Formas clausulares Teoría de Herbrand Algoritmo de Herbrand Semidecidibilidad. Teoría de Herbrand. Lógica Computacional

Transcripción

1 Teoría de Herbrand Lógica Computacional Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Málaga Curso 2005/2006

2 Contenido 1 Formas clausulares Refutación y formas clausulares 2 Teoría de Herbrand Universo de Herbrand Base e Interpretaciones de Herbrand Teorema de Herbrand 3 Algoritmo de Herbrand Extensión de Quine a primer orden Teorema de Herbrand 4 Semidecidibilidad

3 Forma clausular y principio de refutación Consideremos las fórmulas cerradas A 1,...,A n y A, entonces: A 1,..., A n = A sii {A 1,..., A n, A} es insatisfacible sii sii {B 1,..., B n, B n+1 } es insatisfacible, donde B i A i para i = 1,..., n, B n+1 A B 1,..., B n+1 están en fnc prenexa {D 1,..., D n, D n+1 } es insatisfacible, donde cada D i es una forma de Skolem de D i sii C 1,..., C m insatisfacible donde las C i son cláusulas obtenidas introduciendo los prefijos en cada D i y eliminando las conjunciones.

4 Convenios para las formas clausulares La equivalencia: xa(x) xb(x) xa(x) yb(y) permite suponer que las cláusulas no comparten variables. Entendemos que las cláusulas son de la forma: C = x 1... x n (l 1 l k ) Al considerar el cierre universal de cada cláusula, en general omitiremos el prefijo de las cláusulas.

5 Ejemplo x(p(x) Q(x)), x(q(x) R(x)) = x(p(x) R(x)) Obtengamos la forma clausular de la inferencia: 1 { x(p(x) Q(x)), x(q(x) R(x)), x(p(x) R(x))} 2 { x( P(x) Q(x)), x( Q(x) R(x)), x(p(x) R(x))} 3 { x( P(x) Q(x), x( Q(x) R(x)), P(a) R(a)} 4 { x( P(x) Q(x)), x( Q(x) R(x)), P(a), R(a)} 5 { P(x) Q(x), Q(y) R(y), P(a), R(a)} La inferencia es correcta si y solo si el conjunto de cláusulas obtenido es insatisfacible.

6 Teoría de Herbrand Dado Ω, sea Σ Ω = (C Ω, F Ω, P Ω ) su signatura. Buscamos un universo ideal donde interpretar Ω, y poder representar todos los términos básicos generados por Σ Ω. 1 Sea Ω 1 = {P(a), Q(b)}. Podemos hablar de a y de b. 2 Sea Ω 2 = {P(a), Q(x)}. En este caso, solo podemos referirnos al elemento denotado por a. 3 Sea Ω 3 = {P(a), Q(f (x))}. En este caso, podemos hablar acerca de a, f (a), f (f (a)),... 4 Sea Ω 4 = {P(x), Q(y)}. No tenemos referentes. 5 Sea Ω 5 = {P(f (b)), Q(a)}. Tenemos a, b, f (a), f (b),... 6 Sea Ω 6 = {P(f (b)), Q(g(a))}. Qué referentes se generan?

7 Teoría de Herbrand Definición El universo de Herbrand de Ω, denotado H Ω, es la clausura inductiva libremente generada por C Ω bajo el conjunto de constructores F Ω. Si C Ω =, entonces se asume una constante c H. Constructivamente, si consideramos los conjuntos H n { C Ω si C Ω 1 H 0 = si C Ω = c H 2 H i+1 = H i {f (t 1,..., t nf ); f F Ω, t k H i } tenemos que H Ω = n=0 H n

8 Base e Interpretaciones de Herbrand Definición La Base de Herbrand de Ω es el siguiente conjunto de fórmulas atómicas básicas: B Ω = {P(t 1,..., t np ); P P Ω, t k H Ω } Definición Se llama interpretación de Herbrand (o H-interpretación) de Ω a cualquier estructura con dominio H Ω que verifique: 1 I (a) = a para todo a C Ω 2 I (f ) = f para todo f F Ω Toda interpretación de Herbrand viene dada por la asignación de valores de verdad a cada uno de los elementos de B Ω.

9 Teorema de Herbrand Teorema Un conjunto Ω es satisfacible si y solo si es satisfacible en alguna H-interpretación. Observación Es importante priorizar los respecto de los, al generarse universos de Herbrand más sencillos. Podemos considerar los elementos de la base de Herbrand como símbolos proposicionales. El método de Quine se puede generalizar a primer orden haciendo uso de los árboles semánticos.

10 Algoritmo de Herbrand Árboles semánticos Definición Sea Γ = {P 1, P 2,..., P n,...} una sucesión de átomos básicos. Un árbol semántico respecto de Γ es un árbol binario tal que: Cada arco está etiquetado con un literal P i ó P i. Las etiquetas de arcos de profundidad k son P k o P k. Las etiquetas de dos arcos que nacen del mismo nodo son opuestas. Observación Si Γ es finito, todo árbol semántico respecto de Γ es finito. Si Γ es infinito, existen árboles semánticos finitos e infinitos respecto de Γ.

11 Algoritmo de Herbrand Interpretación parcial asociada a una rama Definición Cada nodo N de un árbol semántico define una interpretación de Herbrand parcial que a cada átomo P le asigna: El valor 1 si en el camino hasta N aparece la etiqueta P. El valor 0 si en el camino hasta N aparece la etiqueta P. En otro caso, si no aparece ni P ni P no se asigna ningún valor.

12 Algoritmo de Herbrand Árbol completo Definición Dado Ω, sea Γ = {P 1, P 2,..., P n,...} una enumeración de B Ω, un árbol semántico para Ω respecto de Γ es completo si la interpretación de Herbrand asociada a cada hoja asigna valores de verdad a todos los P i Γ. Proposición Un árbol semántico completo para Ω respecto de es finito si y sólo si en Ω no intervienen símbolos de función. Como consecuencia, si H Ω es finito podemos extender de modo natural el método de Quine visto para el caso proposicional.

13 x( xp(x) Q(x)) = y x(p(x) Q(y)) Ejemplo Por refutación, la inferencia es válida si y solo si Ω = { P(x) Q(y), P(a), Q(b)} es insatisfacible. 1 H Ω = {a, b} 2 B Ω = {P(a), Q(a), P(b), Q(b)}. Ω es insatisfacible y, por lo tanto, la inferencia es válida.

14 Teorema de Herbrand Definiciones Previas Definición Un nodo N de un árbol semántico para Ω respecto de una enumeración Γ = {P 1,, P 2,...} de B Ω se denomina nodo fallo si la interpretación I asociada a N es tal que I (Ci b ) = 0 para alguna instancia básica de una cláusula C i de Ω pero ninguno de sus ascendientes posee esta propiedad. Un árbol semántico respecto de = {P 1, P 2,...} se dice cerrado si todas sus hojas son nodos fallo.

15 Teorema de Herbrand Teorema Dado un conjunto Ω de cláusulas, los tres siguientes enunciados son equivalentes: 1 Ω es insatisfacible. 2 Asociado a cada árbol semántico completo (para Ω) existe un árbol semántico cerrado finito. 3 Existe un conjunto finito de instancias básicas de cláusulas de Ω que es insatisfacible.

16 xp(x), x(p(x) Q(f (x))) = Q(f (a)) Ejemplo La inferencia es válida si y solo si el conjunto Ω = {P(x), P(y) Q(f (y)), Q(f (a))} es insatisfacible. H Ω = {a, f (a), f (f (a),... } B Ω = {P(a), Q(a), P(f (a)), Q(f (a)), P(f (f (a))),... } Ω es insatisfacible y la inferencia válida:

17 Semialgoritmo de decidibilidad en L 1 Sea Ω un conjunto de cláusulas: 1 Generar una enumeración Γ = {C 1, C 2,...} del conjunto de instancias básicas de las cláusulas de Ω 2 Construir un árbol semántico respecto a de acuerdo a: Si la interpretación asociada a un nodo N le asigna valor de verdad a Ω, se etiqueta N con el valor obtenido. Si alguna hoja se etiqueta con 1 entonces Ω es satisfacible. Si se obtiene un árbol cerrado, Ω es insatisfacible. Si Ω es insatisfacible entonces podremos comprobar su insatisfacibilidad en un número finito de etapas; pero si es satisfacible, el proceso podría no terminar si Ω solo tuviera modelos de Herbrand infinitos.

18 Semidecidibilidad de L 1 Observación El problema de la satisfacibilidad para la lógica L 1 es, al menos, semidecidible, es decir, existe un algoritmo SA-Dec tal que dada una fórmula A: SA-Dec(Ω = A) = Sí si y solo si A es insatisfacible. Si SA-Dec(Ω = A) = No entonces A es satisfacible. Teorema (Church-Turing) La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden no es decidible.

19 SAT y la teoría de la complejidad SAT: decidir la satisfacibilidad de una fórmula proposicional. TAUT: decidir la validez de una fórmula proposicional. SAT es un problema NP-completo: existen algoritmos no deterministas para SAT de complejidad polinómica y cualquier problema de este tipo puede ser reducido en tiempo polinómico a SAT. (Cook, 1971). P = NP? $ para quien lo resuelva (Clay prize) Si TAUT P, entonces P = NP; Si TAUT P, entonces P NP.