es la mediatriz del segmento de recta que une a estos dos puntos.

Transcripción

1 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO Pr los ntiguos geómetrs griegos como Euclides rquímides 87-.., un sección cónic prábol, elipse e hipérbol er un curv en el espcio, l cul resultb de l intersección de un plno con un cono de dos rms, siempre cundo el plno no psr por el vértice del cono. En cso de que lo hicier db lugr ls llmds cónics degenerds un punto el vértice del cono, un rect un genertriz del cono o un pr de rects que se intersecn un pr de genertrices. Los griegos en su tiempo se dedicron con persevernci l estudio de sus propieddes geométrics. Sin embrgo, es hst inicios del siglo XVII 637, con el descubrimiento csi de mner independiente de l geometrí nlític, por prte de Descrtes Fermt, que se tom concienci de su utilidd psn ocupr un lugr de privilegio, dicionlmente Kepler descubrió Newton eplicó que ls órbits de los plnets otros cuerpos en el sistem solr son secciones cónics. L geometrí nlític pln us el álgebr el cálculo pr estudir ls propieddes de ls curvs en el plno. Su ide fundmentl es estblecer un correspondenci entre un ecución F ; 0 su lugr geométrico. Un de ls ides centrles de l geometrí nlític es, ddo un lugr geométrico o un curv, sus propieddes pueden deducirse en form lgebric o nlític prtir de su ecución F ; 0. En l siguiente figur se muestrn ls secciones cónics: prábol, elipse e hipérbol, tl como fueron definids por los ntiguos geómetrs griegos. Lugres geométri El conjunto de todos los puntos ; en el plno cus coordends stisfcen un propiedd, que puede estr dd por un ecución F ; 0, se conoce como lugr geométrico. Por ejemplo: ompruebe que el conjunto de todos los puntos P ; que equidistn de los puntos ; 5;3 es l meditriz del segmento de rect que une estos dos puntos.

2 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics El punto P ; equidist de ; 5;3 si sólo si d P; dp; Ing. Vivin PPELLO Por lo tnto, el lugr geométrico es l rect 8 cu pendiente es. L rect que ps por lo puntos ; 5;3 tiene ecución por lo que su pendiente es ; con lo cul ls dos rects son perpendiculres. Si resolvemos ls ecuciones simultánemente, determinmos que l intersección de ests rects es, de hecho, el punto medio M 3; del segmento que une los puntos. Ejemplo : Determine el lugr geométrico de los puntos P ; cu distnci l punto 7; es dos veces su distnci l punto ;. Los puntos, P precen en l figur, junto con un curv que ps por P que repret el lugr geométrico buscdo.

3 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO Según el enuncido se tiene que P d P d ; ;, con lo cul podemos decir que P d P d ; ; 7 7 Desrrollndo mbos binomios obtenemos l ecución sí, el lugr geométrico es un circunferenci con centro ;5 rdio 5 r.

4 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO Ejemplo : Hllr el lugr geométrico de los puntos P ; cu distnci l rect 3 es igul l distnci l punto 3;0. omo l distnci de P l rect es 3 Tenemos que El lugr geométrico es un prábol PR l distnci de P l punto es P 3 L ircunferenci Un circunferenci se define como el conjunto de puntos P ; en el plno que equidistn de un punto fijo h, k llmdo centro un distnci fij r denomindo rdio. L form cnónic de un circunferí de rdio r IR centro h, k es L form generl de un circunferí de rdio h h r r IR centro h k, es D E 0

5 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO Sen P,, h, k tl que, P r h k r h k r L Prábol L prábol es el conjunto de puntos P ; en el plno que equidistn de un punto fijo F llmdo foco de l prábol de un rect fij llmd l directriz de l prábol que no contiene F. El punto medio entre el foco l directriz se llm vértice, l rect que ps por el foco por el vértice se llm eje de l prábol. Se puede observr en l figur que un prábol es simétric respecto su eje. Ecución cnónic de l prábol L form cnónic de l ecución de un prábol con vértice V h; k h p k directriz k p es Donde foco F está p uniddes orientds del vértice Sen P, punto culquier, F h, k p su foco, Q, k p punto en l rect directriz L : k p, FP PQ h k p k p h k p 0 k p h k p k p

6 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO h h k p k p h k p k p k p k p k k p pk p k p k h p kp h p k on este resultdo podemos resumir que Se tiene que: so pertur de l prábol hci rrib. Vlor de p oordends del Foco F Ecución de l directriz p 0 h, k p k p Y su grfic es kp p Se tiene que: so pertur de l prábol hci bjo. Vlor de p oordends del Foco Ecución de l directriz p 0 h, k p k p Y su grfic es L form cnónic de l ecución de un prábol con vértice V h; k k p k Donde foco F está p uniddes orientds del vértice directriz h p es

7 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO Se tiene que: so pertur de l prábol hci l derech. Su grfic Vlor de p oordends del Foco Ecución de l directriz 0 h p, k h p p Se tiene que: so pertur de l prábol hci l izquierd Vlor de p oordends del Foco Ecución de l directriz 0 h p, k h p p Su grfic L Elipse Un elipse es el conjunto de puntos P, IR lugr geométrico cu sum de distncis dos puntos fijos F F del plno llmdos fo es constnte. Llmremos centro de l elipse, l punto medio entre los fo. L rect que ps por los fo, cort l elipse en dos puntos llmdos vértices. L cuerd que une los vértices es el eje mor de l elipse. L cuerd perpendiculr l eje mor que ps por el centro se llm eje menor de l elipse.

8 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO Sen F h c, k, F h c, k fo de un elipse, h k, centro de l elipse, d P, F d P, F h, k, c IR, c 0, entonces l form cnónic de l ecución de un elipse está dd por: donde c, b b c h k Eje Focl Horizontl Tod elipse centrd en el origen de eje focl horizontl es on b, c b b Eje Focl Verticl Tod elipse centrd en el origen de eje focl horizontl es b on b, c b b L ecentricidd de un Elipse L ecentricidd es un medid de l "circulridd" de un elipse, entre más cerc de 0 más circulr entre más cerc de más lrgd. L ecentricidd de un elipse está dd por el cociente c e Observe que l estr situdos los fo en el eje mor entre el centro los vértices, siempre se tiene que

9 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO c 0 c 0 0 e Es decir, ls elipses tienen un ecentricidd menor. Pr un elipse csi circulr, los fo están cerc del c c centro es pequeño. Pr un elipse lrgd los fo están cerc de los vértices es csi. Esto eplic l dificultd de los strónomos en detectr ls órbits elíptics de los plnets, pues ests tienen los fo mu cerc de su centro, lo cul ls hce csi circulres. L siguiente tbl muestr l ecentricidd de ls órbits de los nueve plnets l Lun. L Hipérbol Un hipérbol se define como el conjunto de puntos P, IR pr los que l diferenci de sus distncis dos puntos distintos prefijdos llmdos fo es, en vlor bsoluto, un constnte L rect que ps por los fo cort l hipérbol en dos puntos llmdos vértices. El segmento recto que une los vértices se llm eje trnsversl su punto medio es el centro de l hipérbol. Un hecho distintivo de l hipérbol es que su gráfic tiene dos prtes seprds, llmds rms.

10 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO h L ecución cnónic de l hipérbol con centro en h, k es horizontl. k h b Y con eje trnsversl verticl. k b con eje trnsversl Los vértices están un distnci de uniddes del centro los fo un distnci de c uniddes del centro. demásb c Un ud importnte pr trzr l gráfic de un hipérbol son sus síntots. Tod hipérbol tiene dos síntots que se intersecn en su centro psn por los vértices de un rectángulo de dimensiones b centro en h, k.el segmento recto de longitud b que une se llm eje conjugdo de l hipérbol. Si l hipérbol tiene un eje trnsversl horizontl, ls ecuciones de ls síntots son si el eje trnsversl es verticl, ls ecuciones de ls síntots son Fórmuls de rotción: Dos sistems de referenci con origen común O; siendo l rotción de vlor rígid, es decir, se conserv el ángulo entre los ejes. Ls coordends del punto P son ; con respecto l sistem rotdo ; con respecto l sistem de ejes horizontl verticl.

11 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO P R Q N O T S Entonces: resultndo: resultndo: Fórmuls de rotción: OT OS TS TP TR RP NP OQ PQ OS OQ TS RQ PQ TR QS OQ RP PQ Ls fórmuls de rotción pueden escribirse en form mtricil ý Teniendo en cuent l ecución de l hipérbol equiláter: ; ls fórmuls de trnsformción por rotción el ángulo 5º. 5º 5º 5º 5º

12 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO o se: o tmbién reemplzndo: hciendo K K Reemplzndo e por e l ecución de l hipérbol equiláter es. = k Si: k e 0 ; son de igul signo k Si: k e 0 ; son de distinto signo k

13 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO ESTUDIO DE L EUIÓN GENERL DE º GRDO EN DOS VRILES omo hemos visto, l rotr el sistem de ejes coordendos en l ecución de l cónic correspondiente prece un nuevo término en el cul ls vribles están multiplicds; este término recibe el nombre de término rectngulr d l ecución generl el siguiente specto: D E F 0 En est ecución el termino rectngulr, es responsble de l rotción, mientrs que los términos lineles D, F son los responsbles de l trslción del sistem de ejes. No result cillo grficr un epresión de este tipo, rzón por l cul es beneficioso previmente llevrl un form más cill medinte un rotción un trslción decuds, que permitn encontrr l form cnónic de l mism. Supongmos el cso generl de un cónic desplzd rotd.

14 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO L ecución referid l sistem O, será D E F 0 ; por l preci del termino los coeficientes pierden l propiedd de identificr el género de l cónic. sí que tiene = NO corresponde un circunferenci. Si eiste el termino rectngulr NUN puede trtrse de un circunferenci. undo se refiere l sistem O, D E F 0 si sólo si es prlelo es prlelo No h término rectngulr si se refiere O, F 0 si se trt de un cónic con centro. O bien E 0 ; D 0 si se trt de un cónic sin centro. Vemos hor como se modific l ecución generl cundo hcemos un rotción rbitrri de ejes de mgnitud. plicndo ls fórmuls de rotción: reemplzndo en l ecución generl, obtenemos: D E F 0 Desrrollndo los préntesis E F 0 Nos qued E E F 0 Ordenmos hor los términos en,,,, D D D el termino independiente. resultndo D E D E F 0 pr un rotción culquier

15 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO E D D E D E F F De ls igulddes precedentes, se observ: F F pr culquier rotción no se modific el término independiente b L sum de los coeficientes de los términos cudráti no se modific en l rotción recibe el nombre de INVRINTE LINEL. c restndo se obtiene o bien que recibe el nombre de INVRINTE UDRÁTIO. d Si en l epresión hcemos =0 result

16 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO tn result ser el ángulo que h que girr los ejes pr que desprezc el termino rectngulr. En consecuenci d l tngente del ángulo. Pr ese giro l epresión generl tiene el specto D E F 0 los coeficientes de los términos cudráti recobrn l propiedd de identificr el género de l cónic. e Puede demostrrse, demás, que culquier se el ángulo de l rotción: D E D E F D E D E F iguldd que recibe el nombre de INVRINTE ÚIO. USO DE LOS INVRINTES Sin necesidd de clculr el ángulo de rotción que permite eliminr el término rectngulr l posterior plicción de ls fórmuls de trslción pr eliminr los términos lineles lo que tmbién puede efecturse completndo cudrdos, result posible identificr prtir de l ecución dd medinte el uso de los invrintes el género de l cónic que se estudi: ónics Verdders: undo el discriminnte invrinte cúbico es distinto de cero, se trt de un cónic rel o verdder. El invrinte cudrático pr el ángulo decudo de rotción que corresponde =0 nulción del término rectngulr se trnsform en. prtir de l ecución dd clculmos que puede drnos vlores negtivos, nulos o positivos. Si 0 el ldo derecho de l iguldd es decir será negtivo. Pr que esto se posible deben ser de igul signo, en cuo cso se trt de un ELIPSE. b Si 0 0 lo que implic que o =0; se trt de un PRÁOL. Si 0 0 pr que esto se posible deben ser de signos opuestos; se trt de un HIPÉROL. ónics degenerds: El invrinte cúbico result igul cero; medimos el invrinte cudrático como lo hicimos pr ls cónics verdders, resultndo los siguientes csos: d Si 0 ; se trt de un ELIPSE DEGENERD; son dos rects imginris con un punto rel.

17 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO e Si 0 ; se trt de un PRÁOL DEGENERD; dos rects coincidentes. f Si 0 ; se trt de un HIPÉROL DEGENERD; dos rects reles que se cortn. Ejemplo: Reducir l ecución 0 l form cnónic grficr. Recordemos que los coeficientes de los términos cudráti no tienen l propiedd de identificr el género de l cónic que, por eistir el término rectngulr no puede trtrse de un circunferenci álculo del invrinte cúbico: 0 F E D E D. Se trt de un ÓNI REL. álculo del invrinte cudrático: 0. orresponde un PRÁOL. 3 lculo del ángulo de rotción que elimin el término rectngulr: 5º tn Obtención de l ecución cnónic no rotd: Debe procederse siempre efectur l rotción ntes de l trslción, que l resultr del género prábol no puede eliminrse uno de los términos lineles; si intentármos previmente l trslción, estrímos en preci de un sistem de ecuciones lineles inconsistente. En l ecución 0 reemplzmos ls vribles por ls ecuciones de rotción: como º 5 plicndo ests trnsformciones, result pr cd uno de los términos:

18 Álgebr Geometrí nlític Secciones ónics Ing. Vivin PPELLO sumndo los ldos derechos de ls igulddes simplificndo, llegmos : 0 comprndo con l epresión: p k 0 vemos que se trt de un prábol de eje focl, que bre sus rms hci ls negtivs, con vértice en el punto V de coordends 0, del sistem, prámetro p ; foco en p F 0; F 0; 8 ; directriz de ecución 8 ibliogrfí obligtori recomendd: rmndo Rojo: Álgebr I II Hector Di ro: Álgebr Geometrí nlític. Sgstume err, G. Fernández: Álgebr álculo Numérico. Lentin, Rivud: Álgebr Modern Donto Di Pietro: Geometrí nlític. h. H. Lehmnn Geometrí nlític. Louis Leithold El álculo con Geometrí