Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012
|
|
- Encarnación Caballero Rojas
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Grupo: Matrícula: Nombre: Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 22. (pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si la matriz A es invertible, entonces A T x = tiene infinitas soluciones. R: Si A es invertible, entonces también lo es A T. Por tanto, A T x = tiene solución única; es falso que tenga infinitas soluciones. b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas soluciones, entonces A A T no es invertible. R: Si A x = b tiene infinitas soluciones, entonces A no es invertible. Tampoco lo es la matriz A B cualquiera que sea la matriz cuadrada B (Si C es la inversa de A B, entonces B C es la inversa de A); en particular, tampoco lo será A A T. Es cierto que es no invertible. c) Si el sistema A x = tiene solución única, entonces A T es invertible. R: Si A x = tiene solución única, entonces A es invertible. Así, es cierto que A T es invertible. d) Si la matriz A T no es invertible, entonces A T A x = tiene infinitas soluciones. R: Si A T no es invertible, entonces tampoco lo es A T A. Es cierto que A T A x = tendrá infinitas soluciones. e) Si la matriz A cumple que A A A = I entonces el sistema A x = tiene infinitas soluciones. R: A A A = I indica que A es invertible y que su inversa es A A. Por tanto, A x = tendrá solución única: es falso que tenga infinitas soluciones. ) No se sabe 2. (5pts) Una Básica (SB) de un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas que tiene infinitas soluciones, es una solución que se obtiene haciendo cero exactamente n m incógnitas y que da origen a un sistema con solución única. De hecho, se desaparece(n) la(s) columna(s) correspondiente(s) a la(s) incógnita(s) y se resuelve el sistema correspondiente para determinar la SB. Por otro lado, una SB se llama solución básica factible (SBF) si ningún valor de sus incógnitas es negativo. Marque en sus hojas de procedimiento las SBF e indique en orden el número de SBs y número de SBFs para el siguiente sistema de ecuaciones x = 2 7 Sugerencia: Si planea usar calculadora, note que en lugar de trabajar con la matriz de coeficientes le conviene trabajar con las columnas de matriz y combinar esto con el comando augment. Note también que en este ejemplo debe intentar alternativas; de 5 posibles variables quedarse con 3: C 5,3 = ( 5 3 ) = 5! 3! (5 3)! =. Nota: Ubicándonos en la interpretación de la solución de un SEL como la búsqueda de una combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes que da el vector de constantes, la definición formal de solución básica (SB) para un SEL con infinitas soluciones A x = b, A M m n y b R m es aquella donde la combinación lineal buscada no es con todas las columnas de A, si no que se reduce a una selección determinada de columnas que corresponde a una base para R m. Observe que esto garantiza que con la selección de las columnas de A, el sistema efectivamente tiene solución única. La búsqueda de la combinación lineal sobre esta selección de columnas equivale justo a hacer cero los coeficientes de las columnas que no participan en la combinación lineal buscada, es decir, a hacer cero las incógnitas del SEL que no corresponden a las columnas seleccionadas. Estas incógnitas se llaman variables no básicas mientras que las que corresponden a las columnas que forman la base se llaman variables básicas. Note que la prueba de que la selección de columnas corresponde a una base puede hacerse calculando o la inversa o el determinante de la matriz cuyas columnas corresponden a la selección. Sean a, a 2, a 3, a y a 5 las 5 columnas de la matriz de coeficientes A. Sean x, x 2, x 3, x y x 5 las incógnitas del
2 MA, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 22 2 SEL y sea b el vector de constantes del SEL. Con esta notación: B = {a, a 2, a 3 } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a a 2 a 3 b es: x = 2, x 2 =, x 3 =, x =, x 5 = Note que se ha encontrado que 2 a + a 2 + a 3 + a + a 5 = b B 2 = {a, a 2, a } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a a 2 a b es: x = 2, x 2 =, x = /5, x 3 =, x 5 = B 3 = {a, a 2, a 5 } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a a 2 a 5 b es: x =, x 2 =, x 5 = /5, x 3 =, x = esta es una SB y como tiene valores negativos esta no es una SBF. B = {a, a 3, a } no corresponde a una base. Esta B 5 = {a, a 3, a 5 } no corresponde a una base. Esta B 6 = {a, a, a 5 } no corresponde a una base. Esta B 7 = {a 2, a 3, a } no corresponde a una base. Esta B 8 = {a 2, a 3, a 5 } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a 2 a 3 a 5 b es: x 2 =, x 3 = /3, x 5 = /3, x =, x = B 9 = {a 2, a, a 5 } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a 2 a a 5 b es: x 2 =, x = /5, x 5 = /3, x =, x 3 = B = {a 3, a, a 5 } no corresponde a una base. Esta Resumiendo, el SEL tiene un total de 5 SB de las cuales son SBF. 3. (5pts) Suponiendo que A, B sean matrices n n invertibles y que I sea la matriz identidad. Determine la inversa de cada una de las siguientes matrices: a) b) c) A I I A I A I I I I B I A I I B R: R: R: A I I A A A A A I B B I A A B I I B Las soluciones son obtenidas formando la aumentada con la matriz identidad: I I y reduciendo; Siempre haciendo operaciones elementales de renlgón cuidando que las multiplicaciones sean siempre por la izquierda.. (5pts) Para qué valores del escalar a no tiene dimensión 3 el espacio generado por las matrices: A = A = A 2 = A 3 = a + a 2 2 a 32 2 a Indique su respuesta en las posibles: ) Hay al menos dos valores de a. 2) No existe valor de a. 3) Sólo para el valor a= Al formar una matriz con la vectorización de las matrices dadas y escalonar obtenemos: B = a + a 2 5/2 a /2 a 2 a + a 2 + 3
3 MA, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 22 3 Para no tener dimensión 3, no se debe tener pivote en la cuarta columna: b 3, = a = ó a = 5 b, = a = 6 ó a = 5 por tanto, a = 5 es el único valor para el cual ambos elementos son cero y lo que nos dará 2 para la dimensión del espacio generado por las matrices. Note que al tener pivotes en la primera y segunda columna, la dimensión de espacio generado es por lo menos dos. El valor de a se escoge para que la dimensión sea (pts) Búsque la respuesta a cada pregunta: a) Sea A una matriz m n. Suponga que A x = b tiene infinitas soluciones para un vector b. A es de rango columna completo? R: Si A x = b tiene infinitas soluciones, entonces las columnas de A son linealmente independiente. Por tanto, el conjunto de las n columnas de A son un conjunto generador que no es base para C(A). Por tanto, dim(c(a)) < n. Por tanto, rank(a) < n, y así es falso que es de rango columna completo. b) Suponga que el sistema A x = b con A m n, es inconsistente para un vector b particular. El rango de A es menor que m? R: Si el sistema A x = b con A m n es inconsistente, entonces las columnas de A no generan R m y por tanto dim(c(a)) < m. Por tanto, es cierto que el rango de A es menor que m. c) Sean A y B matrices m n y b un vector en R m. Suponga que B x = b es consistente, que C(A) C(B) y que rank(a) = rank(b). El sistema A x = b es consistente? R: Si C(A) C(B) y rank(a) = rank(b), entonces C(A) = C(B). Si B x = b es consistente, entones b C(B), y por tanto b C(A). Por tanto, es cierto que A x = b consistente. d) Sea A una matriz cuadrada. Suponga que es de rango columna completo. Para cualquier vector b el sistema A x = b tiene solución única? R: Si A una matriz cuadrada n n de rango columna completo, entonces su rango es n. Por tanto, su rango renglón es n. Por tanto, cualquier sistema A x = b tiene solución. Si su rango columna es n, las columnas serán linealmente independientes; por tanto, es cierto que cualquier sistema A x = b tiene solución única. De hecho, se deduce que si A una matriz cuadrada n n de rango renglón o columna completos, entonces A es invertible. e) Sea A una matriz n n y B una matriz n m. Suponga que A es de rango renglón completo. El sistema A X = B tiene solución única? R: por el inciso anterior, A es invertible. Por tanto, es cierto que A X = B tiene solución única (la solución es X = A B). ) No se sabe 6. (pts) Búsque la respuesta a cada pregunta: Sea A una matriz n n: a) Si A T es invertible, entonces rank (A) < n. R: Si A T es invertible, entonces A es invertible. Por tanto, rank (A) = n. Entonces, es falso que rank (A) < n. b) Si rank (A) = n, entonces existe un vector b para el cual el sistema A T x = b s inconsistente? R: Si rank (A) = n, entonces dim(c(a)) = dim(c(a T )) = n. Por tanto, C(A T ) = R n. Por tanto, es falso que existe un vector b para el cual el sistema A T x = b es inconsistente. c) Si A x = tiene solución única, entonces rank (A) < n. R: Si A x = tiene solución única, entonces las columnas n de A forman un conjunto linealmente independiente y siendo un conjunto generador para C(A) forman una base para él. Por tanto, dim(c(a)) = n. Así, es falso que rank (A) < n. d) Si A T es singular, entonces rank (A) = n. R: Si A T es singular, también lo es A. Así, las n columnas de A forman un conjunto linealmente dependientes y siendo un conjunto generador para C(A), no forman una base para él. Por tanto, dim(c(a)) < n. Así es falso que rank (A) = n. e) Si el rango renglón de A es n, entonces para cualquier matriz B n q la ecuación matricial A X = B tiene solución única. R: Si el rango renglón de A es n, entonces A es invertible. Por tanto, es cierto que A X = B tiene solución única. ) No se sabe 7. (pts) En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es una base para V, G es un conjunto generador para V, I es un conjunto linealmente independiente de V, D es un conjunto linealmente dependiente de V, C es un conjunto de elementos de V y n es la dimensión de V. Indique cómo son cada una de las afirmaciones (ninguna tiene error de dedo):
4 MA, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 22 a) I tiene menos de n elementos. R: No hay suficiente información para concluir eso: puede ser que tenga n elementos. Se acepta como válida que la afirmación sea falsa. b) D tiene mas de n elementos. R: No hay suficiente información para concluir eso: se puede tener un conjunto linealmente dependiente con un solo elemento (el vector cero). Aquí el resultado es que: Si un conjunto tiene más de n elementos, entonces el conjunto es linealmente dependiente. Pero su recíproca no necesariamente es cierta. Se acepta como válida que la afirmación sea falsa. c) Si I tiene n elementos, entonces I es genera a V. R: Cierto; siendo linealmente independiente y teniendo n elementos se convierte en base para V y por tanto, genera a V. d) Si G tiene menos de n elementos, entonces I es dependiente. R: Ambas partes de la implicación son falsas. Por tanto, la implicación es cierta (Recuerde la tabla de verdad de la implicación). e) Si C tiene más elementos que G, entonces C es linealmente dependiente. R: Sabemos que #(G) n; por tanto, si C tiene más elementos que G, concluiríamos que #(C) > n. Por tanto, es cierto que C sería linealmente dependiente. Respecto a la respuesta ) Cierto 2) Falso 3) No hay suficiente información 8. (5pts) Si W = Gen(B ) y W 2 = Gen(B 2 ), donde y B = x = B 2 = y = , x 2 =, y 2 = 3 2, x 3 =, y 3 = 8 Encuentre la dimensión del subespacio intersección. Sugerencia: Para cada espacio generado encuentre el sistema de ecuaciones homogéneas que determinan partenecer a él. Con los vectores x, x 2, x 3 como columnas, formamos la matriz A y con los vectores y, y 2, y 3 como columnas formamos la matriz A 2. Para determinar las ecuaciones que caracterízan a los vectores que pertencen a W i formamos y reducimos: A I A 2 I Por tanto, si y B = / / 3/ / /2 /2 5/2 5 3/2 3 3 B 2 = / /2 5/2 5 3/2 3 3 para un vector x R 5 : /2 x W B x = 2 x W 2 B 2 x = 2 Por tanto, un vector x W W 2 si y sólo si satisface ambos sistemas; es decir: B B 2 2 x = 2 = 5 Al formar esta aumentada vertical, su reducida queda: Esto nos dice que el único vector común a ambos espacios lineales es el vector ; concluimos que la dimensión del espacio intersección es cero. 9. Sean A y B matrices n n. Considere la afirmación siguiente: Si existe una matriz X tal que X A X T = B T entonces rank(b) rank(a).
5 MA, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 22 5 a) (5pts) Enuncie las tres variantes de esta afirmación condicional. Recíproca Si rank(b) rank(a), entonces existe una matriz X tal que X A X T = B T. Inversa Si para toda matriz X se cumple X A X T B T, entonces rank(b) > rank(a). Contrapositiva Si rank(b) > rank(a), entonces para toda matriz X se cumple X A X T B T. b) (5pts) Demuestre la afirmación. Supongamos que existe X tal que X A X T = B T. En particular, existe una matriz Y (que es precisamente X T ) tal que X A Y = B T. Por tanto C(B T ) C(X A) Y por tanto rank(b T ) rank(x A). Por otro lado, y usando un razonamiento similar pero con el espacio renglón aplicado a X A, se deduce que rank(x A) rank(a). Así rank(b T ) rank(a). Como rank(b T ) =rank(b), concluimos que rank(b) rank(a).
Espacios generados, dependencia lineal y bases
Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................
Más detallesMatrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Más detallesMatrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial
Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 91 Introducción 1 92 Transpuesta 1 93 Propiedades de la transpuesta 2 94 Matrices
Más detalleseuresti@itesm.mx Matemáticas
al Método al Método Matemáticas al Método En esta lectura daremos una introducción al método desarrollado por George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914-13 de mayo de 2005) en 1947. Este método se
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detallesEJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4 Ejercicio 1. Se consideran los vectores u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1, 0), u 3 = ( 1, 1, 1, 1), u 4 = (2, 2, 1, 0) de R 4. Expresa, si es posible, los vectores u
Más detallesMatrices invertibles. La inversa de una matriz
Matrices invertibles. La inversa de una matriz Objetivos. Estudiar la definición y las propiedades básicas de la matriz inversa. Más adelante en este curso vamos a estudiar criterios de invertibilidad
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales
Más detallesE 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
Más detallesMatrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx
Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detalles1 Espacios y subespacios vectoriales.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto
Más detalles1. ESPACIOS VECTORIALES
1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,
Más detallesMatrices: Conceptos y Operaciones Básicas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 8 de septiembre de 010 Índice 111 Introducción 1 11 Matriz 1 113 Igualdad entre matrices 11 Matrices especiales 3 115 Suma
Más detalles4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
Más detallesÁlgebra Lineal Ma1010
Álgebra Lineal Ma1010 Mínimos Cuadrados Departamento de Matemáticas ITESM Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 1/34 En esta sección veremos cómo se trabaja un sistema inconsistente. Esta situación es
Más detalles5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades
5- ransformaciones Lineales 5Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función,, cuo dominio codominio
Más detallesDefinición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesSubespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesÁlgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α.
Engrape aqu ı No doble Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α. Operaciones con matrices. Sistemas de ecuaciones lineales. Nombre: Calificación ( %): examen escrito tarea 1 tarea 2 asist.+
Más detallesMatemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales
Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2
Más detalles1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una
Más detallesCambio de representaciones para variedades lineales.
Cambio de representaciones para variedades lineales 18 de marzo de 2015 ALN IS 5 Una variedad lineal en R n admite dos tipos de representaciones: por un sistema de ecuaciones implícitas por una familia
Más detallesMatemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales
Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector
Más detallesTema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Problemas teóricos Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros En los siguientes problemas hay que resolver el sistema de ecuaciones lineales para todo valor del parámetro
Más detallesAplicaciones Lineales
Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................
Más detallesEjemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}
Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar
Más detallesy λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.
Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =
Más detallesAnexo 1: Demostraciones
75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
Más detallesCómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1
. ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio
Más detallesUna desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que
Más detallesNota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:
Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Más detallesTema 4: Aplicaciones lineales
Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
Más detallesFORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración
Más detallesObjetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:
Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará
Más detallesProducto Interno y Ortogonalidad
Producto Interno y Ortogonalidad Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 15 de octubre de 2009 Índice 8.1. Contexto................................................ 1 8.2. Introducción...............................................
Más detalles1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.
Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular
Más detallesCapitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES
Más detallesConstrucción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal
Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Objetivos. Estudiar el algoritmo para construir una base del núcleo y una base de la imagen de una transformación lineal. Requisitos.
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales.
Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en
Más detallesDiagonalización de matrices
diagonalizacion.nb Diagonalización de matrices Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos ºA y ºB, 2005 Algo de teoría Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla
Más detallesTema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.
Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se ha trabajado con números complejos, polinomio y matrices y hemos efectuado con ellos ciertas operaciones: sin embargo no todas las operaciones se comportan de la misma manera,
Más detallesEspacios vectoriales. Bases. Coordenadas
Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detalles1. Cambios de base en R n.
er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones lineales
Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables
Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver
Más detallesClase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal
Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos
Más detallesFunciones más usuales 1
Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una
Más detallesINSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES CÁRDENAS ESPINOSA CÉSAR OCTAVIO racsec_05@hotmail.com Boleta: 2009350122 CASTILLO GUTIÉRREZ
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b
La función lineal Una función polinomial de grado uno tiene la forma: y = a 0 + a 1 x El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta. y = m x + b En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente
Más detallesA estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:
ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,
Más detallesTema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción
Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones
Más detallesSegundo de Bachillerato Geometría en el espacio
Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto
Más detalles21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES
Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere
Más detalles4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD
4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD El problema de programación lineal se puede considerar como modelo de asignación de recursos, en el que el objetivo es maximizar los ingresos o las utilidades,
Más detallesFunción exponencial y Logaritmos
Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función exponencial y Logaritmos Nivel: 4 Medio Función exponencial y Logaritmos 1. Funciones exponenciales Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes
Más detalles1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(
Más detalles4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d
GRADO EN I. TELEMÁTICA. HOJA : ESPACIOS VECTORIALES. ESPACIOS NULO Y COLUMNA.- Sea W el conjunto de todos los vectores de R de la forma subespacio de R. s + t s t s t t, con s, t R. Probar que W es un.-
Más detallesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales Problemas teóricos Muchos de estos problemas me los han enseñado mis colegas: profesores Flor de María Correa Romero, Carlos Domínguez Albino, Sergio González Govea, Myriam Rosalía
Más detalles1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR
. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz
Más detallesVECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesMatemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones
Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C
Más detalles1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
Más detallesUNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado
Más detallesRepaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento
Más detalles4 Aplicaciones Lineales
Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.
VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar
Más detallesPROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.
PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.
Más detallesUniversidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V.
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL x x x1 n θ y y ȳ1 n 1 n x1 n ȳ1 n Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. 2003 Algebra Lineal Carlos Arce S., William Castillo
Más detallesEjercicios Resueltos del Tema 4
70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la
Más detallesMÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta
Más detallesAPUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Adriel R. Collazo Pedraja
APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL Adriel R. Collazo Pedraja 2 INTRODUCCIÓN Este trabajo tiene como propósito proveer ayuda al estudiante para que pueda comprender y manejar más efectivamente
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo
Más detalles1. APLICACIONES LINEALES
1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales
Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un
Más detallesAplicaciones lineales continuas
Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas
Más detallesDependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.
Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal
Más detallesMétodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales
Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 17 de julio de 2009 Índice 3.1. Introducción............................................... 1 3.2. Objetivos................................................
Más detallesEscenas de episodios anteriores
Clase 16/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,
Más detallesEjemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =
T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente
Más detallesALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.
ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos
Más detallesCaracterísticas de funciones que son inversas de otras
Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =
Más detallesFormas bilineales y cuadráticas.
Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos
Más detalles4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA
4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Espacios vectoriales. Ejercicios 1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) R 3 pertenezca al subespacio < (1,, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x,
Más detallesCap. 24 La Ley de Gauss
Cap. 24 La Ley de Gauss Una misma ley física enunciada desde diferentes puntos de vista Coulomb Gauss Son equivalentes Pero ambas tienen situaciones para las cuales son superiores que la otra Aquí hay
Más detallesOperaciones con vectores y matrices ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES. Ana Morata Gasca
ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES Ana Morata Gasca 1 DEFINICIÓN DE VECTOR Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Origen o Punto de aplicación:
Más detalles1. Producto escalar, métrica y norma asociada
1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la
Más detalles