ANÁLISIS MATEMÁTICO I - EXAMEN FINAL - 22 de Mayo 2013 APELLIDO Y NOMBRE:... CORRIGIÓ:...REVISÓ:...

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO I - EXAMEN FINAL - de Mayo 0 APELLIDO Y NOMBRE:... CORRIGIÓ:...REVISÓ:... Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para ser teidas e cueta. No puede utilizar calculadoras programables i tabla de derivadas e itegrales. Codició míima de aprobació (4 putos): 50% del eame correctamete resuelto ) Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: ya sea mostrado u cotraejemplo o proporcioado u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce, segú correspoda. a. Sea dos fucioes f y g derivables. Si g es estrictamete creciete, y f alcaza e 0 u etremo local, etoces g f admite tambié u etremo local e 0. b La serie es covergete y su suma es 6.. a. Aalice la eistecia de lim 5 g( ) tg (5 ) si g( ). b. Es g derivable e todo su domiio? Justifique la respuesta. Aproime el valor de l (.) co u poliomio de Mac Lauri de grado y estime luego el error cometido. 4. Aalice la covergecia de d y, si es posible calcúlela e iterprete 0 e geométricamete el resultado obteido. 5. Aalice la covergecia de la serie ( ) a uu fució defiida por H ( ) e du, 0, siedo a la abscisa del etremo local de la. Justifique todas sus respuestas.

2 ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL /08/0 APELLIDO NOMBRE:... LEGAJO: CORRIGIÓ: REVISÓ: Calificació Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete. No puede utilizar calculadoras programables Codició míima de aprobació (4 putos): 50% del eame correctamete resuelto ) Idique si cada ua de las afirmacioes siguietes es verdadera o falsa. Justifique sus respuestas. a) Si f y g so cotiuas e [a, b] y (a, b) es f () = g () etoces f y g difiere e ua costate. 4 6 b) La sucesió,,,... es covergete. 5 ) a) Pruebe que si R se verifica. se( ) f ( t) dt co f cotiua e R, la fució f 0 se aula e el itervalo (,4). ) Determie los itervalos de crecimieto y si eiste, halle y clasifique los etremos relativos de h( ) e 9) 4) a) Ecotrar el área etre la gráfica de lieal e el semiplao derecho. b) estudiar la covergecia de la itegral de f etre - y +. 5) a) Ecuetre el itervalo de covergecia de la serie e f ( ) e, las rectas =, = y su asítota b) Calcule el error al emplear S 6 como aproimació a la suma de la serie covergete.

3 UTN FRBA Eame Fial Aálisis Matemático I Apellido y ombres del alumo:...tema Corrigió:.. Revisó:... La codició para aprobar este eame es teer bie resuelto el 50 % del eame. 4 5 Calificació fial IMPORTANTE: usted debe presetar e las hojas que etrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ ) Dada la fució + : a) Hallar el domio de la fució, determiar itervalos de crecimieto y etremos. b) Determiar si el gráfico de la fució tiee recta tagete e el puto e idicar su ecuació si la tiee. Determiar itervalos de cocavidad y hallar putos de ifleió. Graficar la fució ) Calcular el área bajo la curva e el itervalo sabiedo que: y que la recta tagete a la curva e el puto (,4) es :. Graficar aproimadamete el área calculada. ) Hallar los putos de la gráfica de la hipérbola y 4, más próimos al puto (,0). Graficar la curva, el puto (, 0) y los putos de la hipérbola más próimo al puto (, 0). 4) Aalizar si las afirmacioes siguietes so verdadera (V) o falsa (F). Justificar la respuestas: si es F, alcaza co dar u cotraejemplo; si es V idicar las herramietas teóricas utilizadas. a) b) 5) Sabiedo que y y y 8 0 defie a la fució y= f(), hallar por aproimació lieal f (,005).

4 ANÁLISIS MATEMÁTICO I Eame Fial APELLIDO Y NOMBRE... Legajo... Corrigió... Revisó.. Codició míima de aprobació: 50% del eame resuelto correctamete. No utilizar tablas de derivadas e itegrales, i calculadoras programables. Ejercicio : Hallar el valor de verdad de las siguietes proposicioes justificado su respuesta: a) Sea C la curva defiida implícitamete por. y e y y C defiida ( t) 8t 7 paramétricamete por y( t) t t Las rectas tagetes a las curvas C y C e el puto ( ; ) so perpediculares. b) 0 d es covergete Ejercicio : a)dada la fució derivabilidad e. f ( ) l( ) si Estudiar cotiuidad y si b) Estudiar la eistecia de la asítota horizotal de f ( ) ( 5). 4 Ejercicio : Realizar u gráfico aproimado y epresar co itegrales el área de la regió plaa ecerrada por los gráficos de las curvas y e, y e, y a co 0 a.(o resolver las itegrales) a) respecto de la variable b) respecto de la variable y Ejercicio 4: a) Estudiar el crecimieto de la fució f ( ) cos b) Justificar que cos tiee úica solució. Ejercicio 5: Si S es el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales correspodiete a la serie umérica a y serie a 4 S b) calcular lím ( a ) N. a) Aalizar la covergecia de la. Euciar las propiedades utilizadas e cada puto.

5 ANÁLISIS MATEMÁTICO I - EXAMEN FINAL - 04//0 APELLIDO Y NOMBRE:... CORRIGIÓ:... REVISÓ:... Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 Nota Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para que pueda cosiderarse. Duració : horas Codició míima de aprobació: 50% de eame correctamete resuelto. ) Halle el área de la regió compredida etre las gráficas de y, f ( ) l. asítota vertical de la fució ) Dada la sucesió de sumas parciales S asociada a la sucesió N N 4, e satisface: S se5 a Se pide calcular, justificado adecuadamete, lim a tg a y y la a que g e si ) Sea f : / f ( ) si siedo g ua fució derivable hasta el tercer orde co g(0)=g (0)=0 y g (0)=; se pide hallar f. 4) Dadas dos fucioes, ua de ellas defiida e forma implícita y la otra e forma paramétrica; determie si la recta ormal a la gráfica de y y e el puto () y la recta tagete a la gráfica de corta. cos( t) y se( t), 0 t, e el puto (0, ) se 5) Idique el valor de verdad de las siguietes afirmacioes, justificado adecuadamete e cada caso. a) La itegral 0 d es covergete. l t b) La fució g( ) t e dt, 0, preseta u máimo relativo e e.

6 APELLIDO Y NOMBRE: ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL // N LEGAJO: CORRIGIÓ: REVISÓ: 4 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para que pueda cosiderarse. Duració : horas Codició míima de aprobació: 50% de eame correctamete resuelto. ) Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: ya sea mostrado u cotraejemplo o proporcioado u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce, segú correspoda. a) Si f ( )... coverge para todo etoces f ( 0) b) Si f es derivable y f ( ) f ( ) etoces eiste u úmero c tal que c y f ( c) 0 ( ) ) a) Si la derivada eésima de g es g (0)! para 0,,,... escriba la serie de Mc Lauri para g y halle su radio de covergecia. cos b) Utilice series para evaluar lím 0 4 ) a) Ecuetre el puto de la parábola y más próimo al puto ;4 b) Halle el área delimitada por la parábola dada, la recta y y la recta que pasa por el puto ;4 y el puto hallado e a). t 4) Si F( ) e dt calcule lím F (). 0 5) U fabricate de cajas de cartó quiere elaborar ua caja si tapa a partir de u recorte rectagular de cartó de 0 dm por 7 dm cortado cuadrados e cada ua de las esquias y doblado los lados hacia arriba. Cuál es la logitud del lado de los cuadrados que se debe cortar de modo que la caja tega el mayor volume posible?

7 ANÁLISIS MATEMÁTICO I Eame Fial - 8// APELLIDO NOMBRE: NOTA Corrigió:.. Revisó:. LEA DETENIDAMENTE No se cotestará pregutas sobre los euciados porque su iterpretació es parte importate del eame. Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para ser teidas e cueta. NO puede utilizar tablas i calculadoras programables. El eame debe ser escrito co tita. MANTENGA SU TELÉFONO CELULAR APAGADO DURANTE TODO EL EXAMEN. Codició míima de aprobació (4 putos): 50% del eame correctamete resuelto ) Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: ya sea mostrado u cotraejemplo o proporcioado u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce, segú correspoda. a) El poliomio cuadrático, asociado a F( ) ( l t) dt, e potecias de (-) es P ( ) l 4 ( l 4)( ) ( ). b) Si f() es itegrable y f(-) = - f() etoces. ) Determie el radio de covergecia de la serie - (-).! ( 4). ) a) Dibuje las regioes limitadas por b) Calcule el área de la regió que cotiee al puto (0, ). 4) La fució h() es tal que, su recta tagete e (,) está dada por 6-y=, y : h''( ) 6 6. Determie la recta ormal e el puto (0, h(0)). 5) Por u caño circula agua que se deposita e u taque de 00 m de volume a ua velocidad istatáea de e m /s, co t 0. Si la circulació de agua cotiuara idefiidamete se desbordará el taque e algú mometo? No olvide justificar su respuesta.

8 ANÁLISIS MATEMATICO I - EXAMEN FINAL - /0/04 APELLIDO Y NOMBRE:... CORRIGIÓ:... REVISÓ:... Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 Nota Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para que pueda cosiderarse. No está permitido el uso de tablas de itegrales i de derivadas. - Idicar el valor de verdad de las siguietes dos afirmacioes (o olvide que debe justificar las respuestas): a) Si ua fució es derivable e el itervalo (-; 5) etoces es itegrable e [-; ] b) La sucesió es covergete - Hallar el itervalo de covergecia de - Hallar ua fució f: : y = f(), que satisfaga que f() = y que 4- Aalizar la cotiuidad de la fució defiida por e = 0 y hallar, si eiste, etremos locales y globales 5a) Hallar el área de la regió plaa limitada por, =/ y = e 5b) Determiar si la ecuació, tiee solució e el itervalo (; e) [No es ecesario hallarla]. Justifique las herramietas empleadas.

9 ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL 8/0/04 APELLIDO NOMBRE:... CORRIGIÓ:. LEGAJO: REVISÓ: Calificació Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete. No puede utilizar calculadoras programables Codició míima de aprobació (4 putos): 50% del eame correctamete resuelto ).- Idicar si es V o F justificado sus respuestas: a) Si el poliomio de Taylor de la fució f e u etoro de o =0 es: P() = - +, etoces g()= f (l(+ )) tiee u míimo local e o =0 b) La fució defiida como ( ) t e F es creciete e el itervalo ; t ) Para la regió compredida etre el gráfico de la fució f () = l y la recta + y= co 0 <, realice u gráfico y determie si es ua regió acotada. Muestre que tiee u área y ecuetre su valor. ) a) Utilice el teorema de Lagrage para probar que si f es derivable e (a,b) y f () > 0, (a,b), etoces para todo par de putos, de (a,b) que verifica < resulta f ( ) < f ( ). Qué puede cocluir sobre f ()? ) b) Si f()= -, eplicar porqué cumple las hipótesis del teorema de Lagrage e el itervalo [0,] y hallar u puto itermedio c que verifique la tesis. 4) Se desea dividir u campo e lotes rectagulares de 500 m. Cada lote será cercado perimetralmete co u material cuyo costo es de $0 el metro lieal y será subdividido e dos mitades tambié rectagulares, mediate u cerco cuyo costo es de $40 el metro lieal. Qué dimesioes deberá teer los lotes de modo que el costo del cercado sea míimo? 5) Dada la serie de potecias: ( ) ( ) 4 0. Hallar: a) Itervalo de covergecia b) Estudiar si e los etremos es codicioalmete covergete. Justificar.

10 UTN FRBA Eame Fial de Aálisis Matemático I Apellido y ombres del alumo:... Corrigió:.. Revisó:... La codició para aprobar este eame es teer bie resuelto el 50 % del mismo. 4 5 Calificació fial IMPORTANTE: usted debe presetar e las hojas que etrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ ) Calcular el área del recito que cotiee al puto, limitada por los gráficos de las fucioes: recta ormal a e el puto Graficar el área. ) E la teoría de gases, para calcular la velocidad promedio de las moléculas, es ecesario resolver ua itegral de la forma dode es ua costate. Calcular la itegral. ) Sea Hallar, si eiste, tales que cumpla co las codicioes de la hipótesis del Teorema de Lagrage e el. Para los valores hallados, graficar la fució e el 4) Sea tal que su serie de Taylor e u cierto itervalo es: a) Hallar el itervalo de covergecia de la serie a la fució (o olvide aalizar la covergecia e los etremos del itervalo) b) Hallar la ecuació de la recta tagete al gráfico de la fució e, e idicar la cocavidad del gráfico de la fució e el puto (-, f(-)) 5) Si la resistecia de ua viga de secció rectagular es proporcioal al producto de su base por el cuadrado de su altura, hallar las dimesioes de la viga de mayor resistecia que se puede obteer de u troco de secció trasversal e forma de elipse:

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