Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II

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1 Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II 1 Desarrollos de Taylor en varias variables Vamos ahora a generalizar los desarrollos de Taylor que vimos para funciones de una variable. La idea es similar, pues intentamos aproximar una función por un polinomio, ahora en varias variables, utilizando para ello las derivadas parciales de la función. El motivo es idéntico al que exponíamos en aquel momento: las funciones más manejables son los polinomios, ya que involucran solamente operaciones elementales básicas (sumas, restas y productos). Enunciamos a continuación el teorema de Taylor para funciones de varias variables. Teorema 1.1 Sea f : R n R una función de clase C k+1 (B,R), dondeb es una bola centrada en un punto x 0 = (a 1,..., a n ). Entonces para cada punto x =(x 1,..., x n ) B existe un punto intermedio c entre x 0 y x verificando f(x) =f+ 1 1 nx i=1 (x i a i )+ 1 nx i,j=1 x j (x i a i )(x j a j ) k 1 (k +1) nx i 1,i,...,i k =1 nx i 1,i,...,i k+1 =1 k f 1 k (x i1 a i1 )(x i a i ) (x ik a ik )+ k+1 f 1 k+1 (c)(x i1 a i1 )(x i a i ) (x ik+1 a ik+1 ) Observación 1. Cuando hablamos en el enunciado de un punto intermedio c lo que se quiere decir es que dicho puntoestáenelsegmento que une x 0 con x (dicho segmento es el conjunto {x 0 + t(x x 0 ):0 t 1}). Observación 1.3 El polinomio de Taylor de orden k de f en x 0 es la expresión anterior salvo el último término (elquevaconelíndicek +1), el cual corresponde al resto de orden k, y que nos da una estimación del error que se comete al aproximar la función por el polinomio de Taylor. La expresión de f como suma de ambas cosas es lo que se conoce como fórmulaodesarrollodetaylor: f(x) =p k (x)+r k (x) Observación 1.4 Con las notaciones anteriores podemos poner f(x) =T 0 (x)+t 1 (x) T k (x)+r k (x) siendo cada T i (x) el término que recoge los sumandos de grado i. Así: R k (x) = T 1 (x) = 1 1 T 0 (x) =f nx i=1 (x i a i ) T (x) = 1 nx (x i a i )(x j a j ) x i,j=1 i x j... T k (x) = 1 nx k f (x i1 a i1 )(x i a i ) (x ik a ik ) k 1 k 1 (k +1) i 1,i,...,i k =1 nx i 1,i,...,i k+1 =1 k+1 f 1 k+1 (c)(x i1 a i1 )(x i a i ) (x ik+1 a ik+1 ) Observación 1.5 Escribimos a continuación los casos particulares más frecuentes: 1

2 1. Sea f : R R. Entonces el polinomio de Taylor de grado 1 en el punto x 0 =(a, b) es f(a, b)+ (a, b)(x a)+ (a, b)(y b) x y El desarrollo de Taylor de grado 1 es f(a, b)+ (a, b)(x a)+ x y (a, b)(y b)+1 f [ x (c)(x a) + f y (c)(y b) + f (c)(x a)(y b)] x y (incluido el resto), para cierto punto c del segmento que une (a, b) y (x, y) (observemos que la derivada cruzada lleva un delante porque hay dos, f x y y f y x ). El polinomio de Taylor de grado es f(a, b)+ (a, b)(x a)+ x y (a, b)(y b)+1 f [ x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y a) + f (a, b)(x a)(y b)] x y El resto para el grado sería pues 1 f 6 [ 3 x 3 (c)(x a)3 + 3 f y 3 (c)(y b) f x y (c)(x a) (y b)+3 3 f x y (c)(x a)(y b) ] para cierto punto c del segmento que une (a, b) y (x, y) (observemos que las derivadas cruzadas van de tres en tres, por eso llevan delante un 3). Finalmente el polinomio de Taylor grado 3 sería f(a, b)+ (a, b)(x a)+ x y (a, b)(y b)+1 f [ x (a, b)(x a) + + f y (a, b)(y b) + f x y (a, b)(x a)(y b)] [ 3 f x 3 (a, b)(x a) f y 3 (a, b)(y b) f x y (a, b)(x a) (y b)+3 3 f x y (a, b)(x a)(y b) ]. Sea f : R 3 R. Entonces el polinomio de Taylor de grado 1 en el punto (a 1,a,a 3 ) es f(a 1,a,a 3 )+ x (a 1,a,a 3 )(x a 1 )+ y (a 1,a,a 3 )(y a )+ z (a 1,a,a 3 )(z a 3 ) con resto 1 [ f x (c)(x a 1) + f y (c)(y a ) + f z (c)(z a 3) + f x y (c)(x a 1)(y a )+ + f x z (c)(x a 1)(z a 3 )+ f y z (c)(y a )(z a 3 )] para cierto punto c del segmento que une (a 1,a,a 3 ) y (x, y, z). El polinomio de Taylor de grado es f(a 1,a,a 3 )+ x (a 1,a,a 3 )(x a 1 )+ y (a 1,a,a 3 )(y a )+ z (a 1,a,a 3 )(z a 3 )+ + 1 [ f x (a 1,a,a 3 )(x a 1 ) + f y (a 1,a,a 3 )(y a ) + f z (a 1,a,a 3 )(z a 3 ) + + f x y (a 1,a,a 3 )(x a 1 )(y a )+ f x z (a 1,a,a 3 )(x a 1 )(z a 3 )+ f y z (a 1,a,a 3 )(y a )(z a 3 )] Ejemplo Consideremos la función f(x, y) =x cos y y sin x Las derivadas parciales primeras de f son x =cosy y cos x y = x sin y sin x ElpolinomiodeTaylordeorden1 de f en el punto ( π, 0) es p 1 (x, y) =f( π, 0) + ( π, 0) (x + π)+ ( π, 0) y = π +(x + π) x y

3 Las derivadas parciales segundas de f son x = y sin x x y = sin y cos x f y = x cos y ElpolinomiodeTaylordeorden de f en el punto ( π, 0) es p (x, y) = π +(x + π)+ 1 [ f x ( π, 0) (x + π) + f x y ( π, 0) (x + π)y + f y ( π, 0) y ]= = π +(x + π)+(x + π)y + π y Normalmente no se desarrollarán los paréntesis en las expresiones del tipo (x x 0 ) ó (y y 0 ) (en este caso no lo haremos con (x + π)).. Consideremos la función f(x, y, z) = x y zex Si hallamos las derivadas parciales primeras, nos resultan x = 1 y zex y = x y z = ex Si queremos calcular el polinomio de Taylor de orden 1 de f en el punto (1, 1, 0), puesto que f(1, 1, 0) = 1 x (1, 1, 0) = 1 y (1, 1, 0) = 1 z (1, 1, 0) = e obtendremos que p 1 (x, y, z) = f(1, 1, 0) + (1, 1, 0) (x 1) + (1, 1, 0) (y 1) + (1, 1, 0) z = x y z = 1+(x 1) (y 1) ez Para hallar el polinomio de Taylor de orden hallaremos las derivadas parciales de orden : x = ze x f x y = 1 y x z = ex f y = x y 3 y z =0 z =0 Así el polinomio de Taylor es p (x, y, z) =1+(x 1) (y 1) ez+ + 1 f [ x (1, 1, 0) (x 1) + f y (1, 1, 0) (y 1) + f z (1, 1, 0) z + + f x y (1, 1, 0) (x 1)(y 1) + f x z (1, 1, 0) (x 1)z + f (1, 1, 0) (y 1)z] = y z =1+(x 1) (y 1) ez +(y 1) (x 1)(y 1) e(x 1)z 3. Consideremos la función f(x, y) =(x y)e x +y Si hallamos las derivadas parciales primeras, nos resultan x =(1+x xy)e x +y y =( 1+xy y )e x +y Si lo que queremos es calcular el polinomio de Taylor de orden 1 de f en el punto (1, ), puesto que f(1, ) = 3e 5 x (1, ) = 7e5 y (1, ) = 13e5 tendremos que p 1 (x, y) =f(1, ) + (1, ) (x 1) + (1, ) (y +)= x y =3e 5 +7e 5 (x 1) 13e 5 (y +). Para hallar el polinomio de Taylor de orden calcularemos antes las derivadas parciales de orden, que son las siguientes: x =(6x y +4x 3 4x y)e x +y y =(x 6y +4xy 4y 3 )e x +y 3

4 Cuando evaluemos en el punto (1, ) obtendremos que x y = f y x =( x +y +4x y 4xy )e x +y x (1, ) = e 5 Entonces el polinomio de Taylor es f y (1, ) = 6e 5 f x y (1, ) = f y x (1, ) = 30e5 p (x, y) =f(1, ) + (1, )(x 1) + (1, )(y +)+ x y 1 f [ x (1, ) (x 1)(x 1) + f (1, ) (x 1)(y +)+ x y + f y x (1, ) (y +)(x 1) + f (1, ) (y +)(y +)]= y =3e 5 +7e 5 (x 1) 13e 5 (y +)+11e 5 (x 1) 30e 5 (x 1)(y +)+31e 5 (y +). 4. Consideremos la función f(x, y) =(x 3x)e y Calculemos su polinomio de Taylor de grado 3 en el punto (0, 0). Las derivadas parciales de órdenes 1, y 3 son: x =(x 3)ey y =y(x 3x)e y x =e y y =(x 3x)(1 + y )e y x y = f y x =(x 3)yey 3 f x 3 =0 3 f x y = 3 f y x y = 3 f y x =(x 3)(1 + y )e y 3 f x y = 3 f x y x = Evaluando en el punto (0, 0) tendremos que 3 f y x =4ye y 3 f y 3 =4y(x 3x)(y +3)e y f(0, 0) = 0 x (0, 0) = 3 y (0, 0) = 0 x (0, 0) = y (0, 0) = 0 x y (0, 0) = f y x (0, 0) = 0 3 f x 3 (0, 0) = 0 3 f x y (0, 0) = 3 f x y x (0, 0) = 3 f y x (0, 0) = 0 3 f x y (0, 0) = Entonces el polinomio de Taylor es 3 f y x y (0, 0) = 3 f y x (0, 0) = 6 3 f y 3 (0, 0) = 0 p 3 (x, y) =f(0, 0) + (0, 0) x + x y (0, 0) y + 1 f [ x (0, 0) x + f x y (0, 0) x y + f y (0, 0) y ] [ 3 f x 3 (0, 0) x f x y (0, 0) x y +3 3 f x y (0, 0) x y + 3 f y 3 (0, 0) y3 ]= =0 3x +0y + 1 [x + 0xy +0y ]+ 1 6 [0x3 +3 0x y +3 ( 6)xy +0y 3 ]= 3x + x 3xy Máximos y mínimos Nos vamos a ocupar en este bloque del estudio de extremos (máximos y mínimos) de funciones reales de varias variables. Hay varios conceptos distintos que debemos tratar. En primera instancia vamos a ocuparnos de los extremos relativos. 4

5 .1 Extremos relativos Diremos que una función f : R n R definida en un entorno de un punto x 0 presenta un máximo relativo en x 0 cuando exista una bola centrada en x 0 de manera que f es el valor más grande de todos los valores de f en los puntos de la bola. Esto significa que r >0 tal que f f(x) x B(x 0,r). Demodosimilarsedefine el concepto de mínimo relativo cuando r >0 tal que f f(x) x B(x 0,r), es decir, si f es el valor más pequeño de todoslosvaloresdef en los puntos de alguna bola. La ideal intuitiva de los extremos relativos es alcanzar el máximo o el mínimo valor localmente, en un entorno. Así,en una cadena montañosa,en la cima de cada montaña existirá un máximo relativo. En la superficie que aparece a continuación desde distintos puntos de vista se alcanzan diversos máximos y mínimos relativos (en la última gráfica quesevedeperfil seobservantodos). Este problema puede estudiarse mejor si la función f es de clase C 1, pues en este caso obtenemos la siguiente condición necesaria (similar a la que se tenía para funciones de una variable): Propiedad: Supongamos que tenemos una función f : R n R diferenciable definida en una bola B. Si f tiene en x 0 B un extremo relativo (sea máximo o mínimo) entonces df =0, es decir, todas las derivadas parciales de orden 1 de f se anulan en x 0 (o sea, =0para todo i =1,,..., n). El resultado anterior nos da una condición necesaria para que una función f tenga en un punto un extremo relativo, la cual no es una condición suficiente, pues hay casos en los que la diferencial se anula y sin embargo no hay extremo relativo (como ocurrirá, por ejemplo, con los puntos de silla en funciones de dos variables, como después veremos). Por lo tanto para buscar los extremos relativos de f buscaremos entre los puntos que anulen a todas las derivadas parciales (éstos los llamaremos puntos críticos),loscualesseránloscandidatosaserextremosrelativos,pueslos extremos relativos (si los hay) estarán entre ellos. Y para hallar los puntos críticos deberemos resolver el sistema de ecuaciones x 1 =0 x =0... x n =0 A continuación veremos herramientas que, bajo ciertas condiciones, nos asegurarán si en un punto crítico se alcanza verdaderamente un extremo relativo, y en su caso, si se alcanza un máximo o mínimo relativo. Para ello necesitamos estudiar lo que vamos a denominar matriz hessiana de f en x 0 (cuando f es de clase C ), que es la siguiente Hf= f x1 x 1 f x1 x f x1 x n f x x 1 f x x f x x n f xnx 1 f xnx f xnx n Como vemos la matriz hessiana es la que está formada por todas las derivadas parciales segundas de la función. A continuación vamos considerando la sucesión de menores principales de la matriz hessiana (denominados también menores hessianos): 3 f= 1 f=f x1x 1 f= f x1 x 1 f x1 x f x1 x 3 f x x 1 f x x f x x 3 f x3 x 1 f x3 x f x3 x 3 f x1 x 1 f x1 x f x x 1 f x x... n f= Hf 5

6 Suponiendo que x 0 es un punto crítico de f se tiene entonces que: 1) Si todos los menores hessianos son estrictamente positivos se tiene que f presenta en x 0 un mínimo relativo. ) Si la sucesión de menores hessianos es alternada en el siguiente sentido 1 f < 0 f > 0 3 f < 0... ( 1) n n f > 0 se tiene que f presenta en x 0 un máximo relativo. 3) Si no estamos ante ninguno de los dos casos anteriores y el determinante de la matriz hessiana es no nulo, podemos garantizar que no se alcanza ni máximo ni mínimo. 4) Si el determinante de la matriz hessiana es nulo, entonces se tiene una indeterminación, es decir, este criterio no nos aporta información suficiente para deducir el carácter del punto crítico. Por su simplicidad y por su mayor aplicación en la práctica resulta interesante estudiar el caso particular de funciones de dos variables, o sea, cuando n =, en el que la matriz hessiana es f x1 x 1 f x1 x f x x 1 f x x En esta situación particular se tiene que: 1) Si 1 f > 0 y Hf > 0, entoncesf tiene en x 0 un mínimo relativo. ) Si 1 f < 0 y Hf > 0, entoncesf tiene en x 0 un máximo relativo. 3) Si se cumple que Hf < 0, en esta situación el punto no es un extremo relativo, pues puede comprobarse queentodabolacentradaenx 0 hay puntos en los que la función toma valores menores que f yotrosenlosque la función toma valores mayores que f.enestecasoparticularsedicequef tiene en x 0 un punto de silla. 4) Si se cumple Hf =0,nopodemosafirmar nada sobre lo que ocurre en x 0, y para determinar qué es lo que ocurre en el punto crítico será necesario estudiar el comportamiento de la función en un entorno del punto. Ejemplo.1 Hallar los puntos en los que las siguientes funciones presentan extremos relativos: 1. f(x, y) = x +xy y Las derivadas parciales son f x = x +y f y =x 4y Entonces al resolver el sitema de ecuaciones x +y = 0 x 4y = 0 se tiene que el único punto que es solución del sistema anterior (el único punto crítico) es el (0, 0). La matriz hessiana resulta entonces f xx (0, 0) f xy (0, 0) Hf(0, 0) = = f yx (0, 0) f yy (0, 0) 4. con lo que obtenemos que 1 f(0, 0) = < 0 f(0, 0) = 4 > 0 y deducimos entonces que f tiene en (0, 0) un máximo relativo. f(x, y) =x 4xy +3y Su único punto crítico es el (0, 0), siendo su matriz hessiana 4 Hf(0, 0) = 4 6 con lo que 1 f(0, 0) = > 0 f(0, 0) = 4 < 0 yentoncesf alcanza en él un punto de silla, y no un extremo relativo (de hecho en el punto (0, 0) la función vale 0; si consideramos puntos distintos del (0, 0) de la forma x =y la función es negativa y para puntos distintos del (0, 0) de la forma y =0la función es positiva). 6

7 3. f(x, y) =(x 1) y +(x 1) + y Las derivadas parciales son f x =(x 1)y +(x 1) = (x 1)(y +1) f y =y(x 1) +y =y[(x 1) +1] con lo que el único punto crítico de f es el (1, 0). Y como se tiene que las derivadas segundas valen la matriz hessiana de f es la siguiente Hf(x, y) = con lo que en el punto en cuestión tenemos f xx =(y +1) f xy = f yx =4(x 1)y f yy =[(x 1) +1] (y +1) 4(x 1)y 4(x 1)y [(x 1) +1] Hf(1, 0) = yentonces 1 f(1, 0) = > 0 f(1, 0) = 4 > 0 así que la función f tiene en el punto (1, 0) un mínimo relativo. f(x, y) =x 3 + y xy Las derivadas parciales son Entonces al resolver el sitema de ecuaciones f x =3x y f y =y x 3x y = 0 y x = 0 Despejando de la segunda ecuación y sustituyendo esto en la primera se obtiene1 x =y 1y y =0 con lo que nos sale que y puede tomar los valores 0, 1 1, y por tanto nos salen los puntos críticos (0, 0), ( 1 6, 1 1 ) Las derivadas segundas salen f xx =6x f xy = f yx = 1 f yy = ylamatrizhessianadef es la siguiente con lo que en los puntos críticos vale Hf(x, y) = Hf(0, 0) = Hf( 1 6, 1 1 )= 6x Así en el primer punto se tiene 1 f(0, 0) = 0 f(0, 0) = 1 < 0 por tanto hay punto de silla, y en el segundo punto se tiene 1 f( 1 6, 1 1 )=1> 0 f( 1 6, 1 1 )=1> 0 por tanto se alcanza un mínimo relativo. 7

8 5. f(x, y, z) =x + y +4z xz +z +yz 3 Las derivadas parciales son f x =x z f y =y +z 8z x ++y luego los puntos críticos resultan de resolver el sistema x z = 0 y +z = 0 8z x ++y = 0 De las dos primeras obtenemos que x = z = y lo que al sustituir en la última nos permite obtener z = 1, x = 1 e y = 1 teniendo así el único punto crítico P =( 1, 1, 1 ) Al calcular las derivadas segundas obtenemos la matriz hessiana Hf(x, y, z) = que al ser constante es válida también para P.Endefinitiva los determinantes hessianos valen, 4, 16 por lo que f presenta en P un mínimo relativo. 6. f(x, y, z) =x +y +z xz +z 4yz 3 Las derivadas parciales son luego los puntos críticos resultan de resolver el sistema f x =x z f y =4y 4z 4z x + 4y x z = 0 4y 4z = 0 4z x + 4y = 0 De las dos primeras obtenemos que x = z = y, loquealsustituirenlaúltimanosda x =1,y =1,z =1 Así el único punto crítico es P =(1, 1, 1) Al calcular las derivadas segundas obtenemos la matriz hessiana Hf(x, y, z) = que al ser constante es válida también para P. Endefinitiva los determinantes hessianos valen, 8, 16 por lo que el criterio de la matriz hessiana nos dice que en P la función f no presenta ni un máximo ni un mínimo relativo. 7. f(x, y) =3(x +1) +(y ) 4 Esta función tiene como único punto crítico al ( 1, ). Sin embargo si hallamos la matriz hessiana tenemos que 6 0 Hf( 1, ) = 0 0 con lo que 1 f( 1, ) = 6 > 0 f( 1, ) = 0 8

9 por lo que nuestro criterio no nos proporciona información de la naturaleza de este punto crítico. Para casos como éste podríamos intentar ver de modo directo (usando la definición) si un punto crítico es o no un máximo o un mínimo relativo: Ennuestrocasopuedecomprobarsequeenestepuntolafunciónf alcanza un mínimo relativo, pues f( 1, ) = 0 y para cualquier punto (x, y) 6= ( 1, ) se tiene que f(x, y) =3(x +1) +(y ) 4 > 0 8. Nota: En el apéndice veremos este método aplicado con más detalle a otros ejemplos. f(x, y) = x y Las derivadas parciales primeras son f x = xy f y = yx con lo que los puntos críticos de f son los de la forma (a, 0) y (0,b), paraa, b R. Las derivadas parciales segundas de f son f xx = y f xy = f yx = 4xy f yy = x por lo que se cumple que la matriz hessiana de f es y 4xy Hf(x, y) = 4xy x con lo que en los puntos de la forma (a, 0) se verifica que 0 0 Hf(a, 0) = 0 a yenpuntosdelaforma(0,b) tenemos que Hf(0,b)= b En ambas situaciones tenemos que f(0, 0) = 0 así que el criterio de la matriz hessiana no nos aporta información suficiente para saber qué es lo que ocurre en estos puntos críticos. Ahora bien, es claro que f(a, 0) = f(0,b)=0 y que para todo punto (x, y) se tiene que f(x, y) 0 por lo que es obvio que f presenta en todos estos puntos un máximo relativo. 9. f(x, y) =xy 4 Las derivadas parciales primeras son f x = y 4 f y =4xy 3 con lo que los puntos críticos de f son los de la forma (a, 0), paraa R. Las derivadas parciales segundas de f son por lo que se cumple que la matriz hessiana de f es Hf(x, y) = f xx =0 f xy = f yx =4y 3 f yy =1xy con lo que en los puntos de la forma (a, 0) se verifica que Hf(a, 0) = 0 4y 3 4y 3 1xy

10 En este caso el criterio de la matriz hessiana no nos aporta información suficiente para saber qué es lo que ocurre en estos puntos críticos (para cualquier a se tiene que f(a, 0) = 0). Debemos realizar un estudio directo en lospuntosdelaforma(a, 0). En primer lugar decir que todos ellos se tiene que f(a, 0) = 0 Caso 1: a<0 Como f(a, 0) = 0 y f(x, y) 0 para todo punto cercano se tiene que f presenta en el punto un máximo relativo. Caso : a>0 Como f(a, 0) = 0 y f(x, y) 0 para todo punto cercano se tiene que f presenta en el punto un mínimo relativo. Caso 3: a =0 Primero se tiene que f(0, 0) = 0 Si tomamos (x, y) cercano al origen con x>0,y 6= 0 se tiene que f(x, y) > 0 Si tomamos (x, y) cercano al origen con x<0,y 6= 0se tiene que f(x, y) < 0 Así vemos que toda bola centrada en el punto (0, 0) tienepuntosconvaloresmayoresqueélyotrospuntosconvalores menores que él. Por ello se tiene que f no presenta en el punto ni máximo relativo ni un mínimo relativo.. Extremos absolutos Ocupémonos finalmente de los extremos absolutos, es decir, de los valores máximo y mínimo que alcanza una función alolargodeunconjunto. Definición. Diremos que una función f : R n R definida en un conjunto Ω presenta en un punto x 0 Ω el máximo absoluto en Ω cuando f es el valor más grande de todos los valores de f en los puntos de Ω, esdecir f f(x) x Ω. De modo similar se define el concepto de mínimo absoluto en Ω, cuandof es el valor más pequeño de todos los valores de f en los puntos de Ω, esdecirf f(x) x Ω. En la primera superficie, que está vista de perfil, tenemos una situación (ya vista anteriormente, cuando observábamos los extremos relativos) donde se presentan diversos máximos y mínimos relativos, alcanzándose el máximo y el mínimo absoluto en los picos que están en la parete derecha. En la superficie que se ve en la segunda de las gráficas que vienen a continuación se alcanza el máximo absoluto en el pico que se observa al fondo(aunque haya varios máximos relativos en el interior). En la tercera se observa la misma superficie en otro dominio más amplio, donde el máximo absoluto se alcanza en diversos puntos tanto de la parte posterior como de la anterior. Los conjuntos con los que más vamos a trabajar van a ser de dos tipos: Primer tipo: conjuntos dados por restricciones o ligaduras. En R serían conjuntos como segmentos, curvas, trozos de curvas o unión de éstos (de tipo unidimensional). Para el caso de R 3 serían, además de los anteriores (de tipo unidimensional), superficies, trozos de ellas o unión de éstos (de tipo bidimensional). En general son conjuntos dados por una o varias restricciones o ligaduras en forma de ecuaciones. Segundo tipo: conjuntos compactos que son unión de un abierto y su frontera (o borde), siendo ésta un conjunto de los que hemos considerado del primer tipo. Veamos cuáles son los puntos candidatos para que la función alcance en ellos un extremo absoluto: Para los conjuntos del primer tipo serán, por un lado, los puntos especiales que posea el conjunto, como picos o vértices (en muchas ocasiones estos puntos especiales aparecen porque alguna de las restricciones del conjunto no 10

11 es una curva entera sino un trozo de curva definida en un intervalo, y entonces el punto que está al final del trozo de curva es uno de esos puntos especiales), y por otro puntos en los que la función presenta lo que se denomina un extremo relativo condicionado por las restricciones del conjunto. De este último tipo no hemos estudiado ningún caso aún. Aunque lo veremos en los diversos ejemplos y en el apéndice está muy desarrollada esta cuestión, para lo que nos atañe, los extremos absolutos solamente, no es necesaria la extensión y el detalle expuestos en el apéndice. Diremos que, con carácter general, el problema consiste en que de la ecuación o ecuaciones se despejan unas variables en función de otras, se sustituyen estos despejes en la función a maximizar o minimizar y para esta nueva función, dependiente ahora de menos variables, se calculan los extremos relativos. Para los conjuntos del segundo tipo serán, además de los que se calculen en la frontera (y que como ésta es un conjunto del primer tipo hemos comentado ya en el apartado anterior cómo se hace), los puntos del conjunto que sean candidatos a que en ellos la función alcance un extremo relativo, o, más sencillamente, los puntos críticos de la función que pertenezcan al conjunto. Finalmente una vez obtenidos todos estos candidatos se calcula el valor que toma la función en todos ellos, y en los que dicho valor sea mayor (respectivamente, menor) la función alcanzará el máximo (respectivamente, el mínimo) absoluto en el conjunto. Observación.3 Cuando calculemos los puntos críticos no será preciso ver si en ellos la función presenta o no máximos o mínimos relativos (o condicionados), pues sólo nos interesará saber si en ellos se alcanza un máximo o mínimo absoluto, para lo cual sólo tenemos que calcular el valor que toma la función en ellos. Ejemplo.4 En todos los apartados hallar los extremos absolutos de las funciones que se dan y los puntos en los que se alcanzan. 1. f(x, y) =x 3 + y 3 6xy en el conjunto Ω = {(x, y) : 1 x 4,y =} Este conjunto es un segmento; concretamente el segmento de la recta y =comprendido entre x = 1 y x =4. De este modo los extremos absolutos se tendrán que alcanzar o bien en los extremos del segmento, en los puntos ( 1, ) y (4, ), o en algún otro punto, en el que forzosamente la función debería alcanzar un extremo relativo condicionado por la ligadura y =. Por ello consideramos la función de una variable g(x) =f(x, ) = x x (pero únicamente para x en el intervalo [ 1, 4]). Los puntos críticos de g son los que cumplen la ecuación 0=g 0 (x) =3x 1 es decir, los puntos x = ±. Comoelvalorx = está fuera de nuestro rango (pues 1 x 4), éste no nos sirve de manera que el único punto crítico de g que tomaremos es x =. Luego un candidato a que f alcance en él un extremo absoluto de Ω se tiene para x =,y =,esdecir,elpunto(, ). Finalmente hallamos el valor de la función en los candidatos: f(, ) = 8 f( 1, ) = 19 f(4, ) = 4 Esto significa que en Ω el máximo absoluto de f se alcanza en el punto (4, ) conunvalordef(4, ) = 4 yel mínimo absoluto se alcanza en el punto (, ) conunvalordef(, ) = 8.. f(x, y) =x y +xy +xy en el conjunto Ω = {(x, y) : 1 x 1, 1 y 1} 11

12 En primer lugar hallemos los puntos críticos de la función f quepertenecenalconjunto(queesuncuadrado). Así tendremos que resolver el sistema de ecuaciones 0=f x =xy +y +y =y(x + y +1) 0=f y = x +4xy +x = x(x +4y +) De la primera ecuación obtenemos que o bien y =0(encuyocasodelasegundaecuaciónobtenemosquex =0 oquex = ) obienx + y +1=0. Análogamente de la segunda ecuación obtenemos que o bien x =0(en cuyo caso de la primera ecuación obtenemos que y =0oquey = 1) obienx +4y +=0. Hemos obtenido ya los puntos críticos (0, 0), (, 0) y (0, 1). Al resolver el sistema de ecuaciones x + y +1=0 x +4y +=0 obtenemos el último punto crítico: ( 3, 1 3 ). Detodosestospuntoscríticoselsegundononossirvepuesno está dentro del conjunto. Así que los primeros candidatos a que en ellos la función alcance un extremo absoluto en el conjunto son (0, 0), (0, 1) y ( 3, 1 3 ). También son candidatos los vértices del conjunto, que en este caso son los puntos ( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1) y (1, 1). Hallemos ahora los puntos donde pueden alcanzarse los extremos relativos de la función condicionados a las restricciones de la frontera. En este caso hay cuatro tipos de frontera (cada uno de los cuatro lados del cuadrado): x = 1,x=1,y = 1,y =1. A través de la primera hay que hallar los puntos críticos de la función g 1 (y) =f( 1,y)=y y y = y y Para hallarlos igualaremos a cero su derivada 0=g1(y) 0 = 4y 1, dedondey = 1 4 punto ( 1, 1 4 )). A través de la segunda hay que hallar puntos críticos de la función (para f obtendremos el g (y) =f(1,y)=y +y +y =y +3y Tenemos que igualar a cero su derivada 0=g 0 (y) =4y +3, de donde y = 3 4 (1, 3 4 )). A través de la tercera tenemos la función g 3 (x) =f(x, 1) = x +x x = x (para f obtendremos el punto Al igualar a cero su derivada 0=g 0 3(x) = x, se obtiene que x =0(para f obtendremos el punto (0, 1), que ya lo teníamos considerado como candidato). Y a través de la cuarta y última parte de la frontera tenemos que considerar la función g 4 (x) =f(x, 1) = x +x +x = x +4x cuyo punto crítico, al resolver 0=g 0 4(x) =x +4,setieneparax = y este valor no nos da un punto del conjunto, luego no nos vale. Pues bien, los candidatos a ser máximos o mínimos absolutos de la función f en el conjunto Ω son: (0, 0) (0, 1) ( 3, 1 3 ) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) (1, 1) ( 1, 1 4 ) (1, 3 4 ) Hallemos el valor de la función en cada uno de estos puntos: f(0, 0) = 0 f(0, 1) = 0 f( 3, 1 3 )= 4 7 ' 0.15 f( 1, 1) = 1 f( 1, 1) = 3 f(1, 1) = 1 f(1, 1) = 5 f( 1, 1 4 )= 1 8 =0.15 f(1, 3 4 )= 9 8 = 1.15 Entonces está claro que en (1, 1) se alcanza el máximo absoluto de f en Ω (cuyo valor es 5) yqueen( 1, 1) se alcanza el mínimo absoluto de f en Ω (cuyo valor es 3). 1

13 3. f(x, y) =x + y xy + x + y +1 en el conjunto Este conjunto es unión del abierto Ω = {(x, y) :x + y 5} {(x, y) :x + y < 5} (el círculo de centro (0, 0) y radio 5) ysufrontera {(x, y) :x + y =5} (la circunferencia del centro y radio anteriores). En primer lugar vamos a ver los posibles puntos del conjunto en los que la función puede alcanzar un extremo relativo. Para ello planteamos el sistema de ecuaciones f x =0 y f y =0,queson x y +1=0 y x +1=0 La solución del sistema anterior nos da como único punto crítico de f el punto ( 1, 1), elcualperteneceal conjunto. Ya tenemos un primer candidato. No nos vamos a preocupar si en efecto en éste se alcanza (o no) un máximo o un mínimo relativo pues lo único que haremos será compararlo con los otros candidatos y ver cuál (o cuáles) de ellos tiene el valor más grande en la función y el valor más pequeño en la función. Pasemos ahora a considerar la frontera del conjunto Ω, la circunferencia x + y =5, que no posee vértices ni puntos especiales, así que los puntos en los que la función puede alcanzar un extremo absoluto en la circunferencia serán sólo en los que se alcance algún extremo relativo de f condicionado por la ligadura x + y 5 = 0 Como el despeje no se puede hacer de modo único (ni y en función de x nialainversa),parahallarlospuntos candidatos vamos a utilizar el método de los Multiplicadores de Lagrange. Éste(que está en el apéndice) se basa en construir la función F (x, y, λ) =x + y xy + x + y +1+λ(x + y 5) y obtener sus puntos críticos. El sistema de ecuaciones a resolver ahora es x y +1+λx =0 y x +1+λy =0 x + y 5 = 0 De las dos primeras ecuaciones igualamos el valor de λ y obtenemos la ecuación x y x + y =0 es decir osea oloqueeslomismo de la que poniéndola en la forma x y = x y (x y)(x + y) =x y (x y)(x + y) (x y) =0 (x y)(x + y 1) = 0 13

14 obtenemos que obien y = x x + y =1 Sustituyendo cada uno de estas dos posibilidades en la ecuación de la ligadura nos sale respectivamente x + x 5 = 0 en cuyo caso nos da x = ± 5 x +(1 x) 5 = 0 en cuyo caso nos da x =4, 3 Obteniendo el valor de y en cada caso nos dan los siguientes puntos: ( 5, 5 ) ( 5, 5 ) (4, 3) ( 3, 4). Finalmente debemos ver en cuáles de los cinco puntos candidatos se alcanza el máximo y el mínimo absoluto de la función f. Para ello hallamos el valor de la función f en estos puntos, y obtenemos: f( 1, 1) = 11 f( 5, 5 ) ' f( 5, 5 ) ' 17.4 f(4, 3) = f( 3, 4) = 50 De aquí deducimos que el máximo absoluto de f en Ω vale 50 y se alcanza en dos puntos en este caso, en (4, 3) yen( 3, 4), y que el mínimo absoluto de f en Ω vale 11 y se alcanza en el punto ( 1, 1)...1 Distancias a conjuntos El estudio de máximos y mínimos nos proporciona una herramienta para determinar la distancia máxima y mínima de un punto a un conjunto (en general cerrado), si ésta existe. Si el conjunto es acotado existen tanto la máxima como la mínima; Si no es acotado al menos la distancia mínima sí que existe. Ejemplo.5 Hallar la distancia máxima y mínima del punto (1, ) alacircunferenciadecentro(0, ) yradio1. La ecuación de esa circunferencia es x +(y +) =1 Si (x, y) es un punto de esta circunferencia la distancia de este punto al punto (1, ) es d((x, y), (1, )) = p (x 1) +(y ) yéstaeslafuncióncuyosmáximoymínimoabsolutosenelconjuntox +(y +) 1=0queremos determinar. Utilizaremos ahora un truco. Hallar los máximos o mínimos de una función positiva (como lo es p (x 1) +(y ) ) es equivalente a hallar los máximos o mínimos de la función elevada al cuadrado. Lo único que tendremos que tener en cuenta al final es que el máximo y el mínimo de la segunda función será el de la primera elevado al cuadrado, pero alcanzándose en los mismos puntos para ambas funciones. Por ello vamos a buscar los máximos y mínimos absolutos de la función f(x, y) =[d((x, y), (1, ))] =(x 1) +(y ) en el conjunto x +(y +) 1=0. Al no tener este conjunto vértices (pues es una circunferencia) los candidatos a ello serán sólo los candidatos a que en ellos la función alcance un máximo o un mínimo relativo condicionado por la ecuación del conjunto. Entonces construimos la función dada por el método de los multiplicadores de Lagrange F (x, y, λ) =(x 1) +(y ) + λ[x +(y +) 1] que nos proporciona el siguiente sistema de ecuaciones que hay que resolver: F x =(x 1) + λx =0 F y =(y ) + λ(y +)=0 14

15 x +(y +) 1=0 Al igualar el valor de λ de las dos primeras ecuaciones obtenemos que x(y ) = (y +)(x 1) oloqueeslomismo de donde deducimos que Entonces sustituimos xy x = xy y +x 4x y =0 y =4x en la última ecuación y obtenemos 17x 1=0, y entonces x = ± Así tenemos dos puntos P =( 1 17, 4 17 ) Q =( 1 17, 4 17 ) que son los dos candidatos a que la función alcance en ellos los extremos absolutos. Como se cumple que d(p, (1, )) 1 =( 1) 4 +( ) ' d(q, (1, )) =( 1 1) +( 4 ) ' se tiene que en P la función distancia al cuadrado f (y por tanto la función distancia d) alcanza su mínimo absoluto yenq la función distancia al cuadrado f (y por tanto la función distancia d) alcanza su máximo absoluto. Por tanto la distancia mínima y máxima se alcanzan en P y Q, respectivamente y éstas valen respectivamente d(p, (1, )) = 9.75 ' 3.1 d(q, (1, )) = 6.4 ' Derivadas de funciones definidas de forma implícita Veamos un ejemplo que motive este apartado. Supongamos que tenemos una ecuación implícita, por ejemplo x + y =1 (se entiende por ecuación implícita una en la que ninguna de las variables está despejada en función de las otras; se utiliza aun más este nombre si no se puede despejar de forma explícita una variable en función de la otra). Dado ahora un punto (a, b) de la circunferencia (por ejemplo el punto ( 1, 3 )), hay condiciones teóricas bajo las cuales podemos despejar, por ejemplo, la variable y en función de la x en un entorno del punto dado. En tal caso puede garantizarse queexisteunabolab(a, r) y una función ϕ : B(a, r) R de manera que para todo (x, y) con x B(a, r) se tiene que x + y =1si y sólo si y = ϕ(x). En este ejemplo, esto va a tener sentido si estamos en puntos cuya segunda coordenada y sea no nula. En todos estos puntos vamos a poder despejar localmente (en una bola) y en función de x. Igual que hemos visto en la situación anterior, en ocasiones podemos despejar una variable (o varias) en función de las demás de modo local, es decir, en bolas adecuadas. Existen resultados encaminados a ello, a dar condiciones bajo las cuales es posible el despeje anterior. Pero eso lo dejaremos para el apéndice del tema. Por ejemplo, cuando lo que hacemos es despejar una variable x n+1 en función de x 1,x,..., x n,sedicequela ecuación f(x 1,..., x n,x n+1 )=0 define a x n+1 como función implícita de las variables x 1,...,x n en un entorno del punto x 0 =(a 1,..., a n,a n+1 ). En la bola en la que la variable x n+1 puede despejarse en términos de las anteriores, a partir de la ecuación f(x 1,...,x n, ϕ(x 1,..., x n )) = 0 15

16 derivando sucesivamente respecto a las variables x 1,..., x n podemos obtener el valor de las sucesivas derivadas parciales de ϕ en el punto (a 1,..., a n ) hasta el orden k. Así, si aplicamos la fórmula de derivación compuesta al derivar con respecto a la variable x i en dicha ecuación tenemos que para todo punto (x 1,..., x n ) de B((a 1,...,a n ),r 0 ) se tiene que de donde 0= x n+1 (x 1,..., x n, ϕ(x 1,..., x n )) ϕ (x 1,..., x n )+ En particular se tiene que nx j=1 x j (x 1,..., x n, ϕ(x 1,..., x n )) x j = = x n+1 (x 1,..., x n, ϕ(x 1,..., x n )) ϕ (x 1,..., x n )+ (x 1,..., x n, ϕ(x 1,..., x n )) ϕ (x 1,...,x n )= ϕ (a 1,..., a n )= (x 1,..., x n, ϕ(x 1,...,x n )) x n+1 (x 1,..., x n, ϕ(x 1,..., x n )) (a 1,..., a n,a n+1 ) x n+1 (a 1,..., a n,a n+1 ) = x n+1 Observación 3.1 Aunque aquí hemos dado una fórmula para hallar el valor de las derivadas parciales de orden 1 de ϕ en el punto (a 1,..., a n ), el cálculo de éstas, así como el de las derivadas parciales de órdenes superiores, puede hacerse también derivando directamente en la ecuación. Esta situación se puede plantear de modo más general y, en vez de tener n+1 variables y despejar x n+1 en términos de x 1,...,x n, se pueden tener n+m variables y despejar m variables, x n+1,..., x n+m, en términos de las otras, x 1,..., x n. Para ello necesitamos m ecuaciones. Cuando eso ocurre se dice que el sistema de ecuaciones f 1 (x 1,..., x n,x n+1,..., x n+m ) = 0... f m (x 1,..., x n,x n+1,..., x n+m ) = 0 define a las variables x n+1,..., x n+m como funciones implícitas de las variables x 1,..., x n en un entorno del punto x 0 =(a 1,..., a n,a n+1,..., a n+m ). En el entorno en el que las variables x n+1,..., x n+m pueden despejarse en términos de las anteriores, a partir de las ecuaciones f 1 (x 1,..., x n, ϕ 1 (x 1,..., x n ),..., ϕ m (x 1,..., x n )) = 0... f m (x 1,..., x n, ϕ 1 (x 1,..., x n ),..., ϕ m (x 1,..., x n )) = 0 derivando sucesivamente respecto a las variables x 1,..., x n podemos obtener el valor de las derivadas parciales sucesivas de ϕ 1,..., ϕ m en el punto (a 1,..., a n ) hasta el orden k. Observación 3. En los ejemplos siguientes utilizaremos para las funciones implícitas los mismos nombres que para las variables correspondientes. Así, si la variable se llama z en vez de llamar ϕ alafunción,lallamaremosdenuevo z, teniendo presente que ahora es una función en vez de una variable. Incluso preferiremos utilizar la notación en mayúsculas Z. Ejemplo Se supone que la ecuación e y x +cosy =1 define a y como función implícita de x en un entorno del punto (1, 0). implícita en el punto 1. Hallar la derivada de esta función Ahora tenemos a Y : R R, que es una función definida en un entorno de x =1en R de manera que y = Y (x) para todo punto x de dicho entorno y tal que e Y (x) x +cosy (x) =1 16

17 cumpliendo además que Y (1) = 0. En la ecuación inicial derivamos con respecto a x en el entorno y obtenemos que Y 0 (x)e Y (x) x Y 0 (x)siny (x) =0 Si sustituimos en el punto x =1(teniendoencuentaqueY (1) = 0) obtenemos que Y 0 (1)e Y (1) Y 0 (1) sin Y (1) = 0 es decir. Se supone que la ecuación Y 0 (1) =0 luego Y 0 (1) = x + y + z z =51 define a z como función implícita de x e y en un entorno del punto (6, 3, ). Hallar las derivadas parciales y el polinomio de Taylor de orden 1 de esta función implícita en el punto (6, 3). Ahora tenemos a Z : R R, que es una función definida en un entorno de (6, 3) en R de manera que z = Z(x, y) para todo punto (x, y) de dicho entorno y tal que x + y + Z Z 51 = 0, cumpliendoademás que Z(6, 3) =. D la ecuación inicial obtenemos la siguiente ecuación x + y + Z(x, y) Z(x, y) 51 = 0 de donde si derivamos por un lado con respecto a x y por otro con respecto a y en el entorno obtenemos que x +Z(x, y)z x (x, y) Z x (x, y) =0 y +Z(x, y)z y (x, y) Z y (x, y) =0 Si sustituimos en el punto (6, 3) (teniendo en cuenta que Z(6, 3) = ) obtenemos que luego Deestasecuacionesseobtieneque 6+ ( ) Z x (6, 3) Z x (6, 3) = 0 ( 3) + ( ) Z y (6, 3) Z y (6, 3) = 0 1 5Z x (6, 3) = Z y (6, 3) = 0 Z x (6, 3) = 1 5 =.4 Z y(6, 3) = 6 5 = 1. Si seguimos derivando parcialmente las ecuaciones anteriores podríamos hallar el valor de las derivadas segundas y de órdenes superiores de z en el punto (6, 3). El polinomio de Taylor de grado 1 de la función Z en el punto (6, 3) seajustaalafórmula p(x, y) =Z(6, 3) [Z x(6, 3)(x 6) + Z y (6, 3)(y +3)]= +.4(x 6) 1.(y +3) 3. Se supone que el sistema de ecuaciones ( x + y + z =3 x + y + z =9 define en un entorno del punto P =(0, 0, 3) a z e y como funciones implícitas de x. primeras y segundas de estas funciones implícitas en x =0. Hallar las derivadas 17

18 Sabemos que existen funciones Y,Z : R R definidasenunentornode0, demaneraquey (0) = 0 y Z(0) = 3 y tales que y = Y (x) yquez = Z(x) para todo punto x del entorno que cumpla el sistema de ecuaciones anterior. Entonces se tiene que ( x + Y (x)+z(x) 3=0 x + Y (x) + Z(x) 9=0 Si derivamos con respecto a x obtenemos que ( 1+Y 0 (x)+z 0 (x) =0 x +Y (x)y 0 (x)+z(x)z 0 (x) =0 de donde al sustituir en x =0(hay que tener en cuenta que Y (0) = 0 yquez(0) = 3) setieneque ( 1+Y 0 (0) + Z 0 (0) = 0 6Z 0 (0) = 0 con lo que Z 0 (0) = 0 y Y 0 (0) = 1. Para obtener las derivadas segundas, derivamos las últimas ecuaciones obtenidas ( Y 00 (x)+z 00 (x) =0 +[Y 0 (x)] +Y (x)y 00 (x)+[z 0 (x)] +Z(x)Z 00 (x) =0 de donde al sustituir en x =0se tiene que ( Y 00 (0) + Z 00 (0) = 0 4+6Z 00 (0) = 0 con lo que Y 00 (0) = 3 y Z00 (0) = 3 18