauss, Por tanto, ( ) F F 3 F 1 F 1 F 1 /3 F F /( 6) ( F1 3F1+F 3 1 ) ( ) ( /3 1/ 1/6 ) A 1 ( 0 1/3 1/ 1/6 )

10 Calculamos X, X A 1 (I C) ( 0 1/3 1/ 1/6 ) ( ) ( /3 1/ 5/6 ) 5. El tiempo, en meses, que una persona es socia de un club deportivo, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida μ y desviación típica 9. a) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 personas que han sido socias de ese club y se obtuvo una estancia media de 8 1 meses. Determínese un intervalo de confianza al 90 % para μ. b) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza para μ al 99 % tenga una amplitud a lo sumo de dos meses? c) Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de 144 personas se ha obtenido un intervalo de confianza (7 766; 10 34) para μ, determínese el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo. Solución a) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 personas que han sido socias de ese club y se obtuvo una estancia media de 8 1 meses. Determínese un intervalo de confianza al 90 % para μ. La media muestral se distribuye según, X N (μ, n ) N (8,1, ) N(8 1,0 9) Al tener una confianza del 90 % tendremos que z α En tal caso, el intervalo de confianza pedido será, (X z α n, X + z α ) ( , ) n (6 6195, ) b) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza para μ al 99 % tenga una amplitud a lo sumo de dos meses? El tamaño mínimo viene dado por n ( z α ) ( 58 9 ) ε 1 539,1684 Por lo tanto, el tamaño mínimo será de 540 personas.

11 c) Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de 144 personas se ha obtenido un intervalo de confianza (7 766; 10 34) para μ, determínese el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo. Debemos calcular primero la media muestral del intervalo (a,b) en el caso concreto del apartado. La media muestral es el centro del intervalo (a, b) y se puede encontrar mediante, por lo que, en nuestro caso, X a + b X Tomando ahora el extremo inferior del intervalo, X z α n a 9 z α a + b z α z α z α 3 4 1, z α 1,645 z α Buscando en la tabla de la normal N(0,1) obtenemos que el nivel de confianza es, es decir, el nivel de confianza es del 90 %. 0,95 0,05 0, 9