R S se denomina condicional de R y S.

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Gonzalo Olivares Sosa
hace 5 años
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1 1.2 LA IMPLICACIÓN LÓGICA Dada la función vital que tiene la implicación en la construcción de las argumentaciones lógicas y en consecuencia en la estructuración del proceso demostrativo, es necesario adelantar su estudio; y por ello se consideran los siguientes elementos: Definición. El condicional. Si R y S son proposiciones, entonces la proposición R S se denomina condicional de R y S. La figura lógica del condicional responde a la conexión de dos proposiciones mediante el esquema Si.., entonces,.. La proposición R S puede leerse de cualquiera de las siguientes formas: Si R, entonces S. R es suficiente para S. S es necesario para R. R sólo si S. S siempre que R. En este condicional, la proposición R se denomina antecedente y la preposición S se denomina consecuente Definición. La implicación lógica. Cuando el condicional es lógicamente verdadero, se dice que existe la implicación lógica y, en este caso, se lee la expresión como: R implica S. La cual se denota R S.

2 Es importante anotar, en este caso, el significado intuitivo que adquieren el antecedente y el consecuente en las diferentes lecturas del condicional, así: R es suficiente para S. Se entiende como basta que se dé R para que ocurra S. Se puede concebir la implicación en estos términos como un compromiso en el sentido de que si se da el antecedente, entonces tiene que darse el consecuente. Ahora, si no se da el antecedente, no hay compromiso y, por tanto, el consecuente puede darse o no. Bien podría hablarse de un consecuente multicausado, en el sentido que causas diferentes pueden conducir a la misma consecuencia. S es necesario para R. Se entiende como: Si no se da S, entonces, no se da R. Ésta acepción es en la práctica muy importante para comprender como se verá posteriormente la equivalencia entre una implicación y su contrarrecíproca. Además, puede utilizarse como un excelente criterio para determinar, en situaciones concretas, si un condicional es o no verdadero, cuando la lectura directa Si R, entonces S no es clara para el lector, si lo puede ser Si no S, entonces, no R. Nota: Aunque el término implicación se utiliza estrictamente para designar un condicional lógicamente verdadero, es usual en el lenguaje corriente llamar implicaciones a todas las proposiciones de la forma si., entonces,., y en este sentido amplio la utilizaremos Definición. El bicondicional. Si R y S son proposiciones, entonces, la proposición denomina bicondicional de R y S. R S y R La proposición R S puede leerse de cualquiera de las siguientes formas: R si y solo si S. S se nota R S y se 2 Las convenciones usuales utilizadas para diferenciar en la escritura el condicional de la implicación lógica,, no se emplearan en adelante, pero el contexto permite precisarlas. Lo mismo ocurre con el bicondicional y la equivalencia lógica. N del A.,

3 R es suficiente y necesario para S. Y recíprocamente de S respecto a R Definición. Equivalencia lógica. Cuando el bicondicional es lógicamente verdadero, se dice que hay equivalencia. En este caso se lee: R equivale a S. Y se denota: R S Definición. Implicaciones asociadas. Dada una implicación R S se identifican las siguientes implicaciones asociadas: nor nos que se llama implicación contraria. S R que se llama implicación recíproca. nos nor que se llama implicación contrarrecíproca (contraria de la recíproca). Se puede establecer el siguiente cuadro de relaciones entre las implicaciones asociadas. Recíprocas Contrarrecíprocas Contrarias Contrarias Recíprocas Ilustración Nº1 Figura 1

4 Dada la proposición: Si un triángulo es rectángulo, entonces tiene dos ángulos agudos. Tomado esta implicación, que es verdadera, determinemos las implicaciones asociadas y sus respectivos valores de verdad. Implicación contraria: Si un triángulo no es rectángulo, entonces, no tiene dos ángulos agudos. Esta proposición es falsa, porque podemos mostrar al menos un caso (contraejemplo) 3 en el cual el antecedente es verdadero, pero el consecuente es falso, como lo indica la figura siguiente. Figura 2 Implicación recíproca: Si un triángulo tiene dos ángulos agudos, entonces, es un triángulo rectángulo. Esta proposición es falsa, y podemos utilizar el contraejemplo anterior. Implicación contrarrecíproca: Si un triángulo no tiene dos ángulos agudos, entonces, el triángulo no es rectángulo. Esta proposición es verdadera. Por qué? Ilustración Nº2 Dada la proposición: Si un cuadrilátero convexo tiene sus cuatro ángulos congruentes, entonces, el cuadrilátero tiene sus cuatro lados congruentes. 3 Consultar en la sección

5 Determinemos, el valor de verdad de esta implicación y el de las implicaciones asociadas. La implicación anterior es falsa, puesto que en la figura siguiente podemos indicar un contraejemplo. Figura 3 Implicación contraria. Si un cuadrilátero convexo, no tiene sus cuatro ángulos congruentes, entonces, el cuadrilátero no tiene sus cuatro lados congruentes. Esta proposición es falsa porque podemos mostrar al menos un caso (contraejemplo) en el cual el antecedente es verdadero, pero el consecuente es falso, como lo indica la figura siguiente. Â Ĉ, Bˆ Dˆ pero Â Bˆ Figura 4 Implicación recíproca. Si un cuadrilátero convexo tiene sus cuatro lados congruentes, entonces, el cuadrilátero tiene sus cuatro ángulos congruentes. Esta proposición es falsa, la figura inmediatamente anterior es un contraejemplo.

6 Implicación contrarrecíproca. Si un cuadrilátero convexo no tiene sus cuatro lados congruentes, entonces, el cuadrilátero no tiene sus cuatro ángulos congruentes. Esta proposición es falsa, y la primera figura nos muestra un contraejemplo. Como veremos posteriormente, toda implicación y su contrarrecíproca tienen el mismo valor de verdad pues son proposiciones equivalentes Equivalencias lógicas fundamentales, en el cálculo proposicional, cuantificacional y la teoría de conjuntos 1. P Q : P Q. 2. P Q : P Q P 3. a. P P, b. P P 4. P Q Q P, c. P P P, d. P P P Ley del contrarrecíproco. 5. P Q P 6. a. P Q P, b. P Q P c. P Q P 7. a. P Q P R, b. P Q P R 8. a. P Q R, b. P Q R 9. x Px x Px 10. x Px x Px 11. xp Q x P x Q 12. xp Q x P x Las siguientes equivalencias se cumplen siendo A y B conjuntos. 13. A B : x x 14. A B : x x 15. A B x x 16. x A B x x A B x 17. x A B x x A B x 18. x A B x x A B x

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