Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II

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1 Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Martes, 6 de febrero de hora y 15 minutos. NOMBRE APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. La longitud auricular de la oreja en varones jóvenes, medida en centímetros (cm), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ y varianza σ = 0 36 cm. a) Supongamos que la media poblacional sea 4 cm. Considerada una muestra aleatoria simple de 0 individuos, calcular la probabilidad de que la longitud auricular media sea mayor que 3,98. b) Una muestra aleatoria simple de 0 individuos proporcionó una media muestral x = 7 cm. Calcúlese un intervalo de confianza al 98 % para µ. c) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de µ por la media muestral sea a lo sumo de 0 1 cm, con un nivel de confianza del 99 %?. La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X, donde E[X] = 1,. X P(X = x) p 1 3 q a) Halle q. b) Halle p. (0,5 puntos) Una bolsa contiene canicas blancas y azules y se sabe que hay al menos tres de cada color. Se sacan tres canicas de la bolsa, sin reposición. El número de canicas azules que se sacan viene dado por la variable aleatoria X. c) Escriba la probabilidad de sacar al menos dos canicas azules. (0,5 puntos) d) Calcule la desviación típica de la variable X. 1 k 3. Calcule los valores de k para los que el determinante de la matriz A = ( 1 1) sea nulo. k 1

2 4. Una competición consta de dos sucesos independientes: disparar a 0 dianas y correr durante una hora. El número de veces que un participante da en la diana es la puntuación S. Estas puntuaciones S siguen una distribución normal de media 65 y desviación típica igual a. Se escoge al azar a un participante. a) Halle la probabilidad de que su puntuación sea menor que 50. b) Halle la probabilidad de que su puntuación este entre 55 y 7 puntos. c) Calcule el valor de k para que la probabilidad de tener una puntuación mayor que k sea 0,7. (0,75 puntos) La distancia en km que corre un participante en una hora es la puntuación R. Estas puntuaciones R siguen una distribución de media 1 y desviación típica igual a,5. La puntuación R es independiente de la puntuación S. d) Un participante queda descalificado si su puntuación S es menor que 50 y su puntuación R es menor que x km. Sabiendo que el 1 % de los participantes quedan descalificados, halle el valor de x. (1 punto) 5. El precio de un coche de segunda mano depende, en parte, de la distancia que ha recorrido. La siguiente tabla muestra la distancia y el precio de siete coches, el 1 de enero de 0. Distancia, x km Precio, y dólares La relación que existe entre x e y se puede modelizar mediante la ecuación de regresión y = ax + b. a) Halle el coeficiente de correlación. (1 punto) b) Escriba el valor de a y el de b. (1,5 puntos) c) El 1 de enero de 0, Lina compra un coche que ha recorrido 100 km. Estime, mediante la recta de regresión, el precio del coche de Lina aproximando al múltiplo de 0 dólares más cercano. (0,5 puntos) 6. El tiempo, en horas, que tarda cierta compañía telefónica en hacer efectiva la portabilidad de un número de teléfono se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ y desviación típica σ = 4 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 16. Calcúlese: a) La probabilidad de que la media muestral del tiempo, X, supere las 48 horas, si µ = 36 horas. b) El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo (4 4 ; 47 76) para µ. (0,75 puntos)

3 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº 5 DE º MATEMÁTICAS N.M. 1. La longitud auricular de la oreja en varones jóvenes, medida en centímetros (cm), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ y varianza σ = 0 36 cm. a) Supongamos que la media poblacional sea 4 cm. Considerada una muestra aleatoria simple de 0 individuos, calcular la probabilidad de que la longitud auricular media sea mayor que 3,98. b) Una muestra aleatoria simple de 0 individuos proporcionó una media muestral x = 7 cm. Calcúlese un intervalo de confianza al 98 % para µ. c) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de µ por la media muestral sea a lo sumo de 0 1 cm, con un nivel de confianza del 99 %? Solución a) Supongamos que la media poblacional sea 4 cm. Considerada una muestra aleatoria simple de 0 individuos, calcular la probabilidad de que la longitud auricular media sea mayor que 3,98 cm. La longitud auricular media se distribuye según, En tal caso, σ X N (μ, n ) = N (4, ) = N (4, 0 6 ) = N(4,0 06) P(X > 3,98) = P ( X 4 0,06 > 3,98 4 ) = P(Z > 0,33) = 0,06 = 1 P(Z < 0,33) = 1 (1 P(Z < 0,33)) = P(Z < 0,33) = 0,693 b) Si desconocemos la media poblacional y con una muestra aleatoria simple de 0 individuos que proporcionó una media muestral x = 7 cm, calcúlese un intervalo de confianza al 98 % para µ. El intervalo de confianza para la media poblacional con la desviación típica conocida viene dado por, Teniendo en cuenta que P (X z α σ n < μ < X + z α σ n ) = 1 α P(z < z α ) = 0, ,98 = 0,98 + 0,01 = 0,99 z α =,33 Por lo tanto, el intervalo de confianza pedido será, (7,33 0,6 0, 7 +,33 0,6 ) = (6 860, ) 0

4 c) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de µ por la media muestral sea a lo sumo de 0 1 cm, con un nivel de confianza del 99 %? El tamaño mínimo vendrá dado por, Teniendo en cuenta que En tal caso, n ( z α σ ) ε P(z < z α ) = 0, ,99 = 0,99 + 0,005 = 0,995 z α =,58 Por lo tanto, el tamaño mínimo es 40.,58 0,6 n ( ) 0,1 = 39,6304. La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X, donde E[X] = 1,. X P(X = x) p 1 3 q a) Halle q. b) Halle p. (0,5 puntos) Una bolsa contiene canicas blancas y azules y se sabe que hay al menos tres de cada color. Se sacan tres canicas de la bolsa, sin reposición. El número de canicas azules que se sacan viene dado por la variable aleatoria X. c) Escriba la probabilidad de sacar al menos dos canicas azules. (0,5 puntos) d) Calcule la desviación típica de la variable X. Solución. a) Halle q. Puesto que la esperanza de la variable X vale, E[X] = x i P(x i ) = 0 p q = q + 3q = = q y como sabemos que la esperanza de la variable X es E[X] = 1,, entonces q = 1, q = 1 30q = 1 q = 1 30

5 b) Halle p. Como la probabilidad total de la variable debe ser 1 entonces, p = P(0) = 1 P(1) P() P(3) = = = 5 30 = 1 6 c) Escriba la probabilidad de sacar al menos dos canicas azules. (0,5 puntos) La probabilidad vendrá dada por, P(X ) = P() + P(3) = = = 30 = 1 3 d) Calcule la desviación típica de la variable X. Debemos calcular primero la varianza de la variable X, Calculamos la primera parte, S [X] = x i P(x i ) (E[X]) x i P(x i ) = = = = = Por lo tanto, la varianza será, S [X] = x i P(x i ) (E[X]) = 1, = 1,44 = 0,56 Y la desviación típica de la variable X será, S[X] = S [X] = 0,56 = 0, k 3. Calcule los valores de k para los que el determinante de la matriz A = ( 1 1) sea nulo. k 1 Solución. Calculamos el determinante de A, 1 k A = 1 1 = k + k k + = k + k 1 Anulamos el determinante y calculamos los valores de la k a partir de la fórmula de la ecuación de segundo grado, A = 0 k + = 0 k + 1 = 0 1 = k k = ± 1 = ±1 Por lo tanto, los valores de k para que el determinante se anule son k = 1 y k = +1

6 4. Una competición consta de dos sucesos independientes: disparar a 0 dianas y correr durante una hora. El número de veces que un participante da en la diana es la puntuación S. Estas puntuaciones S siguen una distribución normal de media 65 y desviación típica igual a. Se escoge al azar a un participante. a) Halle la probabilidad de que su puntuación sea menor que 50. b) Halle la probabilidad de que su puntuación este entre 55 y 7 puntos. c) Calcule el valor de k para que la probabilidad de tener una puntuación mayor que k sea 0, 7. (0,75 puntos) La distancia en km que corre un participante en una hora es la puntuación R. Estas puntuaciones R siguen una distribución de media 1 y desviación típica igual a, 5. La puntuación R es independiente de la puntuación S. d) Un participante queda descalificado si su puntuación S es menor que 50 y su puntuación R es menor que x km. Sabiendo que el 1 % de los participantes quedan descalificados, halle el valor de x. (1 punto) Solución. Sabemos que la variable aleatoria S se distribuye según S N(65,) a) Halle la probabilidad de que su puntuación sea menor que 50. S 65 P(S < 50) = P ( < ) = P(Z < 1,5) = = 1 P(Z < 1,5) = = 0, b) Halle la probabilidad de que su puntuación este entre 55 y 7 puntos P(55 < S < 60) = P ( < S 65 < 7 65 ) = P( 1 < Z < 0,7) = = P(Z < 0,7) P(Z < 1) = P(Z < 0,7) (1 P(Z < 1)) = = 0, ( ) = 0, , = 0, c) Calcule el valor de k para que la probabilidad de tener una puntuación mayor que k sea 0, 7. (0,75 puntos) S 65 P(S > k) = P ( > Por lo tanto, k 65 ) = P (Z > k 65 k 65 ) = 1 P (Z ) = 0,7 P (Z k 65 ) = 1 0,7 = 0,3

7 Para buscar el valor que deja por debajo de sí una probabilidad menor que 0,3, buscamos el valor t que deja una probabilidad menor que 0,7 y luego le cambiamos el signo. Como, En ese caso, Y entonces, k 65 P(Z t) = 0,7 P(Z t) = 0,3 P(Z t) = 0,7 t = 0,55 P(Z 0,55) = 0,3 = 0,55 k 65 = ( 0,55) k = 65 5,5 = 59,75 Por lo tanto, el valor k para el que hay una probabilidad 0,7 de que la puntuación sea mayor que k es 59,75. d) Un participante queda descalificado si su puntuación S es menor que 50 y su puntuación R es menor que x km. Sabiendo que el 1 % de los participantes quedan descalificados, halle el valor de x. (1 punto) Se nos pide el valor x tal que la probabilidad, P(S < 50, R < x) = 0,01 Puesto que las variables S y R son independientes, Y por el apartado a) sabemos que Con lo que, Y entonces, Tipificamos la variable R, P(S < 50) P(R < x) = 0,01 P(S < 50) = 0, P(S < 50) P(R < x) = 0,01 0, P(R < x) = 0,01 P(R < x) = 0,01 0, = 0, R 1 P(R < x) = P ( <,5 x 1 x 1 ) = P (Z <,5,5 ) = 0,

8 Para buscar el valor que deja por debajo de sí una probabilidad 0, , buscamos el valor t que deja una probabilidad menor que 1 0, = 0, , y luego le cambiamos el signo P(Z t) = 0, P(Z t) = 0, Como, En ese caso, Y entonces, x 1,5 P(Z t) = 0, t = 1,04 P(Z 1,04) = 0, = 1,04 x 1 =,5 ( 1,04) x = 1,6 = 9,4 Por lo tanto, el valor x pedido es 9, 4 km. 5. El precio de un coche de segunda mano depende, en parte, de la distancia que ha recorrido. La siguiente tabla muestra la distancia y el precio de siete coches, el 1 de enero de 0. Distancia, x km Precio, y dólares La relación que existe entre x e y se puede modelizar mediante la ecuación de regresión y = ax + b a) Halle el coeficiente de correlación. (1 punto) b) Escriba el valor de a y el de b. (1,5 puntos) c) El 1 de enero de 0, Lina compra un coche que ha recorrido 100 km. Estime, mediante la recta de regresión, el precio del coche de Lina aproximando al múltiplo de 0 dólares más cercano. (0,5 puntos) Solución. a) Halle el coeficiente de correlación. (1 punto) El coeficiente de correlación lineal es, S X,Y r = S X S Y Calculamos las medias de cada variable estadística, la covarianza, las varianzas y las desviaciones de las variables.

9 Lo hacemos a partir de esta tabla auxiliar que se puede realizar con la calculadora. X Y X Y X^ Y^ SUMA MEDIA 785, , Los parámetros que necesitamos a partir de la tabla anterior se pueden obtener directamente en la calculadora. Son los siguientes, La media de la variable estadística X es, X = x i n = = 785,7143 La media de la variable estadística Y es, Y = y i n = = 16 48,5714 La covarianza de las variables estadísticas X y Y es, S X,Y = x i y i n X Y = , ,5714 = ,41 7 La varianza de la variable estadística X es, S X = x i n X = ,7143 = ,9 7 La varianza de la variable estadística Y es, S Y = y i n Y = Por tanto, el coeficiente de correlación lineal es, r = ,5714 = ,53 7 S X,Y ,41 = S X S Y , ,53 = 0, Por lo tanto, el coeficiente de correlación líneal es, r = 0,

10 b) Escriba el valor de a y el de b. (1,5 puntos) Se piden los coeficientes de la recta de regresión r Y/X. Dicha ecuación viene dada en forma punto pendiente por, Y Y = S X,Y (X X ) S X Por lo tanto, la recta de regresión r N/T es, De donde, Y entonces, Y = Y 16 48,5714 = , ,9 a = ,41 (X 785,7143) , ,41 X + 785, , , , ,9 = 1, b = ,41 785, ,5714 = , ,9 Por lo tanto, los valores pedidos son, a = 1, y b = , 304 c) El 1 de enero de 0, Lina compra un coche que ha recorrido km. Estime, mediante la recta de regresión, el precio del coche de Lina aproximando al múltiplo de 0 dólares más cercano. (0,5 puntos) Utilizando la recta de regresión r Y/X y = ax + b sustituida en el valor x = km nos da la siguiente estimación para el precio del coche, y = 1, ,304 = ,7953 que aproximando al múltiplo de 0 dólares más cercano será 16 0

11 6. El tiempo, en horas, que tarda cierta compañía telefónica en hacer efectiva la portabilidad de un número de teléfono se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ y desviación típica σ = 4 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 16. Calcúlese: a) La probabilidad de que la media muestral del tiempo, X, supere las 48 horas, si µ = 36 horas. La media muestral se distribuye según, En tal caso, σ X N (μ, n ) = N (36, 4 16 ) = N(36,6) P(X > 48) = P ( X 36 6 > ) = P(Z > ) = 6 = 1 P(Z < ) = 1 0,9775 = 0,075 b) El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo (4 4 ; 47 76) para µ. (0,75 puntos) Debemos calcular primero la media muestral del intervalo (a,b) en el caso concreto del apartado. La media muestral es el centro del intervalo (a, b) y se puede encontrar mediante, por lo que, en nuestro caso, X = a + b X = Tomando ahora el extremo inferior del intervalo, = a + b 4,4 + 47,76 = 7 = 36 X z α σ n = a 36 z α 4 16 = 4,4 36 z α 6 = 4,4 36 4,4 = z α 6 11,76 = z α 6 11,76 6 = z α 1,96 = z α Buscando en la tabla de la normal N(0,1) obtenemos que el nivel de confianza es, es decir, el nivel de confianza es del 95 %. 0,975 0,05 = 0, 95