Clase 12: Integración de funciones de varias variables con valores reales

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Andrea de la Fuente Godoy
hace 5 años
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1 Clse : Integrión de funiones de vris vribles on vlores reles C.J. Vnegs de junio de 8 eordemos.. L integrl f. fx)dx, pr f represent el áre bjo l gráfi de Similrmente si tenemos un funión de dos vribles: f :, = [, b] [, d] y fx, y) en entones fx, y)dxdy o fx, y)da represent el volumen de l región que está rrib de y debjo de l gráfi de f A este volumen se le llm integrl doble de f sobre. Ejemplo. Se fx, y) = h, h >. = [, b] [, d], entones fx, y)da = hda = hb )d ) pues l integrl es igul l volumen de :. Prinipio de Cvlierí Método útil pr lulr volúmenres) Se S un Sólido. Supong que pr x b, P x es un fmili de plnos prlelos tles que:

2 . S está entre P y P b.. El áre de l seión trnsversl de S ortd por P x es Ax). Entones el volumen de S es igul Ax)dx. Se P l prtiión: = x < x <... < x n = b y x k [x k, x k ]. Entones un proximión l volumen de S en este subintervlo [x k, x k ] es el volumen de un rebnd on áre de seioón trnsversl Ax) y nho x = x k x k : V k = Ax k) x k y sí un proximión l volumen de S en [, b] es : y el voluem exto es: n V k = k= V = lím p n Ax k) x k k= n Ax k) x k = k= Donde p = Longituddelsubintervlomyor. Ax)dx. Ahor onsideremos l región sólid bjo l gráfi z = fx, y) definid en [, b] [, d], donde f es ontinu y myor que ero. El áre Ax ) de l seión trnsversl es el áre de l región pln bjo l gráfi de z = fx, y) pr y [, d] uyo vlor viene ddo por: Ax ) = fx, y)dy. Luego, obtenemos l funión Ax) de áre trnsversl on dominio [, b]: Ax) = fx, y)dy y por el prinipio de vlierí el volumen del sólido es: [ ] V = Ax)dx = fx, y)dy dx En onlusión:

3 V = fx, y)da = fx, y)dydx ) y si usmos plnos que orten perpendiulrmente l eje y obtenemos: V = fx, y)da = fx, y)dxdy. ) Ejemplo. Evlur 3 6xy 4x y ) dydx 3 Soluión. 6xy 4x ) 3 [ ] 6xy 3 dydx = 4x ln y dx = y 3 3 [ ] 4x x]dx = 4x 4x ln )dx = 4x ln 3 = 56 6 ln. 3 Si evlumos 6xy 4x ) dxdy obtenemos el mismo vlor: y 3 6xy 4x ) ) ] dxdy = [3x y x 3 dy = y y 6 ln y) = 56 6 ln. 3 4y 6 y [x) 3 4x ln ) dy = 8y 3 Ejemplo 3. Hllr el volumen otdo por l gráfi de fx, y) = + x + 3y, el retángulo [, ] [, ] y los utro ldos vertiles del retángulo Soluión. V = fx, y)dydx = + x + 3y)dydx =. Definiión de l integrl doble.. Prtiión de un retángulo Se un retángulo errdo: = [, b] [, d]. ) y + xy + 3 y ) 5 + x dx = 5x + x dx = ) = Supong = x < x < < x n = b y = y < y < < y n = d tles que x j+ x }{{} j = b n, y k+ y k = d }{{} n. Entones ls olleiones de puntos {x j} n j= y {y k } n k= x y on ests propieddes reiben el nombre de prtiión de orden n de. 3

4 .. Sums de iemnn. Se jk el retángulo [x j, x j+ ] [y k, y k+ ] y Se jk jk. Supong que f : es un funió otd. Entones l sum Sn = j,k= Se llm sum de iemnn pr f. f jk ) x y = }{{} A j,k= f jk ) A Observión. fx, y) es otd si existe M > tl que M fx, y) M Domf). Un funión ontinu en un retángulo errdo siempre es otd. Observe que podemos onsiderr l suesión {S n } x, y).3. Integrl doble Considere f : es integrble si existe lím S n = lím so esribimos: lím f jk ) A = fx, y) }{{} da j,k= dxdy pr ulquier elión de jk jk ) j,k= f jk ) A, en ese Culquier funión ontinu definid en un retángulo errdo es integrble. Signifido geométrio de lím Sn = fx, y)da, si fx, y) : Considere l gráfi de z = fx, y) omo l tp de un sólido uy bse es. tome d jk omo el punto en jk en donde f jk ) x y es el volumen de un r retngulr on bse jk L sum n j,k= f jk) x y es igul l volumen de un sólido insrito Similrmente, si jk es el punto donde fx, y) tiene su máximo en jk, entones l sum n j,k= f jk) x y es igul l volumen de un sólido irunsrito. Por tnto si existe lím S n y es independiente de jk, se dedue que los volúmenes de los sólidos insritos y irunsritos tienden l mismo límite undo n. Es 4

5 rzonlbe entone llmr este límite el volumen exto del sólido bjo l gráfi de f..4. Integrbilidd de funiones otds Se un retángulo y f : un funión otd. Supong que el onjunto de puntos donde f es disontinu está formdo por un unión finit de gráfis de funiones ontinu. Entones f es integrble sobre. Otros onjuntos de disontinuiddes podrín ser:.5. Propieddes de fx, y)da Sen f y g funiones integrbles en el retángulo y se un onstnte. Entones f + g y f son integrbles y i f + g)da = fda + gda. Linelidd) ii fda = f da. homogeneidd) iii Si f g entones fd gda. monotonín) iv Sen,..., m m retángulos que no se interesetn slvo quizás en puntos de su fronter. m Supong que f es otd e integrble en d i y Q = i es un retángulo, v entones f : Q es intgrble en Q y fda f da. Q fda = Demostrión : Vmos demostrr iii) Supong que S n = es lro que S n n luego m i= hx, y)da = lím S n. Aplique esto hx, y) = fx, y) gx, y) y use i) y ii). j,k= i= i fda. ditividd) h jk ) A y h entones 5

6 Ahor probremos v) Como f f f f da fda f da fda f da A menudo es posible reduir un integrl doble sobre un retángulo integrles iterds simples que podmos resolver. El teorem de Fubini justifi esto. Teorem. Se f un funión ontinu on dominio, = [, b] [, d]. Entones: fx, y)dydx = fx, y)dxdy = fx, y)da Demostrión : Sen = x < x < < x n = b y = y < y < < y n = d prtiión de de orden n. Definimos F x) = tl que y k x) [y k, y k+ ]. fx, y)dy. entones F x) = ) = Teorem del vlor medio pr integrles. Por otro ldo = lím j= k= fx, y)dydx = fp j, y k x)) y x = lím F x)dx = j,k= }{{} ) k= yk+ lím fx, y)dy }{{} = fx, y k x)) y y k j= F jk ) A = tl que: p j [x j, x j+ ], jk = p j, y k x)) y x y = A. Por lo tnto fx, y)dydx = fx, y)da. Similrmente se prueb que:. fx, y)dxdy = F p j ) x fx, y)da ) fx, y)da k=.6. Un versión más generl del teorem de Fubini Se f un funión otd on dominio : [, b] [, d] y supong que ls disontinuiddes de f se enuentrn sobre un uniónes finits de gráfis de funiones ontinus. Si l integrl fx, y)dy existe pr d x [, b] entones: b [ ] fx, y)dy dx existe y fx, y)dydx = fda. Similrmente, si fx, y)dx existe pr d y [, d] entones 6 fx, y)dxdy existe

7 y [ ] fx, y)dx dy = fda. Además, si tods ests ondiiones seumplen simultánemente, entones: fx, y)dydx = fx, y)dxdy = fda. Ejemplo 4. Clulr el volumen del sólido otdo por l superfiie z = siny), los plnos x =, x = y = o e y = π Soluión 3. Observión. π y el plno xy. siny)dydx = osy)) π dx = dx =. Un onseueni del teorem de Fubini es que l intermbir el orden de integrión en ls integrles iterds, el resultdo es el mismo. Si f tom vlores negtivos, l integrl doble se puede pensr omo l sum de todos los olúmenes que están entre l superfiie z = fx, y) y el plno z =, otdos por los plnos x =, x = b, y =, y = d. Los volúmenes rribde z = se uentn omo positivos y los de bjo omo negtivos. Aefetos de her el álulo, puede plirse sin problems el teorem de Fubini. ver ejemplo 3 pgin 33). 7

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