Sistemas de Ecuaciones Lineales

Transcripción

1 Sistemas de Ecuaciones Lineales José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/200 José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales

2 Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y m ecuaciones es un sistema de la forma a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b a m x + a m2 x a mn x n = b m El sistema se puede expresar utilizando matrices a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n x 2 b 2.. =... } a m a m2 {{ a mn } } x n {{ } b m A x b El sistema puede expresarse abreviadamente como AX = b. }{{} José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 2

3 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales Cuando b = b 2 = = b n = 0 el sistema se llama homogéneo. Si el sistema no tiene solución se llama sistema incompatible. Si el sistema tiene solución única se llama sistema compatible determinado. Si el sistema tiene infinitas soluciones se llama sistema compatible indeterminado. José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 3

4 Método de eliminación de Gauss Los sistemas triangulares superiores a x + a 2 x a n x n + a n x n = b a 22 x a 2n x n + a 2n x n = b a n n x n + a n n x n = b n a nn x n = b n se pueden resolver por sustitución regresiva x n = ( x k = b k a kk n i=k+ b n a nn ) a ki x i k = n,n 2,...,. El método de eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema en un sistema triangular mediante las llamadas operaciones elementales: Intercambiar las ecuaciones i y j. 2 Producto de una ecuación i por un escalar λ no nulo. 3 Restar a una ecuación i otra multiplicada por λ José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 4

5 Ejercicios Discutir y resolver los siguientes sistemas x + y + z = a x y = 0 3x + y + bz = 0 x y + z + t = 4 2x + y 3z + t = 4 x 2y + 2z t = 3 x 3y + 3z 3t = 2 Resolver el sistema cuya matriz ampliada es José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 5

6 Matrices elementales Una matriz cuadrada de tamaño n n se dice que es una matriz elemental si es el resultado de aplicar una operación elemental a la matriz I n. Todas las matrices elementales son invertibles. Además, si E es una matriz elemental E es una matriz elemental del mismo tipo: 3 Si E es elemental de tipo I, entonces E = E. E = E = i j i j José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 6

7 E = Matrices elementales 2 Si E es la matriz elemental de tipo II obtenida multiplicando la fila i del I por el número r, entonces E es la matriz elemental obtenida multiplicando la fila i de I por r. i i... E = i r., E = i r Si E es la matriz elemental de tipo III obtenida al sumar a la fila j de I la fila i multiplicada por r, entonces E es la matriz elemental obtenida al sumar a la fila j la i multiplicada por r. i j i j i j. r i E = j. r José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 7

8 Factorización LU Teorema Sea A una matriz de tamaño m n y sea E una matriz elemental de tamaño m m obtenida al aplicar una determinada operación elemental a la matriz identidad. Si la misma operación elemental se aplica a la matriz A se obtiene EA. La transformación de una matriz A de tamaño m n en una matriz triangular superior U mediante operaciones elementales de tipo III se puede escribir como E k E k E 2 E A = U. Por lo tanto A = E E 2 Ek E k U = LU, siendo L una matriz triangular inferior tamaño m m con unos en la diagonal principal. Nota Si para transformar la matriz A en la U se han hecho las operaciones elementales F i l ij F j, entonces los elementos ij no nulos fuera de la diagonal principal de L son l ij. Nota La descomposición LU se puede almacenar en una matriz de tamaño n n José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 8

9 Factorización LU Solución de un sistema mediante LU Si A = LU, para encontrar la solución del sistema AX = b, se resuelve primero el sistema Ly = b y a continuación Uy = x. Factorización LDU La matriz A también se puede factorizar como A = LDU, donde L es triangular inferior con en la diagonal, U triangular superior con en la diagonal y D es la matriz diagonal de los pivotes. Sean A = L D U y A = L 2 D 2 U 2 dos descomposiciones de la matriz A. Si D y D 2 no tienen ceros en la diagonal, entonces L = L 2, D = D 2 y U = U 2 Factorización de Cholesky Si A es una matriz simétrica y puede factorizarse en A = LDU, entonces U = L T. Si los pivotes son positivos las matriz se puede descomponer como A = C T C. Esta es la llamada factorización de Cholesky de la matriz A. (en memoria se puede almacenar en n(n+) 2 números reales) José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 9

10 Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Método de eliminación de Gauss-Jordan Es similar al método de Gauss, con la diferencia de que todos los elementos de la columna donde hay un pivote, excepto el pivote, se anulan. Es decir, se hacen ceros por debajo y por arriba. Cálculo de la inversa Sea A una matriz de orden n n. Si mediante operaciones elementales sobre las filas, transformamos A en la identidad I n, entonces esas mismas operaciones aplicadas a I n la transforman en A. Ejemplo Calcular la inversa de José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 0

11 Comparación entre diferentes métodos para resolver SEL Método Multiplicaciones Sumas Operaciones Método de Gauss Método de Gauss-Jordan n n2 n 3 n3 3 n n2 2 n3 2 n n n n3 3 n 3 2 n 2 n n n3 n 3 Regla de Cramer (n + )! (n + )! 2(n + )! Sustitución regresiva n(n ) 2 n2 2 (n )(n 2) 2 n2 2 n 2 Factorización de Cholesky n3 6 n3 6 n3 3 José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales

12 Sistemas mal condicionados Un sistema de ecuaciones lineales se dice que está mal condicionado si un pequeño cambio en las componentes de la matriz causa un gran cambio en la solución. En caso contrario se dice que está bien condicionado. Ejemplo x + 2 x 2 = 0.05 x + 2 x 2 = 0.4 x + 2 x 2 = 0. x + 2 x 2 = 0.4 } { x = 8 x 2 = } { x = 4 x 2 = 3 José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 2

13 Pivoteo parcial La pivotación parcial es la variante del método de eliminación en el que se elige como pivote el mayor, en valor absoluto, de todos los coeficientes por debajo de la posición del pivote actual de una columna. La solución exacta del sistema ( )( x y ) ( 0.5 = es x = 5000/ ,y = 4950/ Si se resuelve el sistema por el método de Gauss con aritmética de punto flotante de 2 dígitos se obtiene ( )( x y ) ) ( 0.5 = 99 con solución x = 0, y = 0.5, al utilizar una aritmética computacional de punto flotante de 2 dígitos. ), José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 3

14 Pivoteo parcial Si, en cambio, se toma como pivote el elemento a 2 se tiene ( )( ) ( ) x =, 0 y 0.5 con solución x = 0.50, y = 0.50, también con aritmética de punto flotante de dos dígitos. José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales 4