Apunte sobre. Cálculo II Licenciatura en Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Química Universidad Nacional del litoral. 1. Integración numérica

Transcripción

1 Apunte sobre Integrción Numéric y Polinomios de Tylor Cálculo II Licencitur en Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Químic Universidd Ncionl del litorl 1. Integrción numéric En este tem veremos sólo dos métodos pr el cálculo proximdo de integrles sobre un intervlo. Estos métodos tienen l ventj de que se puede clculr l integrl de csi culquier función continu, unque su primitiv no esté disponible. El vlor clculdo será un proximción del vlor verddero de l integrl, pero veremos tmbién resultdos que con lgun informción dicionl sobre l función nos permitirán cotr el error de proximción y juzgr si l proximción es suficientemente buen. Supongmos de hor en más que f : [, b] R es un función continu sobre todo el intervlo [, b] y queremos proximr l integrl 1.1. Regl del rectángulo f(x) dx. L regl del rectángulo es l siguiente: Pr n N, prticionmos el intervlo [, b] en n sub-intervlos de igul longitud h := b n, es decir, definimos π n = [ = t ; t 1 ; t ;... ; t n = b ] con t i = + i h, y proximmos f(x) dx = f(x) dx por l cntidd I R n := f( )(t i ) = [ ] f( )h = h f( ). Es decir, proximmos cd integrl en [, t i ] por el áre del rectángulo de bse h y ltur f( ), ver figur. y = f(x) h f(t) h f(t1) h f(t) h f(t3) h f(t4) h f(t) =t t1 t t3 t4 t tn=b 1

2 En otrs plbrs, clculmos l integrl de l función que en cd intervlo [, t i ) es constntemente igul f( ). Y sbemos que lím In R = f(x) dx por lo visto en clse. Lo que nos preguntmos hor es si podemos n medir o estimr el error cometido l clculr In R. L respuest es positiv, y l d el siguiente Teorem 1. Se f : [, b] R un función con primer derivd continu en [, b]. Si M 1 = máx f, entonces [,b] In R f(x) dx M 1 (b ). n Demostrción. Se n N y se π n l prtición uniforme de [, b] en n sub-intervlos de igul longitud h := b n, es decir, definimos π n = [ = t ; t 1 ; t ;... ; t n = b ] con t i = + i h. Observemos primero que In R ( ) ] f(x) dx = hf( ) f(x) dx hf( ) f(x) dx = = f( ) dx f(x) dx ( f(ti 1 ) f(x) ) dx f(x) f(t i ) dx. Intentemos hor cotr cd uno de estos términos. Consideremos un intervlo [, t i ] de l prtición, y observemos que si x [, t i ], entonces por el teorem fundmentl del Cálculo se cumple que f(x) f( ) = f (t) dt, (1) y por lo tnto f(x) f(ti 1 ) = f (t) dt, f (t) dt M 1 (x ). Esto implic que f(x) f(t i ) dx M 1 (x ) dx = M 1 h u du = M 1 h, ()

3 donde hemos hecho l sustitución u = x, du = dx. Finlmente, de (1) y de () concluimos que I R n que es lo que querímos demostrr. f(x) dx = nm 1 h f(x) f(ti ) dx = nm 1 (b ) = M 1 n M 1 h (b ), n Observción. Si conocemos un cot pr M 1, entonces podemos sber cuál es el vlor de n que debe tomrse pr clculr l integrl proximd con un error ddo. Ejemplo 1. Supongmos que queremos clculr proximdmente e x dx con un error menor,1. Si bien f(x) = e x no prece un función muy complicd, no hy un fórmul conocid que dé su primitiv. Por eso recurrimos un método numérico. Pr sber qué vlor de n tenemos que tomr pr logrr l precisión desed, necesitmos conocer un cot superior pr l primer derivd. Observemos entonces que f (x) = xe x, y fácilmente deducimos que f (x) 4 pr x [, ]. Entonces, pr n N, el teorem nterior nos dice que I R n e x dx 4 n = 8 n. Pr segurr un error menor o igul,1 debemos elegir n tl que 8,1, o se n 8. Pr n = 8 n l fórmul d I 8 =,8943 (no se sugiere hcer mno, sino usndo un computdor, por ejemplo un plnill de cálculo o un progrm como MATLAB/OCTAVE). Por lo tnto lo que su vez implic que,8943 e x dx,1 es decir,8943,1,7943 e x dx,8943 +,1, e x dx,9943. Si quisiérmos cometer un error menor, (l mitd de l precisión nterior) Cómo tendrímos que tomr n? Sí, divinste, tendrímos que tomr n = 16, el doble! Con un poco más de trbjo, podrímos hber demostrdo que f (x) 1 pr x [, ], y en ese cso, hbrímos estdo seguros de que ls precisiones indicds se obtenín con y 4 puntos respectivmente, un grn horro de trbjo, no? 3

4 1.. Regl del trpecio L regl del trpecio es l siguiente: Pr n N, prticionmos (de l mism mner que ntes) el intervlo [, b] en n sub-intervlos de igul longitud h := b n, es decir, definimos π n = [ = t ; t 1 ; t ;... ; t n = b ] con t i = + i h, y proximmos f(x) dx = f(x) dx por l cntidd I T n := f( ) + f(t i ) (t i ) = f( ) + f(t i ) h. Es decir, proximmos cd integrl en [, t i ] por el áre del trpecio de ltur h y bses f( ) y f(t i ). y = f(x) =t t1 t t3 t4 t tn=b En otrs plbrs, clculmos l integrl de l función que en cd intervlo [, t i ) es linel y coincide con f en y en t i. L gráfic nos invit creer que el error cometido l clculr In T es menor que el que se comete l clculr In R, y eso es en generl cierto, como lo confirm el siguiente Teorem 3 (Estimción del error de l regl del trpecio). Se f : [, b] R un función con segund derivd continu en [, b]. Si M = máx f, entonces [,b] I T n (b ) 3 f(x) dx M. n Demostrción. Se n N y se π n l prtición uniforme de [, b] en n sub-intervlos de igul longitud h := b n, es decir, definimos π n = [ = t ; t 1 ; t ;... ; t n = b ] con t i = + i h. Observemos primero 4

5 que, si l i (x) es l función linel cuy gráfic ps por (, f( )), y por (t i, f(t i )), entonces I T n f(x) dx = = = ( h f(t i 1) + f(t i ) ti ) ] f(x) dx h f(t i 1) + f(t i ) ti f(x) dx l i (x) dx f(x) dx ( li (x) f(x) ) dx li (x) f(x) dx. (3) Intentemos hor cotr cd uno de estos términos. Pr ello consideremos un intervlo [, t i ] de l prtición, y definmos l función g(x) = l i (x) f(x), que se nul en x = y en x = t i, y por el teorem de Rolle existe ξ i (, t i ) tl que g (ξ i ) = l i(ξ i ) f (ξ i ) =. El teorem fundmentl del cálculo nos dice que si x (, t i ), entonces g (x) = g(ξ i ) + ξ i g (t) dt = ξ i g (t) dt, como l i es linel, g (t) = l i (t) f (t) = f (t) pr t (, t i ). Por lo tnto g (x) = g (t) dt = f (t) dt x ξ i M h M Esto implic que pr s (, t i ) g(s) = g(s) g( ) = ξ i s ξ i g (x) dx Finlmente, de (4) y de l definición de g(x) = l i (x) f(x) se sigue que s g (x) dx M h(s ) M h. (4) li (x) f(x) dx = g(x) dx M h h = M h 3, y por (3) concluimos que I T n f(x) dx l i (x) f(x) dx M h 3 n = M (b ) 3 n 3 n = M (b ) 3 n. que es lo que querímos demostrr. Observción 4. En muchos libros, l fórmul de l regl del trpecio viene expresd como I R n [ f(t ) == h + f(t 1 ) + f(t ) +... f(t n 1 ) + f(t ] n). Fácilmente puede verse que es equivlente l presentd l principio.

6 . Polinomios de Tylor.1. Introducción y Definición Se p(x) un polinomio de grdo n, es decir p(x) = + 1 x + x + + n 1 x n 1 + n x n. Nos preguntmos: Qué relción existe entre ls derivds de p en x = y el vlor de los coeficientes i? Vemos: p() = p (x) = 1 + x x + + (n 1) n 1 x n + n n x n 1 p () = 1 p (x) = x + + (n 1) (n ) n 1 x n 3 + n (n 1) n x n p () = p (x) = (n 1) (n ) (n 3) n 1 x n 4 + n (n 1) (n ) n x n 3 p () = 3 3. Vemos entonces (y se puede demostrr por inducción) que p (k) () = k! k, k =, 1,,.... Notr que si el polinomio es de grdo n, entonces p (n+1) (x) = pr todo x R. Concluimos que Si p(x) es un polinomio de grdo n, entonces p(x) = p() + p () x + p ()! x + p () 3! x p(n) () Hemos descrito un polinomio en bse l vlor de sus derivds en x =. Análogmente, podemos describir un polinomio en términos del vlor de sus derivds en x =, pr culquier número rel fijo : Si p(x) es un polinomio de grdo n, entonces p(x) = p() + p () (x ) + p ()! Motivdos por est iguldd, definimos (x ) + p () 3! x n. (x ) p(n) () (x ) n. 6

7 Definición (Polinomio de Tylor). Si f es un función n veces derivble en x =, se llm polinomio de Tylor de f, de orden n lrededor de x = l polinomio: p(x) = f() + f () (x ) + f ()! (x ) + f () 3! (x ) f (n) () (x ) n. Es decir, el polinomio de Tylor de f de orden n lrededor de x = es el único polinomio de grdo n tl que el vlor del mismo y de sus primers n derivds en x = coincide, respectivmente, con el vlor de f y de sus primers n derivds en x =. Ejemplo. Hllr el polinomio de Tylor de orden 4 de f(x) = e x lrededor de x =. Pr ello, debemos clculr f(), f (), f (), f (), f (4) (): f(x) = e x = f() = 1 f (x) = e x = f () = 1 f (x) = e x = f () = 1 f (x) = e x = f () = 1 f (4) (x) = e x = f (4) () = 1 Por lo tnto p 4 (x) = x + 1! x + 1 3! x ! x4. Puede verse que pr est función prticulr, f (k) () = 1 pr todo k N, y por lo tnto, culquier se n N, el polinomio de Tylor de orden n de f(x) = e x lrededor de x = es p n (x) = x + 1! x + 1 3! x xn = 1 + x + x! + 1 3! x3 + + xn x k = k!. k= Ejemplo 3. Hllr el polinomio de Tylor de f(x) = sen(x) de orden 6 lrededor x =. Observemos que f(x) = sen(x) = f() = f (x) = cos(x) = f () = 1 f (x) = sen(x) = f () = f (x) = cos(x) = f () = 1 f (4) (x) = sen(x) = f (4) () = f () (x) = cos(x) = f () () = 1 f (6) (x) = sen(x) = f (6) () = 7

8 Por lo tnto Y vemos que en generl p 6 (x) = + 1 x +! x + 1 3! = x x3 3! + x!. x 3 + 4! x4 + 1! x + 6! x6 p n (x) = x x3 3! + x! x7 7! + x9 9! x1 1 11! + + ( 1)k+1 x k 1 (k 1)!, con k el myor entero tl que k 1 n, es decir k = [ ] n+1. Ejemplo 4. Hllr el polinomio de Tylor de f(x) = ln(x) de orden lrededor de x = 1. Observemos que f(x) = ln(x) = f(1) = f (x) = 1 x = f (1) = 1 Por lo tnto f (x) = 1 x = f (1) = 1 f (x) = x 3 = f (1) = f (4) (x) = 3 x 4 = f (4) (1) = 3 f () (x) = 3 4 x = f () (1) = 3 4 p (x) = + 1 (x 1) + 1 (x 1) +! 3! (x 1) ! (x 1) (x 1)3 (x 1)4 (x 1) = (x 1) (x 1) ! Puede imginrse l form del polinomio de Tylor de orden n en este cso? (x 1).. Interpretción geométric Pr ver qué represent geométricmente el polinomio de Tylor de un ciert función de grdo n lrededor de un punto ddo, considermos como ejemplo l función f(x) = sen(x) y grficmos en un mismo pr de ejes, l función dd y sus polinomios de Tylor de orden 4 lrededor de x = 8

9 Lo primero que observmos es que p (x) es un rect horizontl que coincide con l función en (, f()). El polinomio p 1 (x) es linel y tnto su vlor como el vlor de su derivd coinciden con los de f en x =, por lo tnto l gráfic de p 1 (x) es l rect tngente l gráfic de f(x) en (, f()). Pr este ejemplo, el polinomio p (x) coincide con p 1 (x) porque f () =. Tmbién observmos que medid que umentmos el orden del polinomio de Tylor, estos proximn cd vez mejor l función. A continución grficmos l mism función y sus polinomios de Tylor de orden 1. Vemos que medid que ument el orden l proximción mejor pues ls grfics se mntienen cerc 9

10 de l gráfic de y = sen(x) en intervlos más grndes. Tmbién observmos que lejos de x = l proximción es ml, pues todo polinomio p(x) no-constnte stisfce lím x p(x) =..3. Un ejemplo interesnte Por otro ldo, si considermos l función f(x) = { e 1/x si x si x = result que tiene tods sus derivds nuls en x =, es decir f () =, f () =, f () =,, f (n) () =, Por lo tnto, el polinomio de Tylor lrededor de x = es el polinomio nulo p n (x) pr culquier n. En este cso no es cierto que p n (x) se proxime cd vez más f(x) medid que n crece..4. Error de truncmiento Trtemos de estudir hor el error que se prouce l proximr f por un polinomio de Tylor de orden n. Por simplicidd consideremos los polinomios de Tylor de un función f lrededor de x =. Observemos primero que si f es derivble en ( p, p) y x ( p, p), entonces hciendo l sustitución t = x s result f(x) f() = f (s) ds = 1 f (x t) dt.

11 Luego f(x) = f() + f (x t) dt. () Si suponemos que f es derivble y f continu, e integrmos por prtes tomndo u (t) = 1, v(t) = f (x t) obtenemos f (x t) dt = 1 f (x t) dt = t f (x t) x = [x f (x x) f (x )] + = x f () + Usndo est iguldd y () concluimos que t f (x t) dt. f(x) = f() + x f () + t f (x t)( 1) dt t f (x t) dt t f (x t) dt. (6) Si integrmos por prtes nuevmente, hor suponiendo que f es derivble y f continu, tomndo u (t) = t, v(t) = f (x t) obtenemos Que usndo (6) implic t f (x t) dt = t f (x t) x = x f (x x) f (x ) + = x f () + 1 f(x) = f() + x f () + x f () + 1 t f (x t)( 1) dt t f (x t) dt. Repitiendo este procedimiento (hciendo inducción) llegmos l t f (x t) dt t f (x t) dt. (7) Teorem 6 (Teorem de Tylor). Si f tiene n+1 derivds continus en un intervlo ( p, p) (con p > ), entonces, pr x ( p, p) se tiene que f(x) = f() + xf () + x! f () + x3 3! f () + + xn f (n) () + T n (x), donde T n denot el residuo de Tylor ddo por l fórmul T n (x) = 1 t n f (n+1) (x t) dt. 11

12 L fórmul generl pr el teorem de Tylor lrededor de x = es f(x) = f() + (x )f () + donde T n es hor (x ) f () +! T n (x) = 1 (x )3 f () + + 3! t n f (n+1) (x t) dt. (x )n f (n) () + T n (x),.. Otr fórmul pr el residuo Intentremos hor obtener un fórmul más sencill y tl vez más útil pr el residuo de Tylor. Pr ello recordemos primero el teorem del vlor medio del cálculo integrl, que dice: Si f : [, b] R es continu en [, b], entonces existe ξ (, b) tl que f(x) dx = f(ξ)(b ). Un consecuenci de este resultdo es el siguiente Teorem 7 (Teorem del vlor medio generlizdo). Si f es continu en [, b] y g integrble y no-negtiv sobre [, b] entonces existe ξ [, b] tl que f(x)g(x) dx = f(ξ) g(x) dx Demostrción. Sen M = máx [,b] Integrndo, obtenemos m f y m = mín f, entonces, como g(x), x [, b] [,b] m g(x) f(x)g(x) M g(x), g(x) dx que dividiendo por g(x) dx(> ) result m f(x)g(x) dx M f(x)g(x) dx g(x) dx M. x [, b]. g(x) dx, Por el teorem del vlor intermedio, ddo que f es continu, result que existe ξ (, b) tl que y el teorem qued probdo. f(x)g(x) dx = g(x) dx f(ξ), 1

13 Ahor sí, consideremos el residuo pr el polinomio de Tylor de orden n lrededor de x = : T n (x) = 1 t n f (n+1) (x t) dt. Si pensmos por un momento en el cso x > y suponemos que f (n+1) es continu en un intervlo lrededor del origen, el teorem del vlor medio nos dice que existe ξ (, x) tl que T n (x) = 1 f (n+1) (x ξ) t n dt = 1 f (n+1) (x ξ) xn+1 n + 1. Si llmmos η = x ξ tmbién result η (, x) y luego se cumple que T n (x) = xn+1 (n + 1)! f (n+1) (η), pr lgún η entre y x. El cso x < se demuestr de mner nálog, y el teorem generl de Tylor luce sí: Teorem 8. Si f tiene n + 1 derivds continus en un intervlo ( p, + p) (con p > ), entonces, pr cd x ( p, + p) existe η x entre y x (y tmbién η x ( p, + p)) tl que f(x) = f() + (x )f () + (x ) f () + +! Tenemos los siguientes corolrios de demostrción inmedit: (x )n f (n) () + Corolrio 9. Si f tiene n+1 derivds continus en [ p, +p] y si M n+1 = x n+1 f(x) p n (x) M n+1, x [ p, + p]. (n + 1)! Corolrio 1. Si f tiene infinits derivds continus en [ p, + p] y si donde M n = máx f (n), entonces [ p,+p] lím M p n n n =, (x )n+1 f (n+1) (η x ). (n + 1)! máx f (n+1), entonces [ p,+p] lím p n(x) = f(x), n x [ p, + p]. Es decir n= f (n) (x )n () = f(x),, x [ p, + p]. Definición 11. L serie n= f (n) () (x )n se llm serie de Tylor de f lrededor de x =. 13

14 .6. Un Aplicción de los polinomios de Tylor. Cálculo de integrles proximds Ejemplo. Se sbe que un función f(x) tiene 3 derivds continus en [4, 6] y que f() = 4, f () = 1, f () = 3. Clculr de mner proximd f(x) dx. Como el polinomio de Tylor de f de orden, p (x), lrededor de x = es un proximción de f(x) cerc de x = podemos proximr f(x) dx por p (x) dx. A prtir de los dtos, obtenemos luego p (x) = 4 + ( 1)(x ) + 3 (x ), f(x) dx p (x) dx = 4 dx 1 = 4 u du + 3 = = 4. (x ) dx + 3 Si demás conocemos un cot pr f (x) en [, 6], por ejemplo 1 (x ) dx u du (sustitución: u = x ) M 3 = máx f 1,. [,6] Podemos estimr el error cometido de l siguiente mner: y como se tiene que f(x) dx p (x) dx = f(x) p (x) M 3 (x ) 3 3! (f(x) p (x)) dx f(x) p (x) dx, 1, 6 (x )3 =, (x ) 3, pr x [, 6], Por lo tnto f(x) p (x) dx y entonces 4,6,(x ) 3 dx =, f(x) dx f(x) dx 4 +,6, es decir 3,937 1 p (x) dx,6, f(x) dx 4,6. t 3 dt =, 4 =,6. 14