Modelado de un Robot Industrial KR-5

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1 RESUMEN Modelado de un Robot Industral KR-5 (1) Eduardo Hernández 1, Samuel Campos 1, Jorge Gudno 1, Janeth A. Alcalá 1 (1) Facultad de Ingenería Electromecánca, Unversdad de Colma, km 2 Carretera Manzanllo-Barra de Navdad, Colma (Méxco) (eduardohrdz@hotmal.com) Este trabajo presenta el modelo matemátco de un manpulador de 6 grados de lbertad KR-5 sxx 85. La cnemátca drecta es analzado medante el método de Denavt-Hartenberg, y es valdada de forma expermental con el manpulador y smulado. Tambén se obtuvo la ecuacón dnámca de manpuladores con el método Euler-Lagrange. INTRODUCCIÓN Son pocos los artículos que descrben el modelo matemátco y valdado en forma expermental de un robot ndustral en arqutectura aberta. El presente trabajo se enfoca en los resultados obtendos del estudo de la cnemátca drecta de un brazo robot ndustral de la marca KUKA, modelo KR-5 utlzando la representacón de Denavt-Hartenberg con la cual se puede obtener la poscón y orentacón del extremo fnal del robot (herramenta o mano) utlzando ángulos de Tat- Bryan (ángulos yaw, ptch y roll) tenendo un sstema de coordenadas fjo en la base del robot (OXYZ), asgnándole a cada eslabón su propo sstema de coordenado (OUVW) o tambén llamado sstema de coordenadas lgado al cuerpo y empleando 4 parámetros que descrben completamente la geometría del robot, para fnalmente poder obtener una matrz de transformacón homogénea para cada grado de lbertad en la cual ya estarán ncludos todos estos parámetros. El modelo dnámco de un manpulador se puede obtener a partr de las leyes físcas conocdas tales como las leyes de la mecánca newtonana y lagrangana. Esto conduce al desarrollo de las ecuacones de movmentos dnámco para las dversas artculacones del manpulador en térmnos de los parámetros geométrcos e nercales de los elementos. Un método convenconal como la formulacón de Euler-Lagrange se puede aplcar para desarrollar las ecuacones de movmento que se expresan explcan en forma vectoral matrcal apropadas para el análss de control. MODELO CINEMATICO-DINAMICO I. CINEMATICA DIRECTA Denavt y Hartenberg un método sstemátco para descrbr la geometría espacal de los elementos de un robot con respecto a un sstema de referenca fja. El método hace uso de una matrz de transformacón homogénea para descrbr la relacón espacal entre los eslabones adyacentes del robot, por lo que el problema de la cnemátca drecta se reduce a encontrar una matrz de transformacón homogénea de (4x4), que relacona la localzacón del robot con respecto al sstema de coordenadas de su base. Para descrbr la localzacón de cada eslabón en relacón a sus vecnos este método permte establecer de forma sstemátca un sstema de coordenadas

2 lgado a cada uno de los eslabones del robot. En cada uno de los sstemas de referenca de coordenadas asgnado, encontraremos cuatro parámetros, llamados parámetros de Denavt- Hartenberg. Las transformacones báscas conssten en sucesones de rotacones y traslacones que permten relaconar el sstema de referenca del elemento con el sstema del elemento Rotacón alrededor del eje z 1 un ángulo. 2. Traslacón a lo largo de z 1 una dstanca d ; vector d,, d. 3. Traslacón a lo largo de x una dstanca 4. Rotacón alrededor del eje x un ángulo. a ; vector,, La matrz de transformacón está dada por la sguente ecuacón a a. T sen sen sen a cos cos cos sen d cos cos cos sen sen a sen cos 1 (1) II. DINAMICA La dnámca se ocupa de la relacón entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movmento que en él se orgnan. Por lo tanto, el modelo dnámco de un robot tene por objetvo conocer la relacón entre el movmento del robot y las fuerzas mplcadas en el msmo. Esta relacón se obtene medante el denomnado modelo dnámco, que relacona matemátcamente: 1. La localzacón del robot defnda por sus varables artculares o por las coordenadas de localzacón de su extremo, y sus dervadas: velocdad y aceleracón. 2. Las fuerzas y pares aplcados en las artculacones (o en el extremo del robot). 3. Los parámetros dmensonales del robot, como longtud, masas e nercas de sus elementos. Las ecuacones de movmento de un manpulador son un conjunto de ecuacones matemátcas que descrben su conducta dnámca. Tales ecuacones son útles para la smulacón del robot en una computadora, el dseño de ecuacones de control apropadas para el robot y la evaluacón del dseño y estructura del manpulador. La ecuacón dnámca que ejerce el comportamento de los robots manpuladores está dada por la sguente ecuacón, H q q C q q q g q (2)

3 n nxn donde q es el vector de las coordenadas artculares, Hq es la matrz de nerca nxn n smétrca postva, Cq, qq es el vector de Corols y centrfugado, gq es el vector n de gravtaconal y es el vector de torque que exste en cada artculacón. III. FORMULACIÓN DE LAGRANGE-EULER Las ecuacones de Lagrange permten contar con un sstema analítco para llegar a las ecuacones que descrben el comportamento físco del manpulador. Fgura. 1. Manpulador KUKA kr5 sxx 85 La aplcacón drecta de la formulacón dnámca lagrangana, junto con la representacón de coordenadas de elementos de Denavt-Hartemberg, resulta una descrpcón algorítmca, convenente y compacta de las ecuacones de movmento del manpulador. Las ecuacones de Lagrange se pueden expresar de la sguente manera. donde d L L 1,2,..., n (3) dt q q L funcón lagrangana: energía cnétca K energía potencal P; q coordenada generalzada del brazo; q prmera dervada respecto al tempo de la coordenada generalzada; fuerza (par) generalzado aplcado al sstema en la artculacón para mover el elemento. RESULTADOS Se establecó un sstema ortogonal dextrógro x, y, z en la base soporte, con el eje z estando a lo largo del eje de movmento de la artculacón. Los ejes x y y se pueden establecer convenentemente y son normales al eje z. La Fgura 2 muestra los sstemas de coordenadas de cada artculacón.

4 Fgura 2. Representacón de sstemas de coordenadas de cada artculacón. Una vez asgnado el sstema de coordenada base y de cada eslabón se determnan los parámetros D-H. En la tabla 1 se explca cómo determnar los parámetros. Tabla 1. Parámetros Denavt-Harterberg Ángulo de la artculacón del eje x 1 al eje x respecto del z 1 d Dstanca desde el orgen del sstema de coordenadas 1-esmo hasta la nterseccón del eje z 1 con el eje x a lo largo z 1 a Dstanca de separacón desde la nterseccón del eje z 1 con el eje x Ángulo de separacón del eje z 1 al eje z respecto del eje x Para formar las matrces de transformacón homogéneas se susttuyen los parámetros encontrados en la Ecuacón (1) donde es la artculacón actual, 1es la artculacón anteror. En la tabla 2 se muestra los parámetros de cada artculacón del robot KR5. Tabla 2. Parámetros Denavt-Hartenberg del manpulador Artculacón grados d mm a mm grados

5 Tabla 3. Matrces de transformacón del manpulador cos q1 sn q1 75cos q1 cosq4 sn q4 sn q1 cos q1 75sn q1 A 3 sn q4 cos q4 1 A q2 q2 q2 q q q cos sn 365cos sn cos 365sn A q3 q3 q3 q q q cos sn 9 cos sn cos 9sn A A q5 q5 q q cos sn sn cos A q6 q6 q q cos sn sn cos El prmer expermento consste en colocar los ángulos , entonces la matrz de transformacón es: T donde se tene una traslacón en x 56mm, y y z 79mm, desde el sstema de coordenadas fjo hasta el efector fnal del manpulador, como se lustra en la Fgura 3. Fgura. 3 Representacón kuka en su poscón ncal.

6 Otra prueba expermental consste, colocar 1 4 6, 2 45, 3 9, se tene un desplazamento en el eje x mm, eje z , y eje y, tal como se observa en la sguente matrz de transformacón y en la Fgura 4. T Fgura. 4 Representacón kuka movmento 2. CONCLUSIONES Se obtuvo excelente resultados en la cnemátca drecta, ya que se compró físcamente en el manpulador ndustral, el método empleado fue Denavt-Hartenberg. Se obtuvo el modelo dnámco del manpulador Kuka Kr-5 y se valdo empleando las propedades de los manpuladores y a través de la smulacón. En trabajo futuro, se espera demostrar expermentalmente el modelo matemátco. REFERENCIAS [1] K. S. Fu, R.C. González, C. S. G. Lee, Robótca control, deteccón, vsón e ntelgenca, Mc. Graw Hll, 199. [2] A. Barrentos, Lus F. Penn, Carlos Balaguer, Rafael Aracl, Fundamentos de Robótca, Edtoral Mc. Graw Hll. [3] Mark. W. Spong, Robot Dynamcs and control, Ed. Jhon Wley & sons, 1989.