Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Transcripción

1 Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 2008 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II sobre Probabilidad. Cada uno lleva un código como el siguiente: B-3, que significa ejercicio 3 de la opción B del modelo 4 de la convocatoria de Ejercicio 1 ( A-3 Laura tiene en su monedero 6 monedas francesas, 2 italianas y 4 españolas. Vicente tiene 9 francesas y 3 italianas. Cada uno saca, al azar, una moneda de su monedero y observa la nacionalidad. (a [0 5] Obtenga el espacio muestral asociado al experimento. (b [1] Cuál es la probabilidad de que las monedas extraídas no sean de la misma nacionalidad? (c [0 5] Cuál es la probabilidad de que ninguna de las monedas extraídas sea francesa? Solución : (Apartado a El experimento que consiste en sacar una moneda de cada monedero es un experimento compuesto que se puede descomponer en dos más sencillos: Laura saca una moneda y observa su nacionalidad e igualmente con Vicente. Laura tiene monedas de tres posibles nacionalidades (francesa, italiana o española. Llamemos F L, I L y E L a los sucesos elegida una moneda al azar del monedero de Laura, ésta es francesa, italiana o española, respectivamente. Por tanto, el espacio muestral asociado al experimento Laura saca una moneda y observa su nacionalidad es: { E Laura = F L, I L, E L }. * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada - 1

2 Con Vicente ocurre algo similar. Tiene monedas de dos nacionalidades distintas (francesa e italiana. Denotemos por F V e I V a los sucesos elegida una moneda al azar del monedero de Vicente, ésta es francesa o italiana, respectivamente. De esta forma, el espacio muestral asociado al experimento Vicente saca una moneda y observa su nacionalidad es: { } E Vicente = F V, I V. Observamos que los dos experimentos simples son independientes, es decir, lo que ocurra al sacar una moneda del monedero de Laura no influye en el resultado de lo que ocurra con la del monedero de Vicente. De esta forma, el principio de multiplicación nos dice que el experimento compuesto posee 3 2 = 6 posibilidades, que expresamos de la siguiente forma: E = E Laura E Vicente = { = (F L, F V, (F L, I V, (I L, F V, (I L, I V, (E L, F V, (E L, I V }. En el espacio muestral anterior, el suceso (I L, F V significa que, extraídas las dos monedas, la de Laura es italiana y la de Vicente es francesa. (Apartado b Como Laura posee 6 monedas francesas, 2 italianas y 4 españolas, la regla de Laplace nos dice que: p (F L = 6 12 = 1 2, p (I L = 2 12 = 1 6 y p (E L = 4 12 = 1 3. Igualmente, como Vicente tiene 9 francesas y 3 italianas, deducimos que: p (F V = 9 12 = 3 4 y p (I V = 3 12 = 1 4. Por tanto, dado que los experimentos simples son independientes, deducimos todas las probabilidades del experimento compuesto, que son: p (F L, F V = p (F L p (F V = = 3 8, p (F L, I V = p (F L p (I V = = 1 8, p (I L, F V = p (I L p (F V = = 1 8, p (I L, I V = p (I L p (I V = = 1 24, p (E L, F V = p (E L p (F V = = 1 4, p (E L, I V = p (E L p (I V = = La probabilidad de que las monedas extraídas no sean de la misma nacionalidad es: p ( distinta nacionalidad = p (F L, I V + p (I L, F V + p (E L, F V + p (E L, I V = = = 12. Andalucía 2 Antonio Roldán

3 (Apartado c Finalmente. la probabilidad de que ninguna de las monedas extraídas sea francesa es: p ( ninguna moneda francesa = p (I L, I V + p (E L, I V = = 1 8. Ejercicio 2 ( B-3 De los 150 coches de un concesionario, 90 tienen motor diesel y el resto de gasolina. De los coches con motor diesel, 2 son nuevos y el resto usados; mientras que de los coches con motor de gasolina hay el mismo número de coches nuevos que de usados. Se elige, al azar, un coche de dicho concesionario; calcule la probabilidad de que: (a [1] Sea nuevo. (b [1] Tenga motor diesel, sabiendo que es usado. Solución : Realizamos una tabla de contingencia utilizando el número total de coches (no usamos ni probabilidades ni porcentajes. Sabemos que, en total, hay 150 coches, de los que 90 poseen motor diesel (así, 60 son de gasolina. Entre los coches con motor diesel, 2 son nuevos. Entre los coches con motor de gasolina (que son 60, la mitad son nuevos (30 y la otra mitad usados. Por tanto, tenemos la siguiente tabla de contingencia, que completamos de una forma muy sencilla. Nuevo Usado TOTAL Diesel 2 90 Gasolina 30 TOTAL 150 Nuevo Usado TOTAL Diesel Gasolina TOTAL (Apartado a Observamos en la tabla anterior que el concesionario posee 102 coches nuevos de un total de 150 coches. Por tanto, la probabilidad de que el coche seleccionado sea nuevo es: p ( nuevo = = (Apartado b Observamos que hay 48 coches usados, de los que 18 son diesel. Por tanto, la probabilidad de elegir un coche diesel sabiendo que es usado es: ( diesel p = 18 usado 48 = 3 8. Andalucía 3 Antonio Roldán

4 Ejercicio 3 ( A-3, Septiembre El examen de Matemáticas de un alumno consta de dos ejercicios. La probabilidad de que resuelva el primero es del 30 %, la de que resuelva ambos es del 10 % y la de que no resuelva ninguno es del 35 %. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos. a [1] Que el alumno resuelva el segundo ejercicio. b [1] Que resuelva el segundo ejercicio, sabiendo que no ha resuelto el primero. Solución : Apartado (a. Llamemos A 1 al suceso presentado un/a alumno/a al azar al primer examen, resulta que éste/a aprueba dicho examen, y lo mismo significará A 2 respecto del segundo examen. Los datos del problema son entonces los siguientes. Como la probabilidad de que apruebe el primer examen es del 30 %, se tiene que p (A 1 = 0 3. Para que apruebe los dos exámenes, debe cumplirse A 1 A 2, de donde p (A 1 A 2 = 0 1. Finalmente, la probabilidad de que no apruebe ni el primer ni el segundo examen, es decir, A C 1 AC 2, es del 35 %, por lo que p ( A C 1 AC 2 = Aplicando las leyes de De Morgan, A C 1 AC 2 = (A 1 A 2 C, y aplicando la ley del suceso complementario, 0 35 = p ( A C 1 A C ( 2 = p (A 1 A 2 C = 1 p (A 1 A 2 p (A 1 A 2 = Por consiguiente: p (A 1 A 2 = p (A 1 + p (A 2 p (A 1 A = p (A p (A 2 = = Así, hemos deducido que la probabilidad de que el/la alumno/a apruebe el segundo examen es del 45 %. Apartado (b. Sabiendo que el/la alumno/a no ha resuelto el primer examen, la probabilidad de que apruebe el segundo examen es: ( A2 p A C = p ( A C 1 A 2 1 p ( A C = p (A 2 p (A 1 A p (A 1 Por consiguiente, = = = 0 5. la probabilidad de que el/la alumno/a apruebe el segundo examen, sabiendo que no ha aprobado el primer examen, es del 50 %. Andalucía 4 Antonio Roldán

5 Ejercicio 4 ( B-3, Septiembre Se consideran los sucesos A y B. a [1] Exprese, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientes sucesos: 1. Que no ocurra ninguno de los dos. 2. Que ocurra al menos uno de los dos. 3. Que ocurra B, pero no ocurra A. b [1] Sabiendo que p (A = 0,5, p (B = 0,5 y p (A/B = 0,3, halle p (A B. Solución : Apartado (a. Que no ocurra ningún suceso significa que no ocurre A ni B, es decir, A C B C (aplicando las leyes de De Morgan, también vale (A B C. Que ocurra alguno de ellos significa que se presenta A B. Finalmente, que ocurra B pero no A se escribe como B A, o lo que es lo mismo, A C B. 1. A C B C. 2. A B. 3. A C B. Apartado (b. Despejando de la definición de probabilidad condicionada, ( ( A p (A B A p = p (A B = p (B p = = B p (B B Así, aplicando la archiconocida fórmula de la probabilidad del suceso unión: p (A B = p (A + p (B p (A B = = Hemos deducido, entonces, que: p (A B = Ejercicio 5 ( A-3, Junio a [1] Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que p (A = 0 5, que p (B = 0 4 y que p (A B = 0 8, determine p (A/B. b [1] Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que p (C = 0 3, que p (D = 0 8 y que C y D son independientes, determine p (C D. Andalucía 5 Antonio Roldán

6 Solución : (Apartado a Esencialmente, la fórmula que se utiliza en este ejercicio es la relación: p (A B = p (A + p (B p (A B, válida para cualesquiera sucesos A y B de un mismo espacio de probabilidad. Esta igualdad nos permite despejar: p (A B = p (A + p (B p (A B = = 0 1, y de aquí, la probabilidad condicionada p (A/B es: p (A/B = p (A B p (B = = 1 4. (Apartado b De la misma forma, sabemos que una de las posibles caracterizaciones de la independencia de sucesos es: C y D son independientes p (C D = p (C p (D. Utilizando este hecho, podemos deducir la siguiente probabilidad: p (C D = p (C + p (D p (C D = p (C + p (D p (C p (D = Esto acaba el ejercicio. = = = Ejercicio 6 ( B-3, Junio Se sabe que el 30 % de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el 95 % tiene empleo. Además, de la parte de la población que no tiene estudios superiores, el 60 % tiene empleo. a [1] Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo. b [1] Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores. Solución : (Apartado a Llamemos S al suceso elegido un individuo al azar en la población, éste tiene estudios superiores, y llamemos E al suceso elegido un individuo al azar en la población, éste tiene empleo. Como hay un 30 % de personas con estudios superiores, sabemos que p (S = 0 3, y sin estudios superiores habrá un 0 %, es decir, p ( S C = 1 p (S = 0. Entre los que tienen estudios superiores, hay un 95 % de personas con empleo, lo que nos indica la probabilidad condicionada p (E/S = Igualmente, entre las personas que no tienen estudios Andalucía 6 Antonio Roldán

7 superiores, hay un 60 % que tienen empleo, y así p ( E/S C = 0 6. Con estas verosimilitudes y probabilidades a priori, podemos completar el siguiente diagrama en árbol E S E 6 S C E C 0 4 E C Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de que un individuo, seleccionado al azar, tenga empleo es: p (E = p (S p ( E S + p ( S C ( E p S C = = = (Apartado b Por otro lado, aplicando el Teorema de Bayes (o bien directamente la definición de probabilidad condicionada, seleccionado un individuo al azar que tiene empleo, la probabilidad de que tenga estudios superiores es: p (S p ( E ( S p (S E p = = E p (E p (S p ( E S = = = Aproximadamente, esta probabilidad es del %. S + p (S C p ( E S C = = Ejercicio ( A-3 En una población, donde el 45 % son hombres y el resto mujeres, se sabe que el 10 % de los hombres y el 8 % de las mujeres son inmigrantes. (a [1] Qué porcentaje de inmigrantes hay en esta población? (b [1] Si se elige, al azar, un inmigrante de esta población, cuál es la probabilidad de que sea hombre? Solución : (Apartado a Llamemos M y H a los sucesos elegida una persona al azar de la población, ésta resulta ser hombre o mujer, respectivamente, y denotemos por I al suceso elegida una persona al azar de la población, ésta resulta ser inmigrante. Tenemos entonces el Andalucía Antonio Roldán

8 siguiente diagrama en árbol. 0 1 I H I 08 M I C 0 92 I C Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de que un individuo, seleccionado al azar, sea inmigrante es: ( I p (I = p (H p H + p (M p ( I = M = = = 8 9 %. (Apartado b Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que una persona inmigrante sea hombre es: p ( H p (H I = I p (I = p (H p ( I H = p (I = = Ejercicio 8 ( B-3 Una caja contiene 12 bombillas, de las cuales 4 están fundidas. Se eligen, al azar y sin reemplazamiento, tres bombillas de esa caja. (a [1] Calcule la probabilidad de que ninguna de las tres bombillas esté fundida. (b [1] Calcule la probabilidad de que las tres bombillas estén fundidas. Solución : (Apartado a Llamemos F i al suceso elegida la i-ésima bombilla al azar, ésta está fundida. Entonces, aplicando el teorema de la probabilidad compuesta, la probabilidad de que ninguna de las tres bombillas esté fundida es: p ( F 1 F 2 F 3 = p ( F1 p ( F2 F 1 ( p F 3 F 1 F 2 Al principio hay 12 bombillas, de las cuales 8 no están fundidas. Así, la regla de Laplace nos asegura que p ( F 1 = 8/12 = 2/3. Extraída la primera (que resulta no estar fundida, en la caja quedan 11 (pues no hay reemplazamiento, de las cuales no están fundidas. Por eso, p ( F 2 /F 1 = /11. De igual forma se razona la última probabilidad, por lo que: p ( F 1 F 2 F 3 = p ( F1 p ( F2 F 1 ( p F 3 F 1 F 2 = = Andalucía 8 Antonio Roldán

9 (Apartado b Se razona de manera similar. Al principio hay 12 bombillas, de las cuales 4 están fundidas. La regla de Laplace nos asegura que p (F 1 = 4/12 = 1/3. Extraída la primera (que resulta estar fundida, en la caja quedan 11 (pues no hay reemplazamiento, de las cuales 3 están fundidas. Por eso, p (F 2 /F 1 = 3/11. De igual forma se razona la última probabilidad, por lo que: ( F2 p (F 1 F 2 F 3 = p (F 1 p F 1 ( p F 3 F 1 F 2 = = Ejercicio 9 ( A-3 En un aula de informática hay 20 puestos de ordenador. De ellos, 10 son compartidos y otros 10 son individuales. De los puestos compartidos, hay 3 en los que el ordenador no funciona, de los individuales hay 2 en los que el ordenador no funciona. (a [1] Seleccionado al azar un puesto en el aula, cuál es la probabilidad de que no funcione el ordenador? (b [1] Si se elige al azar un puesto en el que funciona el ordenador, cuál es la probabilidad de que sea compartido? Solución : Resolvemos el ejercicio con una tabla de contingencia. Los datos del problema nos llevan a la siguiente tabla. Funciona No funciona TOTAL P. compartido 3 10 P. individual 2 10 TOTAL 20 Completamos esta tabla de forma muy sencilla. Funciona No funciona TOTAL P. compartido 3 10 P. individual TOTAL (Apartado a Como hay 5 ordenadores que no funcionan de un total de 20, la regla de Laplace nos asegura que la probabilidad de elegir al azar un ordenador que no funciona es: 5 20 = 1 4 = Andalucía 9 Antonio Roldán

10 (Apartado b Igualmente, observamos que hay 15 ordenadores que funcionan, de los cuales están en puestos compartidos. Por tanto, la probabilidad de haber elegido un puesto compartido si hemos seleccionado un ordenador que funciona es: 15 = Ejercicio 10 ( B-3 Se dispone de los siguientes datos sobre el equipamiento de los hogares de una ciudad: En el 60 % de los hogares se puede ver la TDT (Televisión Digital Terrestre y el 0 % de los hogares dispone de ordenador. De entre los hogares que disponen de ordenador, el 80 % puede ver la TDT. (a [1] Son sucesos independientes disponer de ordenador y poder ver la TDT? (b [1] Qué porcentaje de hogares no disponen de ordenador ni pueden ver la TDT? Solución : Llamemos T DT y O a los sucesos elegido un hogar al azar en la ciudad, éste tiene TDT u ordenador, respectivamente. Según los datos del problema, sabemos que: ( T DT p (T DT = 0 6, p (O = 0 y p = 0 8. O (Apartado a Dado que: ( T DT p = = p (T DT, O los sucesos disponer de ordenador y poder ver la TDT son independientes, ya que las probabilidades anteriores no coinciden (el que haya ordenador en el hogar tiene influencia de algún tipo sobre el hecho de que se pueda ver la TDT. (Apartado b Aplicando las leyes de De Morgan, la probabilidad del suceso complementario y la probabilidad del suceso unión, podemos decir que la probabilidad de que un hogar, elegido al azar, no disponga de ordenador ni pueda ver la TDT es: p ( T DT O = p ( T DT O = 1 p (T DT O = 1 (p (T DT + p (O p (T DT O = = 1 p (T DT p (O + p (T DT O. La última probabilidad se calcula a partir de la definición de probabilidad condicionada, ya que: ( T DT 0 p (T DT O p (T DT O 8 = p = = O p (O 0 p (T DT O = = Andalucía 10 Antonio Roldán

11 Por consiguiente, p ( T DT O = 1 p (T DT p (O + p (T DT O = = 0 26 = 26 %. Ejercicio 11 ( A-3 [2] Ana y Blas deciden jugar con un dado de la siguiente forma: Ana lanza el dado y, si saca un 6, gana y se acaba el juego. En caso contrario lanza Blas, que gana si saca un 2 o un 3, y también se acaba el juego. De no ocurrir esto, la partida se acaba sin ganador. Halle la probabilidad de los siguientes sucesos: gana Ana, gana Blas, ninguno gana. Solución : Para calcular las probabilidades que se piden, hacemos un diagrama en árbol como el siguiente: Ana saca un 6 = GANA ANA Blas saca un 2 ó un 3 = GANA BLAS 2 6 Ana no saca un Blas no saca un 2 ni un 3 = NO HAY GANADOR Se observa entonces que la probabilidad de que gane Ana es la misma que la probabilidad de que saque un 6 en el dado, que es: p ( gana Ana = 1 6 = Para que gane Blas, Ana ha de sacar un número distinto de 6 y luego sacar Blas un 2 o un 3. Como lo que saque Blas es independiente de lo que saque Ana, deducimos que: ( Blas saca un 2 o un 3 p ( gana Blas = p ( Ana no saca un 6 p = Ana no saca un 6 = p ( Ana no saca un 6 p ( Blas saca un 2 o un 3 = = = 5 18 = 0 2. Andalucía 11 Antonio Roldán

12 Finalmente, la probabilidad de que no gane ninguno es: p ( No gana ni Ana ni Blas = 1 p ( gana Ana p ( gana Blas = = = 5 9 = 0 5. Ejercicio 12 ( B-3 En una industria de calzado se producen botas y sandalias. De cada 12 pares producidos, pares son botas y 5 de sandalias. La probabilidad de que un par de botas sea defectuoso es 0 08 y de que lo sea un par de sandalias es Se escoge al azar un par y resulta ser no defectuoso. (a [1] Cuál es la probabilidad de que se haya escogido un par de botas? (b [1] Cuál es la probabilidad de que se haya escogido un par de sandalias? Solución : Llamemos B y S a los sucesos elegido un par al azar en dicha industria, éste ha resultado ser unas botas o unas sandalias, respectivamente. Igualmente, llamemos D al suceso elegido un par al azar en dicha industria, éste ha resultado defectuoso. Los datos del problema nos permiten construir el siguiente diagrama en árbol: 0 08 D B D 12 S D C 0 9 D C (Apartado a El teorema de Bayes nos asegura que si se ha escogido un par no defectuoso, la probabilidad de que se hayan tomado unas botas es: ( ( B p (B p D C B p D C = p (B p + p (S p ( D C B ( = D C S = = = : = Andalucía 12 Antonio Roldán

13 (Apartado b Aplicando la propiedad de la probabilidad del suceso complementario, si se ha escogido un par no defectuoso, la probabilidad de que se hayan tomado unas sandalias es: ( S p D C ( B = 1 p D C = = Andalucía 13 Antonio Roldán