CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

Transcripción

1 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 8.. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS U cojuto ordeado de úmeros se llama ua sucesió, es decir, si afirmamos que u cojuto de úmeros está e sucesió, es que e dicho cojuto existe u primer elemeto, u segudo elemeto y así sucesivamete. Formalmete, ua sucesió de úmeros reales es ua fució deotada a que asiga a cada úmero atural, u úmero real. Defiició 8... Se llama sucesió real o sucesió umérica a la fució a : D N R tal que a). Observació 8... a) La image a) se deota por a y decimos que es el -ésimo térmio. b) Podemos deotar la sucesió a por a ) N dode a es el térmio geeral o térmio -ésimo de la sucesió. c) Otra forma de presetar ua sucesió es mediate ua ley de recurrecia, dode cada térmio, excepto el primero, se expresa e fució de térmios ateriores. Ejemplo 8... ). La sucesió + tiee como térmio geeral a a = N + de dode los tres primeros térmios so a =,a = 3,a 3 = 3 4,... Observe que los térmios so decrecietes e ituitivamete, podemos postular que la sucesió tiede a. 6

2 6 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA. Sea a ) N ua sucesió tal que a = y a = a, >. E esta sucesió, defiida recursivamete o por recurrecia teemos a =,a =,a 3 =,... Podría iteresaros determiar el -ésimo térmio de la sucesió, el cual sea idepediete del coocimieto del térmio aterior; co u poco de álgebra básica y el uso de las seccioes ateriores podemos realizarlo; teemos, a =,a = +,a 3 = + + 3,...,a = La expresió es la suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica co primer elemeto a = y razó r = ; esta suma es S = ) ) =, así, el térmio geeral de la sucesió es a = ). Si crece idefiidamete, existe algú úmero real al cual se aproxime a?. 8.. SUCESIÓN CONVERGENTE Defiició 8... La sucesió a ) N tiee ite L R cuado crece idefiidamete si y sólo si ε>0 0 N tal que > 0 se cumple a L <ε. Observació Deotamos a = L o abreviadamete a L.. Si la sucesió a ) N tiee ite decimos que la sucesió es covergete, e caso cotrario la sucesió es divergete. Ejemplo 8... Demuestre que =0. Solució. Debemos demostrar que para todo ε>0 existe 0 N tal que > 0 se cumple 0 <ε. Como > 0 etoces = de dode, a partir de <εcocluimos que > ε.tal 0 es cualquier atural mayor que ε. Ejemplo 8... Demuestre que p q Solució. Seaε >0 y cosideremos el real ) q =0, p, q Z +. tal que 0 > p ε. Sea N, > 0 etoces > ε ε>0 dado, existe 0 N tal que si > 0 cocluimos que Esto último dice que p q =0. ε ) q p etoces, por Arquímedes existe 0 N ) q p, obteemos ε> ) p q <ε. ) p q ;así, para

3 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 63 Teorema 8... Si ua sucesió es covergete, su ite es úico. Demostració. Supogamos que a = L y a = L. La demostració la realizaremos por reducció al absurdo, para ello supogamos que L L. Como a = L y a = L etoces para ε = L L > 0 existiría N,N N tal que a L <ε, N y a L <ε, N. Si cosideramos N =máx {N,N } etoces lasdos últimas afirmacioes se cumple cojutamete y teemos ε = L L = L a + a L a L + a L ) < ε + ε = ε esto último es ua cotradicció, de dode, el ite es úico. Defiició 8... Decimos que la sucesió a ) N es ua sucesió acotada si existe M R tal que a M, N. Teorema 8... Si a ) N es ua sucesió covergete etoces es acotada. Demostració. Supogamos que a = L etoces, dado ε>0 existe 0 tal que a L <ε, > 0. Como a L a L <εetoces a <ε+ L = M. Por otro lado, existe M =máx { a, a,..., a }, así, si tomamos M>máx {M,M } se cumple que a < M para todo. Ejemplo ) N es acotada ya que existe M = R tal que <, N.. ) N o es acotada ya que o existe M N tal que <M TEOREMAS Y EJEMPLOS Teorema Del acotamieto) Cosidere las sucesioes a ) N, b ) N, c ) N tal que a c b, > 0 y además que a = b = L, etoces c = L. Demostració. Si a = L etoces existe N tal que a L <ε,, es decir L ε<a <L+ ε. Si b = L etoces existe N tal que b L <ε,, es decir L ε<b <L+ ε. Como a c b, > 0 etoces tomado N>máx {,, 0 } se cumple que L ε<a c b <L+ ε, N, esto último idica que c = L.

4 64 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA se) Ejemplo Demuestre que =0. Solució. Como se cumple se), N, etoces se), las expresioes que acota a se) coverge a cero, etoces por el teorema del acotamieto se) obteemos =0. ) Ejemplo Demuestre que + =0. Solució. Como += +) + +) + + = + + etoces ) Por otro lado, podemos acotar a = + + como sigue, de dode, como = 0 etoces, por el Teorema del Acotamieto cocluimos que ) + =0. Observació Nuestro pricipal iterés o es de verificar el ite usado la defiició, sio que el de determiarlo; para ello ecesitamos algo más de teoría.. Aceptamos la siguiete afirmació. Sea a ) N ua sucesió y f) =a ;sila fució real f tiee image fx) defiida para x R, x>ysi x fx) =L etoces a = L. Es imediato que el siguiete Teorema o ecesita de demostració, coforme sea coocidos e el Cálculo. Teorema Si a = L y b = M, etoces a) a + b )=L + M. b) a b = LM. c) a = L, R. d) =, R. a e) = L b M,M 0. f) Si a 0 etoces a 0. g) Si a b etoces a b.

5 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 65 ). h) a ) a i) a = sqrt a. j) la )=l a ). Ejemplo Sea a ) N ua sucesió tal que a = 3+ etoces a = 3. 3 Ejemplo Calcule 3 + ) ) +). Solució. Simplificado por 3 obteemos ) ) ) + = 6 = 3. Ejemplo Calcule + +. Solució =

6 66 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA ) Ejemplo Calcule Solució. + ) + 3 ) ) =. Ejemplo Calcule Solució. + )!. + )! = =. +) + )! + + )! ) + )! )! + )! ) + )! )! ) + )! Ejemplo Determie x R {0} tal que a + a < dode a = x +).

7 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 67 Solució. Como etoces a + a = +) x +)+ x +) = x + +) a + a x + +) = x + +) = x + + = x + = x +. + ) ) Impoiedo la codició teemos a + a < x + < x, 0) {} SUCESIÓN MONÓTONA Y EL NÚMERO e Defiició Decimos que a ) N es ua sucesió a) moótoa creciete si y sólo si > a a. b) moótoa decreciete si y sólo si > a a. Teorema Si la sucesió a ) N es creciete y acotada superiormete etoces es covergete. Demostració. Si a ) N es acotada superiormete etoces existe supremo de la sucesió, supogamos que tal supremo es α = supa) dode A = {a / N}. Por la caracterizació del supremo se cumple que ε>0, a M A tal que α ε<a M α, así, ε >0, M N tal que si >M etoces α ε<a M a α<α+ ε, esta es precisamete la codició para que a = α. Teorema La sucesió + ) es covergete. Demostració. Demostraremos que la sucesió es creciete y acotada superiormete.

8 68 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA a) Acotamieto. + ) = + ) ) ) + +! 3! ) = ++! Aálogamete teemos + +! = ++ +! ) ) 3! ) ) + +! = + = + + ) ) ) < 3. b) Acotamieto. Demostraremos que a <a +. a = + ) = + ) ) ) + +! 3! ) + +! ) ) a = 3! + ) + + = ++ +! ) ) ) ) ) + + )! ) 3!! ) + 3 ) ) Se ota fácilmete que los sumados de a + so mayor o igual que los respectivos sumados que forma a,así, a <a +. Como la sucesió es creciete y acotada superiormete etoces la sucesió es covergete y + = e =, )..

9 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 69 ) 3 + Ejemplo Calcule. 3 Solució ) + ) 3 [ 3) + ) ] = e EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 8.. Compruebe que a =,a R +. Solució. Si a> cosideremos x = a > 0etoces+x ) = a y además, a =+x ) =+x + )! x + + x +x, así se cumple 0 <x a. Por el Teorema de Acotamieto y como a =0 etoces x = a ) = 0 de dode a =. Si a< sea a = a > etoces a =. Si a = la proposició es imediata. Ejercicio 8.. Compruebe que =. Solució. Sea x = > 0 etoces así etoces 0 x de dode =. = +x ) = +x + ) )! x, x + + x 0 cuado ; etoces x ) =0 Ejercicio 8.3. Compruebe que =0,a>, >0. a Solució. Si = sea a =+h, h>0, así, 0 < a = + h) < ) h = )h 0

10 70 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA cuado. Si < etoces 0 < a a 0 cuado. Si > etoces ) = 0 ya que a > 0, así etoces a a ) a = EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 8.. Calcule usado el Teorema de acotamieto a) ). Resp. 0. b) 3 Resp se) c). Resp.. ) ) cos) d). Resp cos) e) 3. Resp. 0. Ejercicio 8.. Calcule: a) [ 3 b) Resp.. + [ c) ) ]. Resp. 0. ]. Resp [ d) + + ]. Resp.. e) f) g) ). Resp Resp. 3. ) +. Resp..

11 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 7 h) i). Resp.. +) [ j)! + ] 3! )! ). Resp ) ). Resp.. [ ] ) + l). Resp. +. m) ) Resp [ ] Resp ) o) 3 3. Resp p) Resp. 5. a Ejercicio 8.3. Si a ) N es ua sucesió acotada demuestre que =0. a + Ejercicio 8.4. Calcule a si a =!. Resp. e. Ejercicio 8.5. Determie x R {0} para que a + a < dode a =!x. Resp. x e, e) {0}. Ejercicio 8.6. Calcule a) b) + ) ) +3 + ) + +7 c) +4 ) 3 d) 5 +4

12 7 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio 8.7. Sea a ) N tal que a =, a = a, >. Determie a. Resp. Ejercicio 8.8. Sea a ) N tal que a =,a + =a +, >. Determie a. Resp.. Ejercicio 8.9. Si r < verifique que r = SERIES NUMÉRICAS Presetaremos ua aproximació ituitiva del tema, os iteresa decidir si ua serie es o o covergete. Itroducció Ua serie ifiita es ua expresió que tiee la forma a + a a +... A las catidades a,a,..., a,... se les llama térmios de la serie, a a se le llama térmio geeral. E esta secció estudiaremos series cuyos térmios so úmeros reales. Por brevedad usaremos el símbolo para represetar la serie. Las series ifiitas se preseta co frecuecia e matemáticas y sus aplicacioes. Geeralmete el primer térmio represeta ua aproximació iicial a ua determiada catidad de iterés y los térmios siguietes so correccioes sucesivas de esa aproximació, la suma termia cuado se ha alcazado ua exactitud suficiete. No podemos asigar ua suma a la serie ta sólo sumado todos los térmios dispoiedo de u tiempo fiito para ello, al igual que e muchos campos de la matemática procederemos como sigue. Si hacemos que S sea la suma de los primeros térmios de la serie etoces S = a,s = a + a,s 3 = a + a + a 3,..., S = a + a a Los úmeros S,S,S 3,..., S,... forma ua sucesió {S } que se llama sucesió de sumas parciales de la serie. Si la sucesió de las sumas parciales tiee u ite cuado tiede al ifiito etoces, defiimos a este valor ite como la suma de la serie. Defiició Para la serie a = a + a + a a +... se defie la sucesió = {S } de sumas parciales de modo que S = Decimos que la serie a = a + a + a a,=,, 3,... = a = a + a + a a +... coverge y que tiee suma S si = ysólo si la sucesió {S } coverge al ite S, e este caso se escribe caso decimos que la serie diverge. a = S, e otro

13 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 73 Ejemplo Determiar si la serie ) +... = y e tal caso calcular su suma. 3 ) coverge, Solució. Debemos determiar el térmio de la sucesió de sumas parciales de la serie, tal térmio es S = ). Recoocemos la presecia de ua Progresió Geométrica, co primer térmio, razó 3 y + sumados, de dode S = 3 )+ 3 ahora veamos el limite. Como coverge a 3. S = 3 )+ 3 = 3 =0 = 3, etoces la serie, 8.8. SERIE GEOMÉTRICA La Serie Geométrica + r + r r +... = r,r se puede maejar como la serie del ejemplo aterior, teemos S = r = r+,r. Debemos aalizar r =0 varios casos Si r < etoces r + 0 cuado, e cosecuecia S = r. Si r > etoces r + es o acotada cuado, etoces {S } diverge. { 0 impar Si r = etoces S = )+ = par Como S oscila etre los dos valores 0 y, la sucesió {S } diverge. Si r = o se aplica la formula de la Progresió Geométrica, si embargo, e este caso cada térmio de la serie tiee valor y etoces S = +, así, la sucesió de sumas parciales {S } diverge. { Resumiedo, la serie geométrica es tal que: r coverge a = r si <r< diverge si r =0 =0 Ejemplo Como ua aplicació de lo aterior, si cosideramos el úmero decimal periódico: x = 0, 3 etoces: S = ) ) 3 00) S = 3 { } 00) ), el parétesis es ua progresió Geométrica.

14 74 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA S = 3 00 { 00 ) 00 }, luego si { } S Así podemos sosteer que 3 3 < 0, 3 < = 3 99 Ejemplo Determiar si coverge la serie +) = ) +... Solució. Debemos estudiar S = ) = Aplicado Fraccioes Parciales y luego la propiedad telescópica teemos S = +) = de dode S +). ) = ) + + ) ) ) + = + = + =,así la serie coverge a. + Ejemplo Probar la covergecia ecotrado su suma para la serie: ) +5 + ) +3) =0 Solució. { ) +5 A + ) +3) = ) + + B },A=,B = +3 luego S = + ) ) +5 { + ) +3) = ) + + } +3 =0 ) ) ) +... ± ) +3 =0 = ± +3 Como S = etoces la serie ) +5 + ) +3) coverge a o tiee suma =0

15 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 75 Ejemplo Calcular la suma de Solució. S = = =!! = ) ),!! suma telescópica igual a S = )!! etoces, S =, por lo tato la suma de la serie es. Observació Desafortuadamete los ejemplos ateriores o so típicos ya que la defiició que hemos estado aplicado para decidir la covergecia de alguas series, e geeral o suele ser de utilidad directa para descubrir si ua serie coverge o diverge, ya que, muchas veces o es posible determiar ua fórmula útil para S. Debemos estudiar alguas propiedades geerales de las series y alguos criterios que os ayude a determiar si ua serie coverge o diverge. Por otro lado, la defiició declara que ua serie coverge a S equivaletemete si la sucesió de sumas parciales coverge a S es decir si S = S. Esto implica que: para ε>0 dada, existe u etero positivo N, que depede de ε, tal que S S <εsiempre que >N; reformulado lo aterior teemos a <εsiempre =+ que >N. Esto dice que la covergecia de ua serie se maifiesta cuado el residuo, después de los primeros térmios es arbitrariamete pequeño, ote que los primeros térmios de la serie o so cosiderados. Teorema Si la serie = a es covergete etoces a =0 Demostració. Para grade, a = S S etoces a S S ) Si S es suma de la serie a etoces S = S, de dode a S S )=S S =0 Corolario Si e la serie a ocurre que a 0etoces la serie diverge. Observació El empleo pricipal del teorema cosiste e establecer la divergecia de la serie.

16 76 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejemplo Aalizar la covergecia de la serie Solució. Como a = + + = 0 etoces la serie Ejemplo Aalizar la covergecia de la serie + diverge. Solució. Por el criterio de la codició ecesaria y como a la serie diverge. Ejemplo Determiar si la serie = 0, = coverge o diverge. Solució. La serie propuesta se cooce como la serie armóica. Se puede demostrar que tal serie diverge, para ello se muestra que las sumas parciales se hace o acotadas. Teorema Si las series a y b so covergetes a las sumas S y W respectivamete etoces la combiació lieal su suma es ps + qw; p, q R Demostració. imediata. pa + qb ) tambié es covergete y Observació No es cierto, e geeral, el reciproco del teorema, la covergecia de la serie pa + qb ) o asegura la covergecia de las series a y b. Por ejemplo, se demostró que la serie y + diverge. ) coverge, y sabemos que las series armóicas + Teorema Si la serie a es de térmios o egativos etoces, ella coverge si y solo si su sucesió {S } es acotada. Demostració. Sabiedo que {S } es moótoa creciete ella coverge si y solo sí es acotada superiormete como se ha observado e el tema de sucesioes. Observació Para el trabajo posterior de aálisis de la covergecia de las series, se hace ecesario coocer alguas por lo que a la serie geométrica, debemos agregar si justificar por el mometo la llamada serie p:

17 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 77 a) a coverge para a < y diverge para a, co a llamada la razó de la serie. b) p, coverge si p> y diverge para p 8.9. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Criterio de Comparació Teorema Si 0 <a b ; etoces a) Si b es covergete etoces a es covergete. b) Si a es divergete etoces Demostració. Sea S = b es divergete. a y W = b las sumas parciales de las dos series. Sabemos que W tiee limite, por ejemplo B, cuado. Necesitamos demostrar que tambié coverge la sucesió {S }. Como a > 0 etoces {S } es moótoa creciete, además 0 <S W <B, de maera que {S } es acotada, por lo tato {S } coverge, de dode, la serie a coverge. La otra parte del teorema es aáloga. Observació Nótese que e este criterio o se cooce la suma de la serie y la aplicació de él supoe de algú modo ua presució de covergecia o divergecia para poder determiar la comparació. Ejemplo Probar la covergecia de u úmero decimal ifiito por comparació co ua serie geométrica. Solució. Si deotamos u decimal ifiito cualesquiera como: si lo escribimos como ua serie: = e, d d d 3...d...;0 d i 9 Si = e + d 0 + d 0 + d d S = e + d 0 + d 0 + d d 0 S e

18 78 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA S e { progresió geométrica), o sea: ) S a ,si, la serie mayorate coverge a a +, luego la 0 sucesió {S } coverge y por ello la serie decimal ifiito coverge. Este resultado icluye como caso particular a u úmero decimal periódico. Ejemplo Discutir la covergecia de +si Solució. Como si + si 3 etoces 0 +si 3. Como la 3 serie mayorate es ua serie p co p> es covergete, por comparació lo será la propuesta. Ejemplo Aalizar por comparació la serie Solució. Sabiedo que: y como la serie tambié por comparació lo hará la propuesta. Ejemplo Estudiar la serie! =+! + 3! +... } diverge como serie p co p =, Solució. Como! crece extremadamete rápido, es razoable creer que la serie coverge. Dado que!... = y como la serie coverge, por ser ua serie geométrica de razó r = <, la uestra tambié coverge. Ejemplo Aalizar la serie [ a,coa = ] Solució. Como presumimos que podría ser divergete y a > etoces a > [ ] [ 3 4] a > mismo pasa co la serie mayor a. Ejemplo Probar que la serie 4 y como l + es divergete. [ ] + diverge, serie p<), lo

19 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 79 Solució. l = l +) = l +) y como la serie armóica diverge, tambié lo hace propuesta, segú el criterio de comparació. Ejemplo Aalizar por comparació la serie + l Pero l >, l cos π ) y por lo tato la serie Solució. Teiedo como referecia la idetidad si α cos α = etoces cos π = π si y como π si < π 4 < π y como la serie pπ es covergete, lo será la serie propuesta Criterio de Comparació por ite Teorema Sea las series a y b, ambas de térmios positivos. a Si 0 < < etoces las series tiee el mismo comportamieto. b a Demostració. Supogamos que 0 < = L< y que coverge. b a Como = L etoces para valores grades de, digamos K, teemos a L b b es decir a Lb. La serie Lb =L b coverge por tato tambié coverge la serie a. Observació Para complemetar el criterio aterior se tiee: a a) a b b = y b diverge etoces a diverge. E efecto, del hecho que >M y como a >Mb, la coclusió es clara. a b) =0y b coverge etoces a coverge. b E efecto puesto que a <ε; > 0 y ε dado, etoces a <εb y la comparació b ratifica lo euciado. Ejemplo Aplicado comparació, aalizar la serie b +).

20 80 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Solució. El uso de este criterio presupoe ua cierta sospecha de su coducta para elegir la serie co la que se va a comparar, e este caso el térmio geeral es muy parecido a de ahí la comparació co la serie divergete b = a : b +) + = R, etocesla + serie propuesta es tambié divergete. Ejemplo Aalizar la serie 3 + Solució. La cercaía co la serie p covergete ambas: 3 +) 3 ) + Ejemplo Aalizar la serie 3, os lleva a la comparació de 3 =, luego la serie es covergete. 3. Solució. La comparació co la que se isiúa es co, geométricamete cover- 3 gete cuya razó es meor que. de la observació b) aterior. 3 = 0, luego la serie es covergete e virtud Criterio de la raíz de Cauchy Teorema Para ua serie a de térmios o egativos y cumple: a) Si l<, la serie es covergete. a = l se b) Si l>, la serie es divergete. c) Si l =, o hay iformació, pudiedo ser ó covergete ó divergete. Demostració. a) Como 0 <l<, cosideremos el úmero r l, ), por lo que existirá, e el trayecto hacia l, el atural 0, tal que > 0 a <róa <r, y como r es ua serie geométrica covergete, la comparació señala que la serie covergete. a es

21 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 8 b) Como 0 < <l, podemos cosiderar el úmero r,l), luego existirá 0 > o a >r a >r, y como la serie r es divergete, la serie a, lo será. Ejemplo Estudie la covergecia de la serie 3 + 5) + 3 ) ) +... Solució. Aplicado el criterio de Cauchy teemos ) a + + = <, así, la serie coverge. Ejemplo Determiar la covergecia de la serie ) l Solució. Que el térmio geeral de la serie tega expoete, ivita a aplicar este criterio: a = 0, por lo tato la serie coverge. l Criterio de la razó de D Alambert Teorema Para la serie de térmios o egativos a) Si L<, la serie b) Si L>, la serie a es covergete. a es divergete. c) Si L =, o hay iformació. Demostració. a + a tal que a a) Al igual que e el criterio aterior,si L<,defiimos el úmero r = + L), de modo que existirá 0 N, > 0 a + a a <r, es decir, a <r, co ello podemos establecer que a = Pero como la serie a a a... a 0 + a 0 r r r... r)a 0 = r 0 a 0 a a a 3 a 0 r 0 = L coverge como ua serie geométrica, la serie meor tambié lo hará. a + b) Si L>y > a + >a, es decir la sucesió es creciete de modo a que a 0, por lo que la serie es divergete.

22 8 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejemplo Aalizar la serie 3! Solució. a + a )! +) + 3! = Diverge!. 3 +) + ) +) 3 + ) = 3 e >, Ejemplo Aalizar la serie: )! ) Solució. Como a = )) ) =!) + )! + )! + + )! +) + 3)!! + ) +3) =, luego la serie coverge Criterio de la Itegral Teorema Si se tiee ua serie de térmios o egativos a, y ua fució real fx), cotiua y moótoa o creciete e [, ) tal que fx) =a. Etoces la serie a y la itegral fx)dx, ambas coverge ó ambas diverge. Demostració. La direcció que más os importa es el aálisis de covergecia o divergecia de la itegral para deducir el comportamieto de la serie. f) = a >f) = a >... > f) =a >... e el itervalo: <x<+ a = f) >fx) >f +)=a +. Itegrado, a dx > fx)dx > a + dx, a > + fx)dx>a +, ahora sumado e obteemos a > fx)dx > a + S S > fx)dx>s S. Si la itegral coverge, por el segudo miembro de la desigualdad la sucesió es acotada por lo tato covergete y así tambié la serie. Pero si la itegral diverge, el primer miembro establece que la sucesió de sumas parciales o es acotada y por lo tato diverge al igual que la serie.

23 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 83 Ejemplo Probar la divergecia de la serie armóica Solució. La fució cotiua y decreciete que se idetifica co el térmio geeral de la serie será fx) = x por lo tato dx b x dx b x l b l ) =, luego la b itegral diverge y por lo tato la serie armóica. Ejemplo Aalizar serie p: p + p + 3 p p = p,p>0 Solució. Si cosideramos la fució real cotiua y decreciete: fx) = x ] p N dx N x p = p x p = p N p ); p l x] N =ln; p = Hacemos que tieda a ifiito y estudiaremos la covergecia de la itegral impropia. dx Si p>, x p = ; la itegrla es fiita y la serie coverge. p dx Si p<, = ; la itegral es ifiita y la serie diverge. xp dx Si p =, = ; la itegral es ifiita y la serie diverge. xp Ejemplo Aalizar co el criterio de la itegral la covergecia de la serie: e Solució. La fució cotiua y decreciete es fx) =xe x y como la itegral coverge a etoces la serie tambié coverge. e xe x dx, Criterio de Leibitz, para series alterates Teorema Si b b... > 0 y b =0etoces la serie ) + b = b b + b 3 b es covergete. Demostració. Se demostrará que la sucesió de sumas parciales de la serie es acotada superiormete y por lo tato covergete y ello implica la covergecia de la serie. Cosideremos la suma de u úmero impar de térmios: S =b 0 b )+b b 3 )+... +b b ),

24 84 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA los parétesis so positivos. S + = S +b b ) S + S {S } es creciete, por otra parte, como S = b 0 b b ) b 3 b 4 )... b 3 b b ) y como cada parétesis es positivo se tiee que S b 0, etoces la sucesió es acotada superiormete. Por otra parte: S = S + b. Luego si etoces b 0 co lo que se determia la covergecia de {S }. Ejemplo Verificar la covergecia de ) Solució. Como la sucesió de térmio geeral b = es decreciete y además = 0, etoces la serie ) es covergete. Ejemplo Demostrar que la serie alterada es covergete ) Solució. Usemos el criterio de Leibitz. Debemos verificar que la sucesió de térmio geeral a = es decreciete. Como a + = +) = + < = a etoces la sucesió es decreciete. Además, como a = 0 etoces la serie es covergete. Defiició Ua serie se dice que es absolutamete covergete, si a a es covergete y se dirá codicioalmete covergete cuado covergete, pero a es divergete. Teorema si la serie Demostració. Si a coverge etoces coverge a coverge etoces ε >0 0 N si a. +p > 0 a = a + + a + + a a +p <ε, como + +p a + + a + + a a +p a <εetoces a es covergete. + a es

25 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 85 Ejemplo La serie de térmios positivos y egativos es codicioalmete covergete, ya que la serie formada por los valores absolutos de sus térmios, coverge. Ejemplo La serie de térmios positivos y egativos! + 3! 4! +... es absolutamete covergete, ya que la serie formada por los valores absolutos de sus térmios, 8.0. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejemplo Decidir la covergecia de las siguietes series: a) b) c) d) =4 +) ) 3) +) 3 cos 3 Ejemplo Ecotrar la suma de las series a) b) c) = +5 ) +) +) Ejemplo Aalizar la covergecia de + ) ) ) Ejemplo Determie si coverge a) +) + ) +3)

26 86 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA b) c) ) +) ++ Ejemplo Usado el criterio de comparació, aalizar las series: a) b) c) +) 4 ) + Ejemplo Co el criterio de la itegral estudiar: a) b) c) d) + e arcta + + +) Ejemplo Co el criterio de la razó aalizar: a) b) c) ) +)! )

27 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 87 Ejemplo Co el criterio de la Cauchy aalizar: a) b)! Ejemplo Aalizar las series alterates: a) b) c) ) + ) + ) + +) + Ejemplo Aalizar la covergecia de las siguietes series: a) b) c) d) e e) f) +5 + ) ) +) g) ) + 6 ) ) )! h) 4 i) +)

28 88 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA j) ) ) +3) ) ) + l