GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. TRIGONOMETRÍA. EJERCICIOS IV: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. PROBLEMAS.

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1 GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ MATEMÁTICAS TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS IV: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PROBLEMAS - Determinr ls longitudes de los ldos y los tmños de los ángulos interiores del triángulo ABC si semos: ) 0 m, α 6º, β 34º ) 5 m, α 0º, β 8º ) 8, 4 m, α 4º 05', γ 6º 55' d) 5, 66 m, β 56º 3', γ 44º 47' ) 6, 3m, 3, m, γ 84º, ) 0, 0 m, 7m,, γ 4º ), m, 7, m, β º 0' d) 4, 8 m, 4, 07 m, α 78º 4' - Determinr ls longitudes de los ldos y los tmños de los ángulos interiores del triángulo ABC si semos: ) 6 m, 7 m, γ 40º ) 6 m, 9 m, β 75º ) 8 m, 5 m, γ 6º55' d) 6 m, 3 m, β 30º ) 0, 4 m, α 33º 6', β 06º 34', ) no se puede, ) 0, 6 m, β 46º 5', α 06º 40' ;, 7 m, β 33º 35', α 9º 30', d) 5, m, α 90º, γ 60º 3 3- Determinr ls longitudes de los ldos y los tmños de los ángulos interiores del triángulo ABC si semos: ) m, 3 m, 4 m ) 3 m, 8 m, 4 m ) 5 m, 7 m, γ 9º4' d) 7 m, m, β 4º ) α 8 º 57', β 46º 34', γ 04º 9', ) no se puede, ) 3, 6 m, α 4º 48', β 07º 58', d) 6, 9 m, α 0º 06', γ 36º 04' 4- Determinr ls longitudes de los ldos del triángulo ABC si semos: ) t 6 m, t 9 m, 8 m ) 6 m, t 5 m, γ 45º ) 6 m, t 5 m, 8 m d) 6 m, t 9 m, t 4 m e) 0 m, t 8 m, 6 m f) t 6 m, t 4 m, t 8 m ), 7 m, 8, 7 m, ) 3, 8 m, 0, 5 m; 3, m, 4, 4 m, ) 6,8 m, d) 7, 6 m,, m, e), 4 m, 6, 9 m; 3, 4 m,, 9 m, f) 7, 4 m, 9, 0 m,, 4, m 5- Clul el tmño del ángulo menos en el triángulo ABC si semos ls longitudes de los ldos 7 m, 8 9 m ) α 48º' m y

2 6- En el triángulo ABC onoemos l longitud del ldo 8 m y el tmño del ángulo α 30º Disutir sore el número de soluiones y hllr el tmño de β undo l longitud del ldo tomndo los lores del onjunto { 4, 6, 80, }, Los dtos están en entímetros m 4 m 6 m 8 m 0 m Número de Soluiones 0 0 β No hy No hy 4 º 49'; 38º ' 30 º 3 º35' 7- Clul el tmño de los ángulos del triángulo ABC si onoemos ls longitudes de los ldos 0 m, 4 m y los ángulos están en proporión β : γ : α 43 º 7', β 9º 09', γ 45º 34' 8- Clul el tmño de los ángulos interiores del triángulo ABC siendo que : 3 : y β α α 30 º, β 60º, γ 90º 9- En el triángulo ABC onoemos ls proporiones de los ldos : : : 4 : 5 Clulr los ángulos α º 0', β 49º 7', γ 08º 3' 0- en el triángulo ABC onoemos los ángulos α 45 º, β 60º, γ 75º Clulr l proporión de ls longitudes de los ldos : : : 3 : ( 6 + ) - En el triángulo ABC onoemos 4 m, 5 m, α 45º ) Clulr el ldo on el teorem del oseno (Hllr el resultdo on un ifr deiml, es deir, l milímetro) ) Construir el triángulo según los dtos ddos Medir el ldo y omprr el resultdo on l soluión otenid en el prtdo ) ), 4 m, 7 m 5, - Demostrr on el teorem del oseno que todos los ángulos en el triángulo equilátero len 60º 3- Demostrr on el teorem del oseno que en un triángulo isóseles de se AB se tiene ) osα ) ( osγ ) 4- Determinr ls longitudes de los ldos, ls digonles y ls lturs y los tmños de los ángulos interiores del prlelogrmo ABCD si semos: ) AB 6, m, BC 5, 4 m, AC 4, 8 m ) AB 0, 8 m, 4, m, α 7º '

3 ) BD 0, 6 m, 4, 0 m, 4, 6 m, α 3º 43', β 48º 7' ) BC 9, m, BD 5, 0 m, AC 9, 4 m, 4, 9 m, β 5º 49' 5- En el trpeio ABCD onoemos los ldos AB 30 m, BC 5 m, CD 0 m, AD m Clulr los ángulos interiores ) α 85 º 8', β 5º 53', γ 7º 07', δ 94º 3' 6- Clulr el ldo NK y el tmño del ángulo NK ˆ L en el udrilátero KLMN si semos KL 0 m, LM m, MN 6 m, K LM ˆ 65º, K NM ˆ 98º KN 9, 5 m, NKˆ L 96º 00' 7- L distni entre dos puntos A y B que no podemos medir diretmente l determinmos sí: tommos dos puntos ulesquier K y L desde los que podemos er A y B Todos los puntos son oplnrios (están en el mismo plno) Medimos KL 50 m y los siguientes ángulos: K LM ˆ 54 º, ALK ˆ 4º, AKL ˆ 8º, BKˆ L 76 º Clulr l distni AB AB 65,9 m 8- Clulr l nhur de un río si en un ldo del río est señldo el segmento KL on longitud 40m y semos los ángulos L KS ˆ 76º 4 ' y K LS ˆ 43º 5 ', donde S es un punto en el otro ldo del río 3, m 9- Sore un uerpo tún dos fuerzs F 40 N y F 70 N, en un mismo punto del uerpo, formndo un ángulo entre ells de 50º Determinr el tmño de l resultnte F y el ángulo que form on F F 00 N, < FF 3º 0- L fuerz F 00 N se desompone en dos fuerzs F 50 N y F 00 N Clulr el ángulo que formn ls fuerzs F y F < F F 76º - L fuerz F 00 N se desompone en dos fuerzs que formn ángulos on ell de α 7º y β 74º tmño de ls fuerzs F 9 N, F 96 N Clulr el - Tres fuerz F 0 N, F 0 N, F 7 N oplnris tún sore el mismo punto de un uerpo y están en 3 equilirio Clulr los ángulos que formn entre ells

4 < F F 55º, < FF3 6º, < FF3 43º 3- En el triángulo ABC onoemos 5 m, 4 m, m Hllr el áre del triángulo y l ltur S 5m,, 5m 4- En el triángulo ABC onoemos 4 m, 6 m, γ 60º Clulr el áre del triángulo y ls lturs,, 6 S 3m, 3 3m, 3m, m Clul el áre del triángulo ABC si los ldos miden 5m, 6 m y 9m Clulr el áre del triángulo S ABSBCS AC donde S, S, S son los puntos medios de los ldos AB, BC y AC respetimente AB BC AC 5 S 0 m, S m 6- En el prlelogrmo ABCD onoemos AB 8 m, AD m, D AB ˆ 30 º ABCD y ls lturs otenidos nteriormente S 8m, m, Clulr el áre del prlelogrmo, Después onstruir el prlelogrmo y midiéndolo omprr los álulos on los dtos 4 m 7- Clulr el áre del trpeio ABCD si onoemos los ldos AB 8 m, BC 6 m, CD m AD 6 m S 5 3m 8- El udrdo ABCD ( 4m) se gir sore el értie A un ángulo de 45º Apree un nueo udrdo A BCD Clulr el áre del udrilátero que se form omo interseión de los dos udrdos S 6 m & 6, 6m ( ) 9- Clulr el rdio de l irunfereni irunsrit y l irunfereni insrit l triángulo ABC siendo 4 m, 6 m y α 45º r 3, 0m, ρ, m 30- Clulr l longitud del ldo, el perímetro o y el áre S del pentágono regulr insrito en un irunfereni de rdio 6m 7, 05m, o 35, 3m, S 85, 6m 3- El ldo de un eneágono (9 ldos) regulr es 5 m Clulr el rdio de l irunfereni que podemos: ) insriir en el eneágono ) irunsriir en el eneágono

5 ) ρ 6,9m, ) r 7, 3m 3- ) En un dodeágono ( ldos) regulr A A A K ( 6 m) mrmos los puntos medios S, S, K, S de los ldos A A, A A3, K, A A Hllr l proporión de ls áres de los dodeágonos A AK A y SSK S ) Her lo mismo que en el prtdo nterior pero on un polígono de n ldos y on longitud del ldo ) En un irunfereni de rdio R insriir un polígono regulr de n ldos y, l ez, es irunfereni, irunsriir un polígono regulr de n ldos Después lulr l proporión de ls áres de los polígonos insrito y irunsrito l irunfereni ) S : S ( 8 4 3) A A A : SS KS K, ) S S SS KSn 80 n A AKAn º : os, ) S insrito : S irunsrito os 80º n