Cálculo Diferencial. libro Cálculo I de los autores Larson, R., Hostetler, R.P., y Edwards, B. Ediciones Pirámide del año 2002

Transcripción

1 Cálclo Diferencial 1. Gráficas y modelos Teoría: Ver páginas y 5 del capítlo P del libro: Preparación para el Cálclo del libro Cálclo I de los atores Larson, R., Hostetler, R.P., y Edwards, B. Ediciones Pirámide del año 00 En cada no de los sigientes ejercicios estdiar si eiste simetría respecto de los ejes o del origen y calclar las intersecciones con los ejes: 1. y =.. y =. 3. y = y = + 1. : La fnción y=f() es simétrica respecto el eje de ordenadas si f(-)=f() 1. Es simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir, es na fnción par pes: y = (-) =. Cálclo de las intersecciones con el eje de abscisas: y = 0 = = = 0 los pntos de = (,0 ) intersección con el eje son (, 0) con el eje y qe es (0, -). = 0 y =-, lego hay n solo pnto de intersección La gráfica de na crva dada mediante ecación en e y es simétrica respecto el origen si al sstitir en ella por e y por -y reslta na ecación eqivalente.. Es simétrica respecto del origen, es decir, es na fnción impar pes: y = y =, verificándose qe = = y ( ) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

2 No corta al eje de abscisas pes y 0 para calqier valor de. Tampoco corta al eje de ordenada pes para = 0, no está definido el cociente 0 La fnción y=f() es simétrica respecto el eje de ordenadas si f(-)=f() La fnción y=f() es simétrica respecto el origen si f(-) = -f() 3. No es simétrica ni respecto del eje de ordenadas (no es na fnción par), ni respecto del origen (no es na fnción impar) pes: - ( ) + 3 = y, -y = 0 y = - 3, Cálclo de la intersección con el eje de abscisas: y = 0 = = 0 = = + 3 = 13, lego hay n pnto de intersección con el eje de abscisas qe es (13, 0) lego hay n solo pnto de intersección con el eje y qe es (0, - 3). La fnción y=f() es simétrica respecto el origen si f(-) = -f(). La fnción es simétrica respecto del origen pes: ( ) = + = - y +1 ( ) 1 Cálclo de las intersecciones con el eje de abscisas: y = 0 0 = = 0, lego solo hay n pnto de intersección con el eje de + 1 abscisas qe es el origen (0, 0) (obviamente también es n pnto de corte con el eje de ordenadas). =0 y =0, lego hay n solo pnto de intersección con el eje y qe es el origen (0, 0). Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

3 En los ejercicios 5-8 disctir si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa eplicar la razón o dar n contraejemplo qe ponga de manifiesto la falsedad del ennciado. 5. Si (1,-) es n pnto de na crva simétrica respecto del eje, entonces (-1,-) es también n pnto de dicha crva. 6. Si (1,-) es n pnto de na crva simétrica respecto del eje y, entonces (-1,-) es también n pnto de dicha crva. 7. Si b ac > 0 y a 0, entonces la crva y = a + b + c tiene dos pntos de intersección con el eje abscisas. 8. Si b ac = 0 y a 0, entonces la crva y = a + b + c tiene solo n pnto de intersección con el eje abscisas. : La crva y=f() es simétrica respecto el eje de abscisas si y=f(-)=f() 5. Falso, dos pntos simétricos respecto del eje tiene la misma abscisa y ordenadas opestas. La crva en la qe ss pntos con abscisas opestas tienen la misma ordenada es simétrica respecto el eje de ordenadas. 6. Verdadero, dos pntos simétricos respecto del eje y tienen la misma ordenada y abscisas opestas. b ac discriminante en las raíces de na ecación de segndo grado 7. Verdadero, para y = 0 qeda na ecación de segndo grado con discriminante positivo qe da lgar a dos solciones distintas. b ac discriminante en las raíces de na ecación de segndo grado 8. Verdadero, para y = 0 qeda na ecación de segndo grado con discriminante nlo qe da lgar a na única solción. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

4 9. Hallar na ecación para la crva formada por todos los pntos (, y) cya distancia al origen es K veces (K 1) la distancia al pnto (, 0). : ( ) = = ( ) + ( ) d A,B AB y y B A B A La distancia de n pnto (, y) al origen es + y y la distancia del pnto (, y) al pnto (, 0) es ( ) + y. En consecencia se debe verificar qe: + y =K ( ) + y Para obtener na epresión más sencilla elevamos al cadrado ambos miembros y simplificamos: ( 1 K ) + ( 1 K ) y + K + K = 0 Para K=3, la gráfica es Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

5 10. La resistencia en ohmios de 1000 m de hilo de cobre a 77ºF admite el modelo matemático y = 0.37 con donde representa el diámetro del hilo en mm. Representar el modelo en Derive o en na calcladora. Si se dplica el diámetro del hilo en qé factor aproimado varía la resistencia? : Si sstitimos = y = 0.37 = 0.37 = 0.37, ( ) lego aproimadamente la resistencia varía en ¼ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5