CAPÍTULO 5 DISTRIBUCIONES TEÓRICAS

Transcripción

1 CAPÍTULO 5 DISTRIBUCIONES TEÓRICAS Hugo Grisales Romero Profesor titular

2 CONCEPTOS BÁSICOS Experimento: Variable aleatoria: Clasificación: Proceso por medio del cual una medición se obtiene. Aquella que toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Discretas y Continuas Discreta: Toma un número limitado de valores enteros. Continua: Toma cualquier valor o resultado dentro de un intervalo. Distribución de Probabilidad: Posibles resultados de un experimento y sus posibilidades de ocurrencia. La distribución de frecuencias que se observa para una variable aleatoria es la base para construir una distribución de probabilidad. Su cálculo exige dividir la frecuencia absoluta de cada resultado entre el total de resultados (frecuencia relativa).

3 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Un suceso que solo puede presentar dos resultados independientes EXITO Probabilidad de Éxito=P FRACASO Probabilidad de Fracaso=q=1-p V.A.X= Número de éxitos en n repeticiones independientes del suceso Posibles valores de la V.A.X:0,1,2,...,n Parámetros: n,p Función de distribución f ( x ) = P ( X = x ) n x = x! Media Varianza Simbolismo n! ( n x )! μ = σ X 2 = n p x E = ( X ) = np V ( X ) = ( x; n, p ) B x q n x npq x = 0,1, 2,..., n

4 Ejemplo 1: La llegada tarde a un consultorio odontológico particular de los empleados, en total 5, se ha determinado que tiene una probabilidad de cuál es la probabilidad de que lleguen tarde: a) Todos b) Ninguno c) Como máximo 3 d) A lo menos e) Entre 2 y 4 Ejemplo 2.- Un examen de admisión a una IPS como auxiliar de odontología está compuesto de 15 preguntas, con 5 posibles respuestas cada una, de las cuales sólo una es correcta. Uno de los aspirantes que realiza el examen contesta las preguntas al azar, cuál es la probabilidad de que conteste correctamente: a) 7 preguntas? b) Al menos 10? c) A lo más 5 preguntas? d) Entre 7 y 10?

5 V.A.X N de sucesos o eventos en una unidad de medida, intervalo de tiempo, espacio o volumen Parámetro: λ N promedio de sucesos por unidad de medida. Posibles valores de la V.A.X: 0,1,2,...,. Proporciona un modelo para eventos raros. Función de distribución DISTRIBUCIÓN DE POISSON f ( x) = P( X = x) Media μ = Varianza σ Simbolismo X 2 = = E p l λ λ x! x ( X ) = V ( X ) ( x; λ ) λ = λ x = 0,1,2,...

6 Supuestos: Existe un promedio λ constante, que representa el valor promedio de y. Los eventos ocurren en el espacio, tiempo volumen o cualquier otra unidad. Los eventos son independientes. Caso I Uso directo de la distribución Poisson. Ejemplo 3- Se sabe que en un consultorio odontológico asisten en promedio diariamente 8 pacientes con enfermedad periodontal. Suponiendo que el número de pacientes que asiste diariamente sigue una distribución de Poisson, encuentre la probabilidad de que en un día determinado, hayan ido al consultorio: a) Exactamente 6 pacientes b) Como máximo 6 c) Cómo mínimo 5 d) Menos de 5 e) Entre 3 y 7 inclusive f) Entre 3 y 7 exclusive

7 Caso II. Distribución de Poisson como aproximación de la Binomial. El modelo Poisson aproxima al modelo binomial si n 20 y p Si n 100 y np 10: la aproximación es excelente. λ = np: Promedio de ocurrencias por unidad de tiempo, volumen o espacio, Ejemplo 4Se sabe que al 5% de los pacientes que asisten a un consultorio odontológico se les hace un procedimiento equivocado. Calcular la probabilidad de que haya un procedimiento equivocado en 2 de 100 pacientes atendidos. n=100 E: Que haya un procedimiento equivocado, F: Que no haya procedimiento equivocado p =.05, q =.95 Independientes. Y ~ el número de pacientes a quienes se les hizo un procedimiento equivocado, Y = 0,1,2,3,,100. n = 100 y p = 0.05, se aproxima a la Poisson. Así, λ = np = 100*.05 = 5 Promedio del número de procedimientos equivocados.

8 P ( Y = 2 ) = 5 2 e 2! 5 = 25 ( ! ) 5 = Ejemplo 5: Una compañía de seguros contra incendios tiene 3840 asegurados. Si la probabilidad de que alguno de ellos presente una reclamación en un año cualquiera es 1/1200, calcular la probabilidad de que a lo más 3 de los asegurados presenten una reclamación en un año cualquiera. n = 3840 > 100 E: que presenten reclamación, F: que no presenten reclamación p = 1/1200 = <.05, q = Son independientes las reclamaciones Los valores que puede tomar Y = 0, 1, 2,,3840 λ=np=3840(1/1200)= 3.2 :Promedio de reclamaciones en un año cualquiera. P(Y 3) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3)=

9 Abraham de Moivre, DISTRIBUCIÓN NORMAL Es la distribución continua más importante de probabilidad. Características: f( x) = 1 e 2πσ 2 2 ( x μ ) /2σ Hay familias de distribuciones normales. El punto más alto es la media. La distribución de probabilidad normal es simétrica (Asimetría =0). Es asintótica Las desviaciones estándares determinan el ancho de la curva. Coeficiente de apuntamiento=3

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11 La Distribución Normal Estándar (N(0,1) En esta distribución, la esperanza, μ = 0 y su desviación típica σ = 1. Función de densidad se reduce a : f(x) = 1 2π x 2 e 2 < x <.

12 Funciones de densidad de probabilidad normales para diferentes valores de μ y σ 2.

13 Ejemplo 6: En un programa de entrenamiento de auxiliares de odontología cuya cantidad de horas depende que ellas adquieran las destrezas necesarias, la duración promedio es de 500 horas, con una desviación estándar de 100 hrs. a) Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa? Rpta: 0.5 b) Cuál es la probabilidad de que una candidata elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas para completar el programa? (Rpta: ) Ejemplo 7: La jefatura de una gran entidad estatal de salud ocupacional tiene como meta reducir los tiempos de respuesta a quejas de sus trabajadores afiliados que asisten a sus sucursales. Un grupo de expertos intenta identificar a las sucursales cuyos tiempos de respuesta estén 10% más bajos, o quienes toman más del 90%. Las primeras serán las más eficientes. Los datos muestran que los tiempos promedio de respuesta para una sucursal es de 12.8 minutos, con una desviación estándar de 3.7 minutos. Cuál es la probabilidad que el tiempo promedio de respuesta sea como máximo 5 minutos? z = x μ σ z = Z = = P (X<5)=P(Z<-2.1)=0,0179

14 Ejemplo 8: Los diámetros de los tornillos fabricados por una compañía están distribuidos normalmente con media 0,25 pulgadas y desviación estándar 0,02 pulgadas. Se considera defectuoso un tornillo si su diámetro es menor o igual que 0,20 pulgadas o mayor que 0,28 pulgadas. a) Hallar el porcentaje de tornillos defectuosos por la compañía. b) Si se escoge un tornillo al azar, cual seria la probabilidad de que tenga un diámetro entre 0,24 y 0,26 pulgadas. c) Si se escoge un tornillo al azar, cual seria la probabilidad de que tuviese mas de 0,24 pulgadas. - Sea X: Diámetro de un tornillo en pulgadas: X es N(0.25, ) a) Un tornillo es defectuoso si X>0.28 ó X<0.20. Se pide: P(X<0.20)+P(X>0.28) P(X < 0.20) + P(X > 0.28) = P(Z < 0, = 0,073 b) P(0.24<X<0.26)= ) + P(Z ,25 > ) = P(Z < 2,5) + P(Z > 1,5) = 0.02 X X 0.25 P(X < 0.26) P(X < 0.24) = P( < ) P( < P(Z < 0.5) P(Z < 0.5) = = ) = 0.02 c) P(X>0.24)=1-P(X<0.24)=1-P(Z<( )/0.02)=1-P(Z<-0.5)=

15 Distribución del tipo continuo. DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA De amplio uso en Inferencia Estadística. Propiedades de la distribución Asume valores mayores o iguales a cero. Es asimétrica. Tienen colas estrechas sesgadas a la derecha. Cuando n>2, la media es n-1 y la varianza es 2(n-1). El valor modal de una distribución se da en el valor (n-3).

16 Función de densidad de la distribución Valor crítico de una distribución Ji-cuadrada a un nivel del 0,05 y 6 grados de libertad.

17 DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT Distribución del tipo continuo. Fue definida por W.S. Gosset a principios del siglo XX. Uso para n s <= 30 y la desviación estándar de la población no se conoce. Propiedades de la distribución t Es una curva simétrica. Es más plana que la normal pero con colas más anchas. Su media es menor que la de una distribución normal.

18 Parámetro de la distribución t: Grados de libertad Número de valores que se pueden elegir libremente en una muestra. Ejemplo 15: Supóngase una muestra de dos datos cuyo promedio es 18. Es decir: (a+b)/2 = 18. Si a toma un valor de 10, entonces b ya no es libre de tomar cualquier valor, ya que sólo le queda 26. ES decir, se tiene n-1 g.l

19 Tabla de la distribución t de Student Muestra áreas y valores de t sólo para algunos porcentajes. Algunos textos muestran niveles de significación u otros confianzas. Se debe especificar los grados de libertad que se manejan. Ejemplo 16: Si n=10, y α =5%, hallar t(α, n) para una y dos colas.. Ejemplo 17: Si n= 20, y α =10%, hallar t (α, n) para una y dos colas.

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21 Distribución del tipo continuo. DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR De amplio uso en Diseño de Experimentos y Control de calidad. Propiedades de la distribución F Nunca adopta valores menores de 0. Es asimétrica positiva. Depende de dos parámetros, grados de libertad del numerador y del denominador. Representación típica de la función de densidad de una F para varios grados de libertad

22 Cuándo usar esta distribución? Es la distribución de la razón de dos varianzas en dos poblaciones. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de una razón específica con v 1 =n 1-1 y v 2 =n 2-1 g.l en muestras de tamaño n 1 yn 2. Permite hacer cálculos sobre varianzas y atribuir cambios importantes en el comportamiento de las poblaciones en estudio. Función densidad f(x) = Γ v1 + Γ v2 2 v1 2 * Γ v2 2 * * v1 v2 v1 v2 v1 2 * x v1 1 * x 2 v1+ v x > 0

23 Forma de la curva de esta distribución según v 1 y v 2 Cómo usar las tablas? Extraer muestras de dos poblaciones y estimar las desviaciones estándar. Determinar los grados de libertad (v 1 y v 2 ) tal que v 1 =n 1-1 y v 2 =n 2-1. Calcular el valor de F=s 12 / s 22. Si se conocen las varianzas entonces F=(s 1 2 *σ 22 ) / (s 2 2 * σ 12 ). Localizar la probabilidad asociada a los valores de F, v 1 y v 2. Puede interpolar.

24 Ejemplo 18: Si F es igual 3.28 con v 1 =12 y v 2 =8 grados de libertad, el valor de la probabilidad menor que el es 0.95, pues se localiza en la segunda columna a la izquierda tal y como se muestra a continuación.

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26 Algunas distribuciones de probabilidad discretas y continuas