Veamos cuáles son las interpretaciones geométricas para los distintos valores de n, que definirán la dimensión de los espacios vectoriales.

Transcripción

1 Pof. Adea Campillo Aálisis Matemático II Topología elemetal Recodemos cómo se defie u etoo de ceto R adio E = { R / < } Sabemos que ( R : < < < < < Esfea abieta e R Si geealizamos el cocepto de etoo e R, podemos defii ua esfea abieta co ceto e R adio R : e este caso, e luga del módulo debeá apaece la oma, a que tabajamos co vectoes e R. La defiició seá: E( = { R / < Veamos cuáles so las itepetacioes geométicas paa los distitos valoes de, que defiiá la dimesió de los espacios vectoiales. i Paa = 1 esulta R, po lo tato: < ( < < Volvemos a la defiició de etoo de e R como u caso paticula. ii Paa = esulta La iecuació = (, R, po lo tato: ( < < ( < ( ( ( < ( epeseta geométicamete los putos del (, adio, si la plao coespodietes a u cículo co ceto e cicufeecia fotea. } 1

2 Pof. Adea Campillo Aálisis Matemático II iii Paa = 3 esulta 3 = (,, z R, po lo tato: ( < La iecuació < ( ( z z < ( ( ( z z ( < ( ( z z epeseta geométicamete los (,, z adio, putos del espacio coespodietes a ua esfea co ceto e si el casquete esféico fotea. z z iv Paa 4 o ha itepetació geomética. Etoo de ceto R U etoo de R es u cojuto de putos de co ceto e R que iclue ua esfea abieta U ( es u etoo de E( / E( U ( Po ejemplo si cosideamos u puto del plao R : No es u etoo de Es u etoo de

3 Pof. Adea Campillo Aálisis Matemático II E geeal se asimila el etoo co la esfea abieta coteida e él. Etoo educido de ceto R Recodemos que e Aálisis Matemático I llamamos etoo educido de R al cojuto de putos del etoo de ecluido el ceto, es deci, ecluedo el puto. Geealizado esta defiició teemos que: U ( = U ( { } Geealizaemos ahoa ua seie de defiicioes topológicas que a fueo estudiadas e Aálisis Matemático I paa cojutos de úmeos eales. Puto iteio Sea A R sea A. Se dice que es puto iteio de A si se cumple que: U ( / U ( A Como mecioamos ateiomete, e geeal se asimila el etoo de u puto co la esfea abieta co ceto e dicho puto que debe esta icluida e el etoo. Po lo tato, la defiició de puto iteio puede escibise como: E( (co > E( A Puto eteio Sea A R sea / R. Se dice que es puto eteio de A si se cumple que: U / U ( A = φ ( Utilizado el cocepto de esfea abieta: E( (co > E ( A = φ Puto fotea Sea A R sea / R. Se dice que es puto fotea de A si: U ( A φ U ( se cumple que U ( ( R A φ Utilizado el cocepto de esfea abieta: E( A φ R se cumple que E( ( R A φ Tegamos e cueta que el puto fotea puede o o peteece al cojuto e cuestió. Puto aislado Sea A R sea A. Se dice que es puto aislado de A si se cumple que: U ( / U ( A = φ Utilizado el cocepto de esfea abieta: E (co > E ( A = φ ( / 3

4 Pof. Adea Campillo Aálisis Matemático II Los putos aislados de u cojuto so putos fotea de dicho cojuto a que cumple co la defiició. Puto de acumulació Sea A R sea R. Se dice que es puto de acumulació de A si: U ( se cumple que U ( A φ Utilizado el cocepto de esfea abieta: R se cumple que E ( A φ El puto de acumulació puede o o peteece al cojuto e cuestió. Cojuto deivado Sea A R, el cojuto deivado de A es el cojuto de todos sus putos de acumulació. A = { R / es puto de acumulació de A } Cojuto abieto Sea A R, se dice que A es abieto si todos sus putos so iteioes. Cojuto ceado Sea A R, se dice que A es ceado si le peteece todos sus putos de acumulació, es deci que A A. Cojuto acotado Paa u cojuto A R se dice que está acotado si A se cumple que m < < M (siedo m R M R. Al úmeo m se lo deomia cota ifeio a M cota supeio. Esta defiició puede geealizase diciedo que A R está acotado si A se cumple que < k, siedo k R Esta defiició es la que queemos geealiza paa cojutos -dimesioales. Veamos: < k < k. Esta última desigualdad coespode a la iecuació que defie u etoo co ceto e adio k. Po lo tato, el cojuto A estaá acotado si eiste u etoo co ceto e el oige que cotega al cojuto A. Simbólicamete: A está acotado si E(, k (siedo k > tal que A E(, k Geealizamos esta defiició: Sea A R, se dice que A es acotado si E(, k (siedo k > tal que A E(, k Po lo tato el cojuto A estaá acotado si eiste ua bola abieta co ceto e el oige que lo cotega. Cojuto compacto Sea A R, se dice que A es compacto si es ceado acotado. 4

5 Pof. Adea Campillo Aálisis Matemático II Cojuto coveo Sea A R, se dice que A es coveo si paa todo pa de putos peteecietes al cojuto, el segmeto detemiado po dichos putos está totalmete coteido e el cojuto. Coveo No coveo Cojuto coeo De maea ituitiva, podemos deci que la popiedad de coeidad de u cojuto os dice si el cojuto está costituido po ua o vaias piezas. Po ejemplo e R, el cojuto A = [1, ] es coeo, e tato el cojuto B = [-1,] [, 3] o es coeo La defiició topológica de cojuto coeo e R es u poco compleja: Se dice que u cojuto A R es coeo si la úica maea de escibi a A como la uió disjuta de dos subcojutos abietos de A es la tivial, es deci: A = A φ. Paa acecaos más al cocepto geomético de cojuto coeo como cojuto costituido po ua sola pieza, vamos a efectua ua defiició paa R que esulta más accesible. Se dice que el cojuto A R es u cojuto coeo si todo pa de putos peteecietes al cojuto puede uise mediate ua poligoal totalmete coteida e el cojuto. Cojuto A Cojuto B Coeo No coeo 5

6 Pof. Adea Campillo Aálisis Matemático II El cojuto A es coeo, a que cualquie pa de putos peteecietes al cojuto que cosideemos, puede uise mediate ua poligoal cuos putos esté totalmete icluidos e A. Obsevemos que A es coeo peo o coveo. El cojuto B o es coeo, a que paa cietos paes de putos del cojuto es imposible costui ua poligoal que los ua que esté totalmete icluida e B. Cojuto simplemete coeo. Paa defii cojutos simplemete coeos tambié os efeiemos a subcojutos de R, dode la defiició es más accesible. Ituitivamete, u cojuto coeo seá simplemete coeo si o tiee agujeos. Se dice que el cojuto A R es simplemete coeo (siedo A coeo, si toda poligoal cuos putos peteece a A detemia u polígoo cuos putos está totalmete icluidos e el cojuto. Cojuto A Cojuto B Tato el cojuto A como el cojuto B co coeos, si embago, el cojuto B o es simplemete coeo, a que ua de las poligoales ceadas cuos putos peteece al cojuto detemia u polígoo que o está coteido e B. 6