UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO: Matemática Intermedia 1 JORNADA: Vespertina SEMESTRE: 1er. Semestre AÑO: 2013 TIPO DE EXAMEN: 3er. Examen Parcial NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN: Jorge Galicia NOMBRE DE LA PERSONA QUE REVISÓ EL EXAMEN: Inga. Vera Marroquín

2 Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Matemática Intermedia 1 Tercer Examen Parcial Tema No. I II a. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto (1,2,3) y contiene a la recta b. Utilizando vectores, calcule el área del triángulo con vértices en (3,2,1) (2,4,6) (-1,2,5). c. Determine las ecuaciones simétricas de la recta de intersección de los planos: 3x+2y-z = 7; x+4y+2z = 0 d. Calcule la distancia del punto (4,-2,3) al plano Encuentre el n-ésimo término de la sucesión y determine si converge o diverge Puntos /100 (40 puntos) (12 puntos) III Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie de potencias (sin analizar los puntos extremos del intervalo) (15 puntos) IV Dadas las series: (15 puntos) V determine, si convergen o divergen identificando el criterio usado. a. Encuentre la serie de Maclaurin para: b. Utilizando la serie del inciso anterior represente: (18 puntos) c. Utilizando la serie anterior. Calcule con tres cifras decimales exactas.

3 SOLUCIÓN DEL EXAMEN TEMA 1 a. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto (1,2,3) y contiene a la recta Para encontrar la ecuación de un plano se necesita encontrar el vector normal y un punto que esté contenido dentro del plano. El punto ya lo dan (1,2,3), únicamente debe encontrarse el vector normal. Para encontrarlo, debe hacerse producto cruz entre el vector director de la recta y un vector que vaya de un punto sobre la recta al punto (1,2,3). Sea (0,1,2) (1,2,3) Sea Vector normal del plano: Ecuación del plano: b. Calcular el área del triángulo con vértices en A (3,2,1), B (2,4,6), C (-1,2,5) Se encuentran dos vectores AB y AC. Calculando el producto cruz entre ambos vectores

4 La magnitud del vector anterior es el área del paralelogramo formado por estos vectores. Para calcular el área del triángulo, se divide entre dos la magnitud del vector anterior. c. Ecuaciones de rectas de intersección de planos: 3x+2y-z = 7; x+4y+2z = 0 Utilizando el método de Gauss para reducir la matriz: Fila 2=3 *Fila 2 Fila 1 Fila 1 = (1/3) Fila 1 Fila 2 = (1/10) Fila 2 Sistema con infinitas soluciones. Haciendo Ecuaciones paramétricas de la recta de intersección: Ecuaciones simétricas: d. Calcule la distancia del punto (4,-2,3) al plano

5 Como se observa en la figura, para calcular la distancia del punto P 0 (4,-2,3) al plano, basta con calcular la magnitud de la proyección de un vector que vaya del punto P 0 (4,-2,3) a otro punto P cualquiera del plano. Punto P: (0,0,1) Vector normal del plano Calculando la magnitud de la proyección del vector sobre. TEMA 2 Calcular el n-ésimo término y determinar si converge o diverge la sucesión: El n-ésimo término es: Iniciando en n = 1. Para determinar si la sucesión converge o diverge, hacemos: La sucesión converge a ½. TEMA 3 Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie de potencias, sin analizar los puntos extremos del intervalo. Como no se deben analizar los puntos extremos del intervalo, basta con aplicar el criterio del cociente. Aplicando el criterio del cociente:

6 Aplicando división larga: TEMA 4 Dada las series, determine si convergen o divergen. Criterio de series geométricas: Por el criterio de las series geométricas, converge si: Por lo que la serie converge. Por el teorema de la divergencia: La sucesión no converge a cero, por lo que la serie diverge.

7 Por criterio de p series: Las series p convergen si p (exponente al que está elevado n) es mayor que 1. En este caso,. Por lo que la serie converge. TEMA 5 a. Encuentre la serie de Maclaurin para: Valuando en a=0 (por ser serie de Maclaurin). Generando la serie de Maclaurin: b. Utilizando la serie del inciso anterior represente:

8 c. Utilizando la serie anterior. Calcule con tres cifras decimales exactas. (Polinomio de Maclaurin de grado 5). Integrando la serie: