Gráficas de funciones elementales

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1 Gráficas de funciones elementales. Hacer la gráfica de las guientes parábolas, hallando previamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas, el eje de metría y las coordenadas del vértice: () f() = 4 () g() = 4 5 () h() =. Representar gráficamente las guientes funciones a trozos o a intervalos: f() = 4 < 5 4 < > 8 0 g() = 8 0 < < 5 > 5. Hacer la gráfica de las guientes funciones valor absoluto: () f() = 6 () g() = Representar gráficamente las guientes hipérbolas (funciones de proporcionalidad inversa), hallando previamente el dominio, las asíntotas y el centro, y dando todos aquellos valores que se conderen necesarios: () f() = () g() = () h() = 5- Representar gráficamente en unos mismos ejes de coordenadas las funciones f() = y g() =, y calcular las coordenadas de los puntos en los que ambas funciones se cortan. 6- Representa gráficamente en unos mismos ejes de coordenadas las guientes funciones logarítmicas: () f() = L () g() = L( ) () h() = L( )

2 Características de una función a partir de su gráfica. Identifica cada una de las guientes funciones y define su dominio, recorrido, metría, la monotonía, la curvatura y los etremos relativos y los puntos de infleión, los tuviera: f () = f () = f () = 4 f 4 () = f 5 () = f 6 () = a) b) c) d) e) f). Determina el periodo de las guientes funciones

3 Dominios y recorridos. A la vista de las gráficas de las guientes funciones, definir su dominio y su recorrido.. Calcular el domino de las guientes funciones: () f() = 5 4 () f() = 7 ( )( )( 6) () f() = (4) f() = (7) f() = 6 (5) f() = 0 (6) f() = 9 5 (8) f() = e 5 (9) f() = e 6 (0) f() = L( 8) () f() = L( 6 6) () f() = L 8

4 4 Operaciones con funciones. Estudiar la metría de las gráficas de las guientes funciones: () f() = () f() = 4 () f() = (4) f() = 4 4 (5) f() = 5 4 (6) f() = (7) f() = sen (8) f() = L( 4). Hallar las funciones las funciones (f g)(), (f g)() y (f g)() y sus dominios, endo: f() = y g() =. Dadas las funciones f() = y g() = 5, calcula la función f g (). 4. Dadas las funciones f() = y g() =. Hallar (f(g()) y (g(f()) y sus dominios. 5. Hallar las funciones (f g)() y (g f)(), así como sus correspondientes dominios, endo: f() = y g() = 5 6. Dadas las funciones f() = y g() =, escribir la epreón de: () f(f()) () f(g()) () g f() (4) f f f() 7. Representa las guientes funciones y sus inversas, calculando su epreón analítica previamente: () f() = () f() = () f() = (4) f() = 7 (5) f() =

5 5 Idea de Límite. A la vista de la gráfica de la función f(), que es la que aparece a continuación, contesta a las guientes cuestiones: () Calcula el valor de: f(a ), f(a ), f(a), f(a4) y f(a5 ) () Halla el valor de los guientes límites laterales: f() a f() a f() a f() a f() a f() a f() a 4 f() a 4 f() a 5 f() a 5 f() f() () Con los resultados obtenidos en el anterior apartado, calcula el valor de los guientes límites en caso de que eistan: f() f() f() f() a a a a4 a5 f() <.- Dada la función: f() = 5 <, representar gráficamente la función y definir, es poble, los guientes límites: f() f() f() f() f() f()

6 6 Cálculo de límites (). Calcula los guientes límites de funciones elementales. Utiliza la gráfica de la función o una tabla numérica cuando sea necesario: lim = lim = lim 0 = lim 6 = lim = lim = 0 lim = lim = = lim lim = e = lim e lim = lim = lim = = lim = lim log() = lim log() lim = lim log() = lim log() = 0 0 sen() = lim cos() lim = tg() lim = lim tg() = π/. Calcula los guientes límites de funciones polinómicas: a. lim ( 5 7) b. lim (5 47 5) c. lim ( 6). Calcular los límites de las guientes funciones racionales, eliminando cuando las haya las diferentes indeterminaciones: () 5 5 () 5 7 () (4) (5) ( ) ( 5) ( )( ) (6) ( 5)( 5) ( ) 4 (7) 4 4 (8) 0 ( ) (9) 0 4 (0) () () 6 4

7 7 Cálculo de límites (). Calcular los límites de las guientes funciones con radicales, eliminando las indeterminaciones por los procedimientos que se conderen oportunos: () () () 0 (4) 9 (5) ( ) (6) ( ) (7) ( ) (8) ( ) (9) (0) () () Calcular los guientes límites, eliminando las indeterminaciones en el caso de que las haya: () 4 () () 4 (4) 5 4 (5) 6 5 (6) 7 4 (7) 5 4 (8) 6 5 (9) 7 4 (0) () 5 () 5 5 7

8 8 Continuidad. Dada < f() = < 4 hallar estos límites y decidir la continuidad de f en esos puntos: 4 () 0 f() () f() () f() (4) f() (5) f() (6) f() 4 (7) f() 4 (8) 4 f(). Dada la función 0 f() = >, estudiar la continuidad en el punto de abscisas 0 = 0 y representarla posteriormente para comprobar el resultado obtenido es correcto. 5 <. Sea la función f() =. Estudiar es continua en el punto de abscisas > = y en el caso de que sea discontinua, claficar la discontinuidad La función f() = no está definida para =, por lo tanto no es continua en dicho punto. 7 Qué valor se debería dar a f(), para que la función así definida fuese continua en dicho punto? 9 5. Estudiar la función f() = es continua en los puntos de abscisas = y =. En aquellos que sea discontinua, analizar la discontinuidad es evitable o inevitable. 6. Sea f() = Qué valor debe tener a para que la función sea continúa en R? a >

9 9 Asíntotas. Calcula todas las asíntotas de las guientes funciones. Representa las asíntotas e intenta esbozar la gráfica de las funciones. a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = 9 f) f() = ln( 4) g) f () = h) f() = e i) f () = cosec() ln(). Comprobar, haciendo los cálculos adecuados, que las ecuaciones de las asíntotas que aparecen en las diferentes figuras, corresponden con las funciones cuyas gráficas están dibujadas:

10 0 Idea de Derivada. Tasa de variación media e instantánea.- La variación de la altura de un niño con el paso de los años, se recoge en la guiente tabla: Edad (años) Altura (cm.) a) Representar en una gráfica la altura en función de la edad. b) Calcular la variación de la altura para cada intervalo que plantea el problema. (Tasa de variación media). c) En qué intervalo de tiempo se produce un crecimiento más acusado? d) En qué momento es menor la velocidad de crecimiento?.- Calcular, aplicando la interpretación geométrica de derivada, la Tasa de variación instantánea de la guiente función, en los puntos señalados:.- Calcular, aplicando la definición de derivada, la Tasa de variación instantánea de las guientes funciones, en los puntos que se indican: a) f() = 8 0 en el punto o = b) f() = 5 en el punto o = 0 c) f() = 5 en el punto o = Comprueba después tus resultados utilizando la función derivada (calcúlala utilizando las reglas de derivación y después evalúala en el punto del que desees calcular la derivada).

11 Cálculo de derivadas (). Calcular la función derivada de las guientes funciones: 4 () f() = 6 5 () f() = f() = (4) f() = () (5) f() = (6) f() = f() = (8) f() = 5 (7) ( ) (9) f() = (0) ( ) f() =. Calcular la función derivada de las guientes funciones elementales: () f() = ln() () f() = 5ln() 7 f() = (4) f() = ln() 5 4 () ln() (5) = log (6) f() f() = log 5 (7) (9) f() = 8 (8) f() = (0) f() = f() = 5 π () f() = e () f() = e () 5 f() = e (4) ) f() = sen( (5) f() = 5sen() (6) sen() f() = 7 7 (7) f() = cos() (8) f() = cos() 6 () tg() f() = () f() = arccos()

12 Cálculo de derivadas (). Calcular la función derivada de las guientes funciones utilizando las reglas bácas de derivación: a) f() = ( 5 8) b) f() = ( )( 5 ) c) ( 5) 6 f() = 8 d) f() = L e) f) g) f() = f() = () = 8 f h) i) j) k) l) f () = f() = f() = f() = f() = ( 5 ) ( ) ( )( 5) ( ). Calcular la función derivada de las guientes funciones compuestas:. Calcular la función derivada segunda y tercera en cada caso: () f() = e () g() = () h() = ln -

13 Cálculo de derivadas () Deriva las guientes funciones, recordando las reglas bácas de derivación:

14 4 Continuidad y derivabilidad. Estudia la continuidad y la derivabilidad de las guientes funciones: a) 0 > 0 d) 6 > b) c) > > e) 4 5 =. Dada la función f()= 4 > a) Estudia la continuidad de la función en = b) Estudia la derivabilidad de la función en =. Dada la función f()= ( ) e > a) Estudia la continuidad de la función en = b) Estudia la derivabilidad de la función en = 4. Sea la función f() = a 4 a > a) Para que valores de a la función es continua en =. b) Estudiar, para los valores en los que la función es continua, es también derivable.

15 5 Recta tangente. Dada la función f() =, determina la ecuación de la recta tangente y normal en =.. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = en el punto de abcisas =. se puede hallar la recta tangente en =? Razónalo. Calcular los puntos de la curva f() = en los que la recta tangente a la función es paralela a la recta de ecuación y = Halla en qué punto, la recta tangente a la curva f() = es paralela a la recta y = 0. Es f derivable en todo su dominio? 5. En la gráfica de la función f() = 8 hay dos puntos cuya recta tangente es paralela al eje X. Calcular dichos puntos y las respectivas ecuaciones de las rectas tangentes. 6. En qué punto de la gráfica de la función f() = 7 8, la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? Calcula la ecuación de la recta tangente. 7. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva f() = en los puntos de intersección con la recta de ecuación y =. a 8. Calcular a para que la derivada de la función f() = sea igual a, en 0 = 4. Es f derivable en todo su dominio? a 9. Calcular el valor de a, para que la pendiente de la recta tangente a la función f() = sea a igual a ( ) en el punto de abscisa 0 =. Es f derivable en todo su dominio? 0. Calcular el valor de m para que la tangente a la curva f() = 5 en el punto de abscisa 0 = 4, sea perpendicular a la recta y = m. Es f derivable en todo su dominio?

16 6 Monotonía y curvatura. Representación de funciones. Estudiar las asíntotas ( las hay), la monotonía (intervalos de crecimiento, decrecimiento y etremos relativos) y la curvatura (intervalos de concavidad, conveidad y puntos de infleión) de las guientes funciones y esbozar su gráfica: a) y = 6 b) y = 4 6 c) y = 6 d) y = 5 e) f) y = 4 y = 9 g) y = 6 9 h) y = 6 6 i) y = ( ) j) k) y = y = l) y = ( ) m) n) o) y = y = y = e p) y = ( ). De las guientes funciones se pide: a) Calcular el dominio y estudiar la metría. b) Calcular asíntotas, las hubiera. c) Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos. d) Calcular los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión. e) Con la información obtenida en los anteriores apartados, haz un esbozo de la gráfica de la función. e a) f() = 6 f) f() = k) f() = e b) f() = g) f() = 4 l) f() = c) f() = e 4 h) f() = m) f() = L( 5 6) d) f() = i) f() = n) f() = L( ) e) f() = e j) f() = e f() = e Se condera la función f() =, se pide: > a) Estudiar f() es continua en el punto =. b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función f() en el punto de abscisas =. c) Calcular las asíntotas de la función. o) ( )

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