El espacio tridimensional. Tema 01: Álgebra lineal y geometría en R 3. Vectores. El producto punto o producto escalar. Teorema

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1 El espacio tridimensional Tema 01: Álgebra lineal y geometría en R 3 Juan Ignacio Del Valle Gamboa Sede de Guanacaste Universidad de Costa Rica Ciclo I Partimos de los conceptos de punto y vector. La posición de un punto en el espacio cartesiano se especifica mediante tres coordenadas. Al vector que une el origen con un punto P dado se le conoce como vector posición de P. Vectores El producto punto o producto escalar Los vectores son cantidades que poseen magnitud, dirección y sentido. Los vectores pueden ser paralelos o de sentido opuesto, y sus magnitudes obedecen a relaciones comparativas. Por ejemplo, v = t, y w < v. El vector definido entre un punto A = (a x, a y, a z ) y otro B = (b x, b y, b z ) es AB = (b x a x, b y a y, b z a z ). El producto escalar de dos vectores a y b está definido por a b = a x b x + a y b y + a z b z Corolarios a b = a b cosθ Vectores perpendiculares: a b a b = 0 Vectores paralelos: a b a b = a b Qué ocurre con dos vectores antiparalelos?

2 El producto punto o producto escalar ( ) Proy b a = a b b b 2 Considerar el caso particular de la proyección sobre un vector unitario: u = 1 Proy u a = ( ) a b u El producto vectorial de dos vectores a y b está definido por a b = i j k a x a y a z b x b y b z = (a y b z a z b y )i (a x b z a z b x )j + (a x b y a y b x )k Corolarios a b = a b senθ Vectores perpendiculares: a b a b = a b Vectores paralelos: a b a b = 0 El producto cruz de dos vectores es perpendicular a ambos: ( a b) a ( a b) b La magnitud del producto cruz de dos vectores a y b es igual al área del paralelogramo formado por ellos. A = b h = b a sin(θ) A = a b Nota a b = b a a b = ( b a)

3 Distancia entre dos puntos Fórmula La distancia entre dos puntos P = (p x, p y, p z ) y Q = (q x, q y, q z ) se define según la siguiente expresión: d(p, Q) = PQ = (q x p x ) 2 + (q y p y ) 2 + (q z p z ) 2 Demostrar cómo esto es una simple expresión del de Pitágoras Definiciones (formalmente débiles) Las entidades geométricas tratadas en este curso se categorizarán como puntos, curvas, superficies o sólidos. Cada una de estas entidades se define según los grados de libertad de movimiento g que un observador confinado a ellas puede tener. Cada entidad puede existir en un espacio cartesiano de hasta g dimensiones. La cantidad de ecuaciones algebraicas necesarias para describir una entidad geométrica n viene dada por las dimensiones del espacio cartesiano utilizado d menos los grados de libertad de movimiento de la entidad g. n = d g Ejemplos El espacio cartesiano de dos dimensiones puede contener puntos, curvas y superficies, pero no regiones sólidas. El espacio cartesiano de tres dimensiones puede contener puntos, curvas, superficies y sólidos, pero no figuras hiperdimensionales. Qué es una ecuación algebraica? Condición aplicada sobre los puntos pertenecientes a la entidad; solo contiene las variables cartesianas. Un mismo tipo de entidad geométrica puede requerir de distinta cantidad de ecuaciones algebraicas?

4 Rectas en el espacio cartesiano de dos dimensiones Rectas en el espacio R 3 n = d g = 2 1 = 1. Solo se requiere una ecuación cartesiana para representar una recta en el espacio R 2. La ecuación viene dada por y = mx + b, y se puede obtener conociendo dos puntos de la recta, A y B: m = b y a y b x a x. Rectas en el espacio R 3 - Ecuaciones paramétricas Requisitos Para poder describir la ecuación de una recta en R 3, se requiere conocer: Un punto P que pertenezca a la recta. Un vector v que sea paralelo a la recta. A partir del punto conocido P y moviéndose en distancias múltiplo del vector v se pueden generar todos los puntos (x, y, z) pertenecientes a la recta L. (x, y, z) = (p x, p y, p z ) + t(v x, v y, v z ) A este conjunto de tres ecuaciones se les llama paramétricas porque dependen del parámetro real t (aparte de las tres variables geométricas x, y, z). Particularidades n = d g = 3 1 = 2. Se requieren dos ecuaciones algebraicas para describir una recta en R 3. Dicho en otras palabras, una recta se describe en R 3 con ecuaciones algebraicas expresada como la intersección de dos entidades geométricas. Como esta es la primera entidad geométrica que se introduce, necesitaremos otro tipo de ecuaciones para poder describir la recta. Rectas en el espacio - Ejemplo Describir la recta que pasa por el punto (0, 2, 0) y es paralela al eje X. Ecuaciones algebraicas La recta se puede expresar como la intersección de dos planos: el plano XY, y el plano. En otras palabras, este ejemplo es el mismo concepto que la recta en el espacio R 2, añadiendo el hecho que z = 0. { z = 0 Ecuaciones paramétricas La recta pasa por (0, 2, 0) y es paralela al eje X, es decir, al vector v = (1, 0, 0). Por lo tanto, (x, y, z) = (0, 2, 0) + t(1, 0, 0) Esto es equivalente a, x = t z = 0

5 Planos en el espacio R 3 Planos en el espacio R 3 Definiciones Un plano es una superficie definida por un punto P y un vector perpendicular a ella (vector normal) n. Un plano es una superficie definida por dos vectores linealmente independientes. Un plano puede definirse con solo tres puntos ( por qué esto equivale a la definición anterior?) Requisitos Un punto del plano P. Un vector normal al plano n. Un plano requiere n = d g = 3 2 = 1 ecuaciones en R 3. Esta se deriva a partir de un punto del plano P y un vector normal a él n, pues el vector entre P y cualquier punto (x, y, z) que pertenezca al plano será perpendicular a n. n (p x x, p y y, p z z) = 0 n x x + n y y + n z z = n x p x + n y p y + n z p z Planos en el espacio: Ejemplo Describir el plano que pasa por (1, 2, 3) y es paralelo tanto a la recta (x, y, z) = (0, 2, 0) + t(1, 0, 1) y (x, y, z) = t(1, 0, 1). El enunciado provee el punto conocido del plano, pero no expresa directamente su vector normal. Este se calcula sabiendo que el vector normal buscado debe ser perpendicular a ambas rectas, ya que el plano es paralelo a dichas rectas. Como conocemos los vectores directores de las dos rectas, el vector normal se calcula con un producto cruz: n = (1, 0, 1) (1, 0, 1) n = (0, 2, 0) Finalmente, el plano viene dado por: [(x, y, z) (1, 2, 3)] (0, 2, 0) = 0 2y = 4

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