Tema 5: Funciones y fórmulas trigonométricas.
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- Jesús Valenzuela Soto
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1 Tema 5: Funciones y fórmulas trigonométricas. Ejercicio. Resolver la ecuación: cos (0º ) sen En el primer miembro de la ecuación tenemos el coseno de una suma. cos 0º cos sen 0º sen sen ; cos sen sen cos sen Dividimos los dos miembros por cos : sen tg tg cos posibles soluciones: 0º y 0º. Al comprobarlas sobre la ecuación inicial, vemos que las dos son válidas. Por tanto las soluciones son: 0º y 0º Figura.
2 Ejercicio. MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Resolver la ecuación: sen tg Epresamos sen y tg en función de sen y cos : sen sen cos Multiplicamos todo por cos y pasamos al primer miembro: cos sacando factor común sen cos sen 0 sen (cos ) 0 Posibles soluciones cos sen 0 cos cos 0º, 5 80º 5º, 5º, 5º 6 5º Al comprobarlas sobre la ecuación inicial, vemos que las seis soluciones son válidas. Figura.
3 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 5. Funciones y fórmulas trigonométricas. Ejercicio. Resolver la ecuación: cos cos 0 Puesto que el segundo miembro es 0, la resolución se simplificaría mucho si el primer miembro se pudiera poner en forma de producto. Para ello aplicamos la fórmula de la suma de cosenos: cos 0 cos cos 0 cos cos 0 cos 0 si cos ; 0 90º, 70º (*) Si cos 0 cos sen 0cos ( cos ) 0cos 0cos cos ( III.) cos 5º, 5º cos 5 5º, 6 5º Se comprueba que las 6 soluciones son válidas. Figura.
4 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Ejercicio. Demuestra que: cos sen a) tg(5º ) tg(5º ) tg b) cos sen cos sen tg 5º tg tg 5º tg tg tg a) Desarrollamos el primer miembro y sustituimos tg 5º = : tg5º tg tg5º tg tg tg Efectuamos la resta reduciendo a denominador común: ( tg ) ( tg ) ( tg )( tg ) tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg b) Teniendo en cuenta que cos cos sen, sustituimos y transformamos la diferencia de cuadrados en suma por diferencia. cos sen cos cos sen sen (cos sen )(cos sen )(cos sen ) (cos sen ) cos sen cos sen sen cos sen sen Figura.
5 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 5. Funciones y fórmulas trigonométricas. Figura 5. Ejercicio 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)sen cos cos 0 b) tg cos a) Sustituimos sen por cos : ( cos ) cos cos 0 cos cos 0 ( no vale, cos ) cos 80 º 60 º k k con k Z b) Hacemos sen sen tg cos sen cos cos cos cos sen sen sen sen sen 0 sen sen ( no vale ) 5º 60 º k k 5 º 60 º k k con k Z 8 5
6 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 6. Figura 7. Ejercicio 6. Resuelve las ecuaciones siguientes: a ) sen cos 0 b ) cos sen 0 c ) sen cos 0 6
7 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 5. Funciones y fórmulas trigonométricas. a) Dividimos por cos y obtenemos tg + = 0. (Observa que cos no puede ser igual a 0. Si fuese cos = 0, entonces sen = 0 y no hay ningún ángulo cuyo seno y coseno sean 0). tg 5º 60º k k 7 5º 60º k k con k Z También se puede resolver haciendo sen = - cos. b) Despejamos sen ( sen cos ) y elevamos al cuadrado para poder aplicar la igualdad sen cos. sen cos cos cos cos cos 5cos cos 0 cos(5cos ) 0 cos 0 90º, 70º cos 6º 5, 5 º 78 Comprobando en la ecuación inicial, las soluciones son válidas. c) Desarrollamos sen : sen cos cos 0. Sacamos factor común: cos ( sen ) 0 : cos 0 90º 60º k k 70º 60º k k con k Z sen 0 º 60 º k k º 60 º k k con k Z 7
8 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 8. Figura 9. 8
![RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 5. Funciones y fórmulas trigonométricas. Figura 0. Ejercicio 7. sen sen y / Resuelve el sistema: dando las soluciones del intervalo [0º, 60º].](/docs-images/83/87938527/images/9-0.jpg "sen sen y / Despejamos sen en la primera ecuación: sen seny(*) ; sen ysen y sen y sen y 0 y 90º 9 8 sen y y 0º / y 50º Sustituyendo en (*) obtenemos las soluciones ( 90º,0º ), ( 90 º,50º ), ( 0")
9 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 5. Funciones y fórmulas trigonométricas. Figura 0. Ejercicio 7. sen sen y / Resuelve el sistema: dando las soluciones del intervalo [0º, 60º]. sen sen y / Despejamos sen en la primera ecuación: sen seny(*) ; sen ysen y sen y sen y 0 y 90º 9 8 sen y y 0º / y 50º Sustituyendo en (*) obtenemos las soluciones ( 90º,0º ), ( 90 º,50º ), ( 0 º,90º ) y (50º,90º ). 9
10 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura. 0
Resuelve: Solución: 180x 60 96x 16 27x 180x x 96x 27x 108x x Resuelve la ecuación: Solución: 9x 9 8x 4 4x 18x 9
Urb. La Cantera, s/n. 958586 http:/www.mariaauxiliadora.com Resuelve: x 6x 1 9x x 5 3 1 9 5 4 3 16 8 x 6x 1 9x x 5 3 1 9 5 4 3 16 8 15x 5 6x 1 9x 18x 10 4 3 16 8 180x 60 96x 16 7x 108x 60 48 48 48 48 180x
Resuelve: Solución: 180x x + 16 = 27x + 180x x 96x + 27x 108x = x = x = 3. Resuelve la ecuación: Solución: = +
Urb. La Cantera, s/n. 958586 http:/www.mariaauxiliadora.com Resuelve: ( x + ) 6x 1 9x ( x + ) 5 3 1 9 5 + 4 3 16 8 ( x + ) 6x 1 9x ( x + ) 53 1 9 5 + 4 3 16 8 15x + 5 6x 1 9x 18x + 10 + 4 3 16 8 180x +
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