Repaso de algebra matricial

Transcripción

1 Clase No. 3 (Parte 1): MAT 251 Repaso de algebra matricial Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato alram@ cimat.mx web: alram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. joaquin@ cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

2 Conceptos de algebra lineal Sea V un espacio vectorial sobre el campo F, con dim V = n. Sea V = {v 1, v 2,..., v m } V. Entonces V es un conjunto generador si V es un conjunto linealmente independiente si V es una base para V si V es un conjunto de vectores ortogonales si V es un conjunto ortonormal si Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

3 Conceptos de algebra lineal Sea V un espacio vectorial sobre el campo F, con dim V = n. Sea V = {v 1, v 2,..., v m } V. Entonces V es un conjunto generador si para todo v V existen α 1,..., α m F tales que v = α 1 v α m v m. V es un conjunto linealmente independiente si m n y no existen α 1,..., α m F, no todos nulos, tales que α 1 v α m v m = 0. V es una base para V si m = n, es un conjunto generador linealmente independiente. V es un conjunto de vectores ortogonales si v j v i = 0 para j = i. V es un conjunto ortonormal si es ortogonal y v i v i = 1. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

4 Matrices A R m n, v R n, v 1 A = v 2 A 1 A 2 A n, v =,. v n con A i R m, entonces el producto de A y v es Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

5 Matrices A R m n, v R n, v 1 A = v 2 A 1 A 2 A n, v =,. v n con A i R m, entonces el producto de A y v es El espacio columna C(A) de A es n Av = v j A j j=1 El espacio fila R(A) de A es El rango de la matriz es Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

6 Matrices A R m n, v R n, v 1 A = v 2 A 1 A 2 A n, v =,. v n con A i R m, entonces el producto de A y v es n Av = v j A j j=1 El espacio columna C(A) de A es el conjunto de todas las combinaciones lineales de sus columnas. El espacio fila R(A) de A es el conjunto de todas las combinaciones lineales de sus filas y dim C(A) = dim R(A). El rango de la matriz es la dimensión del espacio columna y rank(a) min{m, n} y es de rango completo si rank(a) = min{m, n}. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

7 Matrices El espacio nulo de A es el conjunto Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

8 Matrices El espacio nulo de A es el conjunto null(a) = Ker(A) = {v R n : Av = 0} Se puede ver que Ker(A) es un subespacio de R n y su dimensión se llama la nulidad de A. rank(a) + null(a) = n Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

9 Matrices cuadradas Sea A R n n. Decimos que A es invertible si existe una matriz A 1 tal que A 1 A = AA 1 = I. El producto de matrices invertibles, es invertible. Si A es invertible, entonces αa y A son invertibles. Además, Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

10 Matrices cuadradas Sea A R n n. Decimos que A es invertible si existe una matriz A 1 tal que A 1 A = AA 1 = I. El producto de matrices invertibles, es invertible. Si A es invertible, entonces αa y A son invertibles. Además, Ax = 0 sólo tiene la solución trivial. Ax = b sólo tiene solución única. A es de rango completo. det A = 0. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

11 Sistemas de ecuaciones lineales Se dice que el sistema Ax = b es consistente si al menos tiene una solución. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

12 Sistemas de ecuaciones lineales Se dice que el sistema Ax = b es consistente si al menos tiene una solución. Si Ax = b es consistente, sus soluciones son de la forma x = y + z, Ay = b, z Ker(A). Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

13 Sistemas de ecuaciones lineales Se dice que el sistema Ax = b es consistente si al menos tiene una solución. Si Ax = b es consistente, sus soluciones son de la forma x = y + z, Ay = b, z Ker(A). Cuando A es invertible, la solución de Ax = b es x = A 1 b Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

14 Sistemas de ecuaciones lineales Se dice que el sistema Ax = b es consistente si al menos tiene una solución. Si Ax = b es consistente, sus soluciones son de la forma x = y + z, Ay = b, z Ker(A). Cuando A es invertible, la solución de Ax = b es x = A 1 b El cálculo de la inversa de una matriz no es trivial. A 1 = adj A det A, (adj A) ij = ( 1) i+j det A(j i) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6

15 Sistemas de ecuaciones lineales Se dice que el sistema Ax = b es consistente si al menos tiene una solución. Si Ax = b es consistente, sus soluciones son de la forma x = y + z, Ay = b, z Ker(A). Cuando A es invertible, la solución de Ax = b es x = A 1 b El cálculo de la inversa de una matriz no es trivial. A 1 = adj A det A, (adj A) ij = ( 1) i+j det A(j i) Podemos usar otras estrategias para calcular la solución del sistema. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 6