Apuntes de cálculo infinitesimal Una introducción al análisis matemático

Transcripción

1 Apuntes de cálculo infinitesiml Un introducción l nálisis mtemático Miguel Lcruz Mrtín Año cdémico 17/18

2 The clculus ws the first chievement of modern mthemtics, nd it is difficult to overestimte its importnce. I think it defines more unequivoclly thn nything else the inception of modern mthemtics, nd the system of mthemticl nlysis, which is its logicl development, still constitutes the gretest technicl dvnce in exct thinking. John von Neumnn

3 Índice 1 Números reles Axioms de los números reles Consecuencis de los xioms de los números reles L propiedd rquimedin y sus consecuencis El principio de Cntor de intervlos encjdos El principio de inducción mtemátic Funciones elementles Función rel de vrible rel L función logrítmic L función exponencil Ls funciones trigonométrics Sucesiones infinits Sucesiones convergentes Sucesiones monótons Subsucesiones Sucesiones de Cuchy Límites de oscilción Funciones continus Límites de funciones Propieddes lgebrics Límites lterles Continuidd en un punto Funciones monótons Continuidd en un intervlo Ls funciones elementles Funciones derivbles Derivd de un función Cálculo de derivds L regl de l cden Derivds de ls funciones elementles Aplicciones de l derivd

4 4 ÍNDICE 6 Derivds de orden superior Polinomios de Tylor Comportmiento del resto de Tylor Teorem de Tylor L bse de los logritmos nturles es irrcionl Cálculo de límites con expresiones indeterminds Números complejos Necesidd de los números complejos Operciones con números complejos Fórmuls de De Moivre Cálculo de primitivs Introducción Integrles inmedits Integrción por prtes L fórmul del cmbio de vrible Integrles de funciones trigonométrics Fórmuls de reducción Integrción de funciones rcionles Integrles de funciones irrcionles Otrs integrles trigonométrics L integrl de Riemnn Prticiones de un intervlo Integrles de Drboux Crcterizción de ls funciones integrbles Propieddes lgebrics de l integrl El teorem fundmentl del cálculo Funciones integrbles Continuidd uniforme Integrbilidd de ls funciones continus Aplicciones de l integrl Áres de figurs plns Longitud de rco Sums de Riemnn Volúmenes de sólidos de revolución Series infinits Sums prciles Condiciones generles pr l sumbilidd Series de términos no negtivos Series lternds Convergenci bsolut y condicionl Reordención de series

5 Tem 1 Números reles 1.1. Axioms de los números reles Vmos definir el sistem de los números reles como un conjunto R provisto de sends operciones y un relción de orden. Ls propieddes de ls operciones y l relción de orden se dn por un sistem de xioms que se clsificn en cutro ctegorís: los xioms de l sum, los xioms del producto, los xioms del orden y el xiom del supremo Axioms de l sum (P1) Propiedd socitiv de l sum: si x, y, z R entonces (x + y) + z = x + (y + z). (P2) Existenci de elemento neutro de l sum: si x R entonces x + 0 = 0 + x = x. (P3) Existenci de elemento opuesto de l sum: si x R entonces existe x R tl que x + ( x) = ( x) + x = 0. (P4) Propiedd conmuttiv de l sum: si x, y R entonces x + y = y + x Axioms del producto (P5) Propiedd socitiv del producto: si x, y, z R entonces (xy)z = x(yz). (P6) Existenci de elemento neutro del producto: si x R entonces x 1 = 1 x = x, y demás 1 0. (P7) Existenci de elemento inverso del producto: si x R\{0} entonces existe x 1 R tl que x x 1 = x 1 x = 1. (P8) Propiedd conmuttiv del producto: si x, y R entonces x y = y x. (P9) Propiedd distributiv: si x, y, z R entonces x(y + z) = xy + xz. 5

6 6 TEMA 1. NÚMEROS REALES Axioms del orden (P10) Ley de tricotomí : si x R entonces x > 0 ó x = 0 ó x < 0. (P11) L sum es cerrd: si x > 0 e y > 0 entonces x + y > 0. (P12) El producto es cerrdo: si x > 0 e y > 0 entonces xy > 0. Se dice que un conjunto de números reles A R está cotdo superiormente si existe M R tl que M pr todo A, y en tl cso se dice que M es un cot superior de A. Se dice que α R es cot superior mínim de A si α es cot superior de A y se verific que si M es un cot superior de A entonces α M. El término supremo es sinónimo de cot superior mínim y se prest l brevitur α = sup A Axiom del supremo (P13) Axiom del supremo: si A es un conjunto no vcío de números reles cotdo superiormente, entonces A tiene un cot superior mínim Consecuencis de los xioms de los números reles Vmos estblecer lguns consecuencis lógics que se deducen de los xioms de los números reles. Ests consecuencis proporcionn ls propieddes del sistem de los números reles que se utilizn en l construcción del edificio del cálculo infinitesiml Consecuencis de los xioms de l sum El elemento neutro de l sum es único. En efecto si 0 1, 0 2 son elementos neutros de l sum entonces se tiene 0 1 = = 0 2. El elemento opuesto de l sum es único. En efecto, si x 1, x 2 son elementos opuestos de x entonces x 2 = 0 + x 2 = (x + x 1 ) + x 2 = x + (x 1 + x 2 ) = x + (x 2 + x 1 ) = (x + x 2 ) + x 1 = 0 + x 1 = x 1. L ecución x + = b tiene solución únic x = b. En efecto, (x + ) + ( ) = b + ( ) luego x + [ + ( )] = b + ( ) y por lo tnto x = b Consecuencis de los xioms del producto El elemento neutro del producto es único. En efecto, si 1 1, 1 2 son elementos neutros del producto entonces se tiene 1 1 = = 1 2. El elemento inverso del producto es único. En efecto, si x 1, x 2 son elementos inversos de x 0 entonces x 2 = 1 x 2 = (xx 1 )x 2 = x(x 1 x 2 ) = x(x 2 x 1 ) = (xx 2 )x 1 = 1 x 1 = x 1. El inverso de un producto de dos números reles no nulos es igul l producto de sus inversos. En efecto, si x 0 y entonces (xy)(x 1 y 1 ) = (yx)(x 1 y,1 ) = y(xx 1 )y 1 = yy 1 = 1. El inverso de x 0 se denot por 1/x. El producto de x por 1/y se denot por x/y.

7 1.2. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES 7 L ecución x = b con 0 tiene solución únic x = b/. En efecto, 1 (x) = 1 b luego ( 1 )x = 1 b, es decir, x = b/. Los números 1, 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1, y en generl n := (n 1) + 1 se llmn números nturles y se simboliz N = {1, 2, 3,..., n,...}. Los números nturles, sus opuestos y el cero se llmn números enteros y se simboliz Z = {..., n,..., 2, 1, 0, 1, 2,..., n,...}. Finlmente, los cocientes de números enteros con denomindor no nulo se llmn números rcionles y se simboliz Q = {m/n: m, n Z con n 0}. Se pone por definición x 1 = x, y si n 2 entonces x n = x n veces x. Es evidente que x m+n = x m x n y que (x m ) n = x mn. Supongmos que x 0 y pongmos x 0 = 1, x n = 1/x n. Es fácil comprobr entonces que x m+n = x m x n y que (x m ) n = x mn pr todo m, n Z. Se tiene l iguldd 0 x = 0 pr todo x R. En efecto, 0 x+x = 0 x+1 x = (0+1)x = 1 x = x, luego 0 x = 0. Si xy = 0 entonces x = 0 ó y = 0. En efecto, si y 0 entonces x = x(yy 1 ) = (xy)y 1 = 0 y 1 = 0. Si x R entonces x = ( 1) x. En efecto, x+( 1) x = 1 x+( 1) x = (1+( 1)) x = 0 x = 0 y se sigue de l unicidd del elemento opuesto de l sum que x = ( 1) x Consecuencis de los xioms del orden Si x, y R entonces x < y o x = y o x > y. En efecto, según l ley de tricotomí tenemos x y < 0 o x y = 0 o x y > 0. Sen x, y, z R. Si x y entonces x + z y + z. En efecto, esto es obvio si x = y, y si x < y entonces y x > 0 luego (y + z) (x + z) > 0 y por lo tnto x + z < y + z. Sen x, y, z R. Si x y y z > 0 entonces xz yz. En efecto, esto es obvio si x = y, y si x < y entonces y x > 0 luego por el xiom (P12) se tiene (y x)z > 0 y por lo tnto xz < yz. Sen x, y, z R. Si x y e y z entonces x z. En efecto, esto es obvio si x = y ó y = z, y si x < y e y < z entonces y x > 0 y z y > 0 luego se sigue del xiom (P11) que y por lo tnto z x > 0, es decir, x < z. (y x) + (z y) > 0, Si x < 0 e y < 0 entonces xy > 0. En efecto, x > 0, y > 0 luego por el xiom (P12) se tiene xy = ( x)( y) > 0. Si x 0 entonces x 2 > 0. Esto es consecuenci de l propiedd nterior y del xiom (P12). Se define el vlor bsoluto de un número rel x R medinte l expresión x = máx{x, x}. Teorem (Desiguldd tringulr). Si x, y R entonces x + y x + y.

8 8 TEMA 1. NÚMEROS REALES Demostrción. En efecto, tenemos x + y 2 = (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy = x 2 + y 2 + 2xy x 2 + y x y = ( x + y ) 2, de donde se sigue el resultdo Consecuencis del xiom del supremo Se dice que un conjunto de números reles A R está cotdo inferiormente si existe m R tl que m pr todo A, y en tl cso se dice que m es un cot inferior de A. Se dice que α R es cot inferior máxim de A si α es cot inferior de A y se verific que si m es un cot inferior de A entonces m α. El término ínfimo es sinónimo de cot inferior máxim y se prest l brevitur α = ínf A. Teorem (Propiedd del ínfimo). Si A es un conjunto no vcío de números reles cotdo inferiormente entonces A tiene un cot inferior máxim. Demostrción. Vése el problem Teorem (Existenci y unicidd de l riz n-ésim de un número positivo). Pr todo x > 0 y pr todo n N existe un único y > 0 tl que y n = x. Se simboliz y = n x. Demostrción. Consideremos el conjunto A = {z R + : z n x}. Observemos que A es no vcío pues 1 A si x 1 y x A si 0 < x < 1. está cotdo superiormente por 1, si x 1, y por x si x 1. Pongmos y = sup A. Vemos que y n = x. Rzonmos por reducción l bsurdo. Si y n < x, se ε = x y n > 0. Se 0 < h 1. Se sigue de l fórmul del binomio de Newton (problem 1.19) que (y + h) n = y n + ny n 1 n(n 1) h + y n 2 h 2 + [ 1 2 ] = y n + h ny n 1 n(n 1) + y n 2 h [ ] y n + h ny n 1 n(n 1) + y n = y n + h[(y + 1) n y n ] Si hor tommos 0 < h < ε (y + 1) n y n result que (y + h) n y n + ε = x, y esto contrdice el hecho de ser y un cot superior de A.

9 1.3. LA PROPIEDAD ARQUIMEDIANA Y SUS CONSECUENCIAS 9 Si y n > x, se ε = y n x. Tenemos pr todo 0 < h 1 Si hor tommos (y h) n = y n ny n 1 n(n 1) h + y n 2 h 2 [ 1 2 ] = y n h ny n 1 n(n 1) y n 2 h [ ] y n h ny n 1 n(n 1) + y n 2 h [ ] y n h ny n 1 n(n 1) + y n = y n h[(y + 1) n y n ] 0 < h < ε (y + 1) n y n result que (y h) n > y n ε = x. Ahor bien, como y es l cot superior mínim de A, se sigue que y h no es cot superior de A, luego existe z A tl que y h < z < y, de modo que x < (y h) n < z n y de nuevo hemos llegdo un contrdicción. Si < b entonces se define el intervlo cerrdo [, b] como el conjunto [, b] = {x R: x b} y se define el intervlo bierto (, b) como el conjunto (, b) = {x R: < x < b}. Tmbién hy intervlos semibiertos l izquierd (, b] = {x R: < x b} y tmbién intervlos semibiertos l derech [, b) = {x R: x < b}. Finlmente y por unificr terminologí, un punto tmbién es un intervlo cerrdo, es decir, {} = [, ] = {x R: x } L propiedd rquimedin y sus consecuencis Teorem (Propiedd rquimedin de l sum). Si x > 0 e y R entonces existe n N tl que nx > y. Demostrción. Supongmos que se tiene l desiguldd nx y pr todo n N. Esto signific que el conjunto A = {nx: n N} está cotdo superiormente e y es un cot superior de A. Según el xiom del supremo (P13) existe α = sup A. Ahor α x no es cot superior de A luego existe n N tl que nx > α x. Entonces (n + 1)x > α, luego α no es cot superior de A, un contrdicción. Teorem (Propiedd rquimedin del producto). Si x > 1 e y > 0 entonces existe n N tl que x n > y. Demostrción. Supongmos que se tiene l desiguldd x n y pr todo n N. Esto signific que el conjunto A = {x n : n N} está cotdo superiormente e y es un cot superior de A. Según el xiom del supremo (P13) existe α = sup A. Ahor α/x no es cot superior de A luego existe n N tl que x n > α/x. Entonces x n+1 > α, luego α no es cot superior de A, un contrdicción. Teorem (Densidd de los números rcionles). Sen, b R tles que < b. Entonces existe r Q tl que < r < b. Demostrción. Se h = b > 0. Según l propiedd rquimedin de l sum existe n N tl que nh > 1. Se m = mín{k N: k/n > }. Tenemos (m 1)/n < m/n luego m/n 1/n < b, y esto signific que m/n < b.

10 10 TEMA 1. NÚMEROS REALES 1.4. El principio de Cntor de intervlos encjdos Un sistem de intervlos encjdos es culquier fmili de intervlos con I 1 I 2 I n Teorem (Principio de Cntor de intervlos encjdos). Si (I n ) es un sistem de intervlos cerrdos cotdos encjdos entonces I n. Además, si pr todo ε > 0 existe n N tl que l(i n ) < ε entonces existe x R tl que I n = {x}. Demostrción. Digmos que I n = [ n, b n ]. Como (I n ) es un sistem de intervlos encjdos, tenemos n n+1 b n+1 b n. Se A = { n : n N} y se B = {b n : n N}.. Afirmmos que n b m pr todo n, m N. En efecto, si n m entonces n m b m, y si n m entonces n b n b m. Esto signific que A está cotdo superiormente y culquier elemento de B es cot superior de A, luego sup A b m pr todo m N. Ahor sup A es cot inferior de B luego B está cotdo inferiormente y sup A ínf B. Se entonces α = sup A, β = ínf B. Tenemos pr todo n N l desiguldd n α β b n luego [ n, b n ] [α, β] y por lo tnto I n [α, β]. Esto prueb en prticulr que l intersección del sitem de intervlos es no vcí. Supongmos hor que x I n pr todo n N y vemos que x [α, β]. Rzonmos por reducción l bsurdo. Si x < α entonces x no es cot superior de A luego existe n N tl que n > x y por lo tnto x / I n. Si x > β entonces x no es cot inferior de B luego existe n N tl que b n < x y por lo tnto x / I n. Esto signific que I n [α, β]. Finlmente, supongmos que demás, pr todo ε > 0 existe n N tl que b n n < ε. Afirmmos que α = β. En efecto, si α < β entonces tommos ε = β α y elegimos n N tl que b n n < ε, de modo que ε = β α b n n < ε, un contrdicción, 1.5. El principio de inducción mtemátic Teorem (Principio de inducción ordinri). Se A N tl que 1 A, n + 1 A siempre que n A. Entonces A = N. Ejercicio Demostrr que pr todo n N se tiene n = n(n + 1). 2

11 1.5. EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA 11 Teorem (Principio de inducción complet). Se A N tl que 1 A, n + 1 A siempre que 1, 2,..., n A. Entonces A = N. Ejercicio Probr que todo número nturl se descompone como producto de fctores primos. Teorem (Principio de buen ordención). Todo conjunto no vcío de números nturles tiene un mínimo elemento. Demostrción. Se A N y supongmos que A no tiene mínimo elemento. Se B el conjunto de los números nturles n N tles que 1, 2,..., n no está ninguno en A. Es obvio que 1 B pues si 1 A entonces 1 serí el mínimo elemento de A. Además, si n B entonces 1, 2,..., n no está ninguno en A, luego n + 1 / A pues si n + 1 A entonces n + 1 serí el mínimo elemento de A. Se sigue del principio de inducción ordinri que B = N y por lo tnto A =, lo cul es un contrdicción. Hemos probdo el principio de buen ordención prtir del principio de inducción ordinri. Es posible demostrr el principio de inducción ordinri prtir del principio de buen ordención (vése problem 1.27) y el principio de inducción complet prtir del principio de inducción ordinri (vése problem 1.28). Culquier de estos tres principios puede considerrse como postuldo básico cerc de los números nturles.

12 12 TEMA 1. NÚMEROS REALES

13 Tem 2 Funciones elementles 2.1. Función rel de vrible rel Un función rel de vrible rel es culquier plicción f : D R R. Se dice que el conjunto D es el dominio de f. El rngo de f es el conjunto R = {f(x): x D}. Ejercicio Sen f(x) = 1 1 x, g(x) = 1 + x. Decidir si es cierto que f = g. 1 x2 Ejercicio Se f(x) = 1 x + 1. Hllr el dominio de f y el rngo de f. 1 x L gráfic de un función f : D R R es el conjunto G = {(x, f(x)): x D} R 2. Si f, g : D R entonces se define su sum f + g, su producto fg y su cociente f/g medinte (f + g)(x): = f(x) + g(x), (fg)(x): = f(x)g(x), (f/g)(x): = f(x)/g(x). Es fácil comprobr que el conjunto de tods ls funciones f : D R con l sum y el producto stisfce los xioms (P1) hst (P9) exceptundo (P7). Un clse importnte de funciones es l clse de ls funciones polinómics f(x) = x + + n x n, donde 0, 1..., n R con n 0 son los coeficientes de f. Se dice que n es el grdo de f. Un clse de funciones lgo más mpli es l clse de ls funciones rcionles; ésts son funciones de l form f = p/q, donde p y q son funciones polinomics y q 0. L composición f g de dos funciones f y g se define medinte l expresión (f g)(x) = f(g(x)). El dominio de l función compuest es el conjunto D(f g) = {x D(g): g(x) D(f)}. Es fácil comprobr que l composición de funciones es socitiv, es decir, (f g) h = f (g h). Se f : D R R. Se dice que f es inyectiv si f(x) f(y) siempre que x y. Se dice que f es sobreyectiv si pr todo y R existe x D tl que y = f(x). Se f : D R. Se dice que f es creciente si f(x) f(y) pr todo x, y D con x < y. Se dice que f es decreciente si f(x) f(y) pr todo x, y D con x < y. Se dice que f es monóton si f es creciente o decreciente. Está clro que tod función monóton es inyectiv. 13

14 14 TEMA 2. FUNCIONES ELEMENTALES Si f es inyectiv y R es el rngo de f entonces se define l función invers f 1 : R R del siguiente modo: pr cd y R considermos el único x D tl que y = f(x) y definimos f 1 (y) = x. Es fácil comprobr que f 1 f = id D y que f f 1 = id R. L gráfic de l función invers f 1 es simétric de l gráfic de l función direct f respecto l bisectriz y = x de los ejes de coordends. En efecto, (x, y) G(f 1 ) y = f 1 (x) x = f(y) (y, x) G(f) L función logrítmic Teorem Se > 1. Existe un únic función f : (0, ) R tl que 1. f(xy) = f(x) + f(y) pr todo x, y > f() = 1, 3. f es estrictmente creciente. Demostrción. Supongmos en primer lugr que tl función existe y busquemos su expresión. Tenemos f(1) = f(1 1) = 2f(1), luego f(1) = 0. Además, f( n ) = nf() = n pr todo n N. Se n N y se x > 0. Se sigue de l propiedd rquimedin del producto que existe k N tl que k > x n. Se m = mín{k N: k > x n }. Tenemos m 1 x n < m, y como f es creciente result que pr todo n N existe m N tl que m 1 f(x) < m n n. A continución vmos usr ests considerciones pr construir l función f. Pongmos n k = 2 k y tomemos m k N tl que m k 1 x n k < m k. Considermos l fmili de intervlos [ mk 1 I k =, m ] k. n k n k Vemos que estos intervlos están encjdos. Como n k+1 = 2n k, tenemos 2(m k 1) x n k+1 < 2m k y por lo tnto m k+1 1 2(m k 1) y 2m k m k+1. Esto signific que m k 1 n k = 2(m k 1) 2n k m k+1 1 n k+1 < m k+1 n k+1 2m k 2n k = m k n k y por lo tnto I k I k+1. Según el principio de Cntor de intervlos encjdos, existe un único punto en l intersección de estos intervlos. Pongmos f(x): = I k. Ahor probmos que l función que hemos construido stisfce ls propieddes (1) (3). Sen x, y > 0 y sen m k, p k N tles que k=1 m k 1 x n k < m k, p k 1 y n k < p k,

15 2.2. LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 15 de modo que m k 1 n k f(x) < m k n k, p k 1 n k f(y) < p k n k. (2.1) Result que m k+p k 2 (xy) n k < m k+p k, de modo que m k + p k 2 n k f(xy) < m k + p k n k. Ahor se sigue de ls desigulddes (2.1) que m k + p k 2 n k f(x) + f(y) < m k + p k n k. de donde se deduce que f(x) + f(y) f(xy) < 2 n k, y como k es rbitrrio tenemos l iguldd (1). Cundo x = se tiene de modo evidente f() = 1. Cundo x > 1, existe n N tl que x n, luego según l definición de f result que f(x) 1/n y en prticulr f(x) > 0. Cundo y > 1, tenemos f(xy) = f(x) + f(y) > f(x) luego f es estrictmente creciente y qued demostrdo el teorem. L función f(x) del teorem se llm logritmo de x en bse y se simboliz como log (x). Tenemos por lo tnto 1. log (xy) = log (x) + log (y). 2. log = Si 0 < x < y entonces log (x) < log (y). Tenemos demás ls siguientes fórmuls: log (x n ) = n log (x), log (1) = 0, log (x 1 ) = log (x), log (x/y) = log (x) log (y). Vemos l relción que existe entre los logritmos en dos bses distints, b > 1. Consideremos pr ello l función uxilir definid por l expresión f(x) = log (x) log (b) Es evidente que f stisfce ls propieddes (1) y (3) demás de ser f(b) = 1. Ahor se sigue de l unicidd de los logritmos que f(x) = log b (x), de donde se obtiene l fórmul log (x) = log (b) log b (x).

16 16 TEMA 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.3. L función exponencil L función logrítmic y = log (x) es estrictmente creciente y por lo tnto es inyectiv. L función invers y = log 1 (x) se llm función exponencil y se represent por y = x. Tenemos log ( x ) = x pr todo x R y log (x) = x pr todo x > 0. El dominio de l función exponencil es R y el rngo es (0, ). Tenemos log ( 1/n ) = 1/n luego log [( 1/n ) n ] = n log ( 1/n ) = 1 y por lo tnto ( 1/n ) n =, es decir, que 1/n es l ríz n-ésim de. Tenemos ls siguientes fórmuls pr todo x, y R : 1. x+y = x y, 2. ( x ) y = xy. En efecto, sen ξ = x, η = y de modo que x = log (ξ), y = log (η), luego x+y = log (ξ)+log (η) = log (ξη) = ξη = x y. Además se tiene log [( x ) y ] = y log ( x ) = xy, luego ( x ) y = xy. Aplicndo l fórmul de cmbio de bse de los logritmos result log (b x ) = log (b) log b (b x ) = x log (b). Ls definiciones de función logrítmic y exponencil se pueden extender un bse 0 < b < 1. En efecto, pongmos = 1/b > 1. Tenemos log (b) = 1. Según l fórmul de cmbio de bse, log b (x) = log (b) log (x) = log (x) = log 1/b (x), luego l función log b es estrictmente decreciente. Además está clro que log b stisfce (i) y (ii). A continución definimos b x = 1/ x = x, de modo que tenemos b log b (x) = log b (x) = log (x) = x, log b (b x ) = log ( x ) = x. L función exponencil está íntimmente ligd l función potenci de exponente R, que se define como f(x) = x. Se puede expresr est función por medio de un función exponencil y un función logrítmic. En efecto, tenemos f(x) = [b log b (x) ] = b log b (x). Ejercicio Comprobr que si x, y > 0 entonces (xy) = x y.

17 2.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ls funciones trigonométrics Teorem Existen dos funciones sen, cos: R R tles que pr todo x, y R se tiene 1. sen 2 x + cos 2 x = 1, 2. sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y, 3. cos(x + y) = cos x cos y sen x sen y < sen x < x < sen x cos x siempre y cundo x se suficientemente pequeño, digmos 0 < x < ε. Más delnte dremos un demostrción de este teorem. Ahor sólo vmos considerr quells propieddes que se deducen de (1) (4). Tomndo x = y = 0 en el teorem nterior result sen cos 2 0 = 1, sen 0 = 2 sen 0 cos 0, cos 0 = cos 2 0 sen 2 0. Se sigue de l segund ecución que sen 0 = 0 o bien cos 0 = 1/2. Ahor, ls ecuciones primer y tercer implicn 1 + cos 0 = 2 cos 2 0 (2.2) de modo que l opción cos 0 = 1/2 es imposible. Luego sen 0 = 0 y se deduce de l primer ecución que cos 0 = ±1. Un vez más, l identidd (2.2) implic que l opción cos 0 = 1 es imposible. Así sen 0 = 0, cos 0 = 1. Tomndo y = x en el teorem nterior result 0 = sen x cos( x) + cos x sen( x), 1 = cos x cos( x) sen(x) sen( x). L solución de este sistem de ecuciones lineles con respecto sen( x) y cos( x) indic que sen( x) = sen x, cos( x) = cos x, (2.3) es decir, l función seno es impr y l función coseno es pr. Sustryendo de l iguldd (2) l mism iguldd con y en vez de y, y teniendo en cuent (2.3) result que sen(x + y) sen(x y) = 2 sen y cos x. El mismo procedimiento plicdo l identidd (2) indic que cos(x + y) cos(x y) = 2 sen x sen y.

18 18 TEMA 2. FUNCIONES ELEMENTALES Se α = x + y, β = x y, de modo que x = (α + β)/2, y = (α β)/2 y por lo tnto sen α sen β = 2 sen α β 2 cos α cos β = 2 sen α + β 2 cos α + β, (2.4) 2 sen α β. (2.5) 2 Se sigue de (1) que sen x 1, cos x 1. Si x, y R son tles que x y < ε entonces se tiene sen x sen y x y (2.6) cos x cos y x y. (2.7) En efecto, si x, y R son tles que 0 < x y < ε entonces sen x sen y = 2 sen x y 2 cos x y 2 2 sen x y 2 x y = x y. 2 2 Análogmente, cos x cos y = 2 sen x y 2 2 sen x y 2 sen x y 2 2 x y 2 = x y. Teorem Existe x > 0 tl que cos x = 0. Demostrción. Pongmos β = ínf{cos x: x > 0}. Si β > 0 entonces pr todo 0 < x < ε y pr todo k N tenemos (2k + 1)x sen(k + 1)x sen kx = 2 cos sen x 2 2 2β sen x 2. Sumndo ests desigulddes result sen(n + 1)x sen x = n sen(k + 1)x sen kx 2βn sen x 2 k=1 y por lo tnto sen nx se hce rbitrrimente grnde, lo cul contrdice el ser sen nx 1. Tenemos β = 0. Veremos más delnte l estudir l continuidd de ls funciones elementles que existe x 0 > 0 tl que cos x 0 = 0. Se define un número rel π R medinte l expresión π 2 = ínf{x > 0: cos x = 0}. Veremos entonces que cos π 2 = 0, sen π 2 = 1.

19 2.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 19 Tmbién veremos más delnte que π = 3, Tomndo y = π/2 en ls fórmuls (2) y (3) del teorem nterior result sen(x + π 2 ) = sen x cos π 2 + cos x sen π 2 cos(x + π 2 ) = cos x cos π 2 sen x sen π 2 = cos x, (2.8) = sen x, (2.9) de donde se deduce que sen(x + π) = cos(x + π ) = sen x, (2.10) 2 cos(x + π) = sen(x + π ) cos x. (2.11) 2 A continución sen(x + 2π) = sen(x + π) = sen x, (2.12) cos(x + 2π) = cos(x + π) = cos x. (2.13) Se dice que un función f es periódic de periodo T > 0 si cumple f(x + T ) = f(x) pr todo x D. Result que ls funciones sen, cos son periódics de periodo 2π. Si tommos un intervlo de longitud 2π entonces los signos de ests funciones determindos por ls fórmuls vrín de l form siguiente. 0 < x < π/2 π/2 < x < π π < x < 3π/2 3π/2 < x < 2π sen x + + cos x + + Observemos que si sen x 0 cos x entonces los signos de sen x, cos x determinn de form unívoc el curto del intervlo 0 < x < 2π que contiene x. Ls gráfics de ls funciones sen, cos están representds en l figur 2.4. Lem Sen x, y R tles que Entonces existe n Z tl que y = x + 2nπ. Demostrción. Se h = y x. Tenemos y por lo tnto sen x = sen y, cos x = cos y. sen(x + h) = sen x, cos(x + h) = cos x, sen x cos h + cos x sen h = sen x, cos x cos h sen x sen h = cos x, Resolviendo ests ecuciones con respecto cos h, sen h result cos h = 1, sen h = 0. Si 0 h < 2π, ests relciones solmente se stisfcen pr h = 0. Como ls funciones cos, sen son periódics de periodo 2π result que ls relciones se stisfcen pr h = 2nπ pr todo n Z y no se stisfcen pr ningún otro vlor de h. Esto complet l demostrción del lem.

20 20 TEMA 2. FUNCIONES ELEMENTALES Se sigue de l fórmul 2.4 que l función sen x es creciente en el intervlo [0, π ]. Además, como 2 sen( x) = sen(x) se sigue que l función sen x tmbién es creciente en el intervlo [ π 2, π 2 ]. Cundo estudiemos más delnte l continuidd de ls funciones trigonométrics veremos que el rngo de l función sen x es el intervlo [ 1, 1]. L invers de l función sen x se denot como rc sen x. Su dominio es el intervlo [ 1, 1] y su rngo es el intervlo [ π 2, π 2 ]. ( L función cos x = sen x + π ) es creciente en el intervlo [ π, 0]. Su función invers se denot 2 como rc cos x. El dominio de est función es el intervlo [ 1, 1] y el rngo es el intervlo [ π, 0]. Ahor considermos l función tg x = sen x cos x. L función tg x está bien definid slvo en quellos puntos donde cos x = 0, es decir, x = π 2 + nπ. Se sigue de l fórmul 2.10 que l función tg x es periódic de periodo π. L función tg x es creciente en el intervlo [ π 2, π ]. Su invers se denot como rc tg x. El dominio 2 de l función invers es R y el rngo el el intervlo [ π 2, π 2 ].

21 2.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 21 Figur 2.1: Ls funciones y = x, y = log (x) cundo > 1. Figur 2.2: Ls funciones y = x, y = log (x) cundo 0 < < 1.

22 22 TEMA 2. FUNCIONES ELEMENTALES Figur 2.3: Ls funciones sen y cos. Figur 2.4: L función sen y su invers rc sen.

23 2.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 23 Figur 2.5: L función cos y su invers rc cos. Figur 2.6: L función tg y su invers rc tg.

24 24 TEMA 2. FUNCIONES ELEMENTALES

25 Tem 3 Sucesiones infinits 3.1. Sucesiones convergentes Se dice que un sucesión de números reles ( n ) converge hci l R si pr todo ε > 0 existe n 0 N tl que si n n 0 entonces n l < ε. Tmbién se dice que ( n ) tiende hci l o que tiene por límite l. Ejemplo n = 1/n converge hci cero. En efecto, se ε > 0. Según l propiedd rquimedin de l sum, existe n 0 N tl que 1/n 0 < ε. Si n > n 0 entonces 0 < 1/n 1/n 0 < ε. Ejemplo n = n + 1 n converge hci cero. En efecto, pr estimr n + 1 n multiplicmos y dividimos por l expresiòn conjugd 0 < n + 1 n = ( n + 1 n)( n n) n n = n + 1 n n n 1 = < 1, n n n de donde se deduce fácilmente que l sucesión ( n ) converge hci cero. Proposición Si el límite de un sucesión existe entonces es único. Demostrción. Supongmos que ( n ) converge hci l 1, l 2 R con l 1 l 2. Se ε = l 1 l 2 > 0. Entonces existen n 1, n 2 N tles que n l 1 < ε/2 pr todo n n 1 y n l 2 < ε/2 pr todo n n 2. Se n 0 = máx{n 1, n 2 }. Así llegmos l conclusión de que lo cul es un contrdicción, ε = l 1 l 2 n0 l 1 + n0 l 2 < ε 2 + ε 2, L unicidd del límite permite introducir l siguiente notción. Si ( n ) converge hci l entonces escribimos lím n n = l. L siguiente proposición recoge ls propieddes lgebrics de los límites de sucesiones. 25

26 26 TEMA 3. SUCESIONES INFINITAS Proposición Si ( n ), (b n ) son dos sucesión convergentes de números reles entonces 1. l sucesión ( n + b n ) es convergente y demás lím n ( n + b n ) = lím n n + lím n b n, 2. si c R entonces l sucesión (c n ) es convergente y demás lím n c n = c lím n n, 3. l sucesión ( n b n ) es convergente y demás lím n ( n b n ) = lím n n lím n b n, 4. si demás lím n n 0 entonces existe n 0 N tl que n 0 pr todo n > n 0 y se tiene lím n 1 n = 1/ lím n n. Demostrción. Sen l = lím n n, m = lím n b n. Ddo ε > 0 existen n 1, n 2 N tles que n n 1 implic n l < ε 2 n n 2 implic b n m < ε 2 Se n 0 = máx{n 1, n 2 }. Si n n 0 entonces ( n + b n ) (l + m) n l + b n m < ε 2 + ε 2 = ε. Esto prueb que lím n ( n + b n ) = l + m. L demostrción de (2) es trivil. A continución usmos l identidd ( ) n b n lm = ( n l)(b n m) + l(b n m) + m( n l). Ddo ε > 0 existen n 1, n 2 N tles que n n 1 implic n l < ε n n 2 implic b n m < ε Se n 0 = máx{n 1, n 2 }. Si n n 0 entonces ( n l)(b n m) < ε luego lím n ( n l)(b n m) = 0. Ahor plicmos (1) y (2) en l identidd ( ) y obtenemos lím n ( nb n lm) = 0. Finlmente, si l 0, existe n 0 N tl que si n > n 0 entonces n l < l /2 luego n > l /2. Esto prueb que n 0 si n > n 0. Ddo ε > 0 existe n 1 > n 0 tl que si n > n 1 entonces se tiene n l < 1 2 l 2 ε. Así, cundo n > n 1 se tiene y esto complet l demostrción. Ejemplo n l = n l n l < 2 l 2 n l < ε, 3n 3 + 7n lím n 4n 3 8n + 63 = 3 4.

27 3.1. SUCESIONES CONVERGENTES 27 En efecto, dividiendo numerdor y denomindor entre n 3, se obtiene 7 3n 3 + 7n n 3 8n + 63 = n + 1 n n , n 3 y el resultdo se deduce de l proposición nterior. L siguiente proposición recoge los límites de lguns sucesiones especiles. Proposición Si p > 0 entonces lím n 3. lím n n n = Si p > 0 entonces lím n n p = 0. n p = 1. n α 4. Si p > 0 y α R entonces lím n (1 + p) n = Si x < 1 entonces lím n xn = 0. Demostrción. (1) Se ε > 0. Según l propiedd rquimedin de l sum existe n 0 N tl que n 0 > 1/ε 1/p. Si n > n 0 entonces 0 < 1 n < 1 p n p < ε. 0 (2) Si p > 1 se n = n p 1 y observemos que según l fórmul del binomio 1+n n (1+ n ) n = p de modo que 0 < n p 1 luego lím n n = 0. Si 0 < p < 1 entonces el resultdo se desprende de lo n nterior tomndo recíprocos. (3) Se n = n n 1 > 0. Según el teorem del binomio tenemos n = (1 + n ) n n(n 1) 2 n de 2 2 donde se deduce que 0 < n n 1. (4) Se k N fijo tl que k > α. Cundo n 2k tenemos (1 + p) n ( ) n p k n(n 1) (n k + 1) = p k > nk p k k k! 2 k k! y por lo tnto 0 < n α (1 + p) n < 2k k! p k n α k y como α k < 0 se tiene por el prtdo (1) que lím n nα k = 0 de donde se deduce el resultdo. Definicion Se dice que un sucesión de números reles ( n ) tiende infinito si pr todo M > 0 existe n 0 N tl que n > M pr todo n > n 0. Se simboliz lím n n =. Análogmente se define lím n n =.

28 28 TEMA 3. SUCESIONES INFINITAS 3.2. Sucesiones monótons Se dice que un sucesión de numeros reles ( n ) es creciente si n < n+1 pr todo n N, no decreciente si n n+1 pr todo n N, decreciente si n > n+1 pr todo n N y no creciente si n n+1 pr todo n N. Se dice que un sucesión es monóton si es no decreciente o no creciente. Se dice que un sucesión de numeros reles ( n ) está cotd superiormente si existe M R tl que n M pr todo n N, que está cotd inferiormente si existe m R tl que m n pr todo n N y que está cotd si está cotd superiormente e inferiormente. Es fácil observr que ( n ) es cotd si y sólo si existe C > 0 tl que n C pr todo n N. Proposición Si ( n ) es un sucesión convergente de números reles entonces ( n ) es cotd. Demostrción. Tenemos que existe n 0 N tl que n l < 1 pr todo n > n 0. Consideremos l cot M = máx{ 1,..., n0 }. Si 1 n n 0 entonces tenemos n M y si n > n 0 entonces tenemos n n l + l 1 + l. Teorem Si ( n ) es no decreciente y está cotd superiormente entonces ( n ) es convergente. Demostrción. Se A = { n : n N}. Tenemos por hipótesis que A está cotdo superiormente. Según el xiom del supremo existe α = sup A. Vemos que α = lím n. Se ε > 0. Como α ε < α, tenemos n que α ε no es cot superior de A luego existe n 0 N tl que α ε < n0 α. Si n > n 0 entonces α ε < n0 n α luego n α < ε. Corolrio Si ( n ) es no creciente y está cotd inferiormente entonces ( n ) es convergente. ( Ejemplo Se n = 1 + n) 1 n. Vemos que ( n ) es monóton creciente. En efecto, de cuerdo con l fórmul del binomio tenemos ( ) n = n(n 1) n 2! n n(n 1)(n 2) 3! n 3 + = ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 2! n 3! n n < ! ) + ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( + = ) n+1. n + 1 3! n + 1 n + 1 n + 1 Vemos que ( n ) está cotd superiormente. Teniendo en cuent que 1 k/n < 1 result ( n Según el teorem nterior, existe ) n < ! + 1 3! n! < n 1 = n 1 2 < = 3. ( e := lím n. n n)

29 3.3. SUBSUCESIONES 29 Está clro que 2 < e 3. Un cálculo más preciso muestr que e = 2,71828 Más delnte probremos que e es irrcionl. Los logritmos en est bse se llmn logritmos nturles o neperinos Subsucesiones Un subsucesión de un sucesión ( n ) es culquier sucesión de l form ( n1, n2,..., nk,...) donde n 1 < n 2 < < n k < son enteros. Se denot por ( nk ). Proposición Si un sucesiòn ( n ) converge hci l R entonces culquier subsucesión ( nk ) converge hci l. Demostrción. Se ε > 0 y se N N tl que n l < ε si n N. Se k 0 N tl que n k N pr todo k k 0. Así nk l < ε pr todo k k 0. Lem Si ( n ) es un sucesión de números reles entonces ( n ) posee un subsucesión que o bien es no decreciente o bien es no creciente. Demostrción. Se dice que n N es un punto cumbre de un sucesión ( n ) si se tiene n > m pr todo m > n. Cso 1. L sucesión ( n ) tiene infinitos puntos cumbre, digmos n 1 < n 2 < < n k < de modo que n1 > n2 > > nk > y hemos encontrdo un subsucesión no creciente. Cso 2. L sucesión tiene solmente un cntidd finit de puntos cumbre. Se n 1 N myor que todos los puntos cumbre. Como n 1 no es punto cumbre, existe n 2 > n 1 tl que n1 n2. Como n 2 no es punto cumbre existe n 3 > n 2 tl que n2 n3. Continundo de est form obtenemos un subsucesión no decreciente ( nk ). Si este lem ñdimos l hipótesis de que l sucesión se cotd entonces obtenemos el siguiente Corolrio (Teorem de Bolzno-Weierstrss). Tod sucesión cotd de números reles posee un subsucesión convergente Sucesiones de Cuchy Se dice que un sucesión de números reles ( n ) es un sucesión de Cuchy si pr todo ε > 0 existe n 0 N tl que si n, m > n 0 entonces n m < ε. Proposición Si ( n ) es un sucesión convergente entonces ( n ) es un sucesión de Cuchy. Demostrción. Supongmos que ( n ) converge hci l R. Ddo ε > 0 existe n 0 N tl que si n > n 0 entonces n l < ε/2. Ahor, si n, m > n 0 entonces n m n l + m l < ε 2 + ε 2 = ε. Proposición Si ( n ) es un sucesión de Cuchy entonces ( n ) es cotd. Demostrción. Se n 0 N tl que si n, m > n 0 entonces n m < 1. Se M = máx{ 1,..., n0 }. Si 1 n n 0 entonces n M y si n > n 0 entonces n n n n0 +1 < n Así C = máx{m, n } stisfce n C pr todo n N.

30 30 TEMA 3. SUCESIONES INFINITAS Proposición Si un sucesión de Cuchy ( n ) posee un subsucesión convergente entonces ( n ) es convergente. Demostrción. Se ( nk ) un subsucesión que converge hci l. Se ε > 0 y se n 0 N tl que si n, m > n 0 entonces n m < ε/2. Se k 0 R tl que nk l < ε/2 cundo k > k 0. Se hor k > k 0 tl que n k > n 0. Tenemos n l n nk + nk l < ε 2 + ε 2 pr todo n > n 0. Combinndo ests proposiciones con el teorem de Bolzno-Weierstrss se obtiene el siguiente Corolrio Un sucesión de números reles converge si y sólo si es un sucesión de Cuchy Límites de oscilción Se ( n ) un sucesión cotd de números reles. Se dice que ω R es un límite de oscilción de ( n ) si existe un subsucesión ( nk ) que converge hci ω. Se Ω el conjunto de los límites de oscilción de ( n ). Está clro que Ω es cotdo, y demás, según el teorem de Bolzno-Weierstrss, Ω. Se define el límite superior y el límite inferior de ( n ) medinte lim n : = sup Ω, n lim n : = ínf Ω n Tmbién se utiliz l notción lterntiv lím sup n : = lim n, n n lím inf n : = lim n. n n Es evidente que lim n lim n pr culquier sucesión cotd ( n ). n n Proposición Se ( n ) un sucesión cotd de números reles. Entonces ( n ) es convergente si y sólo si lim n = lim n, y en tl cso se tiene lím n = lim n = lim n. n n n n n Demostrción. Si ( n ) converge hci l entonces tod subsucesión de ( n ) converge hci l luego Ω = {l} y por lo tnto sup Ω = ínf Ω = l. Recíprocmente, si sup Ω = ínf Ω entonces Ω se reduce un punto, digmos Ω = {l}. Esto signific que existe un subsucesión que converge hci l y que culquier subsucesión convergente tiende hci l. Ahor se sigue que ( n ) converge hci l. Proposición Se ( n ) un sucesión cotd y se L R. Entonces L = lim n n si y sólo si 1. pr todo ε > 0 existe n 0 N tl que si n > n 0 entonces n < L + ε. 2. pr todo ε > 0 y pr todo n 0 N existe n 1 > n 0 tl que L ε < n1. Demostrción. Supongmos que L = lim n n y vemos que se verific l condición (1). Rzonmos por reducción l bsurdo. En cso contrrio, existe ε > 0 y existe un sucesión n 1 < n 2 < < n j < tles que nj L+ε pr todo j N. Aplicmos hor el teorem de Bolzno-Weierstrss pr poder extrer un subsucesión convergente ( njk ). Se entonces ω = lím k n jk. Finlmente tenemos ω Ω y demás tenemos ω L + ε lo cul es bsurdo pues L es cot superior de Ω.. Vemos hor que se verific l condición (2). Rzonmos por reducción l bsurdo. En cso contrrio existe ε > 0 y existe n 0 N tl que pr todo n > n 0 se tiene n L ε. Si ( nk ) es un

31 3.5. LÍMITES DE OSCILACIÓN 31 subsucesión que converge hci ω Ω entonces existe k 0 N tl que n k0 > n 0 luego nk L ε pr todo k k 0 y por lo tnto ω L ε. Esto es bsurdo pues L es l cot superior mínim de Ω. Recíprocmente, supongmos que L R verific (1) y (2), y vemos que L = sup Ω. Aplicmos l crcterizción del supremo. Primero observmos que L es un cot superior de Ω. En efecto, se ω Ω, digmos ω = lím n k. Se ε > 0. Según l condición (1) sbemos que existe n 0 N tl que si k n > n 0 entonces n < L+ε. Se k 0 N tl que n k0 > n 0. Tenemos nk < L+ε pr todo k k 0 luego ω L + ε. Como ε > 0 es rbitrrio podemos concluir que ω L. Finlmente, ddo ε > 0, según l condición (2) existe un sucesión de enteros positivos n 1 < n 2 < < n j < tl que L ε < nj pr todo j N. Ahor plicmos el teorem de Bolzno-Weierstrss pr extrer un subsucesión ( njk ) que converge hci ω Ω de modo que L ε ω como querímos demostrr. L demostrción de l nterior proposición se puede dptr fácilmente pr probr l siguiente Proposición Se ( n ) un sucesión cotd y se l R. Entonces l = lim n si y sólo si n 1. pr todo ε > 0 y pr todo n 0 N existe n 1 > n 0 tl que n1 < l + ε. 2. pr todo ε > 0 existe n 0 N tl que si n > n 0 entonces l ε < n. Se ( n ) un sucesión cotd de números reles y se α n = sup{ n, n+1, n+2,...}. Observemos que l sucesión (α n ) es no creciente y está cotd inferiormente luego es convergente. Análogmente, se β n = ínf{ n, n+1, n+2,...}. Observemos que l sucesión (β n ) es no decreciente y está cotd superiormente luego es convergente. Proposición lim n n = lím n sup{ k : k n}. 2. lim n = lím ínf{ k : k n}. n n Demostrción. (1) Se α = lím α n = ínf α n. Se ε > 0 y se n 0 N tl que α α n0 < α + ε. Esto n n 1 signific que sup{ n : n n 0 } < α + ε, es decir, n < α + ε pr todo n n 0. Además, ddo ε > 0 y ddo n 0 N firmmos que existe n 1 > n 0 tl que α ε < n1 pues en cso contrrio n α ε pr todo n > n 0 luego α n α ε pr todo n > n 0 y por lo tnto α α ε, lo cul es bsurdo. Finlmente, se sigue de ls proposiciones nteriores que α = lim n. L demostrción de (1) se puede n dptr fácilmente pr demostrr (2).

32 32 TEMA 3. SUCESIONES INFINITAS

33 Tem 4 Funciones continus 4.1. Límites de funciones L noción más importnte que se present en cálculo infinitesiml quizás se l noción de límite de un función rel de vrible rel f. Definicion Se dice que l función f tiende hci el límite l en si pr todo ε > 0 existe δ > 0 tl que si 0 < x < δ entonces f(x) l < ε. Teorem Un función no puede tender hci dos límites distintos, es decir, si f tiende hci l en y f tiende hci m en entonces l = m. Demostrción. Se ε = l m > 0. Tenemos que existen δ 1, δ 2 > 0 tles que Se δ = mín{δ 1, δ 2 }. Si 0 < x < δ entonces si 0 < x < δ 1 entonces f(x) l < ε, si 0 < x < δ 2 entonces f(x) m < ε. y hemos llegdo un contrdicción. ε = l m f(x) l + f(x) m < ε 2 + ε 2 Notción Se dice que l es el límite de f(x) cundo x tiende y se simboliz l = lím x f(x). Ejemplo Si f es un función constnte, digmos f(x) = c, entonces lím x f(x) = c. 2. Si f es l función identidd, es decir, f(x) = x, entonces lím x f(x) = Propieddes lgebrics Teorem Supongmos que lím x f(x) = l y que lím x g(x) = m, y se c R. Entonces se tiene 1. lím x (f + g)(x) = l + m, 33

34 34 TEMA 4. FUNCIONES CONTINUAS 2. lím x c f(x) = c l. 3. lím(f g)(x) = l m. x Además, si m 0 entonces 4. lím x ( 1 g ) (x) = 1 m. Demostrción. 1. L hipótesis signific que pr todo ε > 0 existen δ 1, δ 2 > 0 tles que Se δ = mín{δ 1, δ 2 }. Si 0 < x < δ entonces si 0 < x < δ 1 entonces f(x) l < ε 2, si 0 < x < δ 2 entonces g(x) m < ε 2. (f + g)(x) (l + m) = f(x) + g(x) (l + m) = f(x) l + g(x) m f(x) l + g(x) m < ε 2 + ε Podemos suponer que c 0 porque el resultdo es evidente si c = 0. Se ε > 0 y se δ > 0 tl que si 0 < x < δ entonces f(x) l < ε/ c, de modo que c f(x) c l = c f(x) l < ε. 3. Se ε > 0 y sen δ 1, δ 2 > 0 tles que Se δ = mín{δ 1, δ 2 }. Si 0 < x < δ entonces si 0 < x < δ 1 entonces f(x) l < ε, si 0 < x < δ 2 entonces g(x) m < ε. [f(x) l] [g(x) m] = f(x) l g(x) m < ε ε = ε. Esto prueb que lím x (f(x) l) (g(x) m) = 0. Ahor plicmos (1) y (2) en l identidd f(x)g(x) lm = [f(x) l] [g(x) m] + m[f(x) l] + l[g(x) m] y concluímos que lím f(x)g(x) lm = 0. x 4. Si m 0 entonces existe δ 1 > 0 tl que si 0 < 1x < δ 1 entonces g(x) m < m /2 luego g(x) m /2. Ddo ε > 0 existe δ 2 > 0 tl que si 0 < x < δ 2 entonces g(x) m < m 2 ε/2. Se δ = mín{δ 1, δ 2 }. Así, cundo 0 < x < δ se tiene 1 g(x) 1 m Esto complet l demostrción. g(x) m = m g(x) < 2 g(x) m < ε. m 2 Ejemplo Aplicndo el teorem nterior se demuestrn fácilmente resultdos del tipo x 3 + 7x 5 lím x x = sin necesidd del lborioso proceso de encontrr δ > 0 pr cd ε > 0 ddo.

35 4.3. LÍMITES LATERALES Límites lterles Se dice que f tiende hci l cundo x tiende hci por l derech y se simboliz lím f(x) = l x + si pr todo ε > 0 existe δ > 0 tl que si 0 < x < δ entonces f(x) l < ε. Se dice que f tiende hci l cundo x tiende hci por l izquierd y se simboliz lím f(x) = l si pr todo ε > 0 existe x δ > 0 tl que si 0 < x < δ entonces f(x) l < ε. Teorem Son equivlentes: 1. Existe el límite lím x f(x), 2. Existen los límites lterles lím f(x), lím f(x) y coinciden. x + x Demostrción. Es evidente que si existe el límite lím f(x) entonces existen los límites lterles lím f(x), x x + lím f(x) y coinciden. Recíprocmente, supongmos que existen lím f(x) = lím f(x) = l. Ddo x x + x ε > 0 existe δ 1 > 0 tl que si < x < + δ 1 entonces f(x) l < ε, y existe δ 2 > 0 tl que si δ 2 < x < entonces f(x) l < ε. Se δ = mín{δ 1, δ 2 }. Está clro que si 0 < x < δ entonces f(x) l < ε. Usremos l siguiente notción pr los límites lterles. f(+): = lím x + f(x), f( ): = lím f(x) x Vemos hor los conceptos de límite infinito y límite en el infinito. Se dice que f tiende hci infinito cundo x tiende hci y se simboliz lím f(x) = si pr x todo M > 0 existe δ > 0 tl que si 0 < x < δ entonces f(x) > M. Se dice que f tiende hci menos infinito cundo x tiende hci y se simboliz lím f(x) = si pr todo M > 0 existe δ > 0 x tl que si 0 < x < δ entonces f(x) < M. Se dice que f tiende hci l cundo x tiende infinito y se simboliz lím f(x) = l si pr todo ε > 0 existe M > 0 tl que si x > M entonces f(x) l < ε. x Se dice que f tiende hci l cundo x tiende menos infinito y se simboliz lím f(x) = l si pr x todo ε > 0 existe M > 0 tl que si x < M entonces f(x) l < ε. Veremos muchos ejercicios sobre los conceptos de límites lterles, límites infinitos y límites en el infinito en los problems. Vemos hor l relción entre límites de funciones y límites de sucesiones. Teorem Son equivlentes: 1. lím x f(x) = l, 2. pr culquier sucesión (x n ) con x n y con lím n x n = se tiene lím n f(x n) = l.

36 36 TEMA 4. FUNCIONES CONTINUAS Demostrción. Supongmos que lím f(x) = l. Entonces pr todo ε > 0 existe δ > 0 tl que si x 0 < x < δ entonces f(x) l < ε. Se (x n ) un sucesión de números reles con x n y con lím x n =. Entonces existe n 0 N tl que si n > n 0 entonces 0 < x n < δ. Así f(x n ) l < ε n y hemos demostrdo que lím f(x n) = l. Recíprocmente, supongmos que lím f(x n) = l pr tod n n sucesión (x n ) con x n y con lím x n =. Si no fuese lím f(x) = l entonces existe ε > 0 tl que n x pr todo δ > 0 existe x con 0 < x < δ tl que f(x) l δ. En prticulr, pr todo n N existe x n con 0 < x n < 1/n pero f(x n ) l ε. Así l sucesión (x n ) converge clrmente hci pero l sucesión (f(x n )) no converge hci l Continuidd en un punto Definicion Se dice que f es continu en si lím x f(x) = f(). Ejemplo El seno del topólogo ( ) 1 sen, si x 0, f(x) = x b, si x = 0. Vemos que f no es continu en = 0 porque de hecho no existe lím f(x). Rzonmos por x 0 reducción l bsurdo. Supongmos que existe l = lím f(x). Se 0 < ε < 1/2 y se δ > 0 tl que si x 0 0 < x < δ entonces f(x) l < ε. Pongmos n = 1 nπ, b n = 1 2nπ + π 2 y observemos que 0 < n < b n, f( n ) = 0, f(b n ) = 1. Además, existe n N tl que b n < δ. Así lo cul es bsurdo. Ejemplo L función de Dirichlet 1 = f( n ) f(b n ) f( n ) l + f(b n ) l < ε + ε < 1, D(x) = { 1, si x Q, 0, si x / Q, no es continu en ningún punto. En efecto, vemos que si R entonces no existe el límite lím D(x). x Rzonmos por reducción l bsurdo. Supongmos que existe el límite l = lím D(x). Se 0 < ε < 1/2 x y se δ > 0 tl que si 0 < x < δ entonces D(x) l < ε. Se sigue de l densidd de los números rcionles y l densidd de los números irrcionles que existen x 1, x 2 ( δ, + δ) tles que x 1 Q y x 2 / Q luego 1 = D(x 1 ) D(x 2 ) D(x 1 ) l + D(x 2 ) l < ε + ε < 1, lo cul es bsurdo. Ejemplo Ls funciones f(x) = c, g(x) = x son continus en porque lím f(x) = lím c = c = f() x x lím x g(x) = lím x x = = g()

37 4.4. CONTINUIDAD EN UN PUNTO 37 El siguiente resultdo recoge lguns propieddes lgebrics de ls funciones continus en que permiten construir nuevs funciones continus en prtir de funciones continus en conocids. Teorem Si f, g son continus en entonces 1. f + g es continu en. 2. f g es continu en. Además, si g() 0 entonces 3. 1/g es continu en. Demostrción. Como f, g son continus en tenemos lím f(x) = f(), lím x g(x) = g(). x Aplicndo ls propieddes lgebrics de los límites de funciones result lím(f + g)(x) = lím f(x) + lím g(x) = f() + g() = (f + g)(), x x x (f g)(x) = lím g(x) = f() g() = (f g)(). lím x lím x Esto complet l demostrción. x f(x) lím x (1/g)(x) = 1/ lím g(x) = 1/g() = (1/g)(). x Ejemplo Un función polinómic p(x) = x + + n x n es continu en pr todo R. Un función rcionl R(x) = p(x) es continu en los puntos de su dominio. q(x) Vemos continución un resultdo cerc de l continuidd de un función compuest. Teorem Si f es continu en y g es continu en f() entonces g f es continu en. Demostrción. Se ε > 0. Como g es continu en f() existe η > 0 tl que si y f() < η entonces g(y) g(f()) < ε. Esto signific en prticulr que si f(x) f() < η entonces g(f(x)) g(f()) < ε. Como f es continu en existe δ > 0 tl que si x < δ entonces f(x) f() < η y por lo tnto g(f(x)) g(f()) < ε. Vemos hor l clsificción de ls discontinuiddes. Se dice que f tiene un discontinuidd evitble en R si existe lím f(x) pero es distinto de f(). x Se dice que f tiene un discontinuidd de slto en R si existen los límites lterles lím f(x), x + lím x f(x) pero son distintos. Se dice que f tiene un discontinuidd esencil en R si no existe lguno de los límites lterles lím f(x), lím f(x). x + x