MATEMÁTICAS 2ºBACHILLERATO CCSSII
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- Vicente Hidalgo Ponce
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1 La trata del recueto, ordeació y clasificació de los datos obteidos por las observacioes, para poder hacer comparacioes y sacar coclusioes. U estudio estadístico costa de las siguietes fases: Recogida de datos. Orgaizació y represetació de datos. Aálisis de datos. Obteció de coclusioes. Població: Cojuto de todos los idividuos (persoas, aimales, objetos, etc) que porte iformació sobre el feómeo que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos el precio de la vivieda e ua ciudad, la població será el total de las viviedas de dicha ciudad. Muestra: subcojuto que seleccioamos de la població. Así, si se estudia el precio de la vivieda de ua ciudad, lo ormal será o recoger iformació sobre todas las viviedas de la ciudad (sería ua labor muy compleja), sio que se suele seleccioar u subgrupo (muestra) que se etieda que es suficietemete represetativo. Tamaño muestral: úmero de idividuos que tiee la muestra. Tipos de Muestreos o Muestreo Aleatorio: cuado los compoetes de la muestra ha sido seleccioados al azar y todos los miembros de la població tiee, a priori, las mismas posibilidades de ser seleccioados e la muestra. o Muestreo Aleatorio Simple: Todos los elemetos de la població tiee la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de la muestra. o Muestreo aleatorio Sistemático: se ordea los elemetos de la població. Se seleccioa u elemeto de la misma al azar y, a partir de él, se va seleccioado los compoetes de la muestra igualmete espaciados. o Muestreo aleatorio estratificado: E ocasioes, la característica que se estudia e la població varía segú diferetes grupos, como puede ser los delimitados por el sexo o la edad.. E este caso la població se divide e grupos homogéeos que se llama estratos, y posteriormete se extrae ua muestra aleatoria de cada estrato de forma que e la muestra, cada estrato matega la misma proporció que e la població. Se deomia variable es cada ua de las características o cualidades que posee los idividuos de ua població. Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 1
2 MATEMÁTICAS ºBACHILLERATO CCSSII Sea ua muestra x 1, x,...x de ua variable x Se llama media muestral a media aritmética de los datos Se llama variaza muestral a que es ua medida de dispersió para estudiar la represetatividad de la media: Se llama desviació típica muestral a la raíz cuadrada de la variaza muestral S x = Ejemplo: Dadas las otas de u alumo Los parámetros de la població se puede estimar a partir de los de la muestra. Así: La media muestral:, sirve para estimar la media poblacioal, se deota co La desviació típica muestral: s, es ua estimació de la desviació típica, se deota co. La variaza: se deota Distribució Normal Colegio Sa Agustí (Satader) Págia
3 Ua variable aleatoria cotiua X sigue ua distribució ormal de media por N(, ) si cumple las siguietes codicioes : La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, x (- ) La fució de desidad, f(x) de la distribució y desviació típica, y se desiga La gráfica de ua distribució ormal es simétrica co respecto de la media y su forma es acampaada, lo que le da el ombre de la campaa de Gauss. El área que queda por debajo de la curva es 1. P(- Cuado =0 y =1 teemos la ormal tipificada o Estádar N(0,1) La importacia que la distribució ormal tipificada radica e que cualquier distribució ormal se puede reducir a ua tipificada y que esta se ecuetra tabulada. Cálculo de probabilidades e ua Normal Tipificada La distribució N(0,1) que se represeta por, se ecuetra tabulada, lo cual permite u cálculo rápido de las probabilidades asociadas a la misma. Auque existe muchos feómeos que se comporte como ua distribució ormal, se puede afirmar que iguo de ellos se comporta exactamete como ua N(0,1) Lo más acosejable sería trasformar la variable x que sigue ua distribució N( ) e otra variable Z que siga ua distribució N(0,1). Esta trasformació se cooce co el ombre de tipificació de la variable y cosiste e: Cetrar : cosiste e trasladar la media de la distribució al orige de coordeadas. Esto equivale a hacer =0 Reducir: la desviació estádar a 1 ( =1). Esto equivale a dilatar o cotraer la gráfica de la distribució para que coicida co la ley estádar: Z = Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 3
4 Cálculo de P(Z a) Hallar la probabilidad P(Z<0,4) Basta co buscar el valor e la tabla que se ecuetra e la págia 345 del libro. P(Z<0,4) = 0,668 Hallar la a sabiedo la probabilidad P(Z = 0,6985 a=0,5 Cálculo de P(Z a) Hallar la Probabilidad P(Z 1,5) = 1- P(Z 1,5) = 1-0,8944 = 0,1056 P(Z 1,38) = 1- P(Z 1,38)= 1-0,916 = 0,0838 Hallar la a sabiedo la probabilidad P(Z a) = 0,0384 P(Z a)=0, 9616 a=1,77 Cálculo de P(Z -a) Hallar la Probabilidad P(Z< - 0,19) = P(Z > - 0,19) = 1- P(Z 0,19) = 1 0,5753=0,447 P(Z< - 1,56) = P(Z> 1,56) = 1- P(Z 1,56) = 1 0,9406 = 0,0594 Cálculo de P(a Z ) Hallar la Probabilidad P(-1,83<Z<0,75) = P(Z<0,75) P(Z<-1,83) = P(Z<0,75) P(Z>1,83) = P(Z<0,75) [1- P(Z<1,83)] = 0,7734 [1-0,9664] = 0,7398 Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 4
5 Ua variable X sigue ua distribució ormal de media 5 y desviació típica 1,. Calcula las siguietes probabilidades. a) P(X 4) b) P(3,5 X 4,5) La variable X dada sigue ua distribució N(5;1,). Se costruye ua ueva variable Z que sigue ua N(0,1). El cambio de variable es Z = a) P(X 4) = P(Z ) = P(Z -0,83) = P(Z 0,83) = 1 P(Z 0,83) = 0,03 b) P(3,5 X 4,5) = P( ) = P(-1,5 Z -0,4) = P(Z<-0,4) P(Z<-1,5) = [1 P(Z<0,4)] [1- P(Z<1,5)] = 0,38 E ua paadería se corta paecillos co u peso que se ajusta a ua distribució ormal de media 100 gramos y desviació típica 9 gramos. Cuál es la probabilidad de obteer u paecillo cuyo peso oscile etre 80 gramos y la media? Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 5
6 MATEMÁTICAS ºBACHILLERATO CCSSII Estimació de la media por Itervalos de Cofiaza Los parámetros de la població se puede estimar a partir de los de la muestra: La media muestral, sirve para estimar la media poblacioal, La desviació típica muestral, s, es ua estimació de la desviació típica poblacioal Població Media Desviació Típica Variaza Muestra Estimació por itervalos: A partir de ua muestra de tamaño podemos estimar el valor de u parámetro de la població: Itervalo de Cofiaza: es el itervalo detro del cual cofiamos que esté el parámetro. Nivel de Cofiaza: hallado la probabilidad de que tal cosa ocurra. Cuado mayor sea el tamaño de la muestra, mejor será uestra estimació. Nuestra estimació será mejor si: Cuato más pequeño sea el tamaño del itervalo más preciso estaremos siedo. Cuato mayor sea el ivel de cofiaza mayor va a ser la seguridad e la estimació Deseamos estimar la media, de ua població descoocida y desviació típica coocida. Para ello tomamos ua muestra de tamaño, de la cual se obtiee ua media muestral. : es u valor e ua N(0,1) que cumple que la P(Z )= 1 - Si os dice el ivel de sigificació o de riesgo se desiga mediate : es la probabilidad de que el verdadero valor de o esté e el itervalo. Si os dice el ivel de cofiaza 1- : es la probabilidad de que el verdadero valor de la media de la població esté e el itervalo. Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 6
7 Itervalo de Cofiaza para el parámetro de ua població N( ) al ivel de cofiaza 1- viee dado: IC= [ ] El error máximo admisible es: E = Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, meor sea uestro error cometido e uestra estimació. Cuato mayor sea 1- (mayor será, por tato más seguros estaremos de uestra estimació), mayor será E Tamaño de la muestra =( ) Amplitud del Itervalo de cofiaza Amplitud = E= Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 7
8 1) La catidad de café depositada e cada bolsa por ua máquia evasadora sigue ua distribució ormal co media = 1040 gramos y desviació típica 50 gramos. a) Calcula el tato por cieto de paquetes que cotiee más de u kilo. b) Calcula α sabiedo que el 97,5% de los paquetes cotiee meos de α gramos. c) Calcula el tato por cieto de paquetes cuyo coteido tiee u peso compredido etre 950 y 1050 gramos. ) E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació típica. Observada ua muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obteido ua media muestral igual a 50. Co u ivel de cofiaza del 97%, qué tamaño míimo debe teer la muestra para que la amplitud del itervalo que se obtega sea, como máximo, 1? 3) Se sabe que ua variable estadística se comporta como ua N( μ, 10). Para estimar μ se extrae ua muestra de tamaño 100, cuya media resulta ser igual a 37. Determia el tamaño de la muestra si se desea que el error cometido al estimar μ co u ivel de cofiaza del 99% o exceda de 0,575. Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 8
9 4) El peso medio de ua muestra de 64 jóvees de 18 años ha sido de 70 kg. Sabiedo que los pesos de los jóvees de 18 años se distribuye co ua desviació típica de 1 kg, ecuetra el itervalo de cofiaza para la media de los pesos de la població de jóvees de 18 años, co u ivel de cofiaza del 95%. 5) La vida media de ua muestra tomada al azar de 11 bombillas es de 3000 horas, y la desviació típica, de 0 horas. Calcula el itervalo de cofiaza aproximado para la media poblacioal para u ivel de cofiaza del 99%. 6) Se ha aplicado ua prueba para medir el cociete itelectual a ua muestra de 100 uiversitarios españoles elegida de forma aleatoria. Calculada la media de esta muestra se ha obteido 98 putos. Sabiedo que las putuacioes de la prueba sigue ua distribució ormal de desviació típica de 15: a) Calcula, co ua probabilidad del 98%, etre qué valores se ecotrará la media de la població uiversitaria española. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 9
10 7) U experto e gestió de la calidad quiere estudiar el tiempo promedio que se ecesita para hacer tres perforacioes e ua pieza metálica. Se calcula el tiempo promedio de ua muestra aleatoria de 36 trabajadores, resultado,6 segudos. Supoiedo que el tiempo de perforació se distribuye segú ua ormal co desviació típica de 0,3 segudos: a) Ecuetra u itervalo de cofiaza del 99,4% para dicho tiempo promedio de perforació. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 8) La duració de la batería de cierto modelo de teléfoo móvil se puede aproximar por ua distribució ormal co ua desviació típica de 5 meses. Se toma ua muestra aleatoria simple de 10 baterías y se obtiee las siguietes duracioes (e meses): 33, 34, 6, 37, 30, 39, 6, 31, 36, 19 Halla u itervalo de cofiaza al 95% para la duració media de ese modelo de batería. 9) Se desea hacer u estudio de mercado para coocer el precio medio de los libros de texto. Para ello se elige ua muestra aleatoria de 11 libros de texto, ecotrado que tiee u precio medio de 3 euros. Si se sabe que los precios de los libros de texto sigue ua distribució ormal co desviació típica de 5 euros: a) Ecuetra u itervalo de cofiaza al 98,8% para el precio medio de los libros de texto. Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 10
11 b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 10) U estudio realizado sobre 144 usuarios de automóviles revela que la media aual de kilómetros recorridos es de Si el úmero de km recorridos aualmete sigue ua distribució ormal co desviació típica de 000 km: a) Calcula, co ua probabilidad del 97%, etre qué valores estará la media del úmero de km recorridos aualmete por la població total de usuarios de automóviles. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 11
12 Ejercicios de la PAU 1) (Juio 007) Se ha tomado ua muestra aleatoria de 100 idividuos a los que se ha pregutado la catidad de diero que tiee e la cartera, obteiédose ua media muestral de 110 euros. Se sabe que la desviació típica de la població es de 0 euros. Obteer u itervalo de cofiaza, al 90%, para la catidad de diero e la cartera de la població. Cuál es el error máximo cometido co la estimació aterior? Si deseamos que el error cometido, co el mismo ivel de cofiaza, sea la décima parte del apartado aterior, Cuál ha de ser el tamaño de la muestra? Sea X la variable aleatoria que mide la catidad de diero que lleva dichos idividuos e la cartera, dode XN(110,0). Sabemos que el itervalo de cofiaza, viee dado por IC ( x Z /, x Z / ), siedo la desviació típica poblacioal, el tamaño muestral y Z / el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza 1. E uestro caso, para ua cofiaza del 90%, = 0,1, Z / = 1,645, = 0, x 110 y el IC 110 1,645 ;110 1, ,71;113, Coocemos, además, que el error admitido E, viee dado por E Z /. 0 E uestro caso E 1,645 3, teemos Si deseamos que el error cometido sea E = 0,39, y 0 (1,645) 0, ( Z Por tato, el tamaño míimo debe ser de idividuos. / ) E, se tedrá: Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 1
13 ) (Juio 008) El tiempo diario que los jóvees pasa ate el televisor sigue ua distribució ormal co desviació típica de 0 miutos. Ua muestra aleatoria de 100 chicos ha dado u tiempo medio de 170 miutos. a) Obteer el itervalo de cofiaza del 90% para el tiempo medio que los jóvees pasa ate el televisor. b) Qué tamaño míimo debe teer la muestra si deseamos que el error cometido al estimar la media co u ivel de cofiaza del 99% o exceda de 0,5 miutos? Sea X la variable aleatoria que mide el tiempo diario que los jóvees pasa ate el televisor, dode X N(170, 0). a) Sabemos que el itervalo de cofiaza viee dado por IC x Z /,x Z / Z desviació típica poblacioal;, el tamaño muestral, y / ua cofiaza 1., siedo la, el valor correspodiete e la tabla ormal para E uestro caso, para ua cofiaza del 90%, = 0,1, Z / = 1,645, teemos el 0 0 IC 170 1,645 ; 170 1, , 71 ; 173, E Z / Z b) Sabemos que el error admitido, E, viee dado por poblacioal;, el tamaño muestral, y /. Por tato, ( Z / ) E E uestro caso, para ua cofiaza del 99%, = 0,01, / 0 0,5 (,575 ) = Por tato, el tamaño míimo debe ser de , siedo la desviació típica, el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza 1 Z =,575, = 0 y E = 0,5, se tedrá: Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 13
14 3) (Septiembre 008) Los gastos semaales e los hogares españoles sigue ua distribució ormal co desviació típica 30 euros. A partir de ua muestra aleatoria de tamaño 5 se ha obteido ua media muestral de 175 euros. a) Obteer el itervalo de cofiaza del 95 % para la media del gasto semaal. b) Qué tamaño míimo debe teer la muestra que permita estimar la media co u ivel de cofiaza del 99%, co u error que sea la décima parte del obteido e el apartado aterior? a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z, x Z / / siedo Z / el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. Para x = 175, = 30, = 5 y, para el 95% de cofiaza, Z / = 1,96, el itervalo pedido es, ,96 ; 175 1, = (175 11,76; ,76) = (163,4; 186,76) b) El error admitido E, viee dado por E Z /. Para u ivel de cofiaza del 99%, Z / =,575, co = 30 y E < 1,176 (la décima parte de 11,76) se tedrá: 30,575 1,176 65, 69 > 4315 Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 14
15 4) (Juio 011) Fializado el curso, se ha realizado ua ecuesta etre los estudiates del Grado de Ecoomía recietemete implatado. Dicha ecuesta tiee por objetivo medir la valoració (del 1 al 10) que los alumos hace del cumplimieto del Pla Boloia e la Facultad. La putuació sigue ua distribució ormal co desviació típica 1,75. Se extrae ua muestra aleatoria y co ivel de cofiaza del 97% se determia u itervalo de cofiaza para la putuació media, de amplitud 0,545. a) Determiar el tamaño de la muestra seleccioada. b) Determiar el itervalo de cofiaza si la muestra tomada dio ua putuació media de 6,7. a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica, es: x Z, x Z / / Por tato, su amplitud es Z /. E este caso, = 1,75 y, para el 97% de cofiaza (1 / = 0,985), Z / =,17, co lo que El tamaño de la muestra seleccioada fue de ,75,17 = 0,545 = 14 = 196. b) Si x = 6,7 el itervalo será: 1,75 1,75 6,7,17, 6,7,17 = (6,7 0,715, 6,7 + 0,715) = (6,4875, 6,9715) Colegio Sa Agustí (Satader) Págia 15
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